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4 letras * * RAV1 COMBINAÇÃO SIMPLES Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. São as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado. * * RAV1 COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo: Dentre 9 Cd’s distintos que estão em oferta em uma loja, João deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes João pode escolher os 5 Cd’s? * * RAV1 Coeficientes Binomiais Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por: ou onde n é dito numerador e p chamado denominador. * * RAV1 Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é uma sequência de números binomiais, isto é, inteiros da forma C(n, p), dispostos em uma tabela em forma de triângulo, como na figura abaixo: * * RAV1 Triângulo de Pascal Representação no Triângulo C (0,0) C (1,0) C (1,1) C (2,0) C (2,1) C (2,2) C (3,0) C (3,1) C (3,2) C (3,3) C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4,4) C (5,0) C (5,1) C (5,2) C (5,3) C (5,4) C (5,5) C (6,0) C (6,1) C (6,2) C (6,3) C (6,4) C (6,5) C (6,6) * * RAV1 Triângulo de Pascal Propriedade: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Aplicando a fórmula de combinação para a linha 5, por exemplo: = = = = = = 1 5 10 10 5 1 * * RAV1 Teorema Binomial O teorema binomial fornece uma fórmula para a potência de um binômio, isto é, uma fórmula que permite calcular diretamente uma expressão do tipo (a + b)n, onde n é um inteiro positivo. Para n = 0 (a + b)0 = 1 Para n = 1 (a + b)1 = a + b Para n = 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a3b + 3ab3 + b3 Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 * * RAV1 Teorema Binomial Fórmula do teorema binomial: * * RAV1 1º termo: = 1.a5.1 = a5 2º termo: = 5.a4.b 3º termo: = 10.a3.b2 4º termo: = 10.a2.b3 5º termo: = 5.a1.b4 6º termo: = 5.a0.b5 = 5b5 (a + b)5 = a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 5b5 (a + b)5 = ? * * RAV1 Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é x. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados: A x B = {(x, y) | x A e y B} * * RAV1 Produto Cartesiano Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a seguir: A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)} * * RAV1 Relações Binárias Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano AxB destes conjuntos. Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º vem de B, ou seja R A x B. * * RAV1 Relações Binárias Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo é define uma Relação Binária de A em B. * * RAV1 Relações Binárias Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um subconjunto de pares ordenados de elementos de A. O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo, denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares ordenados de elementos de A. * * RAV1 Relações Binárias Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na forma abreviada por: x R y ↔ (x, y) R * * RAV1 Domínio e Contradomínio: Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação. Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5} O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}. * * RAV1 Domínio e Contradomínio: Representação gráfica: A = {a,b,c,d} B = {1,2,3} R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)} * * RAV1 Classificação das Relações Binárias Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B. R pode ser classificada como uma das relações: um para um um para muitos muitos para um muitos para muitos * * RAV1 Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2 - Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O chamado de origem dos eixos. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY). * * RAV1 Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2 Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões distintas chamadas de quadrantes: * * RAV1 * * RAV1 Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y y = x2. R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} * * RAV1 Relações Binárias Endorrelação ou auto-relação Considere um conjunto A não vazio. Uma relação binária R sobre A ou endorrelação ou auto-relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano A×A, isto é, R ⊆ A ×A (leia-se: R é subconjunto de A x A) Podemos chamar relação de A em A de Relação Interna sobre o conjunto A. * * RAV1 Relações Internas Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação binária sobre A: R = {(1,1), (2,1), (3,3)} ⊆A×A. A relação R pode, por exemplo, ser representada pelo diagrama a seguir: * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Relação Reflexiva Seja R uma relação sobre o conjunto A. A relação R é dita REFLEXIVA se todo elemento de um conjunto A está relacionado consigo mesmo, ou seja: (x,x) R, x A * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Relação Simética A relação R é dita SIMÉTRICA se quando x está relacionado com y, implicar em y estar relacionado com x, ou seja: (x, y) R (y, x) R, para x, y A * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Relação Transitiva A relação R é dita TRANSITIVA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar em x estar relacionado com z, ou seja: (x, y) R e (y, z) R(x, z) R, para x, y, z A. * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Relação Antiassimétrica A relação R é dita ANTISSIMÉTRICA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com x somente quando x = y. (x, y)R e (y, x) R x = y, para x e y A * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Exemplo: Seja S= {a, b, c}, classifique a relação R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)} R é reflexiva, todo elemento tem um laço R é antissimétrica, existem flechas sem duas pontas * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias - RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo: Seja o conjunto A={a,b,c}, então a relação R sobre A descrita por: R = {(a,a), (b,b),(c,c),(a,c),(c,a)} é de equivalência. * * RAV1 * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL Exemplo: A relação no conjunto dos números reais: x R y se e só se x ≤ y é uma relação de ordem parcial. → É reflexiva (aRa), antissimétrica (se aRb e bRa, então a=b) e transitiva (se aRb e bRc, então aRc). * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Relação de ordem total É uma relação de ordem onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos. Exemplo: S = {a, b, c} R = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c),(a,c)} * * RAV1 Propriedades das Relações Binárias Diagramas de Hasse de Conjuntos munidos de uma Relação de Ordem – Conjuntos munidos de uma relação de ordem são uma relação e portanto pode-se desenhar seu