Avaliação_I_calculo III

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UNIVERSIDADE FRANCISCANA - UFN AVALIAÇÃO 
PARCIAL I - CÁLCULO III 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS:DEFINIÇÃO_DOMÍNIO IMAGEM_CURVAS E 
SUPERFÍCIES DE NÍVEL_GRÁFICOS 
 
NOME DO(A) ACADÊMICO(A):Tiago Fassina Alves 
 
1. Dada a superfície f(x,y)=2∙x²∙√𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 − 1 pede-se: 
a. Qual e o valor de W, onde W(x,y)=f(
1
4
 ,1)+
3
2
∙f(0 ,9)? 
b. Determine e esboce o domínio de f e, também, represente-o no plano xy. 
 
2. Determine e esboce geometricamente o domínio das funções: 
a. f(x,y)=√𝑥 ∙ 𝑦 − 1 
f(x, y) = √𝑥 ∙ 𝑦 − 1 
 x∙y-1˃0→y˃
1
𝑥
 
 Ɗf={(x,y)/y˃
1
𝑥
} 
 
b. f(x,y)=
1
√4∙𝑥2+𝑦2−16
 
 4 ∙ 𝑥
2 + 𝑦2 − 16˃0 
 4 ∙ 𝑥2 + 𝑦2˃16 
 Ɗf={(x,y)/ 4 ∙ 𝑥
2 + 𝑦2˃16} 
 
 
 
 
 
 
 
 
2c. f(x,y)=√9 − 𝑥2 − 𝑦² 
 z²=9 − 𝑥
2 − 𝑦² 
 z²+x²+y²≤9 
 Ɗf={(x,y)/ z²+x²+y²≤9} 
 
 
3. Determine a equação das curvas de nível, esboce-as geometricamente e descreva-as em 
palavras 
a. f(x,y)+2-x-y, para k=-1,0,1,2. 
2-x-y=k .: x-y=k-2 
K=-1→ x-y=(-1)+2 =1 (0,0)→√1 =1 
K=0→ x-y=(0)+2 =2 (0,0)→√2 =√2 
K=1→ x-y=(1)+2 =3 (0,0)→√3 =√3 
K=2→ x-y=(2)+2 =4 (0,0)→√4 =2 
 
b. f(x,y)=
1
𝑥2+𝑦²
 , para k=
1
9
,
1
4
, 1,4. 
 
1
𝑥2+𝑦²
=k .: x²+y²=
1
𝑘
 
K=
1
9
 → x²+y²=
1
1
9
 → x²+y²=9 → (0,0)= r 3 
K=
1
4
 → x²+y²=
1
1
4
 → x²+y²=4 → (0,0)= r 2 
K=1 → x²+y²=
1
1
 → x²+y²=1 → (0,0)= r 1 
K=4 → x²+y²=
1
4
 → x²+y²=
1
4
 → (0,0)= r 
1
2
 
 
 
4.Seja a função f(x, y, z) =𝑒
√𝑥−𝑦2−𝑧² . 𝑝𝑒𝑑𝑒 − 𝑠𝑒: 
a.Calcular o valor de f(6, –1,–2). 
 
F(x,y,z)=𝑒√𝑥−𝑦
2−𝑧²→𝑒√6−(−1)
2−(−2)²= 𝑒1 
 
b.Achar o domínio D(f) e a imagem Im(f) da função f 
x-y²-z² ≥ 0 → x ≥ y²+z² 
Ɗf={(x,y,z)=x≥y²+z²} 
 
Imf(f)={x/ x≥0}=[1,+∞ 
c.É possível traçar o gráfico de f no espaço 3 – D ? Explique 
 
 
 
 
 
 
 
5.Determine e esboce o maior conjunto D, tal que a função 
f(x, y) = x2 . ln (3x – y + 1) é contínua 
 
3∙x-y+1˃0 → 3∙x-y˃-1 
Ɗ={(x,y)ϵ IR²/3∙x-y-1} 
(i)= f(x,y) ϵ domínio da função 
(ii)= lim f(x,y)=(x,y) →(a,b) 
(iii)=(i)=(ii) →lim f(x,y)=f(a,b) 
 
6. Sendo f(x, y) ={
𝑥2+𝑦²
√𝑥2+𝑦2+1−1
 se (x,y)≠(0,0) 5,se (x,y)=(0,0)} 
a.Pede-se: a. qual e o velor de lim(x,y)→(0,0) f(0,0)? 
Lim (x,y)→(0,0)f(x,y)=
𝑥2+𝑦²
√𝑥2+𝑦2+1−1
 
 (
𝑥2+𝑦²
√𝑥2+𝑦2+1−1
)∙( 
√𝑥2+𝑦2+1−1
√𝑥2+𝑦2+1−1
) 
 
(𝑥2+𝑦2)∙(√𝑥2+𝑦2+1−1)
(𝑥2+𝑦2+1)−1
 
 √𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 1→√02 + 02 + 1 − 1 
 Lim (x,y)→(0,0)f(x,y)= 2 
 
 
b. f e continua em (0,0)? Justifique. 
Lim (x,y)→(0,0)f(x,y)=
𝑥2+𝑦²
√𝑥2+𝑦2+1−1
 
 
0+0²
√02+0𝑦2+1−1
 = (indeterminação) 
 Portanto função não e continua (0,0) 
 
7. Se V(x, y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x, y) no plano xy, então as 
curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. E, assim, ao longo 
de tal curva, a voltagem permanece constante. Sendo dado que V(x, y) = 4 x2 + y2, 
esboce as curvas equipotenciais para V(x, y) = k, supondo os valores k = 1, 2, 4, 8. 
 
V=(x,y)=4∙x²+y² 
 
 4∙x²+y²=k ou 
𝑥²
𝑘
4
+
𝑦²
𝑘
=1 
K=1→𝑥² 1/4⁄ +
𝑦²
1⁄ =1 
a=x²=
1
4
→±0,5 
 b=y²=±1 
 
 
K=2→𝑥² 2/4⁄ +
𝑦²
2⁄ =1 
a=x²=
2
4
→±0,70 
 b=y²=±√2 → 1,41 
 
K=4→𝑥² 4/4⁄ +
𝑦²
4⁄ =1 
a=x²=
4
4
→±1 
 b=y²=±2 
 
 
 
 
K=8→𝑥² 8/4⁄ +
𝑦²
8⁄ =1 
a=x²=
8
4
→±1,41 
 b=y²=8→±2,84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (a) Utilizando um software trace o gráfico em 3-D das funções 
 
(I)f(x,y)=
1
𝑒𝑥−𝑦 (II)g(x,y)=
1
1−𝑥2−𝑦²
 
 
(I)f(x,y)= 𝑒
1
𝑥−𝑦 (II)g(x,y)=
1
1−𝑥2−𝑦²
 
 x-y˃0→y=x 1-x²-y²≠0→ x²+y²≠1 
 
 
 
 
 
 b.Observando os gráficos das funções f e g em (a), determine os pontos (x,y) em que cada uma é 
descontínua 
 (I) E descontinua ao longo de uma linha diagonal com a origem na função y=x 
 
 (II) a descontinuidade em x² + y² = 1 pontos (x,-3,3) ; (y,-3,3)