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Equações Separáveis
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Equações Separáveis: Exercícios Resolvidos PROBLEMAS Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. 1. 𝑦′ = 𝑥2 𝑦 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑦 𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑥2. 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 𝑦2 2 = 𝑥3 3 + 𝐶 1 2 . 𝑦2 = 1 3 . 𝑥3 + 𝐶 𝑦 = √ 2 3 . 𝑥3 + 𝐶 2. 𝑦′ = 𝑥2 𝑦(1+𝑥3) 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑦(1 + 𝑥3) 𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑥2 1 + 𝑥3 . 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2 1 + 𝑥3 𝑑𝑥 𝑦2 2 = ∫ 𝑥2 1 + 𝑥3 𝑑𝑥 𝑢 = 1 + 𝑥3 , 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑥 = 1 3𝑥2 𝑑𝑢 𝑦2 2 = ∫ 𝑥2 𝑢 . 1 3𝑥2 𝑑𝑢 𝑦2 2 = ∫ 1 𝑢 . 1 3 𝑑𝑢 𝑦2 2 = 1 3 ∫ 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑦2 2 = 1 3 . ln|𝑢| + 𝐶 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦2 2 = 1 3 . ln|1 + 𝑥3| + 𝐶 𝑦 = √ 2 3 . ln|1 + 𝑥3| + 𝐶 3. 𝑦′ + 𝑦2 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑦2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 𝑦2 𝑑𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ −𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 ∫ 𝑦−2 𝑑𝑦 = cos 𝑥 + 𝐶 𝑦−2+1 −2 + 1 = cos 𝑥 + 𝐶 − 1 𝑦 = cos 𝑥 + 𝐶 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦 = − 1 cos 𝑥 + 𝐶 4. 𝑦′ = (3𝑥2−1) (3+2𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3𝑥2 − 1) (3 + 2𝑦) (3 + 2𝑦)𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 1)𝑑𝑥 ∫(3 + 2𝑦)𝑑𝑦 = ∫(3𝑥2 − 1)𝑑𝑥 3𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶
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