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66 HIDRODINÂMICA EQUAÇÃO DA ENERGIA SEGUNDO UM TUBO DE CORRENTE Na dedução da equação da energia entre dois pontos de uma linha de corrente não se considerou a variação da velocidade que ocorre perpendicularmente à direção do escoamento. No caso dos escoamentos que ocorrem em relação a um contorno sólido, é sabido que a velocidade é nula do contorno sólido e aumenta de valor gradualmente na direção perpendicular a esse contorno sólido até atingir a velocidade de equilíbrio longe deste contorno sólido, onde a tensão cisalhante é nula. Tal condição ocorre no eixo de tubos ou a meia distância do escoamento entre placas paralelas. Assim é preciso tratar o escoamento em termos do valor médio das grandezas envolvidas nos escoamentos em tubos de fluxo, como é o caso da velocidade média definida anteriormente. Nos escoamentos em tubulações os valores da pressão, massa específica e carga piezométrica podem variar pouco, permitindo o uso de valores médios. A rigor existe uma variação dos valores das grandezas para cada linha de corrente que se considere. Então, pode ser interessante definir uma linha de corrente que propicie a consideração de uma linha de energia que corresponda ao escoamento da totalidade da seção, fazendo-se uso do valor médio da velocidade. 67 Figura representativa do escoamento de fluido real em tubulação de diâmetro D: Perfil de velocidades do escoamento de um fluido real em uma tubulação: v = f(r) � perfil de velocidades. r = 0 (centro do tubo) � v = Vc. r = R (parede do tubo) � v = 0. r (posição genérica em relação ao centro da tubulação) � v y (posição genérica em relação à parede da tubulação) � v y = R – r � dy = -dr Para o escoamento onde v = f(r) tem-se: Vazão: ∫= A dAvQ . Velocidade média: A QV = ou ∫= A dAv A V .1 Representa a velocidade de um escoamento médio (idealizado) de valor constante, V, sobre toda a seção transversal da tubulação. 68 Energia cinética para o escoamento real: Energia cinética das partículas que atravessam uma área elementar, dA, onde a velocidade é v e a posição é r será dada por: 2 . 2 1 vdmdEc = Taxa de variação da energia cinética das partículas que atravessam a área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade de tempo é dada por 2 2 1 v dt dm dt dEc = ou 2 . 2 1 vmdEd c && = Como dAvdt dm md ..ρ==& � dAvEd c ..2 1 3ρ=& A taxa de variação com o tempo da energia cinética das partículas que atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: dAvE Ac .. 2 1 3 ∫ = ρ& � (1) - variação da energia cinética com o tempo Energia cinética para o escoamento médio: v = V = cte Figura representativa do escoamento médio de fluido real em tubulação de diâmetro D: 69 Taxa de variação com o tempo da energia cinética das partículas de fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento médio é dada por 2 2 1 V dt dm dt dEc = ou 2 . 2 1 VmEc && = Como AVdt dm m ..ρ==& tem-se que AVEc ..2 1 3ρ=& � (2) - variação da energia cinética com o tempo em termos do escoamento médio. Para que a taxa de variação da energia cinética do escoamento real, calculada pela equação (1) seja igual à taxa de variação da energia cinética do escoamento médio, calculada pela equação (2), é necessário o uso de um coeficiente α tal que: AVdAv A .. 2 1 ... 2 1 33 ραρ = ∫ Assim, AV dAv A . . 3 3 ∫ =α α é denominado fator de correção de energia cinética ou coeficiente de Coriolis. Gustaqve-Gaspard Coriolis, engenheiro francês, 1792-1843. Obs: 1. Em geral α ≥ 1 para os escoamentos de fluidos reais. 2. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: α = 1,0 70 3. Para escoamento laminar: α = 2,0 4. Para escoamento turbulento α = 1,05 a 1,10 Em termos da quantidade de movimento, p r Para uma massa m que estiver animada de uma velocidade v r : vmp rr = . Considerando apenas o módulo da quantidade de movimento das partículas que atravessam uma área dA do escoamento real, tem-se: vdmdp .= Taxa de variação da quantidade de movimento das partículas que atravessam a área elementar da seção transversal ao escoamento na unidade de tempo é dada por v dt dm dt dp = ou vmdpd .&& = Como dAvdt dm md ..ρ==& � dAvvdAvpd ..... 2ρρ ==& A taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento das partículas que atravessam toda a seção transversal do escoamento real será: dAvp A .. 2 ∫= ρ& � (3) - variação da quantidade de movimento com o tempo Taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento das partículas de fluido que atravessam toda a seção transversal ao escoamento médio é dada por V dt dm dt dp = ou Vmp .&& = Como AVdt dm m ..ρ==& tem-se que: 71 AVp .. 2ρ=& � (4) - variação da quantidade de movimento com o tempo em termos do escoamento médio. Para que a taxa de variação da quantidade de movimento do escoamento real, calculada pela equação (3) seja igual à taxa de variação da quantidade de movimento do escoamento médio, calculada pela equação (4), é necessário o uso de um coeficiente β tal que: AVdAv A ..... 22 ρβρ =∫ Assim, AV dAv A . . 2 2 ∫ =β β é denominado fator de correção de quantidade de movimento ou coeficiente de Boussinesq. Jouseph Boussinesq, matemático francês, 1842-1929. Obs: 1. Em geral β ≥ 1 para os escoamentos de fluidos reais. 2. Para escoamentos em que a velocidade v é constante: β = 1,0 3. Para escoamento laminar: β = 4/3 4. Para escoamento turbulento β = 1,02 a 1,04 5. Para escoamentos laminar ou turbulento em tubulações de seções circulares, pode-se demonstrar que α = 3.β – 2. Desta forma, finalmente, pode-se escrever a equação geral da energia, na forma integral, para o escoamento médio que ocorre ao longo de um tubo de corrente: ( )V dt d g sh g vp z g vp z p βαγαγ ∆ ++++=++ 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 22 72 7. ESCOAMENTOS COM BOMBAS E TURBINAS Nos escoamentos dos fluidos podem ocorrer situações nas quais a energia está sendo introduzida ou retirada em pontos específicos. Isso é possível graças a máquinas hidráulicas que têm a capacidade de alterar a linha de energia. Bombas: são máquinas hidráulicas com capacidade de introduzir energia nos escoamentos dos fluidos. Turbinas: são máquinas hidráulicas capazes de retirar energia dos escoamentos dos fluidos. BOMBAS HIDRÁULICAS Seja um escoamento de líquido num sistema composto por duas tubulações de diâmetros D e D´, entre as quais existe uma bomba hidráulica, conforme ilustrado na figura seguinte. Seja dois pontos do escoamento, um na entrada da bomba e outro na sua saída. Como há introdução de energia no escoamento pela bomba, a energia por unidade de peso do líquido na saída é maior que energia por unidade de peso do líquido na entrada, caracterizando uma elevação da linha de energia, LE. A tubulação que antecede a bomba é, geralmente, denominada de tubulação de sucção e a que vem depois da bomba é denominada de tubulação de recalque. As velocidades nas tubulações de sucção e de recalque são, respectivamente, V e V´. Na ilustração, observa-se que D´ é menor que D, de forma que a velocidade na linha de recalque é superior à velocidade na linha de sucção, o que torna as linhas piezométricas e de energia mais distantes na tubulação de recalque. A energia introduzida é utilizada na elevação da pressão e na elevação de velocidade do escoamento do líquido. 73 Entrada: Velocidade: VE = V Carga cinética: g VE 2 2 Pressão: pE Carga piezométrica: γ Ep Cota: zE Diâmetro: D= DE Vazão:Q Saída: VS = V´ Carga cinética: g VS 2 2 Pressão: pS Carga piezométrica: γ SpCota: zS Diâmetro: D´= DE Vazão: Q A equação de Bernoulli aplicada entre a entrada, E, e a saída, S, da bomba: g Vp zE g Vp z SSSB EE E 22 22 ++=+++ γγ 74 EB é a energia que a bomba introduz no escoamento por unidade de peso de fluido. A carga total na entrada da bomba é: g Vp zH EEEE 2 2 ++= γ . A carga total na saída da bomba é: g Vp zH SSSS 2 2 ++= γ . O balanço de energia permite escrever: SBE HEH =+ . Logo a energia introduzida pela bomba para cada unidade de peso de líquido que está escoando será: ESB HHE −= Em termos de unidades das grandezas: U(γ) = N/m3; U(Q) = m3/s, U(EB) = N.m/N = m. Considerando a unidade: U(γ.Q.EB) =N.m-3.m3.s-1.m = N.m/s = J/s =watt= W. Assim, define-se a potência útil ou potência efetiva de uma bomba, Pu, como sendo a energia introduzida pela bomba no escoamento por unidade de tempo. Então: Bu QEP γ= Como há perdas de energia no processo, constata-se que a potência que a bomba absorve do sistema, PB, denominada simplesmente de potência da bomba, deve ser maior que a potência introduzida no escoamento: PB > Pu Logo define-se o rendimento, η, de uma bomba como sendo a relação entre a potência útil e a potência da bomba. Matematicamente escreve-se: B u P P =η O rendimento às vezes é expresso em termos percentuais, de forma que: 75 ηη 100100.(%) == B u P P Assim, a potência de uma bomba será dada por PB = Pu / η ou, finalmente, η γ B B QEP = Observações: 1. Bomba com 100% de eficiência: η = 1 e PB = Pu. 2. Unidade de PB no Sistema Internacional de Unidades: U(PB) = J/s = watt = W. 3. É usual fornecer a potência em kW. Sendo 1 kW = 1.000W, de maneira que: η γ 1000 B B QEP = . Todas as unidades no SI e PB em kW. 4. No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m3 e Q em m3/s a potência será calculada por η γ B B QEP = , sendo expressa em kgf.m/s. 5. Lembrando da relação com o cavalo vapor e que 1 cv = 736 W ou 1 cv = 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por η γ 75 B B QEP = , sendo expressa em cv. 6. Às vezes os fabricantes expressam a potência de suas bombas em hp (horse power). Como 1 hp = 744 W ou 1 hp = 75,9 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por η γ 9,75 B B QEP = , sendo expressa em hp. 76 TURBINAS HIDRÁULICAS Quando um escoamento ocorre na presença de uma turbina hidráulica, observa-se uma retirada de energia do escoamento, de forma que a energia na entrada da turbina é maior que a energia na sua saída. Assim, observa-se uma queda na linha de energia, devida à energia retirada pela turbina. A energia retirada é usada para realização de trabalho mecânico, disponível no eixo da turbina. A figura seguinte ilustra os elementos envolvidos no problema. Entrada: Velocidade: VE = V Carga cinética: g VE 2 2 Pressão: pE Carga piezométrica: γ Ep Cota: zE Diâmetro: D= DE Vazão:Q 77 Saída: VS = V´ Carga cinética: g VS 2 2 Pressão: pS Carga piezométrica: γ Sp Cota: zS Diâmetro: D´= DE Vazão: Q A equação de Bernoulli aplicada ao escoamento entre a entrada, E, e a saída, S, da bomba: g Vp zE g Vp z SSST EE E 22 22 ++=−++ γγ ET é a energia retirada do escoamento pela turbina, por unidade de peso de fluido. As cargas totais na entrada da turbina e na sua saída continuam sendo definidas da mesma forma que na bomba, de forma que: Carga total na entrada: g Vp zH EEEE 2 2 ++= γ . Carga total n saída: g Vp zH SSSS 2 2 ++= γ . Nesse caso, o balanço de energia permite escrever: STE HEH =− . Logo a energia retirada pela turbina, por cada unidade de peso de líquido que está escoando, será: SET HHE −= As unidades das grandezas envolvidas são análogas às da bomba, de forma que define-se a potência útil ou efetiva de uma turbina como sendo a energia retirada do escoamento pela turbina, na unidade de tempo: Tu QEP γ= 78 No processo de retirada de energia do escoamento certamente ocorrerão perdas de energia, de forma que a energia fornecida pela turbina, medida disponível no seu eixo será menor que a energia retirada do escoamento: PT < Pu. PT = potência fornecida pela turbina ou simplesmente potência da turbina O rendimento para as turbinas é definido de maneira ligeiramente diferente do rendimento definido para as bombas. Assim define-se o rendimento de uma turbina como sendo a energia fornecida no seu eixo pela energia retirada do escoamento, ambas por unidade de tempo, escrita matematicamente como: u T P P =η O rendimento também pode ser expresso em termos percentuais, de forma que: ηη 100100.(%) == u T P P Assim, a potência de uma turbina será dada por PT = Pu * η ou, finalmente, ηγ TT QEP = Observações: 1. Turbinas com 100% de eficiência: η = 1 e PT = Pu. 2. Unidade de PT no Sistema Internacional de Unidades: U(PT) = J/s = watt = W. 3. É usual fornecer a potência em kW. Sendo 1 kW = 1.000W, de maneira que: η γ 1000 T T QEP = . Todas as unidades no SI e PT em kW. 79 4. No Sistema Técnico, com γ medido em kgf/m3 e Q em m3/s a potência será calculada por ηγ TT QEP = , sendo expressa em kgf.m/s. 5. Assim como nas bombas, lembrando da relação com o cavalo vapor e que 1 cv = 736 W ou 1 cv = 75 kgf.m/s e se γ for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por η γ 75 T T QEP = , sendo expressa em cv. 6. Quando a potência das turbinas for expressa em hp (horse power), se γ for medido em kgf/m3 e Q em m3/s, a potência será calculada por ηγ 9,75 T T QEP = . APLICAÇÕES: Nos escoamentos uniformes e permanentes, a equação geral para o escoamento entre dois pontos 1 e 2 será: 12 2 22 2 2 11 1 22 pTB h g vp zEE g vp z +++=−+++ γγ Observações: 1. Sem bomba: EB = 0; 2. Sem turbina: ET = 0; 3. Escoamento de fluido ideal: hp = 0. 4. Na solução dos problemas elaborar desenho claro com traçado das LE e LP. 5. Não se esquecer de aplicar a equação de Bernoulli sempre no sentido do escoamento. 80 EXERCÍCIOS: 1. Uma bomba é utilizada para elevar 15 l/s de água de um reservatório de sucção para um reservatório de recalque, com rendimento de 75%, conforme ilustrado na figura seguinte. Os níveis da água nos reservatórios de sucção e de recalque são 150,0 m e 200,0 m, respectivamente. O diâmetro da tubulação de sucção é de 0,15 m e o de recalque é de 0,10 m. A bomba está na cota 151,50 m. A perda de carga na tubulação de sucção é de 0,56 m e na de recalque é 17,92 m. a) Cálculo das velocidades e cargas de velocidades na entrada e saída da bomba: sm D QVE /85,015,0*142,3 015,0*44 22 === pi � m g VE 037,0 807,9*2 85,0 2 22 == sm d QVS /91,110,0*142,3 015,0*44 22 === pi � m g VS 186,0 807,9*2 91,1 2 22 == 81 b) Cálculo das energias na entrada e na saída da bomba: mhz g Vp zH pEEEE 44,14956,01502 11 2 =−=−=++= γ mhz g Vp zH pSSSS 92,21792,172002 22 2 =+=+=++= γ c) Cálculo das cargas piezométricas na entrada e na saída da bomba: Entrada da bomba: 1 22 11 1 22 p EE E hg Vp z g Vp z +++=++ γγ , onde p1/γ = 0 e V1 = 0. 056,037,05,15100150 +++=++ γ Ep � m pE 097,2−= γ Saída da bomba: 2 2 22 2 2 22 p SS S hg Vp z g Vp z +++=++ γγ , onde p2/γ = 0 e V2 = 0. 92,1700200186,05,151 +++=++ γ Sp � m pS 234,66= γ d) Cálculo da energia da bomba, EB: O cálculo pode ser efetuado aplicando-se a equação de Bernoulli para o escoamento entre a superfície da água no reservatório de sucção e a superfície da água no reservatório de recalque: 21 2 22 2 2 11 1 22 ppB hh g Vp zE g Vp z ++++=+++ γγ 92,1756,00020000150 ++++=+++ BE mEB 480,68= 82 Este mesmo resultado também poderia ser obtido, aplicando-se a equação de Bernoulli entre o escoamento na entrada da bomba e na saída da bomba, de forma que: g Vp zE g Vpz SSSB EE E 22 22 ++=+++ γγ ou SBE HEH =+ ou mHHE ESB 48,6844,14992,217 =−=−= Notar que a unidade de EB na verdade representa m = N.m/N. e) Cálculo da potência da bomba: A potência da bomba será dada por: η γ B B QEP = WmsmmNPB 430.1375,0 48,68...015,0*.807.9 133 == −− Ou PB = 13,43 kW ou, ainda, PB = xxx cv.
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