capitulo 11

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Bussab&Morettin		Estatística Básica
Capítulo 11
Problema 01
Nº de sucessos
0
1
2
3
4
5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,3277
0,4096
0,2048
0,0512
0,0064
0,0003
; 
.
Problema 02
n
10
25
100
400
Limite superior de 
0,025
0,01
0,0025
0,000625
Problema 03
 
; 
; 
; 
.
= resultado da 1a prova
; 
; 
 
; 
.
O estimador 
 não é bom porque só assume os valores 0 ou 1, dependendo do resultado da 1a prova. Além disso, 
, ou seja, sua variância é maior que a variância de 
, para todo n maior que 1.
Problema 04
 e 
. 
Logo, 
é um estimador consistente de p.
 e 
, para 
e 
. 
Logo, 
não é um estimador consistente de p.
Problema 05
Propriedades dos estimadores
Estimador
Viés
2
0
Variância
5
10
EQM
9
10
O estimador 
 é viesado, enquanto que 
 é não-viesado. A mediana e a moda de 
 e 
 são iguais ou muito próximas de 
. Além disso, 
, enquanto que 
. A única medida realmente discrepante é a variância: 
. Como o viés de 
 é pequeno e sua variância a metade da variância de 
, pode-se considerar que 
 é um estimador melhor que 
.
Problema 06
t
1
3
9
16
25
36
49
2
5
1
4
9
16
25
3
6
0
1
4
9
16
4
8
4
1
0
1
4
5
16
100
81
64
49
36
 
114
103
102
111
130
 parece ser mínimo para 
 aproximadamente igual a 7,5.
Logo, 
. Esse valor é próximo àquele visualizado no gráfico do item (a).
Problema 07
 
Igualando a zero, temos:
.
Logo, os estimadores de mínimos quadrados de 
 e 
são dados, respectivamente, por
 e 
.
Na amostra observada, obtemos as seguintes estimativas:
 e 
.
A inflação prevista pelo modelo ajustado é
.
Sim, pois a inflação cresceu exponencialmente (e não linearmente) no período observado.
Problema 08
Com cálculos análogos aos feitos no Exercício 7, substituindo 
 por 
, obtemos que
 e 
.
Problema 09
;
.
Logo, o modelo ajustado é dado por
.
Problema 10
Função de verossimilhança da distribuição Binomial(5;p)
p
 1/5
 2/5
 3/5
 4/5
L(p)
0,005
0,023
0,035
0,020
Problema 11
.
Função de verossimilhança
;
Função log-verossimilhança
;
Maximizando em relação a p:
.
Logo, o EMV para p é dado por
.
.
Sim, poderíamos estimar p = P(coroa) lançando a moeda n vezes e contando o número de coroas (m). Nesse caso, 
.
Problema 12
Função densidade de probabilidade
;
Função de verossimilhança
;
Função log-verossimilhança
;
Maximizando em relação a 
:
.
Logo, o EMV de 
 é dado por:
	.
Problema 13
Função de probabilidade
;
Função de verossimilhança
;
Função de log-verossimilhança
;
Maximizando em relação a 
:
.
Logo, o EMV de 
é dado por:
.
Problema 14.
 
 
 
 
 
Intervalo de confiança
Média amostral
Tamanho da amostra
Desvio padrão da população
Coeficiente de confiança
Limite inferior
Limite superior
170
100
15
95%
1,960
167,06
172,94
165
184
30
85%
1,440
161,82
168,18
180
225
30
70%
1,036
 
177,93
182,07
Problema 15
 
 
.
 
.
Suposições: Amostragem aleatória simples; tamanho amostral grande.
Problema 16
�� EMBED Equation.3 .
.
Problema 17
;
.
.
Problema 18
.
Intervalo conservador: 
Problema 19
.
Intervalo conservador: 
.
Problema 20
Supondo que a proporção na amostra real seja próxima de p:
 
.
Intervalo conservador:
.
Problema 21
.
Intervalo conservador:
.
Interpretação: Se pudéssemos construir um grande número de intervalos aleatórios para p, todos baseados em amostras de tamanho n, 95% deles conteriam o parâmetro p.
Utilizando a estimativa da amostra observada (
):
.
Utilizando o valor máximo de p(1-p):
Interpretação: Utilizando o tamanho amostral encontrado, teremos uma probabilidade de 95% de que a proporção amostral difira do verdadeiro valor de p por menos que 2%.
Problema 22
 
Estimador
Propriedades
t
t'
Média
10
9,9
Vício
0,0
-0,1
Variância
4,8
3,79
EQM
4,8
3,8
O estimador t é não-viesado, porém tem variância maior que 
, o qual é viesado. O EQM de 
 é menor que o de t.
Pode-se escolher 
, pois seu vício é pequeno, e sua variância e EQM são bem menores que os de t.
Problema 23
;
.
Problema 24
 
.
Como n é pequeno (n = 9), não seria razoável simplesmente substituir o desvio padrão populacional pelo amostral. Pode-se usar o desvio padrão amostral s, e substituir a estatística z pela estatística t, obtida de uma distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade. 
Problema 25
Problema 26
;
.
Logo, o modelo ajustado é dado por
.
Novembro (t = 11): 12,49;
Dezembro (t = 12): 13,21;
Julho (t = 19): 18,23;
Agosto (t = 20): 18,95.
Problema 27
.
Intervalo conservador:
.
 
.
Não parece factível, pois o tamanho amostral é muito grande. Deve-se aumentar e ou diminuir 
. 
Problema 28
.
.
Problema 29
.
Problema 30
Problema 31
 e 
, independentes.
Logo: 
.
Portanto, o intervalo de confiança para 
 é dado por:
.
Problema 32
;
.
. 
O zero não está contido no intervalo. Logo, há evidências de que as duas médias são diferentes.
Problema 33
Problema 34
.
Logo, 
é consistente.
Problema 35
, pois 
.
Problema 36
Problema 37
Função densidade de probabilidade
;
Função de verossimilhança
Função log-verossimilhança
;
Maximizando em relação a 
 e 
:
.
Logo, os EMV’s de 
e 
 são dados por:
 e 
.
Problema 38
. Logo, 
é um estimador não-viciado para 
.
Como 
é um estimador não-viesado:
.
 é consistente, pois 
 é não-viesado e 
.
Problema 39
 
. Logo, M é um estimador viesado. Seu viés é dado por
.
Logo: 
.
Como 
é não-viesado:
.
Mas: 
, onde
�� EMBED Equation.3 .
Logo:
Temos que:
. Além disso, 
 é não-viciado. Logo, 
 é um estimador consistente. 
Problema 40
n
1
2
10
50
100
1,000
0,750
0,250
0,058
0,029
Logo, para n grande, a variância de 
é muito menor que a variância de 
.
Problema 41
Temos que 
.
.
Usando 
como estimador de 
:
Usando 
 como estimador de 
:
.
.
Serão aproximadamente iguais, pois para n grande, 
.
Problema 42
; 
.
 
Estimador
Limite inferior
Limite superior
4,941
5,247
4,944
5,244
M
4,944
5,244
Problema 44
.
Problema 45
;
;
.
	(i)		Logo, os três estimadores são não-viesados.
�� EMBED Equation.3 
(ii)	 Ordenando segundo a eficiência: 
.
Problema 46
Temos que 
 (1º momento populacional). Pelo método dos momentos, a estimativa para 
é dada pelo 1º momento amostral, isto é, 
.
Problema 47
Amostra de bootstrap sorteada
Indivíduo
22
15
74
35
74
78
17
78
87
57
Nota
4,0
7,5
6,5
3,0
6,5
7,0
6,5
7,0
6,5
7,5
Amostra
Notas
Mediana
Desvio Médio
Desvio absoluto mediano
1
3,0
7,0
7,0
3,0
6,5
4,0
6,5
6,5
6,5
7,5
6,5
1,5
1,3
2
4,0
7,5
6,5
3,0
6,5
6,5
6,5
6,5
4,0
6,5
6,5
1,3
0,8
3
6,5
3,0
7,0
7,0
6,5
6,5
7,0
6,5
3,0
6,5
6,5
1,2
0,8
4
7,0
7,0
6,5
7,0
7,5
7,5
7,0
7,5
7,5
6,5
7,0
0,3
0,4
5
6,5
6,5
6,5
7,0
7,5
6,5
4,0
7,0
6,5
4,0
6,5
0,9
0,6
6
7,0
6,5
7,0
7,5
3,0
7,5
3,0
7,0
4,0
7,0
7,0
1,6
1,3
7
6,5
6,5
3,0
7,5
6,5
6,5
7,5
7,5
6,5
7,0
6,5
0,7
0,3
8
7,0
7,0
6,5
4,0
3,0
7,57,0
6,5
3,0
6,5
6,5
1,5
1,2
9
6,5
7,0
3,0
6,5
6,5
6,5
6,5
7,5
4,0
6,5
6,5
1,0
0,5
10
4,0
6,5
6,5
4,0
7,5
7,0
7,0
7,5
3,0
6,5
6,5
1,4
1,3
11
7,5
7,0
3,0
7,5
7,0
7,5
7,0
4,0
7,5
6,5
7,0
1,2
1,1
12
7,5
6,5
3,0
6,5
4,0
3,0
7,5
6,5
4,0
6,5
6,5
1,6
1,5
13
7,5
6,5
6,5
6,5
4,0
7,5
4,0
6,5
7,5
6,5
6,5
0,9
0,7
14
6,5
3,0
6,5
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
6,5
7,0
0,7
0,6
15
7,5
7,0
6,5
7,5
7,5
6,5
7,0
3,0
7,5
7,5
7,3
0,9
0,8
 Desvio padrão
0,3
0,4
0,4
Portanto, as estimativas de bootstrap dos parâmetros de interesse são dadas por:
; 
; 
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Gráf1
		0.00512
		0.02304
		0.03456
		0.02048
p
L(p)
11.1
		Distribuição amostral de p^
		# sucessos		0		1		2		3		4		5
		p^		0.0		0.2		0.4		0.6		0.8		1.0
		P(p^)		0.3277		0.4096		0.2048		0.0512		0.0064		0.0003
		
		E(p^) =		0.2
		Var(p^) =		0.032
11.2
		Var(p^) <= 1/(4n)
		
		n		10		25		100		400
		Limite superior de Var(p^)		0.025		0.01		0.0025		0.000625
11.2
		
Limite superior de Var(p^)
n
Limite superior de Var(p^)
11.5
						Estimadores
						t1		t2
		Resultados da simulação		Média		102		100
				Variância		5		10
				Mediana		100		100
				Moda		98		100
		Propriedades dos estimadores		Viés		2		0
				Variância		5		10
				EQM		9		10
11.6
		a)
						mi
						6		7		8		9		10
		t		yt		(yt-mi)^2		(yt-mi)^2		(yt-mi)^2		(yt-mi)^2		(yt-mi)^2
		1		3		9		16		25		36		49
		2		5		1		4		9		16		25
		3		6		0		1		4		9		16
		4		8		4		1		0		1		4
		5		16		100		81		64		49		36
				S(mi)		114		103		102		111		130
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		S(mi) parece ser mínimo para mi aproximadamente igual a 7,5.
		
		(b)
		ybarra =		7.6
11.6
		
Xbarra
%
Histograma de Xbarra
11.7
		
mi
S(mi)
11.9
		Ano (t)		1967		1969		1971		1973		1975		1977		1979
		Inflação (yt)		128		192		277		373		613		1236		2639
		
		a)
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		b)
		tbarra =		1973.00
		ybarra =		779.71
		soma(t*yt) =		10788548.00
		soma(t^2) =		27249215.00
		
		Estimativas de mínimos quadrados de alfa e beta
		alfa^ =		-350026.73
		beta^ =		177.80
		
		c)
		y(1981) =		2202.143
		
		d)
		Sim, pois o gráfico mostra que a inflação cresceu exponencialmente no período observado.
11.9
		
Inflação (yt)
Ano (t)
Inflação (yt)
11.10
		t		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
		xt		1.5		1.8		1.6		2.5		4.0		3.8		4.5		5.1		6.5		6.0
		yt		66.8		67.0		66.9		67.6		68.9		68.7		69.3		69.8		71.0		70.6
		
		xbarra =		3.73
		ybarra =		68.66
		soma(xt*yt) =		2586.43
		soma(xt^2) =		169.25
		
		Estimativas de mínimos quadrados de alfa e beta
		alfa^ =		65.513
		beta^ =		0.844
11.11
		n =		5
		x =		3
		
		Função de verossimilhança da distribuição Binomial(5;p)
		p		0 1/5		0 2/5		0 3/5		0 4/5
		L(p)		0.005		0.023		0.035		0.020
11.11
		
p
L(p)
11.14
		
11.15
												Intervalo de confiança
		Média amostral		Tamanho da amostra		Desvio padrão da população		Coeficiente de confiança				Limite inferior		Limite superior
		170		100		15		95%				167.06		172.94
		165		184		30		85%				161.82		168.18
		180		225		30		70%				177.93		182.07
11.16
		a)
		
												Intervalo de confiança
		xbarra		n		s		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior
		800		400		100		99%				787.06		812.94
		
		b)
		erro		n		s		zgama
		0.98		400		100		?
		
		zgama = erro*raiz(n)/s =>
		zgama =		0.196		=>
		gama =		15.54%
		
		
		c)
		erro		n		s		zgama
		7.84		?		100		1.96
		
		n = (s*zgama/erro)^2 =>
		n =		625
11.16
		
S^2
%
Distribuição de S^2
11.17
		
t
%
Histograma de t
11.18
		a)
		erro		n		s		zgama
		1		?		10		1.96
		
		n = (s*zgama/erro)^2 =>
		n =		384.14
		n aprox. =		385
		
		b)
		erro		n		s		zgama
		1		?		10		2.58
		
		n = (s*zgama/erro)^2 =>
		n =		663.49
		n aprox. =		664
11.19
		a)
		erro		n		sigma		zgama
		1		?		10		1.75
		
		n = (sigma*zgama/erro)^2 =>
		n =		306.49
		n aprox. =		307
		
		b)
												Intervalo de confiança
		xbarra		n		sigma		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior
		50		307		10		92%				49.00		51.00
11.20
										Intervalo de confiança						Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança				Limiteinferior		Limite superior				Limite inferior		Limite superior
		0.7		625		90%				0.670		0.730				0.667		0.733
11.21
										Intervalo de confiança						Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior				Limite inferior		Limite superior
		0.3		400		95%				0.255		0.345				0.251		0.349
11.22
		a)
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.01		?		0.24		1.28
		
		n = p^(1-p^)*(zgama/erro)^2 =>
		n =		3941.69
		n aprox. =		3942
		
		b)
								Intervalo de confiança				Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior		Limite inferior		Limite superior
		0.55		3942		95%		0.537		0.563		0.537		0.563
11.23
		a)
								Intervalo de confiança				Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior		Limite inferior		Limite superior
		0.33		300		95%		0.280		0.387		0.277		0.390
		
		b)
		Utilizando o valor máximo de p^(1-p^)
		
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.02		?		0.25		1.96
		
		n = p^(1-p^)*(zgama/erro)^2 =>
		n =		2400.90
		n aprox. =		2401
		
		Utilizando a estimativa dada no item (a)
		
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.02		?		0.22		1.96
		
		n = p^(1-p^)*(zgama/erro)^2 =>
		n =		2134.14
		n aprox. =		2135
11.24
		Classes		Pontos médios		% de t		% de t'
		5 |-- 7		6		10		5
		7 |-- 9		8		20		30
		9 |-- 11		10		40		35
		11 |-- 13		12		20		25
		13|-- 15		14		10		5
		
		a)
				t		t'
		Média		10		9.9
		Vício		0		-0.1
		Variância		4.8		3.79
		EQM		4.8		3.8
		
		O estimador t é não-viciado, porém tem variância maior que t', o qual é viciado. O EQM de t' é menor que o de t.
11.25
		a)
												Intervalo de confiança
		xbarra		n		sigma		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior
		150		36		5		95%				148.37		151.63
		
		b)
		erro		n		sigma		zgama
		0.98		?		5		1.96
		
		n = (sigma*zgama/erro)^2 =>
		n =		100
11.26
		a)
		Amostra:		4.9		7.0		8.1		4.5		5.6		6.8		7.2		5.7		6.2
		
												Intervalo de confiança
		xbarra		n		sigma		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior
		6.22		9		2		90%				5.13		7.32
		
		b)
		erro		n		sigma		zgama
		0.01		?		2		1.64485
		
		n = (sigma*zgama/erro)^2 =>
		n =		108222
11.27
		Salário		Freqüência		Freqüência relativa		Pontos médios das classes
		150,00 |-- 250,00		8		0.08		200.00
		250,00 |-- 350,00		22		0.22		300.00
		350,00 |-- 450,00		38		0.38		400.00
		450,00 |-- 550,00		28		0.28		500.00
		550,00 |-- 650,00		2		0.02		600.00
		650,00 |-- 750,00		2		0.02		700.00
		Total		100		1		---
		
												Intervalo de confiança
		xbarra		n		s		Coef. confiança				Limite inferior		Limite superior
		400.00		100		103.923		95%				379.38		420.62
11.28
		t		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
		yt		5.0		6.7		6.0		8.7		6.2		8.6		11.0		11.9		10.6		10.8
		
		tbarra =		5.50
		ybarra =		8.55
		soma(t*yt) =		529.40
		soma(t^2) =		385.00
		
		Estimativas de mínimos quadrados de alfa e beta
		alfa^ =		4.607
		beta^ =		0.717
		
		Previsões
		Novembro/79:		y^(11) =		12.49
		Dezembro/79:		y^(12) =		13.21
		Julho/80:		y^(19) =		18.23
		Agosto/80:		y^(20) =		18.95
11.29
		a)
								Intervalo de confiança						Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior				Limite inferior		Limite superior
		0.60		300		90%		0.553		0.647				0.553		0.647
		
		b)
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.001		300		0.24		?
		
		zgama = erro*raiz(n)/raiz(p^(1-p^)) =>
		zgama =		* 0.0354		=>
		gama =		2.820%
		
		c)
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.0005		?		0.24		1.96
		
		n = p^(1-p^)*(zgama/erro)^2 =>
		n =		3687789.55
		n aprox. =		3,687,790
11.30
		Número de defeitos		0		1		2		3		4
		Qtde. de peças		6000		3200		600		150		50
		
		a)
								Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior
		0.40		10000		98%		0.388		0.412
		
		b)
								Intervalo de confiança
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior
		0.40		10000		98%		0.389		0.411
11.32
								Intervalo de confiança						Intervalo de confiança conservador
		p^		n		Coef. confiança		Limite inferior		Limite superior				Limite inferior		Limite superior
		0.52		400		95%		0.471		0.569				0.471		0.569
11.33
		erro		n		p^(1-p^)		zgama
		0.045		100		0.24		?
		
		zgama = erro*raiz(n)/raiz(p^(1-p^)) =>
		zgama =		* 0.9186		=>
		gama =		64.167%
11.36
		a)
														Intervalo de confiança
		Processo		Média amostral		Tamanho da amostra		Desvio padrão da população		Coeficiente de confiança				Limite inferior		Limite superior
		A		50		16		10		95%				45.10		54.90
		B		60		25		10		95%				56.08		63.92
		
		b)
														Intervalo de confiança
		Processo		Média amostral		Tamanho da amostra		Desvio padrão da população		Coeficiente de confiança				Limite inferior		Limite superior
		A		50		16		10		95%				-16.27		-3.73
		B		60		25		10
		
		O zero não pertence ao intervalo. Concluímos que que o tempo médio de duração dos alimentos conservados pelo processo A é menor que o daqueles conservdos pelo processo B.
11.40
												Intervalo de confiança
		Cidade		p^		Tamanho da amostra		Coeficiente de confiança				Limite inferior		Limite superior
		A		0.450		400		95%				-0.20		-0.07
		B		0.583		600
11.40
		
Classes
Freqüência
Histograma de Xbarra
11.41
		
Freqüência
Classes
Freqüência
Histograma de Md
11.42
		
Freqüência
Classes
Freqüência
Histograma de S^2
11.44
		erro		delta		n
		0.05		0.05		?
		
		n = 1/(4*delta*erro^2) =>
		n =		2000
		n		1		2		10		50		100
		Var(T1)
		Var(T2)
		
		
												Intervalo de confiança
		Média amostral		Tamanho da amostra		s		Coeficiente de confiança				Limite inferior		Limite superior
		10.3		600		1.4		95%				10.19		10.41
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