Aula8

17.6 – MHS e movimento circular uniforme
MHS pode ser visto como a projeção do MCU em um dos eixos cartesianos
Galileu e as luas de Júpiter
MCU
MHS
ωt+φ
Ângulonoinstantet
Fase
φ
Ânguloinicial
Constantedefase
xm
Raiodocírculo
Amplitude
ω
Velocidadeangular
Freqüênciaangular
Velocidade:
Aceleração:
17.7 – Movimento harmônico amortecido
Em sistemas reais, há sempre dissipação de energia (amortecimento)
Resultado esperado qualitativamente (em condições de baixo amortecimento):
x(t)
t
(envelope)
Constante de tempo de amortecimento (tempo necessário para a amplitude cair a 1/e do seu valor inicial)
Solução matemática:
Para baixas velocidades a força de amortecimento pode ser aproximada por:
(proporcional e contrária à velocidade)
2a. Lei:
Vamos propor a solução:
Verificamos (quadro-negro) que esta é uma solução possível da equação diferencial nas seguintes condições:
(amortecimento pequeno ou subcrítico)
(tempo de amortecimento)
(pequena redução da freqüência de oscilação em relação à freqüência natural)
x(t)
t
Desta forma, temos:
Amplitude decai exponencialmente com o tempo
Energia mecânica também decai exponencialmente:
Sem amortecimento: 
Com amortecimento: 
Energia é dissipada! 
17.8 – Oscilações forçadas e ressonância
Oscilador com freqüência natural 
Força externa periódica com freqüência ω: 
2a. Lei:
(desprezando por enquanto os termos dissipativos)
Precisamos resolver a equação diferencial:
- Trata-se agora de uma equação inomogênea
- Espera-se que a solução geral seja uma combinação de funções oscilatórias com freqüência ω0 e ω
- Na presença de atrito, apenas a solução com freqüência ω vai sobreviver para tempos longos (regime estacionário)
- A solução com freqüência ω0 vai desaparecer depois de um curto intervalo a partir do início do movimento (regime transiente)
Assim, vamos tentar a seguinte solução particular:
Substituindo na equação diferencial:
Convenção:
(oscilador em fase com a força externa)
(oscilador em oposição de fase com a força externa)
Quando ω=ω0, a amplitude diverge: ressonância
Kits LADIF: ressonância no trilho de ar e sistema massa-mola
sem amortecimento
com amortecimento
com mais amortecimento
A
A ponte de Tacoma
http://www.youtube.com/watch?v=P0Fi1VcbpAI
Quebrando um copo de vinho com som ressonante
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
17.9 – Oscilações de dois corpos e modos normais
Discussão qualitativa: Kit LADIF de pêndulos acoplados