capitulo 5
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37.
Sendo D o evento \u201co parafuso encontrado é defeituoso\u201d, temos
=
Problema 38
Seja X: número de peças com duração inferior a 20 horas. Usando os mesmos argumentos usados no problema 31 podemos escrever:
Problema 39.
Vamos indicar a ordem de compra dos carros através de índices ao lado das marcas. São dados
.
Temos que
.
Mas
=
;
=
e
=
Logo,
Como
e
então
Problema 40.
Problema 41.
Problema 42.
Os resultados obtidos são muito próximos, pois é grande o número de empregados na empresa, de modo que não faz grande diferença se a seleção for feita com ou sem reposição.
Problema 43.
Representando o espaço amostral por (, temos
.
Problema 44.
O enunciado fornece os seguintes dados:
;
;
.
Sendo X = RRRMMMMM, tem-se:
;
;
.
E logo,
,
Problema 45
Para que pelo menos um dos dois próximos artigos selecionado seja de segunda qualidade, ou ambos são, ou apenas o próximo artigo é de segunda qualidade, ou apenas o seguinte é de segunda qualidade. Uma vez que já foram retirados b artigos e todos foram de segunda qualidade, atualmente há m itens de primeira qualidade e n - b de segunda, num total de
m + n - b itens ainda para inspeção. Para as duas próximas seleções poderia ocorrer uma das seguintes possibilidades : SS, SP, PS ou PP, portanto a resposta será:
P(SS) + P(SP) + P(PS) = 1- P(PP)
Calculando obtém-se
Problema 46.
Temos, por hipótese, que
. Então,
=
=
=
Problema 47.
=
=
Problema 48.
Os componentes 1 e 2, bem como os componentes 4 e 5, estão ligados em série. Esses dois sub-sistemas estão em paralelo com o componente 3. Assim, a confiabilidade do sub-sistema formado pelos componentes 1, 2 e 3 é dada por
. Logo, a confiabilidade total do sistema é dada por
=
Problema 49.
Como mostra a figura abaixo, esse evento está delimitado por um semi-círculo de raio 1, cuja origem é o ponto (0,0).
Representação gráfica do evento A.
A probabilidade P(A) equivale à área da região A dividida pela área do quadrado todo. Como a área do quadrado é 1, temos que P(A) é a área da região A, ou seja,
O evento B está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do evento B
Vamos então calcular P(B), o que equivale a calcular a área da região B. Uma maneira simples de calcular a área de B é retirar a área do quadrado de lado b da área total, que é 1. Desse modo,.
O evento Bc está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do evento Bc.
Utilizando a definição de probabilidades de eventos complementares,
Problema 50.
Representação gráfica do evento A
Representação gráfica do evento B
Problema 51.
A probabilidade de um evento qualquer A seria definida como a área da região no plano (ou seja, a área de A) dividida pela área do quadrado.
Problema 52.
Problema 53.
Esta probabilidade (representada aqui por p) é o quociente entre o número de amostras em que não há repetição sobre o número total de amostras com reposição. Do problema anterior, tem-se que o número de amostras de tamanho n (obtidas de uma população de tamanho N) em que não ocorrem repetições é dado por (N)n. Assim,
Problema 54.
Considere o caso particular em que N = 5 e n = 2. Do conjunto
, retiram-se amostras de tamanho 2, sem reposição. Os resultados possíveis são:
Como se vê, nesse caso existem 10 =
amostras sem reposição.
Problema 55.
Problema 56.
Portanto, os eventos A e B não podem ser mutuamente exclusivos, pois
.
Problema 57.
O enunciado indica que os componentes 2 e 3 estão ligados em paralelo entre si e em série com o componente 1. Desse modo,
Problema 58.
Os eventos V e
podem ser escritos como
Assim,
(1)
(2)
A partir disso, subtraindo (2) de (1), temos
e logo
Problema 59.
De acordo com o enunciado, tem-se
.
Assim,
Os conjuntos indicados são os seguintes:
.
Desse modo,
;
;
;
Portanto, os eventos são mutuamente independentes, ou seja, são independentes dois a dois, mas não são independentes.
Problema 60.
Para n eventos quaisquer A1, ..., An, (5.10) pode ser escrita como
Problema 61.
Os eventos A1, ..., An são independentes se, e somente se,
Problema 62.
Como já foi visto no problema anterior, a probabilidade de uma amostra ordenada com reposição, de tamanho k, ter todos os elementos distintos é igual a
. Logo, no caso,
ou seja,
.
Problema 63.
,
desprezando os produtos com denominadores (365)2, (365)3, etc.
Problema 64.
Temos que P(A) = 0,20 , P(B) = 0,50 , P(C) = 0,30, P(F | A) = 0,20, P(F | B) = 0,05, P(F | C) = 0,02, sendo F o evento \u201ccontrato futuro em dólares\u201d. Então,
=
Segue que
e
\ufffdPAGE \ufffd
\ufffdPAGE \ufffd18\ufffd
Cap.05 \u2013 Pág.\ufffd PAGE \ufffd18\ufffd
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),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
{(
b
c
a
c
b
a
c
c
a
a
c
a
c
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
a
a
a
\uf03d
\uf057
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