Gabarito Lista 6

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: André Attilio, Bruno Komatsu, Otávio Sidone e Thiago Alexandrino 
 
LISTA 06 - GABARITO 
Questão 01 
Um indivíduo possui uma função utilidade e uma riqueza inicial . Uma loteria tem 
como pagamento uma quantia com uma probabilidade e uma quantia com 
probabilidade . 
(a) Se o indivíduo possui essa loteria, qual é o preço mínimo pelo qual ele a venderia? 
(Defina indiretamente por uma equação) 
(b) Se o indivíduo não possui a loteria, qual é o preço máximo que ele estaria disposto a 
pagar para obtê-la? (defina indiretamente por uma equação) 
(c) Suponha que , , , e √ . Calcule os preços de 
compra e de venda. 
(a) O preço máximo pelo qual o indivíduo venderia a loteria é aquele que garante que ele seja 
indiferente a ter a loteria ou o dinheiro obtido pela sua venda, ou seja, é o preço que faz com 
que a utilidade esperada da loteria e aquela obtida com a venda sejam iguais. Se o preço for 
menor do que aquele que satisfaz essa condição, o indivíduo prefere a loteria. Seja o preço 
de venda; o indivíduo será indiferente entre manter ou vender a loteria se: 
 
Essa equação define implicitamente o preço . 
 
(b) O preço máximo o qual o indivíduo está disposto a pagar pela loteria, caso na a possua, é 
aquele que faz com que a utilidade esperada de possuir a loteria após a compra seja igual à 
utilidade do indivíduo antes da compra. Se o preço for maior do que esse, o indivíduo preferirá 
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manter a riqueza que possui inicialmente. Seja o preço de compra; a condição será satisfeita 
com a igualdade: 
 
Essa equação define implicitamente o preço . 
 
(c) Temos , , , e √ . Então, o preço de venda será: 
 √ √ √ 
 
 
O preço de compra será: 
 √ √ 
 √ √ √ √ 
 √ √ 
 √ 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
Kay está planejando uma viagem ao redor do mundo em que pretende gastar R$10.000. A 
utilidade extraída da viagem é uma função de quanto o consumidor acaba gastando nela ( ), 
sendo dada por: 
 
(a) Se existe uma probabilidade de 25% de Kay perder R$1.000 do seu dinheiro na viagem, 
qual a utilidade esperada da mesma? (Utilize uma calculadora científica para fazer as 
contas) 
(b) Suponha que Kay possa adquirir um seguro contra a perda de R$1.000 a um prêmio 
atuarialmente justo de R$250. Mostre que a utilidade esperada é maior se ela comprar 
esse seguro do que se não comprar (e correr o risco de perder os R$1.000). 
(c) Qual a quantia máxima que Kay estaria disposta a pagar pelo seguro descrito no item 
anterior? 
(a) A utilidade esperada para a viagem será: 
 
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(b) Se Kay comprar o seguro a sua utilidade esperada será: 
 
 
 
(c) A quantia máxima que Kay estaria disposta a pagar pelo seguro seria aquela que a torna 
indiferente entre obter o seguro e a loteria sem o seguro; ou seja, é o valor que faz com que a 
utilidade esperada da viagem com o seguro seja igual à utilidade esperada da viagem sem o 
seguro. Seja o preço máximo; ele será dado por: 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
Um indivíduo possui uma quantidade de dinheiro no período 1 para investir em 
ativos, que são divisíveis e possibilitam retorno no período seguinte. Ele pode investir em um 
ativo seguro que paga $1 no período 2 para cada $1 investido, ou pode comprar um ativo 
de risco que paga $0,60 com uma probabilidade ou $1,50 com a mesma 
probabilidade. 
Se a utilidade do consumidor for dada por √ , quais serão as quantidade investidas em 
cada tipo de ativo? 
Sejam a quantidade do ativo seguro que o indivíduo irá comprar e , a quantidade do ativo 
de risco. Seja o retorno do ativo de risco, esse retorno será igual a $0,60 com uma 
probabilidade de 0,5 e a $1,50 com uma probabilidade de 0,5. Então a riqueza final do 
indivíduo será de . Em condições de incerteza o indivíduo irá maximizar a utilidade 
esperada, que nesse caso será: √ √ 
O indivíduo possui ainda uma restrição orçamentária, porque o máximo que pode comprar de 
ativos é a sua riqueza inicial: . 
Portanto, o problema do consumidor será: 
 
 
 √ √ 
 
 
 
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Podemos resolver esse problema de maneira simples substituindo a restrição na função 
objetivo: 
Então a função objetivo fica: 
 √ √ √ √ 
A função objetivo torna-se de somente uma variável ( ), de modo que podemos encontrar o 
ponto de máximo igualando a sua derivada a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Então, substituindo na restrição, temos: 
 
 
Questão 04 
Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Se fizer sol, cada hectare de trigo gerará 
lucro de 200; e se plantado com batatas, o lucro será de 100. Se fizer chuva, o lucro de um 
hectare de trigo será de 120; e se plantado com batatas, de 200. A utilidade da renda do 
fazendeiro é dada por U(Y)=ln(Y), em que Y é o lucro. As probabilidades de sol e chuva são 
iguais. Defina “t” como a proporção da terra dedicada ao plantio de trigo e “1-t”a proporção 
dedicada a plantação de batatas. Encontre o “t” ótimo. 
 
Questão 05 
Um indivíduo possui riqueza W= $100 e se depara com uma loteria que pode acrescentar $44 a 
sua riqueza, com probabilidade 0,25, ou subtrair $36, com probabilidade 0,75. Sua utilidade é 
do tipo Von Neumann- Morgenstern (VNM), é dada por U(X)= X^(1/2). 
a) Ache o coeficiente absoluta de aversão ao risco, o coeficiente relativa de aversão ao 
risco. Analise o comportamento dos coeficientes em relação a renda. 
b) Ele é avesso, neutro ou propenso ao risco? 
c) Qual é o máximo que o indivíduo está disposto a pagar para se livrar do risco? 
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Questão 06 
Julgue as afirmativas abaixo, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F): 
a) Pela hipótese de independência, as escolhas do consumidor em um estado da 
natureza devem independer das escolhas em outro estado da natureza. 
b) Uma função de utilidade côncava significa que o indivíduo é propenso ao risco. 
c) Se a função de utilidade for linear nas probabilidades, a utilidade atribuída a um jogo 
de azar será apenas o produto das utilidades dos diversos resultados possíveis, com 
cada utilidade elevada a sua probabilidade. ( 
 
 ). 
d) Se submetermos uma função de utilidade VNM a uma transformação afim positiva, ela 
não preservará a propriedade de utilidade esperada. Mas, se a transformação for 
monotônica, preservará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 07 
Um indivíduo possui a seguinte função de utilidade: 
 
 
 
 
Onde: C é a despesa em consumo, M é a despesa com seguro médico e se o indivíduo 
estiver doente e caso contrário. 
Assim, segundo essa função, quanto maior for o seguro melhor o tratamento médico e menos 
desagradável a doença. Se a probabilidade deadoecer for de 0,5 e se este indivíduo possuir 
rendimento igual a 10, calcule qual o montante de seguro que ele deverá fazer. 
 
Questão 08 
Um indivíduo possui função de utilidade Von Neumann-Morgenstern do tipo 
 
Onde m é a riqueza do indivíduo. Suponha que este indivíduo possua um carro avaliado em 
R$20.000,00 e deseja adquirir um seguro que lhe proteja de um possível sinistro que lhe 
custará R$10.00,000. A probabilidade do sinistro ocorrer é de 0,2. 
a) Calcule a quantidade que o indivíduo adquire de seguro como uma função do preço do 
seguro. 
b) Admita que o preço do seguro seja atuarialmente justo. Nesse caso, quanto o indivíduo 
compra do seguro? 
 
Questão 09 
Carlos decidiu gastar sua riqueza na compra de um automóvel que tem probabilidade 0,2 de se 
incendiar. Caso ocorra o incêndio, Carlos terá que se contentar com uma riqueza (R-k), e se 
não ocorrer incêndio, sua riqueza será de R, onde k é o valor do automóvel. 
a) Escreva o prêmio esperado (ou valor esperado) dessa loteria. 
Imagine que uma empresa seguradora ofereça segurar o valor total do automóvel. O valor 
cobrado pela empresa é de γ por unidade de seguro. 
b) Qual é o valor do seguro atuarialmente justo? Qual é o lucro da seguradora quando o valor 
do seguro é atuarialmente justo? 
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Questão 10 
Um indivíduo economizou 10.000 u.m. e planeja viajar. A utilidade da viagem é uma função de 
seus gastos na viagem e é dada por: 
 
Nesta viagem existe uma probabilidade de 25% de que ele venha a perder 1.000 u.m.. Para 
evitar esse risco de perda, ele pode fazer um seguro pagando um prêmio de 250 u.m.. 
a) O prêmio cobrado é atuarialmente justo? 
b) Compare a utilidade esperada da viagem com e sem o seguro. 
c) Qual é o prêmio máximo que o indivíduo deveria pagar? 
 
a) Para a seguradora, temos que o lucro esperado será: 
 
Portanto, o prêmio é atuarialmente justo. Ou seja, o valor pago pelo indivíduo é exatamente 
igual ao valor esperado da perda: 0,25.1000=250. 
b) A utilidade esperada sem o seguro (ss) e com o seguro (cs) são: 
 
 
Portanto, vemos que: . 
c) O prêmio máximo que o indivíduo deveria pagar é um valor que o deixa indiferente entre 
fazer o seguro ou não fazer. Assim, tal valor deverá satisfazer: . 
Portanto, o valor máximo que o indivíduo estaria disposto a pagar pelo seguro é 260, já que: 
 
 
Questão 11 
Um indivíduo possui escolha entre 3 situações alternativas: 
(I) ganhar $7,5 mi com probabilidade de 4/5 e $15 mi com probabilidade de 1/5 
(II) ganhar $10 mi com probabilidade de 4/5 e $5 mi com probabilidade de 1/5 
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(III) ganhar $9 mi com certeza 
a) O indivíduo deve ser indiferente entre (I) e (II)? 
b) Se o indivíduo prefere a situação (II) à (III), então suas escolhas são inconsistentes? 
c) Se a utilidade do indivíduo for , onde x for a quantidade de dinheiro, então (II) 
será melhor que (I) ? 
d) Se o indivíduo for indiferente às três situações, ele é neutro ao risco? 
 
O ganho esperado em cada uma das três situações é $9 mi: 
(I) [ ] (
 
 
) (
 
 
) 
(II) [ ] (
 
 
) (
 
 
) 
(III) [ ] 
a) Se o indivíduo fosse neutro ao risco, teríamos: 
 ( (
 
 
) (
 
 
)) (
 
 
) (
 
 
) 
 ( (
 
 
) (
 
 
)) (
 
 
) (
 
 
) 
Nesse caso haveria indiferença entre as alternativas (I) e (II). Porém se o indivíduo for avesso 
ou propenso ao risco, as igualdades acima não se verificariam e o indivíduo não seria 
indiferente entre as alternativas (I) e (II). 
Portanto, haveria indiferença entre as alternativas (I) e (II) se, e somente se, o indivíduo fosse 
neutro ao risco. 
b) Não, pois se o indivíduo fosse neutro ao risco, ele seria indiferente entre as alternativas (II) e 
(III), sem que houvesse nenhuma inconsistência. 
c) Se a utilidade do indivíduo for , onde x for a quantidade de dinheiro, ele seria 
neutro ao risco. Assim, seria indiferente entre as alternativas (I) e (II). 
d) O fato do indivíduo ser indiferente às três situações significa que ele é indiferente entre 
obter um valor com certeza e entrar numa loteria, pois em média ele aufere o mesmo ganho. 
Logo, ele é neutro ao risco. 
 
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Questão 12 
a) A concavidade das curvas de indiferença em relação à origem representa a aversão ao risco 
dos consumidores? 
b) Se um consumidor é neutro ao risco, então ele estará disposto a pagar R$10 por um bilhete 
de loteria se este lhe fornecer um ganho esperado de R$10? 
c) Um indivíduo avesso ao risco jamais participará de uma aposta? 
d) O prêmio de risco é o valor que uma pessoa avessa ao risco está disposta a pagar a fim de 
evitar os riscos? 
a) Não. Se o indivíduo é avesso ao risco, sua função de utilidade deve ser côncava. E tais 
funções de utilidade côncavas possuem curvas de indiferença convexas em relação à origem. 
b) Sim. Suponha uma loteria justa onde o indivíduo paga R$10 para apostar e ganha R$20 com 
probabilidade 0,5, e R$0 com probabilidade 0,5. O valor esperado dessa loteria é igual a 10. 
Se o indivíduo não entrar na loteria: 
Se o indivíduo entrar na loteria: 
c) Não necessariamente, isso dependerá da loteria. Se o prêmio de risco cobrado for 
atuarialmente justo, o indivíduo avesso ao risco sempre prefere sair da loteria. 
d) Sim. Definiremos primeiramente o equivalente de certeza (EC). Ele corresponde ao valor 
monetário que o indivíduo aceita receber com certeza para não entrar na loteria. Ou seja: 
 . Já o prêmio de risco equivale ao valor esperado da loteria, subtraído do 
valor do equivalente de certeza. Assim, consiste no valor que uma pessoa avessa ao risco está 
disposta a pagar a fim de evitar os riscos.