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COMBINAÇÃO SIMPLES
Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. 
	São as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado.
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COMBINAÇÃO SIMPLES
Exemplo: Dentre 9 Cd’s distintos que estão em oferta em uma loja, João deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes João pode escolher os 5 Cd’s?
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Coeficientes Binomiais
	Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por:
			 ou 
onde n é dito numerador e p chamado denominador.
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Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é uma sequência de números binomiais, isto é, inteiros da forma C(n, p), dispostos em uma tabela em forma de triângulo, como na figura abaixo:
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Triângulo de Pascal
	Representação no Triângulo
C (0,0)
C (1,0) C (1,1)
C (2,0) C (2,1) C (2,2) 
C (3,0) C (3,1) C (3,2) C (3,3)
C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4,4)
C (5,0) C (5,1) C (5,2) C (5,3) C (5,4) C (5,5)
C (6,0) C (6,1) C (6,2) C (6,3) C (6,4) C (6,5) C (6,6)
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Triângulo de Pascal
	Propriedade: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
Aplicando a fórmula de combinação para a linha 5, por exemplo:
		 = = = = = =
		 1 5 10 10 5 1
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Teorema Binomial
O teorema binomial fornece uma fórmula para a potência de um binômio, isto é, uma fórmula que permite calcular diretamente uma expressão do tipo (a + b)n, onde n é um inteiro positivo.
Para n = 0  (a + b)0 = 1
Para n = 1  (a + b)1 = a + b
Para n = 2  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Para n = 3  (a + b)3 = a3 + 3 a3b + 3ab3 + b3
Para n = 4  (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
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Teorema Binomial
Fórmula do teorema binomial:
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1º termo: 		= 1.a5.1 = a5
2º termo:		= 5.a4.b 
3º termo:		= 10.a3.b2 
4º termo:		= 10.a2.b3 
5º termo:		= 5.a1.b4 
6º termo:		= 5.a0.b5 = 5b5
(a + b)5 = a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 5b5
(a + b)5 = ?
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Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é x. 
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados:
A x B = {(x, y) | x  A e y  B}
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Produto Cartesiano
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a seguir:
 
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
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Relações Binárias
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano AxB destes conjuntos.
Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º vem de B, ou seja R  A x B.
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Relações Binárias
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}.
 O conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo é define uma Relação Binária de A em B.
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Relações Binárias
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um subconjunto de pares ordenados de elementos de A.
O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo, denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares ordenados de elementos de A. 
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Relações Binárias
Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na forma abreviada por:
x R y ↔ (x, y) R
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Domínio e Contradomínio:
Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5} 
O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}.
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Domínio e Contradomínio:
Representação gráfica:
A = {a,b,c,d}
B = {1,2,3}
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
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Classificação das Relações Binárias
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B. R pode ser classificada como uma das relações:
um para um
um para muitos
muitos para um
muitos para muitos
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Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
- Plano Cartesiano
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O chamado de origem dos eixos. 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY).
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Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões distintas chamadas de quadrantes:
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Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y  y = x2.
R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
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Relações Binárias
Endorrelação ou auto-relação
Considere um conjunto A não vazio. Uma relação binária R sobre A ou endorrelação ou auto-relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano A×A, isto é, 
R ⊆ A ×A (leia-se: R é subconjunto de A x A)
Podemos chamar relação de A em A de 
Relação Interna sobre o conjunto A.
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Relações Internas
Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação binária sobre A: R = {(1,1), (2,1), (3,3)} ⊆A×A.
A relação R pode, por exemplo, ser representada pelo diagrama a seguir: 
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Propriedades das Relações Binárias
Relação Reflexiva
Seja R uma relação sobre o conjunto A. A relação R é dita REFLEXIVA se todo elemento de um conjunto A está relacionado consigo mesmo, ou seja:
 (x,x)  R,  x  A
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Propriedades das Relações Binárias
Relação Simética
A relação R é dita SIMÉTRICA se quando x está relacionado com y, implicar em y estar relacionado com x, ou seja: 
(x, y)  R (y, x)  R, para x, y  A
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Propriedades das Relações Binárias
Relação Transitiva
A relação R é dita TRANSITIVA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar em x estar relacionado com z, ou seja: 
(x, y) R e (y, z) R(x, z)  R, para x, y, z  A.
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Propriedades das Relações Binárias
Relação Antiassimétrica
A relação R é dita ANTISSIMÉTRICA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com x somente quando x = y.
(x, y)R e (y, x) R x = y, para x e y  A
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Propriedades das Relações Binárias
Exemplo: Seja S= {a, b, c}, classifique a relação R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)}
R é reflexiva, todo elemento tem um laço
R é antissimétrica, existem flechas sem duas pontas
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Propriedades das Relações Binárias
- RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Seja o conjunto A={a,b,c}, então a relação R sobre A descrita por:
 R = {(a,a), (b,b),(c,c),(a,c),(c,a)} é de equivalência.
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Propriedades das Relações Binárias
RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL
Exemplo: A relação no conjunto dos números reais:
 x R y se e só se x ≤ y é uma relação de ordem parcial.
→ É reflexiva (aRa), antissimétrica (se aRb e bRa, então a=b) e transitiva (se aRb e bRc, então aRc).
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Propriedades das Relações Binárias
Relação de ordem total
É uma relação de ordem onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos.
Exemplo: S = {a, b, c}
 
R = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c),(a,c)}
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Propriedades das Relações Binárias
Diagramas de Hasse de Conjuntos munidos de uma Relação de Ordem
– Conjuntos munidos de uma relação de ordem são uma relação e portanto pode-se desenhar seu

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