Aula_06

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MATEMÁTICA DISCRETA \u2013 AULA 6
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
Aula 6
FUNÇÕES
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Conteúdo
Função de um conjunto S em um conjunto T.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função. 
Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
Função composta.
Conceito de inversa de uma função.  
Diagrama da definição de função inversa.
Função afim 
 Gráfico de uma função. 
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Aula 6 \u2013 Funções
Introdução
Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode ter um e apenas um elemento associado no segundo conjunto. 
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Aula 6 \u2013 Funções
Introdução
Aplicações dentro da área da Ciência da Computação:
\u2013 Algoritmos são funções;
\u2013 Compiladores são funções;
\u2013 Funções de Criptografia;
\u2013 Funções de Compressão;
\u2013 Funções de Geração de Chave de Armazenamento; etc
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Definição formal: 
Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a\u2208A, existe um único b\u2208B tal que (a,b)\u2208f, e se lê: \u201cf é função de A em B\u201d.
f: A\u2192B 
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Função
Exemplos:
 A B
 f
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Função
Exemplos:
 
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Função
Exemplos:
 
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Função
Exemplos:
 
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Função
Exemplos:
 
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Função
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos.
 
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Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x , através de f. 
Indica-se y = f (x) (lê-se \u201cy é igual a f de x\u201d ou \u201cy é a imagem de x através de f\u201d). 
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Função - Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
6 = f (1) 
7 = f (2)
8 = f (3)
8 = f (4)
11 = f (5)
D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11}
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Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y) \uf0ce A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R.
A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}
R = {(x, y) \uf0ce A X B | y = 3x}
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D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}
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Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
Considerando os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f : A \uf0ae B, onde cada x, x \uf0ce A, é associado a um único f(x), f(x) \uf0ce B, através da lei f(x) = 2x + 1.
 
A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 2x + 1 do contradomínio. 
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Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
	a imagem do elemento 4, através de f, é:
f (4) = 2 \uf0b4 4 + 1 \uf0de f (4) = 9; logo, (4, 9) \uf0ce f
	a imagem do elemento 1/2, através de f, é:
f (1/2) = 2 \uf0b4 1/2 + 1 \uf0de f (1/2) = 2; logo, (1/2 , 2) \uf0ce f
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
 Uma função f de A em B é dita de um-para-um ou injetora, se e somente se f(a)\u2260f(b) sempre a \u2260 b.
De modo geral, uma função f : A \u2192 B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que
 y = f(x).
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. 
	Pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Injetora:
Exemplos:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Uma função f de A em B é chamada sobrejetora, se e somente se, para todo b\u2208B existe um elemento a\u2208A tal que f(a)=b.
Uma função f de A em B (f:A\u2192B) é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens dos elementos de A.
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
	Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um único elemento do conjunto imagem, e não sobra elemento do conjunto imagem.
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Exemplo:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Sobrejetora:
Exemplo: Função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros. 
	A função f(x)=x+1 é sobrejetora pois para todo inteiro y, existe um inteiro x, tal que x+1=y.
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
Uma função f de A em B é chamada bijetora, se e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.
Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Função Bijetora:
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Exemplo: Considere três funções f, g e h, tais que:
 - A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. - A função g atribui a cada país, a sua capital. - A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
Qual dessas funções é injetora?
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: 
x1 \u2260 x2 \u2192 f(x1) \u2260 f(x2) 
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Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para f: f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade
\u2192 Duas pessoas distintas podem ter a mesma idade, com isso, f não pode ser injetora!
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para g: g atribui a cada país, a sua capital
\u2192 Não existem dois países distintos com a mesma capital, logo g é injetora!
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Aula 6 \u2013 Funções
Função
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Para h: h atribui a cada número natural, o seu dobro
\u2192 Dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos, logo h é injetora!
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Função
Funções Compostas
São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por sua vez, gera um conjunto imagem A. 
A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. 
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Função
Funções Compostas
Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof. 
- A função f(x) será o x da função g(x)!
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Função
Funções Compostas
Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x