capitulo 10

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Bussab&Morettin		Estatística Básica
Capítulo 10
Problema 01.
A opinião dos operários pode estar relacionada com seus horários de chegada.
Parece razoável, já que as alturas devem se distribuir homogeneamente segundo os horários de chegada.
Pode ser que municípios com investimentos menores não retornem os questionários, acarretando um viés na estimativa da porcentagem média da receita investida em lazer.
Não haveria problemas se os supermercados fossem homogêneos quanto à venda de sabão em pó. Porém, pode ser que as regiões tenham potenciais de venda diferentes, independentemente do brinde. 
Problema 03.
Por exemplo: colocar em uma urna 100 fichas, sendo 10 com o número zero, 20 com número 1, 30 com o número 2, 25 com o número 3 e 15 com o número 4. Sortear uma ficha da urna.
	 
	x1
	 
	x2
	0
	1
	2
	3
	4
	P(X2 = x2)
	0
	0,010
	0,020
	0,030
	0,025
	0,015
	0,10
	1
	0,020
	0,040
	0,060
	0,050
	0,030
	0,20
	2
	0,030
	0,060
	0,090
	0,075
	0,045
	0,30
	3
	0,025
	0,050
	0,075
	0,063
	0,038
	0,25
	4
	0,015
	0,030
	0,045
	0,038
	0,023
	0,15
	P(X1 = x1)
	0,10
	0,20
	0,30
	0,25
	0,15
	1
Problema 04.
	x1
	x2
	P(X1= x1,X2= x2)
	
	
	X1
	X2
	P(X1= x1,X2= x2)
	
	1
	1
	 1/25
	0
	
	5
	1
	 2/25
	4
	1
	3
	 1/25
	1
	
	5
	3
	 2/25
	1
	1
	5
	 2/25
	4
	
	5
	5
	 4/25
	0
	1
	7
	 1/25
	9
	
	5
	7
	 2/25
	1
	3
	1
	 1/25
	1
	
	7
	1
	 1/25
	9
	3
	3
	 1/25
	0
	
	7
	3
	 1/25
	4
	3
	5
	 2/25
	1
	
	7
	5
	 2/25
	1
	3
	7
	 1/25
	4
	
	7
	7
	 1/25
	0
Distribuição amostral de 
	
	0
	1
	4
	9
	
	7/25
	10/25
	6/25
	2/25
Problema 05.
; 
.
, i=1,2; 
, i=1,2.
	 
	0,0
	0,5
	1,0
	1,5
	2,0
	2,5
	3,0
	3,5
	4,0
	
	0,0100
	0,0400
	0,1000
	0,1700
	0,2200
	0,2100
	0,1525
	0,0750
	0,0225
 
; 
.
	
 
	
	0,0
	0,5
	2,0
	4,5
	8,0
	
	0,225
	0,385
	0,250
	0,110
	0,030
	 
	0,00
	0,25
	1,00
	2,25
	4,00
	
	0,225
	0,385
	0,250
	0,110
	0,030
; 
.
; 
.
Se desejarmos um estimador não-viciado, devemos utilizar 
. Se desejarmos o estimador com a menor variância, devemos utilizar 
.
�
Problema 06.
 
	
	0,00
	0,33
	0,67
	1,00
	1,33
	1,67
	2,00
	2,33
	2,67
	3,00
	3,33
	3,67
	4,00
	
	0,001
	0,006
	0,021
	0,052
	0,098
	0,147
	0,181
	0,182
	0,149
	0,097
	0,048
	0,017
	0,003
	
; 
.
Menor, pois a variância de 
 seria menor, fazendo com que sua distribuição fosse mais concentrada em torno de 
.
Problema 07.
 
	
Problema 08.
.
; 
.
Problema 09.
Se a máquina estiver regulada: 
Se o peso médio desregulou-se para 500g: 
Problema 10.
; 
.
; 
.
Problema 11.
	
	0
	0,125
	0,25
	0,375
	0,5
	0,625
	0,75
	0,875
	1
	
	0,1678
	0,3355
	0,2936
	0,1468
	0,0459
	0,0092
	0,0011
	0,0001
	0,0000
	
	0
	0,125
	0,25
	0,375
	0,5
	0,625
	0,75
	0,875
	1
	
	0,1337
	0,2993
	0,3221
	0,1666
	0,0414
	0,0049
	0,0003
	0,0000
	0,0000
Obs.: 
, onde 
e 
.
Razoável, pois n é pequeno, 
Para p tendendo a 1/2.
Problema 12.
: número de peças defeituosas na amostra
Probabilidade exata
Se a produção estiver sob controle: 
Aproximação pela distribuição normal
Se a produção estiver sob controle: 
, aproximadamente
Problema 13.
: número de peças defeituosas na amostra; 
Probabilidade exata 
Aproximação pela distribuição normal
, aproximadamente; 
.
Problema 14.
 
	
	0
	1
	4
	9
	
	 7/25
	 2/5 
	 6/25
	 2/25
	
	
	
	
, ou seja, 
é um estimador não-viciado da variância populacional.
	U
	0,00
	2,00
	3,00
	3,67
	4,00
	4,33
	5,00
	6,00
	
	 11/125
	 6/125
	 6/25 
	 6/125
	 24/125
	 12/125
	 18/125
	 18/125
Obs.: Assumindo que U=0 nos casos em que os 3 elementos da amostra forem iguais.
	
	1,0
	1,7
	2,3
	3,0
	3,7
	4,3
	5,0
	5,7
	6,3
	7,0
	
	1/125
	3/125
	9/125
	16/125
	24/125
	27/125
	23/125
	3/25 
	6/125
	1/125
	
;
	
.
	
;
	
.
U é viciado e tem variância maior que 
.
Problema 15.
; 
; 
.
	
	6,0
	7,5
	9,0
	10,5
	12,0
	13,5
	15,0
	16,5
	18,0
	
	0,01
	0,04
	0,12
	0,2
	0,26
	0,2
	0,12
	0,04
	0,01
	md
	6,0
	7,5
	9,0
	10,5
	12,0
	13,5
	15,0
	16,5
	18,0
	
	0,01
	0,04
	0,12
	0,2
	0,26
	0,2
	0,12
	0,04
	0,01
. 
Qualquer um, pois as duas distribuições amostrais são iguais.
	 Z
	-2,58
	-1,94
	-1,29
	-0,65
	0,00
	0,65
	1,29
	1,94
	2,58
	
	0,01
	0,04
	0,12
	0,2
	0,26
	0,2
	0,12
	0,04
	0,01
; 
.
	
	0,0
	4,5
	18,0
	40,5
	72,0
	
	0,26
	0,4
	0,24
	0,08
	0,02
; 
 
	t0
	-3,0
	-1,0
	-0,3
	0,0
	0,3
	1,0
	3,0
	
	0,04
	0,24
	0,04
	0,1
	0,04
	0,24
	0,04
Problema: t não pode ser calculado quando S=0. Assim, 
, e não 1.
; 
 
Problema 16.
	
	
Para amostras grandes, a distribuição de t aproxima-se da distribuição de Z, obtida em (b).
Problema 17.
.
Problema 18.
A função 
 é decrescente no intervalo [0,5;1]. Logo, para 
, 
. Assim,
.
Problema 19.
.
	assume valor máximo quando p = 1/2. Logo: 
.
Problema 20.
Seja 
. 
A função 
 é crescente para p no intervalo [0;0,5] e decrescente para p no intervalo [0,5;1]. Logo, 
.
.
Problema 21.
 
	Tamanhos de amostra
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Prob. de ganhar o prêmio
	30,9%
	24,0%
	19,3%
	15,9%
	13,2%
	11,0%
	9,3%
	7,9%
	6,7%
	5,7%
n = 1 
Problema 22.
;
Problema 23.
; 
.
.
 
.
.
. 
Problema 24.
Problema 25.
Problema 26.
S: nota do teste. Se o estudante estiver adivinhando as respostas: 
.
Problema 27.
S: quantidade de sementes que germinam em um pacote; 
Probabilidade exata
Aproximação pela distribuição normal
, aproximadamente
Problema 28.
Problema 29.
Em elaboração
Problema 32.
Pelo Teorema do Limite Central, para n e m grandes: 
 e 
. Essas distribuições serão exatas se X e Y tiverem distribuição normal. 
É a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.
; 
.
Normal, com média e variância dadas em (c), pois D é uma diferença entre variáveis com distribuição (aproximadamente) normal.
Problema 33.
; 
; 
	
 
Problema 34.
; 
; 
Problema 35.
; 
. Logo: 
.
Problema 36.
	
	2
	3
	4
	5
	6
	
	0,1
	0,2
	0,3
	0,2
	0,2
; 
; 
Problema 39.
; 
Problema 40.
Obs.: Os resultados abaixo referem-se a uma particular amostra obtida no Excel.
 Média
	Classe
	Freqüência
	 até 160
	0
	160,0 |-- 161,2
	1
	161,2 |-- 162,4
	0
	162,4 |-- 163,6
	2
	163,6 |-- 164,8
	10
	164,8 |-- 166,0
	14
	166,0 |-- 167,2
	24
	167,2 |-- 168,4
	20
	168,4 |-- 169,6
	16
	169,6 |-- 170,8
	6
	170,8 |-- 172,0
	3
	172,0 |-- 173,2
	4
	173,2 |-- 174,4
	0
	mais de 174,4
	0
Medidas resumo
	Mínimo
	1o quartil
	Mediana
	3o quartil 
	Máximo
	Média
	Variância
	161,0
	165,7
	167,0
	168,5
	173,1
	167,2
	5,3
 Mediana
	Classe
	Freqüência
	 até 160
	0
	160,0 |-- 161,2
	0
	161,2 |-- 162,4
	5
	162,4 |-- 163,6
	3
	163,6 |-- 164,8
	11
	164,8 |-- 166,0
	10
	166,0 |-- 167,2
	13
	167,2 |-- 168,4
	26
	168,4 |-- 169,6
	11
	169,6 |-- 170,8
	11
	170,8 |-- 172,0
	6
	172,0 |-- 173,2
	0
	173,2|-- 174,4
	3
	mais de 174,4
	1
Medidas resumo
	Mínimo
	1o quartil
	Mediana
	3o quartil 
	Máximo
	Média
	Variância
	161,5
	165,8
	167,5
	169,4
	174,8
	167,5
	7,8
A distribuição amostral da mediana apresenta uma variabilidade maior em torno da média (igual à mediana) populacional.
Variância, com n-1 no denominador.
	Classe
	Freqüência
	até 1,5
	1
	1,5 |-- 8,7
	9
	8,7 |-- 15,9
	19
	15,9 |-- 23,0
	22
	23,0 |-- 30,2
	12
	30,2 |-- 37,4
	16
	37,4 |-- 44,6
	9
	44,6 |-- 51,8
	7
	51,8 |-- 59,0
	2
	59,0 |-- 66,2
	2
	Mais que 66,2
	1
 Medidas resumo
	Mínimo
	1o quartil
	Mediana
	3o quartil 
	Máximo
	Média
	Variância
	1,48
	12,86
	21,92
	34,57
	73,38
	25,65
	226,60
Problema 41.
	j
	
	
	
	1
	3
	3,00
	0,00
	2
	5
	4,00
	2,00
	3
	2
	3,33
	2,33
	4
	6
	4,00
	3,33
	5
	4
	4,00
	2,50
Problema 42.
; 
.
Problema 43.
Idêntico, substituindo-se S2 no passo [3] por 
.
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Cap.10 – Pág.� PAGE �2�
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