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Hidrodinamica_4_Eq_Energia_Tubo_Corrente

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66 
HIDRODINÂMICA 
 
 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA SEGUNDO UM TUBO DE CORRENTE 
 
Na dedução da equação da energia entre dois pontos de uma linha de 
corrente não se considerou a variação da velocidade que ocorre 
perpendicularmente à direção do escoamento. No caso dos escoamentos que 
ocorrem em relação a um contorno sólido, é sabido que a velocidade é nula do 
contorno sólido e aumenta de valor gradualmente na direção perpendicular a 
esse contorno sólido até atingir a velocidade de equilíbrio longe deste 
contorno sólido, onde a tensão cisalhante é nula. Tal condição ocorre no eixo 
de tubos ou a meia distância do escoamento entre placas paralelas. Assim é 
preciso tratar o escoamento em termos do valor médio das grandezas 
envolvidas nos escoamentos em tubos de fluxo, como é o caso da velocidade 
média definida anteriormente. 
Nos escoamentos em tubulações os valores da pressão, massa 
específica e carga piezométrica podem variar pouco, permitindo o uso de 
valores médios. A rigor existe uma variação dos valores das grandezas para 
cada linha de corrente que se considere. Então, pode ser interessante definir 
uma linha de corrente que propicie a consideração de uma linha de energia 
que corresponda ao escoamento da totalidade da seção, fazendo-se uso do 
valor médio da velocidade. 
 
 
67 
 
Figura representativa do escoamento de fluido real em tubulação de diâmetro D: 
 
Perfil de velocidades do escoamento de um fluido real em uma 
tubulação: 
 v = f(r) � perfil de velocidades. 
 r = 0 (centro do tubo) � v = Vc. 
 r = R (parede do tubo) � v = 0. 
 r (posição genérica em relação ao centro da tubulação) � v 
 y (posição genérica em relação à parede da tubulação) � v 
 y = R – r � dy = -dr 
 
Para o escoamento onde v = f(r) tem-se: 
 Vazão: ∫=
A
dAvQ .
 
 Velocidade média: A
QV =
 ou ∫=
A
dAv
A
V .1
 
 
 Representa a velocidade de um escoamento médio (idealizado) 
de valor constante, V, sobre toda a seção transversal da tubulação. 
 
 
 
68 
Energia cinética para o escoamento real: 
 Energia cinética das partículas que atravessam uma área elementar, dA, 
onde a velocidade é v e a posição é r será dada por: 
2
.
2
1
vdmdEc =
 
 Taxa de variação da energia cinética das partículas que atravessam a 
área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade de tempo é 
dada por 
2
2
1
v
dt
dm
dt
dEc
=
 ou 
2
.
2
1
vmdEd c && =
 
Como dAvdt
dm
md ..ρ==&
 � dAvEd c ..2
1 3ρ=&
 
 A taxa de variação com o tempo da energia cinética das partículas que 
atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: 
dAvE
Ac
..
2
1 3
∫ 





= ρ&
 � (1) - variação da energia cinética com o tempo 
 
Energia cinética para o escoamento médio: v = V = cte
 
 
 
Figura representativa do escoamento médio de fluido real em tubulação de diâmetro D: 
 
 
69 
 
 Taxa de variação com o tempo da energia cinética das partículas de 
fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento médio é dada 
por 
2
2
1 V
dt
dm
dt
dEc
=
 ou 
2
.
2
1 VmEc && =
 
Como AVdt
dm
m ..ρ==&
 
tem-se que 
AVEc ..2
1 3ρ=& � (2) - variação da energia cinética com o tempo em 
termos do escoamento médio. 
 
Para que a taxa de variação da energia cinética do escoamento real, 
calculada pela equação (1) seja igual à taxa de variação da energia cinética do 
escoamento médio, calculada pela equação (2), é necessário o uso de um 
coeficiente α tal que: 
AVdAv
A
..
2
1
...
2
1 33 ραρ =





∫ 
Assim, 
AV
dAv
A
.
.
3
3
∫
=α
 
α é denominado fator de correção de energia cinética ou coeficiente de 
Coriolis. Gustaqve-Gaspard Coriolis, engenheiro francês, 1792-1843. 
 
Obs: 1. Em geral α ≥ 1 para os escoamentos de fluidos reais. 
 2. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: α = 1,0 
 
 
70 
 3. Para escoamento laminar: α = 2,0 
 4. Para escoamento turbulento α = 1,05 a 1,10 
 
Em termos da quantidade de movimento, p
r
 
 
Para uma massa m que estiver animada de uma velocidade v
r
: vmp
rr
= . 
Considerando apenas o módulo da quantidade de movimento das partículas 
que atravessam uma área dA do escoamento real, tem-se: 
vdmdp .=
 
 Taxa de variação da quantidade de movimento das partículas que 
atravessam a área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade 
de tempo é dada por 
v
dt
dm
dt
dp
=
 ou vmdpd .&& = 
Como dAvdt
dm
md ..ρ==&
 � dAvvdAvpd ..... 2ρρ ==& 
 A taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento das 
partículas que atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: 
dAvp
A
..
2
∫= ρ& � (3) - variação da quantidade de movimento com o 
tempo 
 Taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento das 
partículas de fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento 
médio é dada por 
V
dt
dm
dt
dp
=
 ou Vmp .&& = 
Como AVdt
dm
m ..ρ==&
 tem-se que: 
 
 
71 
AVp .. 2ρ=& � (4) - variação da quantidade de movimento com o tempo em 
termos do escoamento médio. 
Para que a taxa de variação da quantidade de movimento do 
escoamento real, calculada pela equação (3) seja igual à taxa de variação da 
quantidade de movimento do escoamento médio, calculada pela equação (4), 
é necessário o uso de um coeficiente β tal que: 
AVdAv
A
.....
22 ρβρ =∫ 
Assim, 
AV
dAv
A
.
.
2
2
∫
=β
 
β é denominado fator de correção de quantidade de movimento ou coeficiente 
de Boussinesq. Jouseph Boussinesq, matemático francês, 1842-1929. 
 
Obs: 1. Em geral β ≥ 1 para os escoamentos de fluidos reais. 
 2. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: β = 1,0 
 3. Para escoamento laminar: β = 4/3 
 4. Para escoamento turbulento β = 1,02 a 1,04 
 5. Para escoamentos laminar ou turbulento em tubulações de seções 
circulares, pode-se demonstrar que α = 3.β – 2. 
Desta forma, finalmente, pode-se escrever a equação geral da energia, 
na forma integral, para o escoamento médio que ocorre ao longo de um tubo 
de corrente: 
 
( )V
dt
d
g
sh
g
vp
z
g
vp
z p βαγαγ
∆
++++=++ 12
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 22 
 
 
 
72 
 
7. ESCOAMENTOS COM BOMBAS E TURBINAS 
 
 Nos escoamentos dos fluidos podem ocorrer situações nas quais a 
energia está sendo introduzida ou retirada em pontos específicos. Isso é 
possível graças a máquinas hidráulicas que têm a capacidade de alterar a linha 
de energia. 
 
Bombas: são máquinas hidráulicas com capacidade de introduzir energia nos 
escoamentos dos fluidos. 
Turbinas: são máquinas hidráulicas capazes de retirar energia dos 
escoamentos dos fluidos. 
 
BOMBAS HIDRÁULICAS 
 Seja um escoamento de líquido num sistema composto por duas 
tubulações de diâmetros D e D´, entre as quais existe uma bomba hidráulica, 
conforme ilustrado na figura seguinte. Seja dois pontos do escoamento, um na 
entrada da bomba e outro na sua saída. Como há introdução de energia no 
escoamento pela bomba, a energia por unidade de peso do líquido na saída é 
maior que energia por unidade de peso do líquido na entrada, caracterizando 
uma elevação da linha de energia, LE. A tubulação que antecede a bomba é, 
geralmente, denominada de tubulação de sucção e a que vem depois da 
bomba é denominada de tubulação de recalque. As velocidades nas 
tubulações de sucção e de recalque são, respectivamente, V e V´. Na 
ilustração, observa-se que D´ é menor que D, de forma que a velocidade na 
linha de recalque é superior à velocidade na linha de sucção, o que torna as 
linhas piezométricas e de energia mais distantes na tubulação de recalque. A 
energia introduzida é utilizada na elevação da pressão e na elevação de 
velocidade do escoamento do líquido. 
 
 
73 
 
 
 
Entrada: Velocidade: VE = V Carga cinética: g
VE
2
2
 
 Pressão: pE Carga piezométrica: γ
Ep
 
 Cota: zE Diâmetro: D= DE Vazão:Q 
Saída: VS = V´ Carga cinética: g
VS
2
2
 
 Pressão: pS Carga piezométrica: γ
SpCota: zS Diâmetro: D´= DE Vazão: Q 
 
A equação de Bernoulli aplicada entre a entrada, E, e a saída, S, da bomba: 
g
Vp
zE
g
Vp
z SSSB
EE
E 22
22
++=+++
γγ 
 
 
74 
EB é a energia que a bomba introduz no escoamento por unidade de peso de 
fluido. 
A carga total na entrada da bomba é: g
Vp
zH EEEE 2
2
++=
γ . 
A carga total na saída da bomba é: g
Vp
zH SSSS 2
2
++=
γ . 
O balanço de energia permite escrever: SBE HEH =+ . 
Logo a energia introduzida pela bomba para cada unidade de peso de líquido 
que está escoando será: 
ESB HHE −= 
Em termos de unidades das grandezas: 
U(γ) = N/m3; U(Q) = m3/s, U(EB) = N.m/N = m. 
Considerando a unidade: U(γ.Q.EB) =N.m-3.m3.s-1.m = N.m/s = J/s =watt= W. 
 
Assim, define-se a potência útil ou potência efetiva de uma bomba, Pu, 
como sendo a energia introduzida pela bomba no escoamento por unidade de 
tempo. Então: 
Bu QEP γ= 
Como há perdas de energia no processo, constata-se que a potência que 
a bomba absorve do sistema, PB, denominada simplesmente de potência da 
bomba, deve ser maior que a potência introduzida no escoamento: PB > Pu 
 Logo define-se o rendimento, η, de uma bomba como sendo a relação 
entre a potência útil e a potência da bomba. Matematicamente escreve-se: 
B
u
P
P
=η
 
O rendimento às vezes é expresso em termos percentuais, de forma que: 
 
 
75 
ηη 100100.(%) ==
B
u
P
P
 
Assim, a potência de uma bomba será dada por PB = Pu / η ou, finalmente, 
η
γ B
B
QEP =
 
 
Observações: 
1. Bomba com 100% de eficiência: η = 1 e PB = Pu. 
2. Unidade de PB no Sistema Internacional de Unidades: U(PB) = J/s = 
watt = W. 
3. É usual fornecer a potência em kW. Sendo 1 kW = 1.000W, de maneira 
que: η
γ
1000
B
B
QEP =
. Todas as unidades no SI e PB em kW. 
4. No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m3 e Q em m3/s a potência 
será calculada por η
γ B
B
QEP =
, sendo expressa em kgf.m/s. 
5. Lembrando da relação com o cavalo vapor e que 1 cv = 736 W ou 1 cv 
= 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será 
calculada por η
γ
75
B
B
QEP =
, sendo expressa em cv. 
6. Às vezes os fabricantes expressam a potência de suas bombas em hp 
(horse power). Como 1 hp = 744 W ou 1 hp = 75,9 kgf.m/s e se γ for 
medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por 
η
γ
9,75
B
B
QEP =
, sendo expressa em hp. 
 
 
 
 
76 
TURBINAS HIDRÁULICAS 
Quando um escoamento ocorre na presença de uma turbina hidráulica, 
observa-se uma retirada de energia do escoamento, de forma que a energia na 
entrada da turbina é maior que a energia na sua saída. Assim, observa-se uma 
queda na linha de energia, devida à energia retirada pela turbina. A energia 
retirada é usada para realização de trabalho mecânico, disponível no eixo da 
turbina. A figura seguinte ilustra os elementos envolvidos no problema. 
 
 
 
 
Entrada: Velocidade: VE = V Carga cinética: g
VE
2
2
 
 Pressão: pE Carga piezométrica: γ
Ep
 
 Cota: zE Diâmetro: D= DE Vazão:Q 
 
 
77 
Saída: VS = V´ Carga cinética: g
VS
2
2
 
 Pressão: pS Carga piezométrica: γ
Sp
 
 Cota: zS Diâmetro: D´= DE Vazão: Q 
 
A equação de Bernoulli aplicada ao escoamento entre a entrada, E, e a saída, 
S, da bomba: 
g
Vp
zE
g
Vp
z SSST
EE
E 22
22
++=−++
γγ 
ET é a energia retirada do escoamento pela turbina, por unidade de peso de 
fluido. 
As cargas totais na entrada da turbina e na sua saída continuam sendo 
definidas da mesma forma que na bomba, de forma que: 
Carga total na entrada: g
Vp
zH EEEE 2
2
++=
γ . 
Carga total n saída: g
Vp
zH SSSS 2
2
++=
γ . 
Nesse caso, o balanço de energia permite escrever: STE HEH =− . 
Logo a energia retirada pela turbina, por cada unidade de peso de líquido que 
está escoando, será: 
SET HHE −= 
As unidades das grandezas envolvidas são análogas às da bomba, de 
forma que define-se a potência útil ou efetiva de uma turbina como sendo a 
energia retirada do escoamento pela turbina, na unidade de tempo: 
Tu QEP γ= 
 
 
78 
No processo de retirada de energia do escoamento certamente ocorrerão 
perdas de energia, de forma que a energia fornecida pela turbina, medida 
disponível no seu eixo será menor que a energia retirada do escoamento: PT < 
Pu. 
PT = potência fornecida pela turbina ou simplesmente potência da turbina 
 O rendimento para as turbinas é definido de maneira ligeiramente 
diferente do rendimento definido para as bombas. Assim define-se o 
rendimento de uma turbina como sendo a energia fornecida no seu eixo pela 
energia retirada do escoamento, ambas por unidade de tempo, escrita 
matematicamente como: 
u
T
P
P
=η
 
O rendimento também pode ser expresso em termos percentuais, de forma 
que: 
ηη 100100.(%) ==
u
T
P
P
 
Assim, a potência de uma turbina será dada por PT = Pu * η ou, finalmente, 
ηγ TT QEP = 
 
Observações: 
1. Turbinas com 100% de eficiência: η = 1 e PT = Pu. 
2. Unidade de PT no Sistema Internacional de Unidades: U(PT) = J/s = 
watt = W. 
3. É usual fornecer a potência em kW. Sendo 1 kW = 1.000W, de maneira 
que: η
γ
1000
T
T
QEP =
. Todas as unidades no SI e PT em kW. 
 
 
79 
4. No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m3 e Q em m3/s a potência 
será calculada por ηγ TT QEP = , sendo expressa em kgf.m/s. 
5. Assim como nas bombas, lembrando da relação com o cavalo vapor e 
que 1 cv = 736 W ou 1 cv = 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m3 e Q 
em m3/s, a potência será calculada por η
γ
75
T
T
QEP =
, sendo expressa 
em cv. 
6. Quando a potência das turbinas for expressa em hp (horse power), se γ 
for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por 
ηγ
9,75
T
T
QEP =
. 
 
 
APLICAÇÕES: 
 Nos escoamentos uniformes e permanentes, a equação geral para o 
escoamento entre dois pontos 1 e 2 será: 
12
2
22
2
2
11
1 22 pTB
h
g
vp
zEE
g
vp
z +++=−+++
γγ 
Observações: 
1. Sem bomba: EB = 0; 
2. Sem turbina: ET = 0; 
3. Escoamento de fluido ideal: hp = 0. 
4. Na solução dos problemas elaborar desenho claro com traçado das LE e 
LP. 
5. Não se esquecer de aplicar a equação de Bernoulli sempre no sentido 
do escoamento. 
 
 
 
 
80 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Uma bomba é utilizada para elevar 15 l/s de água de um reservatório de 
sucção para um reservatório de recalque, com rendimento de 75%, conforme 
ilustrado na figura seguinte. Os níveis da água nos reservatórios de sucção e 
de recalque são 150,0 m e 200,0 m, respectivamente. O diâmetro da tubulação 
de sucção é de 0,15 m e o de recalque é de 0,10 m. A bomba está na cota 
151,50 m. A perda de carga na tubulação de sucção é de 0,56 m e na de 
recalque é 17,92 m. 
 
 
a) Cálculo das velocidades e cargas de velocidades na entrada e saída da 
bomba: 
sm
D
QVE /85,015,0*142,3
015,0*44
22 === pi � 
m
g
VE 037,0
807,9*2
85,0
2
22
==
 
sm
d
QVS /91,110,0*142,3
015,0*44
22 === pi � 
m
g
VS 186,0
807,9*2
91,1
2
22
==
 
 
 
81 
b) Cálculo das energias na entrada e na saída da bomba: 
mhz
g
Vp
zH pEEEE 44,14956,01502 11
2
=−=−=++=
γ 
mhz
g
Vp
zH pSSSS 92,21792,172002 22
2
=+=+=++=
γ 
 
c) Cálculo das cargas piezométricas na entrada e na saída da bomba: 
Entrada da bomba: 
1
22
11
1 22 p
EE
E hg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
γγ , onde p1/γ = 0 e V1 = 0. 
056,037,05,15100150 +++=++
γ
Ep
 � 
m
pE 097,2−=
γ 
Saída da bomba: 
2
2
22
2
2
22 p
SS
S hg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
γγ , onde p2/γ = 0 e V2 = 0. 
92,1700200186,05,151 +++=++
γ
Sp
� 
m
pS 234,66=
γ 
d) Cálculo da energia da bomba, EB: 
O cálculo pode ser efetuado aplicando-se a equação de Bernoulli para o 
escoamento entre a superfície da água no reservatório de sucção e a superfície 
da água no reservatório de recalque: 
21
2
22
2
2
11
1 22 ppB
hh
g
Vp
zE
g
Vp
z ++++=+++
γγ 
92,1756,00020000150 ++++=+++ BE 
mEB 480,68= 
 
 
82 
Este mesmo resultado também poderia ser obtido, aplicando-se a equação de 
Bernoulli entre o escoamento na entrada da bomba e na saída da bomba, de 
forma que: 
 g
Vp
zE
g
Vpz SSSB
EE
E 22
22
++=+++
γγ ou SBE HEH =+ ou 
 
mHHE ESB 48,6844,14992,217 =−=−= 
 Notar que a unidade de EB na verdade representa m = N.m/N. 
 
e) Cálculo da potência da bomba: 
 A potência da bomba será dada por: η
γ B
B
QEP =
 
WmsmmNPB 430.1375,0
48,68...015,0*.807.9 133
==
−−
 
 Ou PB = 13,43 kW ou, ainda, PB = xxx cv.

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