Aula_02_-_Reviso_de_Clculos_de_Potncia

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Revisão de Cálculos de 
Potência
EEN502.1
Fundamentos de Eletrônica de Potência
Prof. Rondineli Rodrigues Pereira
1
Potência e Energia
A potência instantânea para um dispositivo 
qualquer é calculada pela tensão aplicada nele e 
pela corrente que por ele circula.
Esta relação é válida para qualquer dispositivo 
ou circuito.
)()()( titvtp =
2
Potência e Energia
O elemento passivo apresentado abaixo estará 
absorvendo potência se p(t) for positivo em um 
valor especificado de tempo e fornecerá potência 
se p(t) for negativo.
Elemento passivo
p(t) > 0
Fonte de Alimentação
p(t) > 0
3
Potência e Energia
• Energia:
Energia ou trabalho é a integral da potência 
instantânea, com a unidade em joules.
=
2
1
)(
t
t
dttpW
4
Potência e Energia
• Potência Média:
Funções periódicas de tensão e corrente produzem uma 
função periódica da potência instantânea. A potência 
média é o valor médio de p(t) sobre um ou mais 
períodos.
A potência média também é chamada de potência real 
ou potência ativa.
T
W
Poudttitv
T
dttp
T
P
Tt
t
Tt
t
=== 
++ 0
0
0
0
)()(
1
)(
1
5
Potência e Energia
A unidade joules ou watt-segundo é uma quantidade 
muito pequena para a maioria dos propósitos práticos, 
de modo que a unidade quilowatt-hora foi definida da 
seguinte maneira.
000.1
)()(
)(
htempoWpotência
kWhEnergia

=
6
Potência e Energia
• Exemplo:
Qual é o custo total da utilização dos itens a seguir, 
considerando uma tarifa de R$ 0,84/kWh?
➢Uma torradeira de 1.200 W durante 30 minutos;
➢ Seis lâmpadas de 50 W durante 4 horas;
➢Uma máquina de lavar de 400 W durante 45 minutos;
➢Uma secadora de roupas elétrica de 4.800 W durante 
20 minutos.
7
Potência e Energia
• Indutores:
A energia armazenada em um indutor é:
Se a corrente no indutor for periódica, a energia 
armazenada ao final de um período é a mesma do início.
Assim, não há transferência líquida de energia. Então a 
potência média absorvida por um indutor é zero em 
regime permanente.
)(
2
1
)( 2 tLitw =
0=LP 8
Potência e Energia
• Capacitores:
A energia armazenada em um capacitor é:
Se a tensão no capacitor for periódica, a energia 
armazenada ao final de um período é a mesma do início. 
Então a potência média absorvida por um capacitor é 
zero em regime permanente.
)(
2
1
)( 2 tCvtw =
0=CP
9
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
O valor eficaz de uma forma de onda periódica de 
tensão é baseado na potência média entregue para um 
resistor.
A tensão eficaz é definida como a tensão que é tão 
eficaz quanto a tensão CC no fornecimento de potência 
média.
R
V
P cc
2
=
R
V
P
ef
2
=
10
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
Então calculando a potência média num resistor:
Igualando a equação acima a anterior:






==== 
TTTT
dttv
TR
dt
R
tv
T
dttitv
T
dttp
T
P
0
2
0
2
00
)(
11)(1
)()(
1
)(
1
 ===
T
rmsef
T
ef dttv
T
VVdttv
T
V
0
2
0
22 )(
1
)(
1
11
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
• Exemplo:
Determine os valores rms de:
(a) uma tensão senoidal de v(t) = Vmsen(wt);
(b) uma onda senoidal retificada em onda completa de 
v(t) = |Vmsen(wt)|;
(c) Uma onda senoidal retificada em meia onda de 
v(t) = Vmsen(wt) para 0 < t < T/2 e zero caso 
contrário.
12
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
Se uma tensão periódica for a soma de duas formas de 
onda de tensão periódica v(t) = v1(t) + v2(t), então o 
valor rms de v(t) é:
O termo contendo o produto v1v2 é zero se as funções v1
e v2 forem senoidais de frequências diferentes.
( ) ( )   ++=++=+=
T TTTT
rms dtv
T
dtvv
T
dtv
T
dtvvvv
T
dtvv
T
V
0 0
2
2
0
21
2
1
0
2
221
2
1
0
2
21
2 12
11
2
11
2
,2
2
,1
2
,2
2
,1
0 0
2
2
2
1
2 11
rmsrmsrmsrmsrms
T T
rms VVVVVdtv
T
dtv
T
V +=+=+=  
13
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
Se uma tensão for a soma de mais de duas tensões 
periódicas:
De modo similar,

=
=+++=
N
n
rmsnrmsrmsrmsrms VVVVV
1
2
,
2
,3
2
,2
2
,1 

=
=+++=
N
n
rmsnrmsrmsrmsrms IIIII
1
2
,
2
,3
2
,2
2
,1 
14
Valor Eficaz - RMS (Root Mean
Square)
• Exemplo:
Determine o valor rms de v(t) = 4 + 8sen(ω1t + 
10°) + 5sen(ω2t + 50°) para:
(a) ω2 = 2ω1;
(b) ω2 = ω1;
15
Potência em Circuitos Senoidais
• Potência Aparente:
• Fator de Potência:
onde θ é o ângulo de fase entre os sinais de 
tensão e corrente.
rmsrmsIVS =
cos===
rmsrmsIV
P
S
P
fp
16
Potência em Circuitos Senoidais
Considerando circuitos lineares que têm fontes 
senoidas:
Então a potência instantânea é
usando trigonometria 
( )
( )

+=
+=
tIti
tVtv
m
m
cos)(
cos)(
( )  ( )  ++== tItVtitvtp mm coscos)()()(
( ) ( )  −+++





= cos2cos
2
)( t
IV
tp mm
17
Potência em Circuitos Senoidais
A potência média:
Portanto:
( ) ( ) dtt
T
IV
dttp
T
tP
T
mm
T
 −+++





==
00
cos2cos
1
2
)(
1
)( 
( ) ( ) −





+++





=
T
mm
T
mm dt
T
IV
dtt
T
IV
tP
00
cos
1
2
2cos
1
2
)( 
( )  coscos
2
)( rmsrms
mm IV
IV
tP =−





=
18
Potência em Circuitos Senoidais
A potência reativa:
A Potência aparente:
senIVtQ rmsrms=)(
22 QPS
jQPS
+=
+=
19
P
Q
S
θ
Potência em Circuitos Senoidais
Exemplo:
Uma carga indutiva conectada a uma fonte de 
120 V, em 60 Hz, consome 1 kW com fator de 
potência de 0,8. Calcule a capacitância 
necessária, em paralelo com a carga, para que o 
fator de potência seja de 0,95 (indutivo).
20
Potência em Circuitos Senoidais
É importante observar que a potência aparente S 
e o fator de potência, apresentados até aqui, 
para circuitos CA senoidais são casos especiais 
e não se aplicam para tensões e correntes não 
senoidais.
21
Potência em Circuitos Não Senoidais
Um erro comum cometido nos cálculos de potência 
é o de aplicar algumas relações especiais para ondas 
senoidais em formas de ondas que não são senoides.
As séries de Fourier podem ser usadas para 
descrever formas de ondas periódicas não senoidais 
em termos de uma série de senoides. As relações de 
potências para estes circuitos podem ser expressas 
em termos das componentes da série de Fourier. 
22
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Série de Fourier:
As séries de Fourier para uma função periódica f(t) 
podem ser expressas em forma trigonométrica como
( ) ( ) 
( )
( )



−
−
−

=
=
=
=
++=
2/
2/
0
2/
2/
0
2/
2/
0
1
000
)(
2
cos)(
2
)(
1
cos)(
T
T
n
T
T
n
T
T
n
nn
dttnsentf
T
b
dttntf
T
a
dttf
T
a
onde
tnsenbtnaatf



23
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Série de Fourier:
Combinando senos e cossenos de mesma frequência, 
temos uma expressão alternativa a série de Fourier:
ou
( )







 −
=+=
++=
−

=

n
n
nnnn
n
nn
a
b
tgebaC
onde
tnCatf
122
1
00 cos)(

 ( )








=+=
++=
−

=

n
n
nnnn
n
nn
b
a
tgebaC
onde
tnsenCatf
122
1
00)(


24
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Série de Fourier:
O termo a0 é uma constante que é o valor médio de f(t) e 
representa uma tensão ou corrente CC em aplicações 
elétricas. O coeficiente C1 é a amplitude do termo da 
frequência fundamental ω0. 
Os coeficientes C2, C3, ... são as amplitudes das 
harmônicas que têm frequências 2ω0, 3ω0, ... 
O valor rms de f(t): 


=

=






+==
1
2
2
0
0
2
,
2n
n
n
rmsnrms
C
aFF
25
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Potência Média:
Sendo a média dos produtos da tensão e corrente de 
frequências diferentes igual a zero:
( )
( )



=
++=
++=

=

=
T
n
nn
n
nn
dttitv
T
P
tnIIti
tnVVtv
0
1
00
1
00
)()(
1
cos)(
cos)(


( ) ( )nn
n
nn
nn
n
rmsnrmsn
n
n
IV
IVIVIVPP  −





+=−+== 

=

=

=
cos
2
cos
1
00
1
,,00
0
26
Potência em Circuitos Não Senoidais
Se umatensão periódica não senoidal é aplicada a uma 
carga, a potência absorvida pela carga pode ser 
determinada usando a superposição.
Uma tensão periódica não senoidal é equivalente a uma 
combinação de séries de Fourier.
27
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Exemplo:
Uma tensão periódica não senoidal tem uma série de Fourier de 
v(t) = 10 + 20 cos(2π60t - 25°) + 30cos(4π60t + 20°) V. Esta 
tensão está conectada a uma carga que tem um resistor de 5 Ω
conectado em série com um indutor de 15 mH. Determine a 
potência absorvida pela carga.
28
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
A corrente é representada pela série de Fourier:
( )101)(  += tsenVtv
( )

=
++=
1
00)(
n
nn tnsenIIti 
29
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
O fator de potência
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )11,1,1
2
,11,1,10
1
,,00
cos
cos0cos0
cos



−=
−+−+=
−+=



=

=
rmsrms
nn
n
rmsnrmsrms
nn
n
rmsnrmsn
IVP
IIVIP
IVIVP
( )
( )11
,1
,1
11,1,1
cos
cos


−







=
−
===
rms
rms
rmsrms
rmsrms
rmsrms I
I
IV
IV
IV
P
S
P
fp
30
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
O fator de distorção
A corrente rms


=

=






+==
1
2
2
0
0
2
,
2n
n
n
rmsnrms
I
III
rms
rms
I
I
FD
,1
=
31
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
A distorção harmônica total (DHT) ou THD (Total 
Harmonic Distortion)
ou
rms
n
rmsn
rms
n
rmsn
I
I
I
I
THD
,1
1
2
,
2
,1
1
2
, 



 ==
2
,1
2
,1
2
rms
rmsrms
I
II
THD
−
=
32
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
A potência reativa
A potência aparente
Distorção volt-ampéres
( )11,1,1  −= senIVQ rmsrms
222 DQPS ++=





==
1
21
1
2
,,1
2 n
n
n
rmsnrms I
V
IVD
33
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Tetraedro de Potências:
34
D
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Fonte senoidal e carga não linear:
Fator de forma
Fator de crista
med
rms
I
I
formadeFator =
rms
pico
I
I
cristadeFator =
35
Potência em Circuitos Não Senoidais
• Exemplo:
Uma fonte de tensão senoidal de v(t) = 100 cos(377t) V
é aplicada a uma carga não linear, resultando em uma 
corrente não senoidal expressa por
i(t) = 8 + 15 cos (377t +30º) + 6 cos [2(377)t +45º] + 2 cos [3(377)t +60º]
Determine (a) a potência absorvida pela carga, (b) o 
fator de potência da carga, (c) o fator de distorção na 
corrente da carga, (d) a distorção harmônica total na 
corrente da carga.
36
Referências Bibliográficas
• Hart, D. W., “Eletrônica de Potência – Análise e Projetos de 
Circuitos”, McGraw-Hill, 2012.
• Rashid, M. H., “Eletrônica de Potência – Dispositivos, 
Circuitos e Aplicações”, Pearson, 2014.
• Mohan, N., Undeland, T. M. e Robbins, W. P., “Power 
Electronics – Converters, Applications and Design”, Wiley, 
2013. 
• da Silva, V. F., Apostila de Eletrônica de Potência, 2013. 
37