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Matemática Financeira
Moderna
Capítulo 6 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
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Análise de investimentos
Os bens podem ser classificados em bens de consumo corrente, em bens de consumo durável e em ativos. Os bens de consumo corrente são consumidos de forma imediata. Os bens de consumo durável, ao contrário, são aqueles que proporcionam a seu possuidor um fluxo de serviços futuros, ou seja, são bens cujo consumo é feito ao longo do tempo.
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Em contraposição a essas duas categorias de bens, existem os ativos que não prometem nenhuma classe de consumo presente ou futuro, e sim uma renda futura. Os ativos podem ser classificados em ativos reais, bens tangíveis, e ativos financeiros, bens intangíveis. Determinados bens reais proporcionam a seu possuidor um fluxo de receitas ou rendimentos futuros. É o caso, por exemplo, de uma casa de aluguel.
Análise de investimentos
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Empresas procuram obter o máximo lucro – VPL (valor presente líquido) – ou a maior rentabilidade possível – TIR (taxa interna de retorno) – com um mínimo risco.
Como avaliar se esse investimento é viável ou não?
Como comparar investimentos alternativos, dada uma determinada restrição de capital? 
Análise de investimentos
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Seja um projeto de investimento em um ativo real – que se deprecia integralmente ao final do período – no valor de $ 100.00, feito na data de hoje, proporcione, após um ano, uma receita estimada igual a $ 110.00. Nesse caso, a rentabilidade esperada ou taxa de retorno a ser obtida no empreendimento é de 10% sobre o capital inicial ou principal. 
Análise de investimentos
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Suponha, agora, que a taxa de juros de mercado seja igual a 10% ao ano. Nessas circunstâncias, vale a pena realizar esse investimento? 
No exemplo examinado, valeria a pena investir, pois a taxa de retorno do empreendimento é maior que a taxa de juros. 
Análise de investimentos
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Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
Admita um fluxo de receitas líquidas, ou fluxo de caixa livre operacional.
1
2
3
...
n
P
R1
R2
R3
R(n-1)
Rn
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Para encontrar a taxa interna de retorno, TIR, basta resolver a seguinte equação:
Outra maneira de enxergar o problema é definindo a função VPL como a diferença entre as receitas esperadas a valor atual menos as despesas a valor atual. 
Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
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A equação da taxa interna de retorno também pode ser escrita como:
O lado esquerdo representa as despesas de investimento feitas na data de hoje, ou seja, o custo de capital. O lado direito representa as receitas trazidas a valor atual, ou seja, descontadas pela taxa interna de retorno.
Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
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Uma vez determinada a TIR do projeto de investimento, devemos confrontá-la com o custo de oportunidade, ou seja, com os investimentos alternativos existentes.
Se TIR > i, realizamos o investimento.
Se TIR < i, não realizamos o investimento.
Se TIR = i, indiferença entre realizar ou não o investimento.
Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
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Se a taxa de juros de mercado é inferior à TIR, podemos dizer que o projeto é viável do ponto de vista financeiro. Se ela é maior que a taxa de juros, o projeto pode ser considerado financeiramente inviável.
Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
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Taxa interna de retorno: problemas
A TIR não é necessariamente única, quando os fluxos trocam mais de uma vez de sinal.
Fazendo-se VPL = 0, encontramos três raízes reais positivas para a taxa de desconto: 1/3, 1/2 e 1 ou 33.3%, 50% e 100%. 
Text
- 6
29
- 46
24
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Graficamente, tem-se:
Taxa interna de retorno: problemas
Text
VPL
i
1
1/2
1/3
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Encontrar a taxa interna de retorno de um projeto em que o investimento inicial é de $ 150000.00 e que promete um fluxo de receitas anuais de $ 19500.00 pelo período de 10 anos.
Taxa interna de retorno: problemas
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Encontrar a taxa interna de retorno de um projeto em que o investimento inicial é de $ 150000.00 e que promete um fluxo de receitas anuais de $ 17500.00 nos primeiros cinco anos e $ 21500.00 nos cinco anos restantes.
Taxa interna de retorno
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Só é aplicável sem riscos de ambiguidade quando houver uma única inversão no fluxo de caixa.
Solução: TIRM
Taxa interna de retorno: problemas
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Comportamento temporal do rendimento e TIR
A TIR só é verificada quando todas as receitas forem auferidas, o que implica a recuperação integral do capital mais os lucros do investimento.
Considere que tanto o fluxo de caixa do investimento como a rentabilidade r sejam dados em termos contínuos pela equação
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Desenvolvendo, podemos escrever:
O limite dessa expressão para é dado por:
Portanto, quando , a rentabilidade torna-se infinitamente negativa .
Comportamento temporal do rendimento e TIR
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Comportamento da TIR
n
TIR=0
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Método Newton-Raphson
Como foi observado, para encontramos a TIR devemos encontrar as raízes de um polinômio do n-ésimo grau.
Se o polinômio for de ordem elevada, utilizamos o método Newton-Raphson para encontrar as raízes.
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Considere a função y = f(x) que possui uma raiz real, x, no gráfico a seguir. Como será possível obter o valor dessa raiz? Como ponto de partida, podemos atribuir um valor qualquer para ela. Se esse valor for a raiz, a função se anula no ponto, ou seja, f(x) = 0. Caso contrário, f(x) > 0 e estaremos, por exemplo, no ponto P0.
Método Newton-Raphson
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Método Newton-Raphson
�
f(x)
fx0
fx1
 x0 x1 x2 x* x
P0
P1
α
*
Pelo ponto P0, podemos traçar a tangente à função obtendo o ponto x1. Observe que o ponto x1 está mais próximo da raiz que o ponto x0 inicial. 
Como encontramos analiticamente o ponto x1? A tangente do ângulo corresponde à derivada da função no ponto P0.
Método Newton-Raphson
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Método Newton-Raphson
f(x)
 x0 x1 x* x
fx0
P0
α
*
Portanto, podemos escrever:
A partir do valor inicial x0, podemos determinar o valor da função e da derivada, obtendo, portanto, o valor de x1.
Método Newton-Raphson
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Suponha um investimento no valor de $ 100.00 que promete um fluxo de receitas no valor de $ 40.00 para os próximos quatro anos. Calcular a TIR utilizando o método Newton-Raphson.
Método Newton-Raphson
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Taxa interna de retorno modificada – TIRM 
Considere:
Reescrevendo:
À esquerda, temos receitas levadas a valor futuro pela TIR, divididas pelo valor do investimento feito na data de hoje que será igual à TIR por período (à direita). Mas, no mundo real dos negócios, as receitas líquidas disponíveis são reaplicadas pela empresa no mercado financeiro, diferentemente da TIR.
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TIRM
Modificação: reaplicação das receitas líquidas à taxa de juros de mercado, levadas a valor futuro e somadas ao final do projeto de investimento.
Investimentos: necessidades de caixa trazidas a valor presente. Portanto, teríamos o valor futuro das receitas.
Confronto: investimento realizado na data de hoje e valor futuro das receitas = TIRM.
Vantagem: única inversão no fluxo de caixa.
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No caso de um projeto de investimento do tipo convencional, em que a única modificação com relação à TIR consiste em reaplicar as receitas à taxa de juros de mercado, a TIRM é dada por:
Podemos generalizar esse resultado, admitindo que, ao lado das receitas futuras Rt, sejam realizadas despesas adicionais de capital no futuro Pt.
Como decorrência, as despesas levadas a valor futuro devem ser confrontadas com o gasto total de capital no cálculo da rentabilidade do projeto de investimento. 
TIRM
*
TIRM
Portanto, esses gastos adicionais devem ser levados a valor futuro, capitalizando-os pelo custo de oportunidade representado pela taxa de juros livre de risco. Ou seja, estamos imputando determinada remuneração para o capital. Nesse caso, podemos escrever:
Por conveniência, muitas vezes faremos que o custo de capital, r, seja igual à taxa de juros de mercado, i.
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TIRM
Uma máquina encontra-se à venda por $ 50000.00. Estima-se que ela deva proporcionar um fluxo anual de receitas no valor de $ 7500.00 por um período de dezanos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao ano, qual a TIR? Qual a TIRM?
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TIRM
No exemplo a seguir, calcular a TIRM, se a taxa de desconto é de 40%.
Text
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Generalizando
Ct são os custos de capitais, que resultam em fluxos negativos;
Rt serão sempre fluxos não negativos.
TIRM
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Valor presente líquido
O VPL apura o lucro econômico do projeto.
No cálculo do VPL, as receitas líquidas futuras, ou seja, os lucros contábeis futuros, são trazidos a valor presente utilizando a taxa de juros como taxa de desconto. Para se obter o lucro econômico final, ainda é necessário descontar o custo de capital do projeto de investimento. Desse modo, o VPL é definido pela seguinte equação:
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Supondo um fluxo de caixa com receitas constantes, o VPL é dado por:
O VFL é dado por:
Valor presente líquido
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Taxa interna de retorno e função valor presente líquido
Estudemos o comportamento da função VPL em termos da taxa de desconto i. Se VPL = 0, a taxa de desconto é igual à TIR.
Text
TIR > i
VPL
R1 + R2 + … + Rn - P
TIR = i
TIR < i
i
- P
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Valor presente líquido
Uma máquina encontra-se à venda por $ 50000.00. Estima-se que ela deva proporcionar um fluxo anual de receitas no valor de $ 7500.00 por um período de dez anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao ano, determinar se é um bom negócio fazer sua aquisição.
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Encontrar o VPL de um projeto em que o investimento inicial é de $ 150000.00 e que promete um fluxo de receitas anuais de $ 17500.00 nos primeiros cinco anos e $ 21500.00 nos anos restantes. Considere uma taxa de juros de 6% ao ano.
Valor presente líquido
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Investimentos alternativos ou excludentes
Objetivo: confrontar os métodos da TIR e do VPL. Supondo projetos do tipo convencional, com mesmo ciclo de vida e sem incerteza.
Situação: projetos possuem a mesma TIR. 
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Índice de rentabilidade
O índice de rentabilidade (IR) mede o retorno por unidade investida.
É dado pela razão entre as receitas descontadas pela taxa de juros e o custo de capital.
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Sendo o VPL dado por
	Podemos obter a relação entre IR e VPL:
Índice de rentabilidade
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É possível estabelecer a relação entre os três índices (TIR, VPL e IR) e sistematizar as regras de decisão de investimento:
Se VPL = 0, IR = 1 e TIR = i.
Se VPL > 0, IR > 1 e TIR > i.
Se VPL < 0, IR > 1 e TIR > i.
Índice de rentabilidade
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Seja um projeto com o seguinte fluxo de caixa: FC = {900, -110; 290; 255; 650; 710}. Se o custo de capital é de 13%, qual é relação benefício-custo?
Índice de rentabilidade
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Investimentos alternativos ou excludentes
Pelo critério da TIR, não saberíamos qual dos dois projetos escolher, pois ambos possuem a mesma TIR. Pelo critério do VPL, o projeto A seria melhor que o projeto B, pois VPLA > VPLB para todo i < TIR.
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Objetivo: confrontar os métodos da TIR e do VPL. Supondo projetos do tipo convencional, com mesmo ciclo de vida e sem incerteza.
Situação: projetos possuem diferentes TIR. 
Investimentos alternativos ou excludentes
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Pelo critério da TIR, escolheríamos o projeto B, que possui maior TIR. 
Se a taxa de juros for igual à taxa ik, ambos os projetos possuem o mesmo VPL. Para valores da taxa de juros superiores à essa taxa, o projeto B seria o melhor e, para valores inferiores, o projeto A deveria ser o escolhido. Portanto, o critério do VPL depende do nível da taxa de juros
Nessa situação, o método da TIR parece ser superior ao método do VPL, pois aponta, de forma inequívoca, para a superioridade do projeto B. 
Investimentos alternativos ou excludentes
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Considemos projetos com ciclos de vida diferentes. Nesse caso, o método da TIR é superior, pois permite a análise de projetos com diferentes ciclos de vida na medida em que indica a taxa de retorno por período, independentemente da duração do projeto. 
O VPL depende do volume do investimento envolvido em cada um dos projetos. Nesse sentido, o projeto de maior magnitude normalmente resultará em maior VPL, ou seja, na verdade o maior VPL é induzido pela maior magnitude do investimento. 
Investimentos alternativos ou excludentes
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Investimentos alternativos ou excludentes: TIRM
A uma taxa de desconto i =10%, calcule TIRM do seguinte fluxo de caixa: {-800, 5000, -4800}. O projeto deve ser aceito?
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Diferentes ciclos de vida
TIR e TIRM permitem a análise de projetos com diferentes ciclos de vida. Entretanto, o VPL é uma metodologia equivalente à de maximização de lucros. Como analisar usando o VPL? Considere o exemplo a seguir:
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Para compararmos projetos com diferentes ciclos de vida, computamos o VPL de um fluxo infinito de replicações à escala constante. Seja VPL(n,∞) o valor presente de um projeto com VPL(n), com n períodos, replicados para sempre ao final de sua vida. Assim, podemos calcular:
Diferentes ciclos de vida
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Tratando-se de uma PG infinita de razão 1/(1 + i)ⁿ, temos:
Usar essa fórmula no exemplo anterior e determinar qual projeto deve ser empreendido.
Diferentes ciclos de vida
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Risco e retorno
Até o momento, toda a análise desenvolvida admitiu por hipótese a não existência de qualquer tipo de incerteza com relação à expectativa de recebimento das receitas líquidas futuras.
Em contrapartida, as decisões de investimento sempre se basearam em uma expectativa correta com relação à taxa de juros futura. No entanto, vivemos em um mundo dominado pela incerteza, de forma que é impossível prever com exatidão os eventos futuros, ou seja, o fluxo de receitas líquidas futuras no caso de investimentos em ativos reais.
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Payback simples ou contábil
Em análise de investimento, um conceito importante é o de período de recuperação do capital, denominado payback. Quanto menor o prazo de recuperação do capital, menor o risco do empreendimento.
O payback deve ser tomado como medida de risco na escolha entre diferentes projetos de investimento.
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Considere, inicialmente, um fluxo com n receitas constantes R, sendo que o investimento é integralmente recuperado no recebimento da k-ésima receita, tal que k < n:
Logo, o período de payback é dado por:
Ao final do k-ésimo período, recupera-se integralmente o investimento.
Payback simples ou contábil
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Considere o seguinte fluxo de caixa A = {400; 100; 100; 100; 100; 100} em que o investimento é um múltiplo exato da receita. O período de payback é dado por:
Payback simples ou contábil
*
Considere, agora, a situação em que as receitas não são constantes. Seja Rk a receita recebida ao final do k-ésimo período. Nesse caso, podemos escrever:
	em que é a parcela da receita Rk necessária para completar o investimento realizado ou a parcela do k-ésimo período em que se localiza o período de payback. 
Payback simples ou contábil
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Desse modo, o período de payback é dado por 		sendo dado por:
Payback simples ou contábil
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Payback descontado
O payback descontado procura sanar essa deficiência descontando as receitas pelo custo oportunidade do capital, ou seja, pela taxa de juros. 
Considere um fluxo de caixa com receitas constantes descontado pela taxa de juros:
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Simplificando essa expressão e tomando logarítmo, temos:
O prazo k em que a soma das receitas descontadas igual o valor do investimento, ou seja, o payback, pode ser escrito como:
Payback descontado
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Observe que o payback depende da relação entre investimento e receita P/R e da taxa de desconto i. Considerando P/R dado, o payback depende somente da taxa de juros i. 
Se i = TIR, o payback coincide com a maturidade do projeto de investimento, ou seja, k = n.
Se i > TIR, o projeto de investimento não é viável, não tendo sentido em se falar em payback.
Se i < TIR, o período de payback é menor que o período de maturidade
do investimento, ou seja, k < n.
Payback descontado
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Considere o seguinte fluxo de caixa A = {400; 100; 100; 100; 100; 100}, cuja TIR = 7.93%. Se a taxa de juros for i < TIR, o projeto de investimento é viável. Suponha que a taxa de juros seja 6%. Nesse caso, k < n. Qual é o período de recuperação do investimento?
Payback descontado
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Finalmente, devemos considerar a situação em que as receitas não são constantes. Devemos descontar as receitas pela taxa de juros e confrontar sua soma com o investimento realizado. Se o investimento não é um múltiplo exato,
Nesse caso, o período de payback é dado por k - 1 + em que:
Payback descontado
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Seja o seguinte fluxo de caixa A = {400; 100; 105; 110; 105; 110} com uma TIR = 10.03%. Considere que a taxa de juros seja 6%. O projeto de investimento é viável?
Payback descontado
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Macaulay duration
O Macaulay duration, D, é definido como a média ponderada dos prazos de recebimento de cada uma das receitas sendo os pesos dados pela participação do valor atual de cada uma dessas receitas no valor do investimento, ou seja, no valor atual de todas as receitas
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No caso de receitas constantes, essa expressão também pode ser escrita:
Para chegar a uma fórmula compacta, observe que a expressão entre parênteses representa o valor atual de uma série gradiente crescente que pode ser escrita de forma compacta:
Macaulay duration
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Por sua vez, o valor de R é dado pela expressão:
Substituindo R, obtemos a expressão do prazo médio como função da maturidade e da taxa de juros.
Macaulay duration
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Como pode ser observado, o Macaulay duration mede o prazo médio do investimento. Quanto maior o Macaulay duration, ou seja, quanto maior o prazo médio, maior o risco de investimento. Pode-se mostrar que o Macaulay duration é equivalente à elasticidade do valor do investimento com relação às variações na taxa de juros, ou seja,
Macaulay duration
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Considere dois projetos de investimento A e B, no valor de $ 100000.00 e $ 50000.00, que lhe proporciona um fluxo de receitas pelo prazo de 20 anos com um rendimento esperado semestral de 5% e 2.5%, respectivamente. Nesse caso, o macaulay duration é dado, no caso do investimento A, por:
Macaulay duration
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Índice de Sharpe
O preço de qualquer ativo nada mais é que o fluxo de receitas futuras descontado pela taxa de retorno esperada ou exigida pelos investidores. Mudanças nos preços dos ativos refletiriam, portanto, as mudanças de percepção dos agentes econômicos a respeito dos riscos envolvidos, seja em relação à taxa de juros futura, seja em relação ao recebimento das receitas futuras.
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Quanto maior essa mudança, maior o risco para o investidor em carregar determinado ativo.
Portanto, a variabilidade dos preços dos ativos parece ser uma boa medida para o risco. No entanto, é impossível prever o comportamento dos preços futuros e, por conseguinte, sua variabilidade.
Uma boa aproximação para isso é olhar o comportamento passado e admitir que o comportamento futuro deverá reproduzir, em condições normais de mercado, o retorno e a variabilidade verificadas no passado.
Índice de Sharpe
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Sendo e os preços observados de um ativo qualquer no início e no final do t-ésimo período, podemos escrever:
	de modo que o retorno rt é dado por:
Índice de Sharpe
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A partir de n observações sobre o comportamento passado, podemos calcular o retorno médio :
O risco pode ser medido pela variabilidade ou volatilidade dos preços. Quanto maior for a variabilidade de determinado ativo, maior será o risco em carregá-lo. 
Índice de Sharpe
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Esse risco pode ser medido pelo conceito estatístico de variância que indica a variabilidade ou dispersão dos dados, ou seja, o quanto as observações se afastam da média. Se as observações estiverem concentradas em torno da média, a variância é pequena, caso contrário, se estiverem dispersas, a variância é grande.
Índice de Sharpe
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Sendo ri o retorno do ativo, rf o retorno do ativo livre de risco e 	o desvio padrão ou volatilidade do ativo i, podemos utilizar o índice de Sharpe Si que é dado pela expressão:
Índice de Sharpe
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O retorno médio do ativo A será de 0.42% e o desvio padrão de 1.07%. Para o ativo B, encontramos os seguintes valores: retorno de 1.27% e desvio padrão 2.12%. Como se pode observar, o ativo B proporciona maior retorno, mas também envolve um maior nível de risco que o ativo A. Qual dos dois ativos escolheríamos tendo em vista a hipótese de que o investidor é avesso ao risco?
Índice de Sharpe