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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Departamento de Informa´tica
Algoritmos Nume´ricos 2011/2
Profa. Claudine Badue
Lista de Exerc´ıcios 1
Questa˜o 1 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.11]
(a) Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de
eliminac¸a˜o de Gauss, sem pivotac¸a˜o parcial
e usando 3 casas decimais.
 1 2 4−3 −1 4
2 14 5



x1x2
x3

 =

 138
50


(b) Verificar tambe´m a unicidade e exatida˜o da
soluc¸a˜o.
Questa˜o 2 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.12]
(a) Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de
eliminac¸a˜o de Gauss, com pivotac¸a˜o parcial
e usando 3 casas decimais.
 −2 3 12 1 −4
4 10 −6



x1x2
x3

 =

 −5−9
2


(b) Verificar tambe´m a unicidade e exatida˜o da
soluc¸a˜o.
Questa˜o 3 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.16]
(a) Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da
decomposic¸a˜o LU , sem pivotac¸a˜o parcial.
Efetuar os ca´lculos utilizando apenas 4 casas
decimais.
 2 6 −31 3.001 2
4 −1 9



x1x2
x3

 =

 59
29


(b) Verificar a unicidade e exatida˜o da soluc¸a˜o.
Questa˜o 4 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.19]
(a) Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da
decomposic¸a˜o LU , com pivotac¸a˜o parcial.
Efetuar os ca´lculos utilizando apenas 4 casas
decimais.
 1 −4 −1−2 9 3
0 1 1



x1x2
x3

 =

 12
4


(b) Verificar a unicidade e exatida˜o da soluc¸a˜o.
Questa˜o 5 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.27]
Mostrar como calcular a inversa de uma matriz
utilizando a decomposic¸a˜o LU com pivotac¸a˜o par-
cial.
Questa˜o 6 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 2.29]
Calcular a inversa da matriz A pela decomposic¸a˜o
LU com pivotac¸a˜o parcial, sendo
A =

 1 6 42 −3 1
5 5 8


Questa˜o 7 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 3.8]
Seja a tabela
x f(x)
1.0 0.8415
1.3 1.2526
1.7 1.6858
2.0 1.8186
Calcular f(1.1) usando um polinoˆmio de Lagrange
de grau 2.
Questa˜o 8 [Campos, 2007; Exerc´ıcio 3.11]
Considere a tabela
x f(x)
2.0 0.9803
2.2 1.1695
2.4 1.3563
2.5 1.4488
2.7 1.6321
2.9 1.8131
Calcular f(2.1) usando um polinoˆmio de Newton
de grau 2.
Questa˜o 9
Resolva o sistema linear:
 10 2 11 5 1
2 3 10



x1x2
x3

 =

 7−8
6


pelo me´todo de Gauss-Jacobi com x0 =
[0.7,−1.6, 0.6]T e ² = 5× 10−1.
1
Questa˜o 10
Resolva o sistema linear:
 5 1 13 4 1
3 3 6



x1x2
x3

 =

 56
0


pelo me´todo de Gauss-Seidel com x0 = [0, 0, 0]T e
² = 5× 10−1.
Questa˜o 11 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´ıcio 3.17]
(a) Trabalhando com arredondamento para dois
d´ıgitos significativos em todas as operac¸o˜es,
resolva o sistema linear abaixo pelo me´todo
da Eliminac¸a˜o de Gauss, sem e com pivote-
amento parcial. Discuta seus resultados:
[
0.0003 3
1 1
] [
x1
x2
]
=
[
2.0001
1
]
(b) Refac¸a o exerc´ıcio usando arredondamento
para treˆs d´ıgitos significativos.
Questa˜o 12
Seja f(x) dada na forma:
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
(a) Obter f(0.47) usando um polinoˆmio de grau
2.
(b) Deˆ uma estimativa para o erro cometido.
Questa˜o 13 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´ıcio 5.1]
Dada a tabela abaixo,
(a) Calcule e3.1 usando um polinoˆmio de inter-
polac¸a˜o sobre treˆs pontos.
(b) Deˆ um limitante para o erro cometido.
x ex
2.4 11.02
2.6 13.46
2.8 16.44
3.0 20.08
3.2 24.53
3.4 29.96
3.6 36.59
3.8 44.70
Questa˜o 14 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´ıcio 5.9]
(a) Construa a tabela de diferenc¸as divididas
com os dados
x ex
0.0 -2.78
0.5 -2.241
1.0 -1.65
1.5 -0.594
2.0 1.34
2.5 4.564
(b) Estime o valor de f(1.23) da melhor maneira
poss´ıvel, de forma que se possa estimar o
erro cometido.
(c) Justifique o grau do polinoˆmio que voceˆ es-
colheu para resolver o item (a).
Questa˜o 15
(a) Qual e´ o tipo de me´todo mais indicado para
a resoluc¸a˜o de sistemas lineares esparsos e
de grande porte. Por queˆ?
(b) Porque e´ importante utilizar a estrate´gia da
pivotac¸a˜o parcial em me´todos diretos?
(c) Qual e´ a condic¸a˜o suficiente para a con-
vergeˆncia dos me´todos iterativos de Jacobi
e Gauss-Seidel? E a condic¸a˜o necessa´ria?
(d) Entre o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss e
a fatorac¸a˜o LU, qual o mais indicado para
o ca´lculo de A−1? Justifique sua resposta.
[Ruggiero e Lopes, 2009; Exerc´ıcio 3.11]
(e) Dados n + 1 pontos de interpolac¸a˜o
(x0, y0), . . . , (xn, yn), desejamos obter uma
aproximac¸a˜o em x∗ ∈ (x0, xn). Qual das for-
mas do obter o polinoˆmio interpolador pro-
duz o resultado mais preciso, Newton ou La-
grange? Por queˆ?
Refereˆncia
1. F. F. Campos Filho. Algoritmos Nume´ricos.
LTC, Segunda Edic¸a˜o, 2007.
2. M. A. G. Ruggiero e V. L. da R. Lopes.
Ca´lculo Nume´rico: Aspectos Teo´ricos Com-
putacionais. Pearson Makron Books, Se-
gunda Edic¸a˜o, 2009.
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