AULA FÃ_RIAS OBJETIVO (1)

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1. (Cesgranrio 1997) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o 
centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: 
 
a) 36 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 54 
 
2. (Uece 2019) Se a distância entre os centros de duas circunferências cujas medidas dos 
raios são respectivamente 6 m e 8 m é igual a 10 m, então, a medida, em metros, do 
comprimento da corda comum às duas circunferências é 
a) 9,4. 
b) 9,8. 
c) 9,2. 
d) 9,6. 
 
3. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2018) Uma circunferência tangencia o lado BC de um 
triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados AB e AC desse triângulo, nos pontos E e D 
respectivamente, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a distância entre os pontos D e E, em 
cm, é igual a 
a) 10,5. 
b) 10,9. 
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c) 11,3. 
d) 11,7. 
 
4. (Ita 2006) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED 
interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da 
circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. 
Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
5. (Ime 2019) Uma corda CD corta o diâmetro AB de um círculo de raio R no ponto E. 
Sabendo que o ângulo ˆABC 30  e que EC R 2, calcule a medida do segmento ED. 
 
6. (Ita 2018) Uma reta r separa um plano π em dois semiplanos 1π e 2.π Considere pontos 
A e B tais que 1A π e 2B π de modo que d(A, r) 3, d(B, r) 6  e d(A, B) 15. Uma 
circunferência contida em π passa pelos pontos A e B e encontra r nos pontos M e N. 
Determine a menor distância possível entre os pontos M e N. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que AB AD 6 m,  CB CD 8 m  e AC 10 m. 
 
 
 
Os triângulos ABC e CBA são congruentes por LLL. Ademais, é imediato que os triângulos 
ABC e ADC são semelhantes ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Portanto, sendo a 
altura desse triângulo igual a 2,4, segue que a altura dos triângulos ABC e ADC é 
2 2,4 4,8 m.  
A resposta é 2 4,8 9,6 m.  
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
 
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
CD CA CF 4 4 AD 6 AD 5
BE BA BF 4 4 AE 8 AE 12
141 47
BC BA CA 2 BA CA cos  14 16 9 2 16 9 cos  cos Â
288 96
47 441 21
ED AE AD 2 AE AD cos  x 12 5 2 12 5 x x 10,5
96 4 2
       
       
               
                 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Resposta da questão 5: 
 Do enunciado, tem-se a seguinte figura: 
 
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Como AB é diâmetro, ˆACB 90 .  
No triângulo ABC, 
AC
sen30
2R
AC R
 

 
 
No triângulo ABC, 
BC
cos30
2R
BC R 3
 

 
 
No triângulo CEB, 
   
   
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
R 2 R 3 y 2 R 3 y cos30
3
2R 3R y 2R 3 y
2
y 3Ry R 0
3R 3R 4 1 R
y
2
3R R 5
y
2
      
    
  
     



 
 
Como y 2R, 
 
3R R 5
y
2
R 3 5
y
2




 
 
Como y z 2R  e 
 R 3 5
y ,
2

 
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 
 
 
 
 
R 3 5
z 2R
2
R 3 5
z 2R
2
4R R 3 5
z
2
R 4 3 5
z
2
1 5
z R
2

 

 
 

 



 
 
Então, 
   
 
 
 
x R 2 y z
R 3 5 R 1 5
x R 2
2 2
R 5 1 1
x
2 2
R 5 1 2
x
4
2 5 1 R
ED
4
  
 
  

 
 

 

 
 
Resposta: A medida do segmento ED é 
 2 5 1 R
.
4
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 Do enunciado, temos a figura: 
 
 
 
Na figura, os triângulos ACP e BDP são semelhantes, pelo caso AA. 
Como AB 15, 
3b 15
b 5


 
 
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Em relação ao ponto P, 
2
PM PN b 2b
PM PN 2 5 50
  
   
 
 
Sejam PM x e PN y, 
50
x y 50 y
x
MN MP PN x y
50
MN x
x
   
   
 
 
 
Note que: 
2
5 2 50
x x 10 2
xx
 
     
 
 
 
Daí, 
2
50
MN x 10 2 10 2
x
5 2
MN x 10 2
x
   
 
    
 
 
Como 
2
5 2
x 0,
x
 
   
 
 
 mínimo MN 10 2 
 
Assim, a menor distância entre os pontos M e N é 10 2. 
Resposta: A menor distância possível entre os pontos M e N é 10 2. 
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 22/07/2021 às 16:27 
Nome do arquivo: AULA F?RIAS OBJETIVO 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 23839 ....... Não definida .. Matemática ... Cesgranrio/1997 .................. Múltipla escolha 
 
2 ............. 185412 ..... Média ............ Matemática ... Uece/2019 ............................ Múltipla escolha 
 
3 ............. 177157 ..... Média ............ Matemática ... Fac. Albert Einstein - Medicin/2018 Múltipla 
escolha 
 
4 ............. 62840 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2006 ................................ Múltipla escolha 
 
5 ............. 183612 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2019 .............................. Analítica 
 
6 ............. 176314 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2018 ................................ Analítica