1ª provinha de cálculo - Micro 1

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EAE 0203 - Noturno - 1° semestre de 2011
25 de fevereiro de 2011
Professor Ricardo A. Madeira
Prova de Cálculo
(1) No plano cartesiano (912), encontre a equação da reta que passa por (2,3) e é paralela à reta
que passa pelos pontos (5,4) e (1,6). 91(,
(2) Ache os intervalos nos quais t é crescente/decrescente, os intervalos abertos em que [ é
côncava/convexa e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
(a) [(x) = x2 - 5x + 6
(b) [(x) = (x + 2)3 &.
G) r cada parte, esboce uma curva contínua y = [(x) com as propriedades indicadas.
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j
(5) Para a função [(x,y) = x3 + 3xy2 + 3y2 - 15x + 2 encontre os pontos críticos e
determine sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela). Encontre também a equação da
curva de nível correspondente a [ = 10. !:Jt(
(6) Para a equação F(x,y,z) = zyx + x2zy2 + y3z - 42 = O, encontre :~ quando (x,y,z) =
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~- (1,2,3). .
1 2
(7) Encontre os valores de x e y que maximizam a função [(x, y) = x3"y3"sujeita à condição
,<:"'1"\ 3x + 2y = 2sJMostre que para tais valores de x e y a condição dy = - ~é verdadeira.
I dx 2I ~lem disso, verifique como o valor ótimo da função [(x, y) reage a um relaxamento da
I1 restrição (dica: a restrição 3x + 2y = 25 pode ser expressa de forma genérica comog(x, y) = b. Um relaxamento da restriçãe significa um a;tm.ento de b. Desta forma, encontredf(x*,y*) 1. I., di J /. J, /J). li) JUJ/1 J. IA ·/f· II/eu Ae t e'(" .tc. o I.' /1 _"i!} A,,,J ..I ·b ./W{ "<. '" v( " .,,,7...,,I,{;U,) J
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1
EAE 0203 - Notumo - r semestre de 2011
25 de fevereiro de 2011
Professor Ricarde A. Madeira
Resolução da Prova de Cálculo
(1) No plano cartesiano (iR2), encontre a equação da reta que passa por (2,3) e é paralela à reta
que passa pelos pontos (5,4) e (1,6).
Como as retas são paralelas, elas possuem a mesma inclinação. Por isso, primeiro acharemos a
inclinação da reta que passa por (5,4) e (1,6). Isso é feito resolvendo o sistema:
{a + 5b == 4a+b=6
Onde a denota o intercepto e b o coeficiente angular. Subtraindo a primeira equação do sistema da
segunda, obtemos: b = -0,5.
Para acharmos a reta pedida, basta encontrar seu intercepto c: y = c - O,5x. Usando o ponto (2,3),
temos 3 = c - 0,5(2) ~ c = 4.
Portanto, a reta pedida é y = 4 - 0,5x.
(2) Ache os intervalos nos quais f é crescente/decrescente, os intervalos abertos em que fé
côncava/convexa e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
(a) f(x) = x2 - 5x + 6
Para avaliar a inclinação de uma função olhamos para sua derivada primeira.
f'(x) = 2x - 5
f' (x) == O ~ x = 2,5
f'(x) > O ~x > 2,5
f'(x) < O ~ x < 2,5
Assim, f é decrescente em (-00,2,5) e crescente em (2,5, +00).
Para avaliar a concavidade de uma função olhamos para sua derivada segunda.
f"(x) == 2, que é maior que zero para todo x no domínio de f. Desta forma, f é globalmente
~
o vexa (convexa em (-00, +00)).
não tem pontos de inflexão.
J Complemento: O ponto em que f' (x) = O trata-se de um mínimo. Isso pode ser visto de duas
formas: pela derivada segunda e pelas derivadas primeiras nos pontos ao redor de x = 2,5.
(b) f(x) = (x + 2)3
f'(x) = 3(x + 2)2
f'(x) = O ~ x = -2
f'(x) > O ===? X =1= -2
f é crescente em (-00, +00).
f"(X) = 6(x + 2)
f"(x) > O ~ x> -2
f"(x) < O~x <-2
f é côncava em (-00,-2) e convexa em (-2,+00).
O ponto (-2,0) é ponto de inflexão. Isso pode ser visto de duas formas: pela mudança de sinal da
derivada segunda, que é negativa antes do ponto e positiva depois; também podemos ver que
(-2,0) é ponto de mínimo de f'(x), indicando que a taxa de crescimento de f primeiro é
decrescente e depois se toma crescente.
t '\IYIí Il~Yn", 'rí\t'x,,\\r,(J
(3) Em cada parte, ~boce um a co tínua y = f(x) com as propriedades indicadas.
(a) f(2) = 4,f'(2) = O, "(x) > x.
C0YV \ C' \j,>\
2
2
(b) feZ) = 4,f"(x) < Opara x "* Z e lirnX-+2+ f'(x) = +oo,lirnX-+2- f'(x) = -00 .
.~ cQWJ \J >\ -'.:t ~
4
2
I
I
(4) U(XlJ ... ,XN) = exp(Lf=l aí ln x.). Calcule ;~ie a::::X/ i"* j.
Primeiro, note que
U(Xl,···,XN)= exp(t ai1nXi) = eL~lailnxí = eallnxleazlnxz ... eaNlnxN
L=1
= elnxlulelnxzuz elnxNuN = X alx az X aN... 1 2 ... N
Portanto,
(5) Para a função f(x,y) = x3 + 3xy2 + 3y2 - 15x + 2 encontre os pontos críticos e
determine sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela). Encontre também a equação da
curva de nível correspondente a f = 10.
Os pontos críticos são pontos nos quais as derivadas primeiras são nulas ou f é não diferenciável.
Como a função f(x, y) é sempre diferenciável, vamos procurar os pontos com derivadas nulas.
Ix = 3x2 + 3y2 - 15 = O~ x2 + y2 = 5
fy = 6xy + 6y = O =} y(x + 1) = O
Se x = -1, Y = ±2 resolvem o sistema; se y = O, x = ±..f5 também resolvem o sistema. Portanto,
temos quatro pontos críticos: (-1,2), (-1, -2), (JS,O), (-JS, O).
Condição de segunda ordem:
{xx = 6x; {yy = 6x + 6; {Xy = {YX = 6y
Matriz hessiana:
[6X 6Y]H(x,y) = 6y 6x + 6
Temos que avaliar a matriz hessiana em cada um dos quatro pontos críticos para determinar de que
tipo são.
[-6 12]H(-l,2) = 12 O
det[H(-l,2)] = -144 < O
(-1,2) é ponto de sela
H(-l,-2) = L~t2-~2J
det[H(-l,-2)] = 144> O
Sendo o determinante positivo, devemos olhar o sinal de {xxC -1,-2), que é negativo, indicando
que (-1, - 2) é ponto de máximo.
H(-J5, O) = [6.J5 O]
O 6..J5+ 6
det[H(J5,O)] == 260 > O
i:(v'5, O) > O
H(-VS, O) = [-6.J5 O· ]
O -6...Js+ 6
det[H(VS, O)] == 99 > O
i:(--[5, O) < O
( ...;s, O) é ponto de mínimo.
(--./5, O) é ponto de máximo.
Curva de nível correspondente a { = 10:
y=
-x3 + 15x + 8
3x+3
(6) Para a equação F(x,y,z) = zyx + x2zy2 + y3z - 42 = O, encontre :~ quando (x,y,z) =
(1,2,3).
Repare que a equação acima satisfaz o teorema da função implícita, ou seja, a função F possui
derivadas parciais contínuas Fy, Fx e Fz; e no ponto (1,2,3), a equação é satisfeita e Fy *' O.Desta
forma, existe um função implícita y = f (x, z) e podemos calcular a derivada parcial pedida usando
a regra da função implícita
õy Fx (zy + 2xzy2)
ox = - Fy = - zx + 2x2zy + 3y2z
No ponto (x,y, z) = (1,2,3),
ay 30
-=--
ax 51
Caso você não se lembrasse da regra da função implícita, era possível calcular :~ usando a regra da
cadeia Como y = {(x, z), ao derivarmos os dois lados de F(x, y, z) = Oem relação a x, obtemos:
aF
aF + aF ay = O => ay = _ ax
àx õy õx õx oF
oy
3
4
1 2
(7) Encontre os valores de x e y que maximizam a função [(x, y) = x"3y"3sujeita à condição
3x + 2y = 25. Mostre que para tais valores de X e y a condição dy = _! é verdadeira.dx 2
Além disso, verifique como o valor ótimo da função [(x, y) reage a um relaxamento da
restrição (dica: a restrição 3x + 2y = 25 pode ser expressa de forma genérica como
g(x, y) = b. Um relaxamento da restrição significa um aumento de b. Desta forma, encontre
d!(X*.y*\
db
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição podemos usar o método do multiplicador de
Lagrange. Pelo método, devemos montar a função de Lagrange ou Lagrangeano L(l,x, y):
1 2
L(1,x,y) = x'3y'3 + 1(25 - 3x - 2y)
E em seguida procedemos como se a otimização fosse não condicionada e encontramos (1, x, y)
que maximizaL(1,x,y).
Condição de primeira ordem:
LÃ = 25 - 3x - 2y ;:: O
1 2 2
L = - X -'3y'3 - 31 = Ox 3
2 1 1t;= "3 x'3y -'3 - 21 ;:: O
Isolando o 1 nas duas últimas equações e igualando-os:
1221111
1= g-x3"y'3 = 3"x"3y-"3 ~ 3"Y = X
Substituindo x na restrição (ou primeira equação da condição de primeira ordem):
1 25
25 = 33" y + 2y = 3y => y* =3
Portanto,
X* =.! 25 = 25
3' 3 9
Para encontrarmos dy podemos usar a regra da função implícita.
dx
a[
dy ãX 1 Y .
-= --= --.- (c)dx õ] 2 x
Oy
Repare que, no ótimo, a equação [(x, y) - [tx", y*) = O define implicitamente y = B(X). E tal
equação atende ao teorema da função implícita [(x* I y*) é a função [(x, y) avaliada no seu ponto
de máximo. Repare também que f(x,y) = f(x*,y*) é uma curva de nível e a partir dela podemos,
no caso presente, isolar y, obtendo:
3
[(x*,y*)"Z
Y = 1x"Z
5
Essa função pode ser derivada em relação a x para obtermos:
3
dy 1 (fCX*, y*))2 "
dx=-Z' x eu)
Fazendo (x, y) = (:5, 235), obtemos a partir das expressões (i) e (ii) o mesmo resultado:
dy 3
-=--
dx 2
Vale citar que, em (ii), temos que fazer mais contas, sendo mais computacionalmente eficiente usar
a regra da função implícita,
O último item pedido na questão, verificar como o valor ótimo da função f (x, y) reage a um
relaxamento da restrição, nada mais é do que uma aplicação do teorema do envelope, Pelo teorema
do envelope, basta derivarmos L(À, x,y) em relação a b e avaliarmos L no ponto ótimo (À*,x*,y*).
aL(À* x* y*)" = À*-O 23õb '
Lembrando que L(À,x,y) = f(x,y) +À(b - g(x,y»), onde g(x,y) = 3x + 2y.
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