Hidrodinamica_1_Introducao

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HIDRODINÂMICA 
 
 
 
 
Definição: - É a parte da Hidráulica encarregada do estudo do movimento dos 
fluidos e das suas causas. 
 
Escoamentos dos fluidos estão sujeitos a: 
� Determinadas condições gerais 
� Princípios fundamentais 
� Leis da dinâmica 
� Teoria da turbulência 
 
 Na hidráulica, a hidrodinâmica estuda o movimento dos líquidos, 
correlacionando esse movimento com as causas desse movimento. O caso do 
estudo dos líquidos em repouso ou com movimento retilíneo uniforme já foi 
visto no capítulo anterior. 
 
 
 
1. Generalidades 
 
 Para o estudo do movimento dos líquidos faz-se necessário estabelecer 
a posição de alguns pontos no espaço ocupado pelo líquido em seu 
movimento. 
 
 Seja um fluido em escoamento e P a posição de um dado ponto no 
espaço, em um dado instante. Seja (ℓ) a trajetória descrita pelo ponto P no seu 
movimento. A posição de um ponto no espaço pode ser definida a partir de 
um referencial Oxyz, que na maior parte das vezes é um referencial cartesiano 
tri-ortogonal, de origem O e eixos Ox, Oy e Oz, ortogonais entre si, conforme 
ilustrado na figura seguinte. Quando o ponto P se movimenta, a sua posição 
varia com o tempo, de forma que pelo menos uma das coordenadas desse 
ponto muda com o tempo. 
 A posição do ponto P pode ser univocamente estabelecida, fornecendo-
se os valores de x, y e z, distâncias do ponto aos planos coordenados yOz, 
xOz e xOy, respectivamente. O terno de valores x, y e z é conhecido como 
coordenadas cartesianas do ponto P em relação ao referencial cartesiano tri-
ortogonal Oxyz. 
 
2 
 
 
 
P ≡ (x, y, z) � coordenadas cartesianas do ponto P, que definem um único 
ponto P do espaço. 
 
 A posição do ponto P no espaço também poderia ser estabelecida 
através de um vetor de origem O e extremidade P, denominado de vetor 
posicional de P. Tal vetor, rr , resulta da soma dos vetores deslocamentos em 
relação a cada um dos eixos coordenados, ix
r
, jyr e kz
r
 e a sua expressão 
cartesiana fica sendo: 
kzjyixr
rrrr
++=
 
Sendo i
r
, jr e k
r
 os vetores unitários das direções Ox, Oy e Oz, 
respectivamente. 
 
3 
 
 Se há movimento do ponto P, ele é definido no tempo quando se 
conhece: 
x = x(t) \ 
y = y(t) |> � equações paramétricas da trajetória 
z = z(t) / 
 
Se o ponto P muda de posição em um intervalo de tempo muito pequeno, dt, 
denomina-se vetor deslocamento infinitesimal ao vetor rdr dado por: 
kdzjdyidxrd
rrrr
++=
 
 Quando se relaciona este deslocamento infinitesimal com o intervalo de 
tempo correspondente, define-se o vetor velocidade, V
r
, tal que: 
 
kwjviu
dt
kzjyixd
dt
rdV
rrr
rrrr
r
++=
++
==
(
 
onde, 
 dt
dx
u = , dt
dy
v =
 e dt
dz
w =
 são as componentes cartesianas do 
vetor velocidade. 
 
 Como temos infinitos pontos no espaço ocupado pelo fluido no seu 
escoamento, conclui-se que V
r
 depende da posição e do tempo, de forma que 
se escreve ),,,( tzyxVV
rr
=
 para expressar tal dependência. Nesse caso, as 
componentes cartesianas do vetor velocidade também dependem da posição e 
do tempo, relação esta que se escreve genericamente da seguinte forma: 
u = u (x,y,z,t) 
v = v (x,y,z,t) 
w = w (x,y,z,t) 
 Como V
r
 muda com o tempo e com a posição, numa posição genérica, 
P, Vd
r
 é o vetor velocidade infinitesimal, correspondente a mudança de V
r
 no 
intervalo de tempo infinitesimal dt. Assim, pode-se definir o vetor aceleração 
como sendo: 
dt
Vd
a
r
r
=
 
 Substituindo o vetor velocidade por sua expressão cartesiana, tem-se: ( )
dt
kwjviud
a
rrr
r ++
=
 ou kajaiakdt
dwj
dt
dvi
dt
du
a zyx
rrrrrrr
++=++=
 
com 
 ax = ax (x,y,z,t); 
 ay = ay (x,y,z,t); 
 az = az (x,y,z,t); 
 
4 
 
 
As componentes cartesianas do vetor aceleração podem ser obtidas, 
lembrando que as derivadas são de funções que dependem da posição e do 
tempo. 
 
 Para o eixo Ox, o cálculo diferencial ensina que: 
dt
t
udz
z
udy
y
udx
x
udu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
dt
du
ax ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
 
 
 Para o eixo Oy, tem-se: 
dt
t
vdz
z
vdy
y
vdx
x
vdv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
u
dt
dv
ay ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
 
 
 De maneira análoga, para o eixo Oz, tem-se: 
dt
t
wdz
z
wdy
y
wdx
x
wdw
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se: 
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
dt
dw
az ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
 
 
 Assim, o vetor aceleração será dado como uma função do espaço e do 
tempo, cujas componentes cartesianas serão calculadas através das três 
equações acima. Observar que cada uma das componentes do vetor aceleração 
estão compostas de quatro parcelas. As três primeiras representam a 
aceleração que se observa ao se mudar de um a outro ponto no espaço, num 
mesmo instante. A quarta parcela representa a aceleração que se observa em 
um mesmo ponto, na medida em que o tempo passa. As três primeiras 
parcelas de cada componente cartesiana representam as componentes 
cartesianas do vetor aceleração convectiva ao longo de cada uma das três 
direções coordenadas consideradas. A quarta parcela de cada componente 
cartesiana do vetor aceleração representa a componente cartesiana do vetor 
aceleração local. Portanto, é comum escrever-se, genericamente, que: 
),,,( tzyxaa rr = = localconvectiva aa rr + 
 
5 
 
Nessa equação, o vetor aceleração tem, agora, duas componentes: o vetor 
aceleração convectiva e o vetor aceleração local. A primeira componente diz 
respeito a variação da velocidade com a posição num mesmo instante, ao 
passo que a segunda componente representa a variação da velocidade com o 
tempo, em uma mesma posição do espaço. 
 
 De maneira análoga, pode-se esperar que: 
),,,( tzyxρρ =
 
e, 
),,,( tzyxpp = . 
 
 Nos caso considerados, as variáveis x, y, z e t são denominadas de 
variáveis independentes e as variáveis dependentes são velocidade, 
aceleração, quantidade de movimento, energia, dentre outras. 
 Nos problemas envolvendo a hidrodinâmica normalmente podemos 
escrever até seis equações envolvendo até seis incógnitas, o que permite 
solucionar os mais diversos problemas relacionados aos escoamentos dos 
líquidos. Estas equações são: 
 
Equações Básicas: 
• 3 equação do movimento 
• 1 equação da continuidade 
• 1 equação da energia 
• 1 equação de estado 
 
 
 
PONTO DE VISTA DE EULER X PONTO DE VISTA DE LAGRANGE 
 
 
 
 
 
 
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2. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS 
 
 A natureza do escoamento de um fluido real é um pouco complexa, 
visto que as leis básicas que descrevem o seu movimento na têm uma 
formulação muito simples, levando a complexas equações matemáticas. Para 
evitar esse problema, é comum fazer uso de recursos experimentais, para 
melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao movimento dos fluidos. 
 No estudo do movimento dos fluidos aparecem muitos conceitos 
básicos que a seguir serão recordados. 
 
 Sistema: quantidade definida de matéria, distinta de todo o restante do 
meio que o cerca, separada para efeito de estudos. O sistema possui uma 
quantidade de massa perfeitamente caracterizada. A lei da conservação da 
massa afirma que a massa de um sistema permanece constante com o tempo, 
de maneira que matematicamente se pode escrever que dm/dt = 0, sendo m a 
massa total do sistema e t o tempo. 
 
 Fronteira do sistema: superfície fechada que delimita o sistema. Ela 
pode variar com o tempo, todavia terá sempre a mesma massa. 
 
 Volume de controle: é uma região do espaço ocupada por um fluido, 
escolhida para realizar a análise de um escoamento. Às vezes é denominado 
de sistema aberto. A forma e o tamanho do volume de controle podem variar, 
além de poder serem arbitradas livremente nos problemas. 
 
 Superfície de controle: superfície fechada que delimita o volume de 
controle. Através dela podehaver ou não passagem de massa. É comum fazer 
coincidir parte da superfície de controle com as paredes sólidas que delimitam 
um escoamento e outra parte com superfícies definidas perpendicularmente 
aos escoamentos. 
 
 Trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados 
sucessivamente por um ponto durante o seu movimento. Pode-se imaginar a 
trajetória como sendo o rastro deixado pelo ponto durante o seu movimento. 
 
 Linha de corrente, também denominada de linha de fluxo, é lugar 
geométrico dos pontos do espaço tangente à direção do vetor velocidade no 
ponto. Duas linhas de corrente não se cruzam. A equação da linha de corrente 
é decorrente de se considerar o deslocamento infinitesimal de um ponto, na 
 
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mesma direção e sentido do vetor velocidade, de forma que pode-se 
demonstrar que 
w
dz
v
dy
u
dx
== , onde dx, dy e dz são as componentes 
cartesianas do vetor deslocamento infinitesimal e u, v e w as componentes 
cartesianas do vetor velocidade ao longo dos eixos coordenados, 
respectivamente. Nos escoamentos permanentes não há variação da direção 
dos vetores velocidades, de modo que as linhas de correntes são fixas no 
espaço, com inclinações fixas. Nesse caso a trajetória de uma partícula é a 
linha de corrente, o que não acontece nos escoamentos não permanentes, 
quando as linhas de correntes variam com o tempo numa dada região do 
espaço. Linhas de correntes mais próximas entre si indicam maiores 
velocidades e mais distantes indicam regiões de menores velocidades. 
 
 
 
Fig. xx – Linhas de corrente de um escoamento e vetor velocidade em um 
ponto. 
 
 
 Tubo de corrente ou tubo de fluxo é definido pelo conjunto das linhas 
de corrente que tocam uma linha fechada traçada no interior de um 
escoamento. O tubo de corrente é fixo no escoamento permanente e varia com 
o tempo no escoamento não permanente. Já que o vetor velocidade num 
mesmo ponto não pode ter duas direções num mesmo instante, conclui-se que 
não poderá haver escoamento através das paredes de um tubo de corrente. 
 
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Fig. xx – Tubo de fluxo formado por linhas de corrente em um escoamento. 
(Refazer esta figura) 
 
 
Tipos e regimes de escoamentos: 
 
Quando se estuda os líquidos, em especial a água, é comum agrupar os 
escoamentos em determinados tipos, com características comuns, para fins de 
estudos. 
Os escoamentos podem ser classificados em função de suas 
características, capaz de identificar completamente aquele tipo ou regime de 
escoamento. Assim é comum classificar os escoamentos em: 
 
• ideal (invíscido) • real (viscoso, µ≠0) 
• uniforme • não uniforme (variado) 
• permanente • não permanente (variável) 
• acelerado • retardado 
• compressível • incompressível 
• rotacional • irrotacional 
• adiabático • unidimensional (grandezas = f(x) 
• bidimensional (grandezas = 
f(x,y) 
• tridimensional grandezas = 
f(x,y,z) 
• laminar (ação viscosa e 
velocidade baixa) 
• turbulento 
• forçado (condutos forçados) • livre (canais) 
• crítico • fluvial (subcrítico) 
• torrencial (supercrítico) 
 
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 Escoamento de fluido ideal é quando a tensão cisalhante é muito 
pequena, tornando-se desprezível. Nesse caso não há atrito e a perda de 
energia ao longo do escoamento é desprezível. Também chamado de 
escoamento de fluido invíscido. Em alguns casos faz-se a hipótese de 
escoamento de fluido ideal para se obter equações simplificadas de um 
problema real. 
 
 Escoamento de fluido real ou escoamento viscoso é aquele para o qual 
a tensão cisalhante não é desprezível, devendo ser considerada no 
equacionamento. Nesse caso existe influência da viscosidade real (µ≠0), de 
maneira que o atrito e a perda de energia ao longo do escoamento existem e 
precisam ser consideradas. É o caso da maioria dos escoamentos que ocorrem 
na natureza. 
 
 Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor velocidade do 
escoamento é o mesmo em todos os pontos (em módulo, direção e sentido) 
em um dado instante. Diz-se que a derivada parcial do vetor velocidade com a 
posição é nula ( 0=∂∂ posiçãoV
r
). Assim não há aceleração convectiva. 
Costuma-se estender tal definição para escoamentos que, embora a velocidade 
varie à partir do contorno sólido (como é o caso do escoamento de fluido 
real), a velocidade média mantém-se a mesma na região estudada, num dado 
instante. É o caso de escoamentos em condutos retilíneos de diâmetro 
constante. 
 
 Escoamento não uniforme ou variado é aquele para o qual o vetor 
velocidade do escoamento varia de um ponto para outro, num mesmo 
instante. Para tais escoamentos a derivada parcial do vetor velocidade com a 
posição não é nula ( 0≠∂∂ posiçãoV
r
), existindo a aceleração convectiva. É o 
caso do escoamento em condutos em que o diâmetro varia ao longo do 
escoamento. 
 
 Escoamento permanente é aquele para o qual as grandezas físicas que 
descrevem o escoamento não variam com o tempo numa dada região do 
espaço. Diz-se que a derivada parcial da grandeza com o tempo é nula 
( 0=∂∂ tgrand ). Nesse caso, 0=∂∂ tV
r
, 0=∂
∂
t
p
, 0=∂
∂
t
ρ
, 0=∂
∂
t
T , etc. A 
principal característica é que não haverá aceleração local, visto que o vetor 
velocidade não varia com o tempo. 
 
 Escoamento não permanente, também denominado de escoamento 
variável, é aquele para o qual as grandezas físicas que caracterizam o 
 
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escoamento variam com o tempo em uma dada posição do espaço. A derivada 
parcial das grandezas em relação ao tempo não é desprezível, devendo ser 
considerada nesse tipo de escoamento ( 0≠∂tgradn ), assim como as derivadas 
parciais das demais grandezas. Nesse tipo de escoamento não se pode 
desprezar a aceleração local. 
 
 Um escoamento é dito acelerado quando a velocidade aumenta no 
sentido do escoamento, de forma que aparece uma aceleração positiva 
segundo essa direção. Isso acontece, nas regiões em que a área da seção 
transversal do escoamento diminui, como nos injetores. 
 
 Um escoamento retardado é denominado retardado, quando a 
velocidade diminui no sentido do escoamento, de maneira a existir uma 
aceleração negativa, isto é, o escoamento está sendo freado. Ele pode ser visto 
em regiões onde a área da seção transversal vai aumentando, como nos 
difusores. 
 
 Um escoamento é dito compressível quando não se pode desprezar a 
variação da sua massa específica. É o caso de escoamento de gases em 
velocidades elevadas ou mesmo o escoamento de água que fica sujeita a 
grandes variações na pressão. 
 
 Um escoamento é dito incompressível quando a variação da massa 
específica puder ser desprezada. É o caso da maioria dos escoamentos de 
líquidos sujeitos a pouca variação da pressão. Pode-se admitir escoamento 
incompressível de ar, quando ele ocorrer a baixas velocidades (o número de 
Mach deve ser inferior a 0,3). 
 
 Escoamento adiabático é aquele que ocorre sem transferência de calor 
para o fluido ou do fluido. Um escoamento adiabático de fluido ideal é 
denominado de escoamento isoentrópico. 
 
 Um escoamento é irrotacional ocorre quando o fluido não apresenta 
rotação num certa região do espaço. 
 
 Um escoamento é rotacional quando as partículas do fluido, em uma 
certa região do espaço, sofrer uma rotação em torno de um eixo qualquer. 
 
 Escoamento unidimensional é aquele em que as grandezas físicas que 
caracterizam o escoamento, tais como velocidade, pressão, massa específica, 
variam com apenas uma coordenada espacial, além do tempo. Diz-se que tais 
grandezas variam apenas em uma única direção, que em geral é a direção na 
 
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qual o escoamento acontece. A variação das grandezas ao longo da direção 
transversal ao escoamento é desprezível. O escoamento pode ser tratado em 
termos médios na seção transversal, como ocorre nas tubulações. Esse é o 
caso da maioria dos escoamentos que acontecem nos condutos. 
 
 Escoamento bidimensional é aquele para o qual as grandezas físicas 
que o caracterizam variam ao longo de duas direções do espaço, isto é, variam 
em um plano xOy e nesse caso diz-seque grandezas são uma função, f(x,y), 
das coordenadas s e y. Admite-se que todas as partículas escoam em planos 
paralelos segundo trajetórias idênticas em cada um desses planos, podendo ser 
desprezada a variação das grandezas que interferem no escoamento ao longo 
da direção normal a esse plano. 
 
 Escoamento tridimensional é aquele para o qual as grandezas que 
descrevem o escoamento variam segundo três direções do espaço. É o caso 
mais geral de escoamento de fluido. Nesse caso diz-se que as grandezas do 
escoamento são funções de x, y e z (f(x,y,z)). As equações, em geral, são mais 
complexas e requerem mais esforço para serem resolvidas. 
 
 No escoamento laminar as partículas que compõem o fluido se 
movimentam em trajetórias bem definidas, constituindo lâminas ou camadas 
bem individualizadas no meio fluido. Em geral as partículas não se misturam 
entre si, formando camadas fluidas bem definidas, aproximadamente 
paralelas. Nesse caso predomina a ação das forças devidas à viscosidade do 
fluido, em relação às forças de inércia que tendem a quebrar as camadas ou 
filetes bem definidos. Se aparecem perturbações devido à turbulência elas são 
rapidamente amortecidas. É o caso típico dos escoamentos de fluidos viscosos 
em baixas velocidades. Na prática não são casos pouco freqüente no domínio 
da engenharia, a não ser em movimentos no solo ou em meios porosos. Nas 
tubulações ou nos canais ocorre com pouca freqüência. O escoamento laminar 
é governado pela Lei de Newton da viscosidade, podendo ser facilmente 
equacionado. 
 
 No escoamento turbulento as partículas de fluido movimentam em 
trajetórias irregulares, aleatórias, e de difícil caracterização. O movimento 
parece ser aleatório e sem um padrão definido, misturando completamente as 
diversas porções do fluido. Diz-se que ocorre a transferência da quantidade de 
movimento entre as diversas regiões que formam a massa de fluido em 
escoamento. No escoamento turbulento predominam as forças de inércia em 
detrimento das forças viscosas, de forma que as perturbações não são 
amortizadas e tendem a se propagar no interior do fluido em escoamento. É o 
caso dos escoamentos de fluidos mais comuns que ocorrem a velocidades 
mais elevadas. A turbulência provoca o aparecimento de maiores tensões 
 
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cisalhantes, causando, portanto, maiores perdas de energia que no escoamento 
laminar. Essas perdas de energia variam com o quadrado da velocidade, ao 
passo que no escoamento laminar as perdas variam linearmente com a 
velocidade. 
 
 Escoamentos forçado em condutos forçados é aquele que se dá sob a 
ação de uma pressão diferente da pressão atmosférica. A principal força que 
governa o escoamento é decorrente da pressão. Esse é o caso da maioria dos 
escoamentos que ocorrem no domínio da engenharia, assunto principal da 
hidráulica dos condutos forçados. 
 
 Escoamento livre, escoamento com superfície livre ou escoamento em 
canais é aquele que ocorre de forma que haja sempre uma superfície sujeita à 
pressão atmosférica. Nesse caso a principal força motriz do escoamento é a 
força gravitacional. 
 
 Um escoamento é denominado crítico quando ocorre com a menor 
energia específica possível. A velocidade do escoamento é denominada de 
velocidade crítica. Este escoamento será melhor definido ao se estudar a 
hidráulica dos canais. 
 
 Escoamento fluvial ou subcrítico é aquele para o qual a velocidade do 
escoamento é inferior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade 
de escoamento é muito baixa, de forma que o escoamento é lento ou 
tranqüilo. 
 
 Escoamento torrencial ou supercrítico é aquele pra o qual a velocidade 
é superior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade assume 
valores mais elevados, fazendo aparecer turbilhões ou vórtices. 
 
 
 
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2.1. CONCEITO DE VAZÃO 
 
 a) Vazão em volume: Q 
 É o volume de líquido que atravessa uma determinada seção normal ao 
escoamento na unidade de tempo. Também denominada de descarga ou 
débito. 
 Matematicamente a vazão é calculada por: 
Q = Vol/∆t 
 Entretanto, há casos em que a própria vazão varia com o tempo, como 
nos escoamentos não permanentes. Nesse caso o intervalo de tempo ∆t 
influencia no valor calculado da vazão, o que indica que a definição de vazão 
precisa ser estendida para ser calculada em um dado instante. Isso é feito, 
definindo que a vazão é, num dado instante, o limite da relação entre o 
volume que atravessa uma determinada seção normal ao escoamento e o 
tempo, quando esse tempo tende para zero. Isso corresponde, na prática, a 
adotar-se intervalos de tempo muito pequenos, para se determinar a vazão em 
um determinado instante. 
 
 
 A vazão também pode ser calculada em uma área muito pequena, 
denominada de área elementar e representada por dA. Nesse caso, tem-se: 
dQ = dVol/dt 
onde a vazão dQ, agora é um infinitésimo de primeira ordem e, dVol, um 
infinitésimo de ordem superior a dt. 
No limite: Q = l i m (Vol/∆t) = dVol/dt 
 ∆t�0 
 
Se Q é constante � Q = Vol/∆t 
 
 
14 
 
 
Fig. xx – Vazão em uma área elementar, dA, onde a velocidade é v. 
 
 Observar que todas as partículas que se encontram sobre dA num dado 
instante, deslocam-se de um comprimento infinitesimal, ds, formando um 
prisma de fluido de base dA e altura ds. Assim, 
dVol = dA.ds e, 
dQ = dA.ds/dt 
Lembrar que ds/dt é exatamente o valor da velocidade tangencial à linha de 
corrente que passa pelo centro de gravidade de dA, de forma que v = ds/dt. 
Assim, finalmente, pode-se escrever que 
dQ = v.dA 
resultado que expressa uma nova maneira de se calcular a vazão, como o 
produto entre a velocidade do escoamento e a área normal à direção do 
escoamento. 
 A vazão total em uma área finita, A, pode ser calculada somando-se as 
infinitas parcelas vdA de forma a varrer toda a área A. Matematicamente, 
escreve-se que 
∫= A dAvQ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dQ = dVol/dt 
 
dQ= dA.ds/dt = v.dA 
 
� ∫= A dAvQ . 
 
 
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 Podem ocorrer casos que v não seja perpendicular à área dA. Portanto é 
necessário ampliar o conceito de vazão para considerar tais casos. Para tal, 
define-se um vetor área, de forma que ele tenha um módulo igual ao valor da 
área,l direção perpendicular a essa área e sentido voltado para fora da área, 
conforme esquematizado na figura seguinte. Esse vetor fará um ângulo θ com 
o vetor velocidade, conforme ilustrado na figura seguinte. 
 
 
Fig. xx – Vetor velocidade não é perpendicular à área e vetor área 
infinitesimal. 
 
Nesse caso, a vazão é definida como o produto escalar entre o vetor 
velocidade e o vetor área definido anteriormente, ou seja: 
AdvdQ
rr
.=
 
Pela definição de produto escalar entre dois vetores, resulta: 
θcos..dAvdQ =
 
Onde v é o módulo do vetor velocidade, dA é o módulo do vetor área e θ o 
menor ângulo entre as direções dos dois vetores anteriormente referidos. 
 Lembrando que a componente da velocidade na direção da tangente é 
denominada de velocidade tangencial, pode-se escrever que: 
θcos.vvt = 
Logo, a vazão elementar em uma área dA será calculada como: 
dAvdAvdQ t== .cos. θ 
 
 Para o caso de uma área finita, podemos calcular a vazão através dela 
pela aplicação das seguintes expressões: 
 
∫∫ == AA dAvAdvQ .cos.. θ
rr
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades de vazão: 
 Em todo sistema coerente de unidades, se uma relação prevalece entre 
grandezas, ela também ocorre entre suas unidades. Assim, 
 
U(Q) = U(Vol)/U(t) 
 
 U(Q) = m3/s �SI e Sistema técnico 
 = cm3/s � CGS 
 = ft3/sec � Sistema Inglês Absoluto e Sist. Inglês Técnico 
 
Essas são as unidades usuais para medida da vazão. Entretanto outras podem 
ser utilizadas, dependendo do valor da vazão. Vazões podem ser expressas em 
m
3/h, l/s, m3/dia, ml/s, etc. Ressalta-se que no Sistema Inglês, a vazão é 
sempre expressa em ft3/s, também denominada de cfs (cubic feet for second). 
 
 b) Vazão em massa: m& ou Qm 
 
 É a massa de fluido que atravessauma dada seção transversal ao 
escoamento na unidade de tempo. 
 Para uma área A, matematicamente se escreve: 
Qm = m& = m/∆t 
 
 Quando a vazão em massa varia com o tempo, deve-se passar ao limite 
da relação acima quando ∆t tende para zero, de forma que: 
t
m
mQ
t
m ∆
==
→∆ 0
lim&
 
 
 O limite acima é exatamente a definição de derivada da massa em 
relação ao tempo, logo, na prática, apesar da definição acima, usa-se a 
seguinte expressão para o cálculo da vazão em massa: 
Caso v não seja perpendicular a dA: 
θcos... dAvAdvdQ ==
rr
 
 
dAvdAvdQ t== .cos. θ 
ou 
∫∫ == AA dAvAdvQ .cos.. θ
rr
 
 
 
17 
 
dt
dm
mQm == & 
 Mas, conforme definição anterior, substituindo dm = ρ.dVol, tem-se: 
AvQ
dt
dVol
dt
dm
mQm ...
. ρρρ ===== &
 
 
 Em uma área elementar, dA, a vazão em massa é um infinitésimo de 
primeira ordem e dVol é um infinitésimo de ordem superior, de forma que: 
 
 
dAv
dt
dAds
dt
dVol
dt
dm
mddQm ..
.
.
. ρρρ ===== &
 
 Resumindo, o cálculo da vazão em massa que atravessa uma área 
elementar, dA, perpendicular ao escoamento, será: 
dAvmddQm ..ρ== & 
 Quando v não é perpendicular a dA, a vazão em massa será calculada 
por: 
AdvmddQm
rr
& ..ρ==
 
 Para uma área, A, finita, basta somar as infinitas parcelas acima, para se 
encontrar a vazão em massa total, de forma que: 
∫== Am AdvmQ
rr
& ..ρ
 
Ou 
∫== Am dAvmQ θρ cos& 
 
Unidades de vazão em massa: 
 Como a relação entre grandezas também prevalece entre as unidades 
em todo sistema coerente de unidades, escreve-se que: 
U(Q) = U(Vol)/U(t) 
 U(Qm) = kg/s �SI 
 = utm/s � Sistema técnico 
 = g/s � CGS 
 = lb/sec � Sistema Inglês Absoluto e 
 = slugg/séc � Sistema Inglês Técnico 
 
Essas são as unidades usuais para medida da vazão. 
 
18 
 
 
 c) Vazão em peso: G 
 
 Por definição é o peso de fluido que atravessa uma dada seção normal 
ao escoamento na unidade de tempo. 
t
PG
∆
=
 
No caso de G variar com o tempo tem-se: 
∫==∆
=
→∆ At
Advg
dt
dP
t
PG
rr
..lim
0
ρ
 
 
 É uma grandeza pouco utilizada nos escoamentos de líquidos. 
 
 d) Velocidade média: V 
 
Em muitos escoamentos que ocorrem na prática, é usual falar-se em uma 
velocidade que representa tal escoamento: a velocidade média. Com 
freqüência, os escoamentos têm as suas equações expressas em termos da 
velocidade média. Portanto, define-se a velocidade média como sendo a 
relação entre a vazão e a área da seção transversal ao escoamento onde ela 
ocorre. Assim, escreve-se: 
A
QV =
 
Como 
∫= AvdAQ , 
tem-se que 
A
Q
vdA
A
V
A
== ∫
1
 
 
 No caso geral, quando o vetor velocidade do escoamento não for 
perpendicular à área, velocidade média será calculada pela seguinte equação: 
∫= A AdvA
V
rr
.
1
 
 
 
 
19 
 
 
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO 
 
1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser 
de 450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual 
deveria ser o diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros 
comerciais existentes no mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 
mm e 450 mm. 
 
SOLUÇÃO 
 
Q =A.V, sendo A = pi.D2/4. 
 
A = pi.D2/4 = Q/V. 
 
D2 =4.Q/V/pi. 
 
D2 = 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558 
 
D = 0,389 m ou D =389 mm. 
 
Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido. 
 
 
 
 
 
2. Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devida ao uso de uma 
coluna de distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, 
qual será a velocidade do escoamento da água? 
 
SOLUÇÃO 
 
Q =A.V, sendo A = pi.D2/4. 
 
V =Q / A = 4.Q/(pi.D2). 
 
V =4*0,0075/(3,142*0,0602) 
 
V= 2,65 m/s 
 
Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm.