Exercício Resolvido Extra

Prévia do material em texto

EAE0203 – Microeconomia I 
 
Equação de Slutsky com Dotação: Questão Extra 2 
Em uma economia com apenas dois bens ( e ) um consumidor possui uma função utilidade 
do tipo Cobb-Douglas: 
 ( ) 
onde ( ), e uma dotação inicial de e de de respectivamente e . Dados os 
preços e : 
a. Escreva a equação de Slutsky para variações de preços próprios e trocados. 
b. Esboce o gráfico da curva de indiferença e da restrição orçamentária quando 
aumenta para . 
 
Resposta: 
a. Quando o indivíduo possui uma renda , como vimos em listas passadas, as demandas 
marshallianas do consumidor são dadas por: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
No caso da economia de dotações, vamos resolver o problema do consumidor, para mostrar 
que somente o termo é alterado nas demandas marshallianas. O problema do consumidor é 
dado por: 
 
 
 ( ) 
 
 
Pelo método do Lagrangiano: 
 ( ) ( ) 
As CPO são dadas por: 
i. 
 
 
 (
 
 
)
 
 
ii. 
 
 
 ( ) (
 
 
)
 
 
iii. 
 
Dividindo i. por ii. temos: 
 
 
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
Substituindo em iii. temos: 
 ( 
( )
 
 
 
) 
 
 
 
( )
 
 
 
 [ 
( )
 ]
 
 
 [
 ( )
 ]
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Substituindo na expressão de acima, temos: 
 
( )
 
 
 
 
 ( )
 
( )
 
 
 
 
( )( )
 
 
 
Os efeitos renda são então: 
iv. Efeito renda de com a variação de : ( )
 
 
 ( 
 ( )
 
)
 
 
 
v. Efeito renda de com a variação de : ( )
 
 
 ( 
( )( )
 
)
 
 
 
vi. Efeito renda de com a variação de : ( )
 
 
 ( 
 ( )
 
)
( )
 
 
vii. Efeito renda de com a variação de : ( )
 
 
 ( 
( )( )
 
)
( )
 
 
 
Vamos calcular as demandas hicksianas. O problema de minimização de dispêndio resultará 
em demandas hicksianas idênticas, pois não depende da renda: 
 [
 
 
 
( )
]
 
 [
 
 
( )
 
]
 
 
Para um dado nível de utilidade . 
Os efeitos substituição serão: 
viii. Efeito substituição de com a variação de : 
 
 
 [ 
 
( )
]
 
( )( ) (
 
 
)
 
 ( ) ( )
 
( ) (
 
 
)
 
 
ixi. Efeito substituição de com a variação de : 
 
 
 
 [
 
 
 
( )
]
 
( ) 
 [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 
x. . Efeito substituição de com a variação de : 
 
 
 
 [
 
 
( )
 
]
 
 
 [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 
xi. . Efeito substituição de com a variação de : 
 
 
 
 [ 
( )
 
]
 
( ) (
 
 
)
 
 ( ) [ ( )]
 (
 
 
)
 
 
 
Então as equações de Slutsky serão: 
xii. 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( ) ( )
 
( ) (
 
 
)
 
 ( 
 ( )
 
)
 
 
 
xiii. 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 ( 
( )( )
 
)
 
 
 
xiv. 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 ( 
 ( )
 
)
( )
 
 
xv. 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
( ) [ ( )]
 (
 
 
)
 
 ( 
( )( )
 
)
( )
 
 
 
b. 
Temos um aumento de aumenta para ; a solução inicial é dada por ( 
 ) e a final, 
dada por ( ) e são representadas no seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝜔𝑦 
𝜔𝑥 
𝑦 
𝑦 
𝑥 𝑥 
V ri ção tot l d 𝑦 
V ri ção tot l d 𝑥 
Vamos decompor a variação total de acordo com os três efeitos estudados: o efeito-renda 
comum, o efeito-renda relacionado à dotação e o efeito-substituição. Nos gráficos esses 
termos aparecerão em termos de variações de quantidades e não em termos de derivadas, 
como nas equações de Slutsky o item (a). 
Em primeiro lugar, o efeito substituição contabiliza a variação da demanda somente devida à 
variação dos preços relativos, com uma compensação de renda que mantém o nível de 
utilidade constante (alternativamente, poderíamos manter o poder de compra constante, 
como no Varian, mas nesse caso ele não seria calculado como a derivada da demanda 
hicksiana com relação ao preço). Nesse caso, temos os efeitos substituição em ( ) e de 
( ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note pelo gráfico que: e 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝜔𝑦 
𝜔𝑥 
𝑦 
𝑦 
𝑥 𝑥 
𝐸𝑆𝑦 
𝐸𝑆𝑥 
Com o aumento do para , os efeitos-renda comuns captam a variação nas demandas 
devida ao efeito de redução da renda. Dessa forma, a demanda teria uma variação que 
corresponderia à movimentação da restrição orçamentária em direção à origem, mantendo a 
sua inclinação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente podemos ver no gráfico que e . 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝜔𝑦 
𝜔𝑥 
𝑦 
𝑦 
𝑥 𝑥 
𝐸𝑆𝑦 
𝐸𝑆𝑥 𝐸𝑅𝑥 
𝐸𝑅𝑦 
Por fim, o aumento do preço do bem implica um aumento da riqueza do indivíduo, pois a sua 
dotação inicial desse bem, , passa a valer mais e a RO se desloca para fora. Esses efeitos são 
captados pelo efeito renda-dotação de e de (que chamaremos de e ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No gráfico, e . 
Note que ( 
 ) e ( 
 ), ou seja, como 
no caso da equação de Slutsky comum, a soma dos efeitos sobre a demanda é igual à variação 
total da demanda. 
Os sinais das variações do gráfico são consistentes com aqueles dos termos da equação de 
Slutsky que encontramos no item (a). A equação de Slutsky (em termos de derivadas) para o 
bem é dada por: 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( ) ( )
 
( ) (
 
 
)
 
 ( 
 ( )
 
)
 
 
 
Então, lembrando que todos os parâmetros são positivos e que ( ), temos: 
𝑦 
𝑥 
𝜔𝑦 
𝜔𝑥 
𝑦 
𝑦 
𝑥 𝑥 
𝐸𝑆𝑦 
𝐸𝑆𝑥 𝐸𝑅𝑥 
𝐸𝑅𝑦 
𝐸𝑅𝐷𝑦 
𝐸𝑅𝐷𝑥 
i. ( ) ( )
 
( ) (
 
 
)
 
 
ii. 
 ( )
 
 
 
 
iii. 
 
 
 
Colocamos o asterisco nos termos acima para indicar que são as versões em termos de 
derivadas, e não aquelas em termos de variações, como nos gráficos. 
Para o bem a equação de Slutsky (em termos de derivadas) será: 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 ( 
 ( )
 
)
( )
 
 
Então, 
i. [
 
 
]
 
[
( )
 
]
 
 
ii. 
 ( )
 
( )
 
 
iii. 
( )
 
 
Por último, colocamos um efeito renda-dotação no gráfico que é menor do que o efeito 
renda comum, de modo que o efeito renda líquido tem o sinal desse último. Isso não 
necessariamente acontece; na realidade, a dotação inicial e a variação do preço podem ser 
tais que o efeito renda-dotação passe a predominar sobre o efeito renda comum.