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DisciplinaAlgoritmos Numéricos33 materiais776 seguidores
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Universidade Federal do Esp´\u131rito Santo
Departamento de Informa´tica
Algoritmos Nume´ricos 2011/2
Profa. Claudine Badue
Lista de Exerc´\u131cios 1
Questa\u2dco 1 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.11]
(a) Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de
eliminac¸a\u2dco de Gauss, sem pivotac¸a\u2dco parcial
e usando 3 casas decimais.\uf8ee
\uf8f0 1 2 4\u22123 \u22121 4
2 14 5
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 138
50
\uf8f9
\uf8fb
(b) Verificar tambe´m a unicidade e exatida\u2dco da
soluc¸a\u2dco.
Questa\u2dco 2 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.12]
(a) Resolver o sistema abaixo pelo me´todo de
eliminac¸a\u2dco de Gauss, com pivotac¸a\u2dco parcial
e usando 3 casas decimais.\uf8ee
\uf8f0 \u22122 3 12 1 \u22124
4 10 \u22126
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 \u22125\u22129
2
\uf8f9
\uf8fb
(b) Verificar tambe´m a unicidade e exatida\u2dco da
soluc¸a\u2dco.
Questa\u2dco 3 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.16]
(a) Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da
decomposic¸a\u2dco LU , sem pivotac¸a\u2dco parcial.
Efetuar os ca´lculos utilizando apenas 4 casas
decimais.\uf8ee
\uf8f0 2 6 \u221231 3.001 2
4 \u22121 9
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 59
29
\uf8f9
\uf8fb
(b) Verificar a unicidade e exatida\u2dco da soluc¸a\u2dco.
Questa\u2dco 4 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.19]
(a) Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da
decomposic¸a\u2dco LU , com pivotac¸a\u2dco parcial.
Efetuar os ca´lculos utilizando apenas 4 casas
decimais.\uf8ee
\uf8f0 1 \u22124 \u22121\u22122 9 3
0 1 1
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 12
4
\uf8f9
\uf8fb
(b) Verificar a unicidade e exatida\u2dco da soluc¸a\u2dco.
Questa\u2dco 5 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.27]
Mostrar como calcular a inversa de uma matriz
utilizando a decomposic¸a\u2dco LU com pivotac¸a\u2dco par-
cial.
Questa\u2dco 6 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 2.29]
Calcular a inversa da matriz A pela decomposic¸a\u2dco
LU com pivotac¸a\u2dco parcial, sendo
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 6 42 \u22123 1
5 5 8
\uf8f9
\uf8fb
Questa\u2dco 7 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 3.8]
Seja a tabela
x f(x)
1.0 0.8415
1.3 1.2526
1.7 1.6858
2.0 1.8186
Calcular f(1.1) usando um polino\u2c6mio de Lagrange
de grau 2.
Questa\u2dco 8 [Campos, 2007; Exerc´\u131cio 3.11]
Considere a tabela
x f(x)
2.0 0.9803
2.2 1.1695
2.4 1.3563
2.5 1.4488
2.7 1.6321
2.9 1.8131
Calcular f(2.1) usando um polino\u2c6mio de Newton
de grau 2.
Questa\u2dco 9
Resolva o sistema linear:\uf8ee
\uf8f0 10 2 11 5 1
2 3 10
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 7\u22128
6
\uf8f9
\uf8fb
pelo me´todo de Gauss-Jacobi com x0 =
[0.7,\u22121.6, 0.6]T e ² = 5× 10\u22121.
1
Questa\u2dco 10
Resolva o sistema linear:\uf8ee
\uf8f0 5 1 13 4 1
3 3 6
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0x1x2
x3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 56
0
\uf8f9
\uf8fb
pelo me´todo de Gauss-Seidel com x0 = [0, 0, 0]T e
² = 5× 10\u22121.
Questa\u2dco 11 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´\u131cio 3.17]
(a) Trabalhando com arredondamento para dois
d´\u131gitos significativos em todas as operac¸o\u2dces,
resolva o sistema linear abaixo pelo me´todo
da Eliminac¸a\u2dco de Gauss, sem e com pivote-
amento parcial. Discuta seus resultados:
[
0.0003 3
1 1
] [
x1
x2
]
=
[
2.0001
1
]
(b) Refac¸a o exerc´\u131cio usando arredondamento
para tre\u2c6s d´\u131gitos significativos.
Questa\u2dco 12
Seja f(x) dada na forma:
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
(a) Obter f(0.47) usando um polino\u2c6mio de grau
2.
(b) De\u2c6 uma estimativa para o erro cometido.
Questa\u2dco 13 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´\u131cio 5.1]
Dada a tabela abaixo,
(a) Calcule e3.1 usando um polino\u2c6mio de inter-
polac¸a\u2dco sobre tre\u2c6s pontos.
(b) De\u2c6 um limitante para o erro cometido.
x ex
2.4 11.02
2.6 13.46
2.8 16.44
3.0 20.08
3.2 24.53
3.4 29.96
3.6 36.59
3.8 44.70
Questa\u2dco 14 [Ruggiero e Lopes, 2009;
Exerc´\u131cio 5.9]
(a) Construa a tabela de diferenc¸as divididas
com os dados
x ex
0.0 -2.78
0.5 -2.241
1.0 -1.65
1.5 -0.594
2.0 1.34
2.5 4.564
(b) Estime o valor de f(1.23) da melhor maneira
poss´\u131vel, de forma que se possa estimar o
erro cometido.
(c) Justifique o grau do polino\u2c6mio que voce\u2c6 es-
colheu para resolver o item (a).
Questa\u2dco 15
(a) Qual e´ o tipo de me´todo mais indicado para
a resoluc¸a\u2dco de sistemas lineares esparsos e
de grande porte. Por que\u2c6?
(b) Porque e´ importante utilizar a estrate´gia da
pivotac¸a\u2dco parcial em me´todos diretos?
(c) Qual e´ a condic¸a\u2dco suficiente para a con-
verge\u2c6ncia dos me´todos iterativos de Jacobi
e Gauss-Seidel? E a condic¸a\u2dco necessa´ria?
(d) Entre o me´todo da eliminac¸a\u2dco de Gauss e
a fatorac¸a\u2dco LU, qual o mais indicado para
o ca´lculo de A\u22121? Justifique sua resposta.
[Ruggiero e Lopes, 2009; Exerc´\u131cio 3.11]
(e) Dados n + 1 pontos de interpolac¸a\u2dco
(x0, y0), . . . , (xn, yn), desejamos obter uma
aproximac¸a\u2dco em x\u2217 \u2208 (x0, xn). Qual das for-
mas do obter o polino\u2c6mio interpolador pro-
duz o resultado mais preciso, Newton ou La-
grange? Por que\u2c6?
Refere\u2c6ncia
1. F. F. Campos Filho. Algoritmos Nume´ricos.
LTC, Segunda Edic¸a\u2dco, 2007.
2. M. A. G. Ruggiero e V. L. da R. Lopes.
Ca´lculo Nume´rico: Aspectos Teo´ricos Com-
putacionais. Pearson Makron Books, Se-
gunda Edic¸a\u2dco, 2009.
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