sistemas térmicos

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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP 
DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS 
www.usp.br/sisea 
 
 
 
 
 
 
 
PME – 3361 Processos de Transferência de Calor 
 
Prof. Dr. José R Simões Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o semestre/2017 
versão 1.5 
primeira versão: 2005 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2017 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 
3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 
2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de 
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. 
 
O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos 
assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de 
Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. 
Também foram utilizados outros livros-texto sobre o 
assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o 
caso do “Transferência de Calor” de Holman. 
 
O objetivo deste material é servir como um roteiro de 
estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De 
forma nenhuma substitui um livro texto, que é mais 
completo e deve ser consultado e estudado. 
 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
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Prof. José R. Simões Moreira 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644 
 
 
Breve Biografia 
 
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em 
Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - 
Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na 
Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da 
Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e 
Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em 
Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, 
FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do 
Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando 
principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás 
natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos 
termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor 
técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. 
MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, 
Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da 
Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização 
e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de 
Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um 
curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência 
Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima quarta edição. Tem sido 
professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, 
válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem 
participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: 
Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-
Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na 
UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - 
Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne 
(Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, 
Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em 
colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences 
Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho 
tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui 
duas patentes. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros 
“Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2017) e "Fundamentos e 
Aplicações da Psicrometria" (1999), beom como autor de um capítulo do livro "Thermal Power 
Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca 
de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de 
especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um 
número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-
científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa 
da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos. 
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de 
Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a 
seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há 
diferença entre elas”? 
Para responder à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de 
aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da 
Termodinâmica. 
 
A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é 
baseada em três leis fundamentais: 
 
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de 
 temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura) 
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) 
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de 
 conversão de uma forma de energia em outra”) 
 
 
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: 
 
(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira 
 
Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é 
colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 inicial final 
 
 
 As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: 
 
Termodinâmica: TmcUQT  - fornece o calor total necessário a ser transferido 
do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor 
específico médio – APENAS ISTO! 
 
frasco 
ambientef TT  Gf TT 
t
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Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto 
tempo  t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente 
(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou 
aumentar) esse tempo? 
 
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para 
que o estado de equilíbrio da temperaturado frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja 
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para 
que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência 
de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos 
interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. 
 
De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de 
temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode 
se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um 
meio fluido. 
 
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor 
 
 
TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw  . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho 
e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos 
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), 
apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, 
como o COP: 
c
e
w
qCOP 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de 
transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: 
 
- Qual o tamanho do evaporador / condensador? 
- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? 
- Como atingir maior / menor troca de calor? 
 
compressor 
válvula 
 
condensador 
evaporador 
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- Outras questões semelhantes. 
 
Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. 
 
O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: 
 
- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; 
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio 
ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de 
circuitos de refrigeração; 
- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, 
etc. 
 
 
1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e 
radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos. 
 
(a) Condução de calor 
 
- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta 
temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para 
as menos energéticas. 
- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por 
elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. 
Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E 
isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). 
 
A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822) 
 
 
 
 
dx
dTAq
x
 
 
 
 
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq 
 
T : temperatura 
 
. . 
x 
sólido 
 
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A constante de proporcionalidade  é a condutividade ou condutibilidade térmica do 
material, k, ou seja: 
dx
dTkAqx  
 
As unidades no SI das grandezas envolvidas são: 
[
x
q ] = W , 
[ A ] = 2m , 
 [T ] = K ou Co , 
[ x ] = m . 
assim, as unidades de k são: [ k ] = 
Cm
W
o ou Km
W
 
 
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os 
valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção 
de apêndices dos livros-texto. 
 
Necessidade do valor de (-) na expressão 
 
Dada a seguinte distribuição de temperatura: 
 
Para 12 TT  
T2
T1
T
x
T
xx1 x2
 
 
0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está, 
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x) 
 
Além disso, do esquema: 0
0
0 





x
T
x
T
, daí tem-se que o gradiente também será 
positivo, isto é: 
 
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 0
dx
dT
 mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), conclui-se que, 
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de 
Fourier) para manter a convenção de que 0xq na direção de x. 
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT  , conforme próximo esquema, a 
equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!) 
 
De forma que a Lei da Condução de Calor é: 
 
 Lei de Fourier (1822) 
 
 
 
(b) Convecção de Calor 
 
A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701) 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( TTAq S 
 
onde, a proporcionalidade  é dada pelo coeficiente de transferência de calor por 
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que: 
 
 
 
 
 
dx
dTkAq
x
 
 
)(  TThAq S
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onde: 
A : Área da superfície de troca de calor; 
ST : Temperatura da superfície; 
T : Temperatura do fluido ao longe. 
 
- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de 
muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua 
rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, 
temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no 
seu valor. 
 
 
(c) Radiação Térmica 
 
A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de 
Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e 
Boltzmann, de forma teórica (1884). 
Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica 
 
 
 (para um corpo negro) 
 
 
 constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4) 
 
Corpos reais (cinzentos) 4ATq  , onde  é a emissividade da superfície que é 
sempre menor que a unidade. 
 
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas 
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de 
meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência 
de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de 
calor da irradiação solar que atinge nosso planeta. 
 
 
4ATq  
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
 
1.1 A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita 
com ferro fundido (k=80,2 W/(m K)) ou cobre (k=390 W/(m K)). Quando usada para ferver 
água, a superfície da base exposta à água encontra-se a 110ºC. Se calor é transferido do fogão 
para a panela a uma taxa de 600 W, qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para 
cada um dos dois materiais? 
 
Dados do problema: 
Diâmetro do fundo da panela: ∅ = ʹͲͲ �� 
Espessura do fundo da panela: ݁ = ͷ �� 
Condutividade dos materiais: alumínio - �௙௘௥௥௢= ͺͲ,ʹ �௠ � ; cobre - �௖௢௕௥௘ = ͵ͻͲ �௠ � 
Temperatura no fundo do lado em contato com a água: �ଶ = ͳͳͲ°� 
 
Desenho esquemático: 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Problema unidimensional 
 
 
 
 
Solução: 
Da lei de Fourier: � = −�� ݀�݀ݔ = −�� ሺ�ଵ − �ଶሻ݁ 
Sabendo que � = ͸ͲͲ�, e que � = ��24 = ͵,ͳͶ ∗ ሺ଴,ଶ ௠ ሻ24 = Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ �ଵ = �݁�� + �ଶ 
Para o ferro fundido: �ଵ = ͸ͲͲ � ∗ Ͳ,ͲͲͷ �ͺͲ,ʹ �� � ∗ Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ + ͳͳͲ = ͳͳͳ,ͻ°� 
Para o cobre: 
 �ଵ = ͸ͲͲ � ∗ Ͳ,ͲͲͷ �͵ͻͲ �� � ∗ Ͳ,Ͳ͵ͳͶ �ଶ + ͳͳͲ = ͳͳͲ,ʹͷ°� 
Note-se que devido à condutividade do cobre ser maior do que a do alumínio a diferença de 
temperatura entre T1 e T2 são menores. 
 
1.2 Uma caixa de transmissão, medindo w=0,3 m de lado, recebe uma entrada de potência de 
Pent=150 HP fornecida por um motor elétrico. Sendo a eficiência de transmissão η=0,93; com o 
escoamento do ar caracterizado por T∞=30ºC e 
h = 200 W/(m2K). Nessas condições, pede-se 
qual é a temperatura superficial da caixa de 
transmissão? Dados do problema: 
Dimensões do cubo ݓ = Ͳ,͵ � 
Quantidade de faces exposta: 6 
Potência de entrada: �௘௡௧ = ͳͷͲ �� 
Rendimento da caixa de transmissão: � = Ͳ,ͻ͵ 
Temperatura do ar: �∞ = ͵Ͳ°� 
e 
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Conversão de unidade: ͳ �� = ͹Ͷ͸ � 
 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Coeficiente convectivo e temperatura na superfície uniforme 
3. Transferência de calor por radiação desprezível 
Solução: 
 � = ͸ ݓଶ 
Da lei de resfriamento de Newton: � = ℎ � ሺ�௦ − �∞ሻ = ͸ ℎ ݓଶ ሺ�௦ − �∞ሻ 
A potência transmitida é dada por �௧ = �௘௡௧ �. Logo, a parte não foi transmitida se 
transformou em um fluxo de calor que pode ser obtido por: � = �௘௡௧ሺͳ − �ሻ = ͳͷͲ �� ͹Ͷ͸ ��� ሺͳ − Ͳ,ͻ͵ሻ = ͹ͺ͵͵ � 
Igualando ambos obtemos a temperatura da superfície: �௦ = �∞ + �͸ ℎ ݓଶ = ͵Ͳ°� + ͹ͺ͵͵ �͸ ∗ ʹͲͲ �� � ሺͲ,͵ �ሻଶ = ͳͲʹ,ͷ°� 
 
1.3 Considere a caixa de transmissão do problema anterior, mas agora permita a troca por 
radiação com a sua vizinhança, que pode ser aproximada por um grande envoltório a Tviz 
=30ºC. Sendo a emissividade da superfície da caixa a ε=0,8, qual é a sua temperatura? 
 
Dados do problema: 
Dimensões do cubo ݓ = Ͳ,͵ � 
Quantidade de faces exposta: 6 
Potência de entrada: �௘௡௧ = ͳͷͲ �� 
Rendimento da caixa de transmissão: � = Ͳ,ͻ͵ 
Temperatura do ar: �∞ = ͵Ͳ°� 
 
Hipóteses: 
1. Regime permanente 
2. Coeficiente convectivo e 
temperatura na superfície 
uniforme 
3. Transferência de calor por 
radiação com a vizinhança 
Solução: 
Aproveitando a solução do exercício anterior: � = ͹ͺ͵͵ � e � = ͸ ݓଶ 
A transferência de calor se dá por convecção e radiação, fazendo um balanço de energia para 
regime permanente temos que: �௘௡௧௥௔ − �௦௔í = Ͳ 
Sendo que: �௦௔� = �[ ℎሺ�௦ − �∞ሻ + ��(�௦4 − ����4 )] 
 
 
 
Igualando a taxa de calor da transmissão temos (nota: as temperaturas têm que ser absolutas: 
 
 ͹ͺ͵͵ � = ͸ ሺͲ,͵Ͳሻଶ [ʹͲͲ ሺ�௦ − ͵Ͳ͵ሻ + Ͳ,ͺ ∗ ͷ,͸͹ ∗ ͳͲ−8ሺ�௦4 − ͵Ͳ͵4ሻ] 
 
 
 
Radiação Convecção 
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Após tentativa e erro, obtém-se: �௦ ≈ ͵͹͵ � = ͳͲͲ°� 
 
Notamos que para a temperatura �௦ ≈ ͵͹͵ � , a �௖௢௡� ≈ ͹ͷ͸Ͳ � e �௥௔ௗ = ʹ͸͹ �, ou seja, a 
transferência de calor por convecção é predominante. E como vimos no exercício anterior, se 
desprezarmos a radiação a temperatura da superfície será de �௦ = ͳͲʹ,ͷ°�. 
 
 
 
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR 
 
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k 
 
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente 
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão: 
 
x
Tkq 

 , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a 
condutividade térmica do material. 
 
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são: 
 
      x
TA
qk    
m
C
m
Wk
o
2

   
Cm
Wk
o ou Km
W
.
 
 
Sendo: 
k: condutividade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de 
forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de 
apêndice do livro-texto. 
 
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k 
isolante
x
A
Resistência 
elétrica
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
i
Pontos de medição de 
temperatura
 
q 
A 
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica 
enrolada em torno da haste do bastão. O fluxo de calor gerado por efeito joule vai ser 
conduzido da haste para o bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de 
temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de 
temperaturas ao longo de bastão, como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente 
falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo 
de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq  2 . 
Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a 
condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso, 
x
TA
qk

 . 
 
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é 
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os 
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. 
 
Gases 
 
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais 
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a 
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento 
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica 
flui. Pode-se mostrar que. 
 
Tk 
 
 
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados 
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, 
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico. 
 
Líquidos 
 
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos 
líquidos é o mesmo do que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais 
complexa devido à menor mobilidade das moléculas. 
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Sólidos 
 
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: 
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais 
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons 
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de 
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente. 
 
O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade 
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de 
gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERALDA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
 
 
 
 
 
 
Balanço de energia em um 
volume de controle elementar 
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) 
 
 
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de 
calor que calor de variação calor que 
entra no + gerada = da energia + deixa o 
 V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. 
 
 (I) (II) (III) (IV) 
 
 
Sejam os termos: 
 
(I) Fluxo de calor que entra no V.C. 
 
Direção x 
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx 

 - 
 
Direção y 
y
Tdzdxkq yy 
 
y
Tdzdxkq yy 
 Direção z y
Tdydxkq zz 
 
 
 
 
(II) Taxa de calor gerado 
 
dz q '''G  dydxEG 
 
onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume.  3mW 
 
(III) Taxa temporal de variação da energia interna 
 
t
T
cdzdydx
t
u
m
t
UEar 


 
 
 
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade. 
CkgkJ o/
 
 
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor: 
 
Direção x: xd
x
q
qq xxdxx 
 )(0 2dxdx
x
q
qq xxdxx 
 
 
Direção y: 
 dyy
q
qq yydyy 
 
z
Tdydxkq zz 
 
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Direção z: 
 dz
z
q
qq zzdzz 
 
 
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem: 
 
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
q
t
T
cdxdydzdxdydzqqqq zz
y
y
x
xGzyx 



  ''' 
 + ordem superior 
simplificando os termos zyx qqq e , , vem: 
 
, 
''' dz
z
qdy
y
q
dx
x
q
t
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 



  
 
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor, 
 
 
dxdydzk
z
dxdydzk
y
dxdydzk
xt
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 
z
T
 
y
T
 
x
T
 
''' 


















 
 
Dividindo ambos os lados pelo volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: 
 
 
 
 
 
 
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução analítica para 
todos os casos e geometrias, porque se trata de um problema que depende das condições 
inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que 
dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) que perfazem as 
condições de contorno e inicial. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: 
),,,( tzyxTT  . A seguir são apresentados alguns casos básicos. 
 
Casos: 
 
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe 
de T) 
 
kkkk zyx  
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T '''g
T







1
2
2
2
2
2
2
2
   
 
onde, 
t
T
 
z
T
 
y
T
 
x
T
"'




















cqk
z
k
y
k
x
Gzyx  
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
= c
k
 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é: 
      s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3










  
 
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
onde: 
2
2
2
2
2
2
2
zyx 



 é o operador matemático chamado de Laplaciano no 
sistema cartesiano de coordenadas. 
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois, 
embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a 
formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado. 
Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o 
Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo, 
 
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr 







  
 
- Esférico: 2
2
222
2
2
2
 
sen 
1
 sen 
sen 
11
 













rrr
r
rr
 
 
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq 
 
 
 (Eq. de Fourier) 
 
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0

t
T
 
 
 
 (Eq. de Poisson) 
 
 
D) Regime permanente e k constante e uniforme 
 
 (Eq. de Laplace) 
 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
 
12
t
TT 
 
 
0
'''
2 
k
qT G
02  T
 
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
2.1 Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica de 100 W/m 
K. Supondo a manutenção de condições de regime permanente, com T1 = 400 K e T2 = 600 K, 
determine o fluxo de calor q”x e o gradiente de temperatura dT/dx para os sistemas de 
coordenadas mostrados. 
 
Dados do problema: 
T1 = 400 K ; T2 = 600 K ; k= 100 W/ 
m K ; L=100 mm. 
 
Hipóteses: 
1. Transferência de calor 
unidimensional 
2. Propriedades, k é constante 
3. Regime permanente 
4. Sem geração interna de calor 
Solução: 
A equação de transferência de calor: ��′′ = −� ݀�݀� 
O gradiente de temperatura é constante na parede é constante podendo ser representado desta 
forma: ݀�݀� = �ሺܮሻ − �ሺͲሻܮ 
Substituindo os valores numérico no gradiente, temos: 
a) ௗ�ௗ� = �మ−�భ௅ = ሺ଺଴଴−ସ଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = ʹͲͲͲ ܭ/� 
b) ௗ�ௗ� = �భ−�మ௅ = ሺସ଴଴−଺଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = −ʹͲͲͲ ܭ/� 
c) ௗ�ௗ� = �మ−�భ௅ = ሺ଺଴଴−ସ଴଴ሻ௄଴,ଵ଴଴ ௠ = ʹͲͲͲ ܭ/� 
A taxa de calor é calculada utilizando a equação da Lei de Fourier e considerando k= 
100 W/m. 
a) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺ ʹͲͲͲ ௄௠ = −ʹͲͲ ��௠మ 
b) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺሺ−ʹͲͲͲ ௄௠ሻ = +ʹͲͲ ��௠మ 
c) ��" = −ͳͲͲ �௠ ௄ ܺ ʹͲͲͲ ௄௠ = −ʹͲͲ ��௠మ 
 
2.2 Condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia interna 
uniforme ocorre em uma parede plana com espessura de 50 mm e uma condutividade 
térmica constante igual a 5 W/ (m K). Nessas condições, a distribuição de temperaturas tem 
a forma T (x)= a +b x +cx2. A superfície em x=0 está a uma temperatura T(0) = T0 =120°C. 
Nessa superfície, há convecção com um fluido a T∞ = 20°C com h = 500 W/(m2 K). A 
superfície em x=L é isolada termicamente. 
(a) utilizando um balanço de energia global na parede, calcule a taxa de geração interna de 
energia utilizando um balanço de energia na parede, calcule a taxa de geração interna de 
energia. 
(b) determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno na distribuição de 
temperaturas especificada. Use os resultados para calcular e representar graficamentea 
distribuição de temperatura. 
Desenho esquemático: 
 
 
 
 
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Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Propriedades constantes e geração interna de calor constante 
4. Condição de contorno, x=L é adiabático 
 
Solução: 
(a) a geração interna de energia pode ser obtida pelo balanço de energia na parede �̇௘௡௧′′ − �̇௦௔í′′ + �̇�′′ =0 onde �̇௦௔í′′ = �௖௢௡�′′ 
Substituindo temos: ℎሺ�∞ − �଴ሻ + �̇ܮ = Ͳ 
sendo �̇ = −ℎ ሺ�∞−�బሻ௅ = −5ͲͲ �௠మ௄ ሺଶ଴−ଵଶ଴ሻ°�଴,଴ହ଴ ௠ = ͳ,ͲܺͳͲ଺ �௠య 
 
b) aplicando as condições de contorno podemos obter os coeficientes a, b e c da equação de 
distribuição de temperatura. 
 
Condição de contorno 1: quando x= 0, convecção na superfície. �̇௘௡௧′′ − �̇௦௔í′′ = �௖௢௡�′′ − ��′′ሺͲሻ = Ͳ o qual, ��′′ሺͲሻ = −� ௗ�ௗ�)�=଴ 
Substituindo ��′′ሺͲሻ(distribuição de temperatura), ℎሺ�∞ − �଴ሻ − [−�ሺͲ + ܾ + ʹܿ�ሻ�=଴] = Ͳ , assim obtemos o coeficiente b: ܾ = − ℎሺ�∞ − �଴ሻ� = −5ͲͲ �ܹଶܭ ሺʹͲ − ͳʹͲሻ°� ͳ5 �ܹܭ = ͳ,ͲܺͳͲସ ܭ� 
 
Condição de contorno 2: x=L, parede adiabática ou superfície isolada �̇௘௡௧ − �̇௦௔� = −��′′ሺܮሻ = Ͳ onde, ��′′ሺܮሻ = −� ௗ�ௗ�)�=௅ �[−Ͳ + ܾ + ʹܿ�]�=௅ = Ͳ assim obtemos c, ܿ = − ௕ଶ௅ = −ͳ,ͲܺͳͲସ ௄௠ ଵଶሺ଴,଴ହ଴௠ሻ = −ͳ,ͲܺͳͲହ ௄௠మ 
 
Desde que a temperatura em x=0 é conhecida, T(0)=T0 =120°C, obtemos: 
 �ሺͲሻ = ͳʹͲ°� = ܽ + ܾ Ͳ + ܿ Ͳ ou a =120°C obtendo o perfil de temperatura 
 �ሺ�ሻ = ͳʹͲ°� + ͳ,ͲܺͳͲସ ܭ� � − ͳ,ͲܺͳͲହ ܭ�ଶ �ଶ 
 
 
 
 
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA 
 
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o 
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e 
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado 
na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a 
uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se 
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de 
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da 
parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2. 
 
 
 
 
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida 
na aula anterior, isto é: 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
Introduzindo as simplificações do problema, vem: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0

t
T
 
 iii. Unidimensional (1D): 
 1
 2
2
2
x

 
 
Assim, com essas condições, vem que 02
2
x
Td
, e a solução procurada é do tipo T(x). 
 
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx
dT
 
Logo, substituindo na equação, vem que 0dx
d
 
 
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Integrando por separação de variáveis vem: 
 
  1Cd , ou seja: 1C 
 
Mas, como foi definido 
dx
dT  1Cdx
dT  
Integrando a equação mais uma vez, vem: 
 
21)( CxCxT  Que é a equação de uma reta, como já antecipado. 
 
Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse 
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos 
matemáticos isso quer dizer que 
 
(A) em x = 0  1TT  
(B) e em x = L  2TT  
 
De (A): 12 TC  
e de (B): 112 TLCT   L
TTC 121
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT  , como mostrado na figura abaixo. 
 
Cálculo do fluxo de calor transferido através da 
parede 
. 
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por: 
dx
dTkq 
 
e, substituindo a distribuição de temperaturas, 
vem: 
   
L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12112


  , ou, 
em termos de fluxo de calor por unidade de área, 
temos: 
   
 mW 212''
L
TTkqq  
 
Esquecendo o sinal de (-), já que sabemos a direção do fluxo de calor, vem 
 
 
 
 
 
112 )()( TL
xTTxT  
L
Tkq ''
 
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: 
 
 Aumentar o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é, com k 
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L 
 
Ou diminuir o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material isolante térmico k 
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L 
 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO. 
 
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica 
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua 
aplicação é para tubos cilíndricos. 
 
 
A equação geral é da forma 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2
 
 
 
 
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em 
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é: 
 
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr
G











111 '''
2
2
2
2
2 
 
Introduzindo as simplificações: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0

t
T
 
 iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou 
 seja, T não depende de z, logo 02
2


z
T
 
 iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2



T
 
 
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na 
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em: 
 
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0


dr
dT
r
dr
d
, onde a solução procurada é do tipo )(rTT  
 
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são: 
 
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr  
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é: 
ee TTrr  
 
Solução: 
 
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em: 
 
  10 Cdrdrdr
dT
rd  1Cdr
dT
r 
 
 
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem: 
 
   21 CrdrCdT 
 
 
 
 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não 
linear como no caso da parede plana. 
 
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno: 
 
(A) ii TTrr   21 )ln( CrCT ii  
 
(B) ee TTrr   21 ) ln( CrCT ee  
 
Fazendo-se (A) – (B), temos que 
e
i
1
r
rln CTT ei  , ou 
e
i
1
r
rln
 
ei TTC  
 
Finalmente, na eq. da distribuição detemperaturas: 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de temperatura, supondo ei TT  . 
 
  21 )ln( CrCrT  
  eei TTTrT 
e
e
i r
rln
r
r
ln
 
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25 
Te 
Ti 
re ri 
raio 
Lei logarítmica 
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq 
 
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da 
seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo. 
 
 rLA 2 (área da casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo 
 
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier, 
21 )ln()( CrCrT  , vem: 
 
 ])ln([2 21 CrCdr
d
rLkq   
 ou, efetuando a derivação, temos: 
 
r
kLrCq 12 1 
 ou, ainda: 12 kLCq  
 
Substituindo, 1C : 
 





e
i
r
rln
2 ie TTkLq 
 (W) 
 
 
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas! 
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área, ''q , depende da posição radial 
 





e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
qq
ln
)(
2
2
''


 
 





e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)(
''
  2mW 
 
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, 
Çengel. 
3.1. Considere que a base do ferro de passar roupa doméstico possui uma espessura de L 
= 0,5 cm, e uma área de A = 300 cm2, o material de ferro com condutividade térmica, k 
= 15 W/m. A superfície interna da placa é aquecida por uma resistência de 1200 W e a 
superfície externa ocorre uma transferência de calor por convecção a vizinhança com T∞ 
= 20°C como apresentado na figura abaixo. Considerando um coeficiente de 
transferência de calor por convecção, h = 80 W/m2°C, e que a transferência de calor por 
radiação é desprezível, determine a distribuição de temperatura ao longo da placa e a 
temperatura da superfície interna e externa. 
Hipóteses: 
Estado estacionário 
A condução e calor é unidimensional 
As propriedades físicas constantes 
Sem geração interna de energia 
 A isolação térmica na superfície interna é 
perfeitamente adiabático 
Dados do problema: 
h = 80 W/m2°C ; L = 0,5 cm ; A = 300 cm2; T∞ = 20°C ; k 
= 15 W/m 
 
 
Solução: O fluxo de calor na superfície interna é dada por, ̇ݍ଴ = �బ̇�್ೌೞ� = ଵଶ଴଴ �଴,଴ଷ �మ = ͶͲͲͲͲ ��మ. 
A partir da equação de difusão do calor e as hipóteses admitida obtemos a equação diferencial 
abaixo: ݀ଶ�݀�ଶ = Ͳ 
Integrando a equação acima duas vezes obtemos o perfil de temperatura: ௗ�ௗ� = �ଵ . Integrando mais uma vez obtemos, �ሺ�ሻ = �ଵ� + �ଶ . C1 e C2 são as constantes de 
integração e são obtidas aplicando as condições de contorno. 
Condição de contorno 1: Na superfície interna, � = Ͳ, −� ௗ�ௗ�|�=଴ = ̇ݍ଴ , o que indica que −��ଵ = ̇ݍ଴ e �ଵ = − ௤̇బ� 
Condição de contorno 2: Na superfície externa, � = ܮ, �ሺܮሻ = �ଵܮ + �ଶ e −� ௗ�ௗ� = ℎ[�ሺܮሻ − �∞] → −��ଵ = ℎ[ሺ�ଵܮ + �ଶሻ − �∞] 
Substituindo �ଵ = − ̇ݍͲ� e resolvendo para obter C2, temos: �ଶ = �∞ + ௤̇బℎ + ௤̇బ� ܮ . Substituindo 
as constantes no perfil de temperatura obtemos: 
 �ሺ�ሻ = �∞ + ̇ݍ଴ (ܮ − �� + ͳℎ ) 
Aplicando os valores na equação acima para � = Ͳ e � = Ͳ,ͷ ܿ� encontramos a 
temperatura da superfície interna e externa respectivamente. 
�ሺͲሻ = ʹͲ°� + ͶͲͲͲͲͲ ��ଶܭ( 
 Ͳ,ͲͲͷ �ͳͷ ��°� + ͳͺͲ ��ଶ°�) 
 = ͷ͵͵°� 
�ሺܮሻ = ʹͲ°� + ቌͶͲͲͲͲ��ଶͺͲ ��ଶ°� ቍ = ͷʹͲ°� 
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27 
3.2. Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento, L=20 
m; raio interno r1= 6 cm; raio externo r2=8 cm; e condutividade térmica, k= 20W/m°C. A 
temperatura média da superfície interna e externa, T1=150°C e T2=60°C, são mantidas 
constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de 
calor do vapor por meio da parede do tubo. 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução de calor unidimensional 
3. As propriedades físicas 
4. Sem geração calor 
Solução: Da equação de difusão de calor para 
coordenada cilíndrica, ݀݀ݎ (ݎ ݀�݀ݎ) = Ͳ 
Integrando uma vez temos, ݎ ௗ�ௗ௥ = ܿଵ e integrando mais 
uma vez obtemos o perfil de temperatura: �ሺݎሻ = �ଵ ln ݎ + �ଶ 
Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes, 
C.C 1: ݎ = ݎଵ �ሺݎଵሻ = �ଵ = ͳͷͲ°� → �ଵ = �ଵ ln ݎଵ + �ଶ →�ଵ = �మ−�భln ሺೝమೝభሻ 
C.C 2: ݎ = ݎଶ �ሺݎଶሻ = �ଶ = ͸Ͳ°� → �ଶ = �ଵ ln ݎଶ + �ଶ →�ଶ = �ଵ − �మ−�భlnቀೝమೝభቁ ln ሺݎଵሻ 
Substituindo as constantes no perfil de temperatura obtemos: � ሺݎሻ = ቌln ቀ ݎݎଵቁln ቀݎଶݎଵቁቍሺ�ଶ − �ଵሻ + �ଵ 
A taxa de calor do vapor é determinada utilizando a lei de Fourier, �̇௖ = −��݀�݀ݎ = −�ሺʹ�ݎܮሻ�ଵݎ = −ʹ��ܮ�ଵ = ʹ��ܮ �ଵ − �ଶln ሺݎଶݎଵሻ 
Substituindo os valores numéricos obtemos: �̇ = ʹ� (ʹͲ ��°�) ሺʹͲ �ሻ ሺͳͷͲ − ͸Ͳሻ°�ln ሺͲ,ͲͺͲ,Ͳ͸ሻ = ͹ͺ͸ �� 
 
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AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS 
 
 
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes 
compostas. 
 
 
 
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o 
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as 
seguintes equações: 
 
- parede 1: 
1
21
1
)(
L
TTAkq   
Ak
qL
TT
1
1
21  
 
- parede 2: 
2
32
2
)(
L
TTAkq   
Ak
qLTT
2
2
32  
 
- parede 3: 
3
43
3
)(
L
TTAkq   
Ak
qLTT
3
3
43  
 
Assim, somando os termos _____________ 
de todas as paredes: 
Ak
L
qTT
i
i 41 
ou, simplesmente, 
 
R
Tq  
 
onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a 
resistência térmica da parede composta, dada por 
Ak
L
R
i
i 
 
ANALOGIA ELÉTRICA 
 
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos 
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: 
qi  
TU  
TÉRMICOÔHMICO RR  
 
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29 
 
 
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de 
paredes podem ser resolvidas. 
 
 
 
 
Circuito elétrico equivalente 
 
 
Fluxo de calor que é: 
T
total
R
Tq  
5//1 RRRRT  
com 
432//
1111
RRRR
 
 
 
Resistência térmica de contato 
 
Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede 
composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, �௧,஼" , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, 
como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará 
por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através 
do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode 
estarpresente. 
 
 
 
q 
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30 
 
 A resistência térmica de contato é dada por 
 �௧,஼" = �஺ − �஻��" 
 
Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do 
Incropera, reproduzida a seguir. 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR 
 
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. 
 
Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 
 
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule) 
 
2RIP  (W) 
 
Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W) 
R : resistência ôhmica ( ) 
I : corrente elétrica (A) 
 
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) 
 UIP  ou 
R
UP
2
 
 
Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW , V
PqG ''' (W/m3), onde V : volume onde o 
calor é gerado. 
 
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por 
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma 
reação endotérmica, 0''' Gq . 
 
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... 
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Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). 
 
Esse é o caso de resistências elétricas planas. 
 
 Lb  
T1
T2
2
L
2
b
i
 
 
 
 
 
Equação geral 
 
t
T
k
q
T G 
 
1'''2 , sendo que 0

t
T
 (regime permanente) 
 0
'''
2 
k
qT G )(xTT  
 
Condições de contorno: 
 
(1) Lx  1TT  
 
(2) Lx  2TT  
 
 
Solução 
 Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): 
dx
dT , 
Então 
k
q
dx
d G
''' 
 
Integrando essa equação por partes, vem: 
 
  1
'''
Cdx
k
qd G , mas como 1
'''
 então , Cx
k
q
dx
dT
dx
dT G  
 
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32 
 
Integrando novamente: 
 
 
 
 
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas. 
 
 Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e, 
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é 
negativa  parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, 
se '''Gq for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas 
resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para 
cima. 
 
Determinação das constantes 1C e 2C : 
 
Condições de contorno 
 
(1) 
21
2'''
1 2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face esquerda conhecida 
(2) 
21
2'''
2 2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face direita conhecida 
 
Somando (1)+(2), vem: 
 
 
2
2'''
21 2Ck
Lq
TT G   
k
LqTTC G
22
2'''
21
2  . 
 
Substituindo em (1) ou (2), tem-se 
L
TTC
2
12
1
 
 
Então, a distribuição final de temperaturas é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CASOS: 
 
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma 
temperatura: STTT  21 . Daí, resulta que: 
 
 
 
21
2'''
2
)( CxC
k
xq
xT G  
22
)(
2
)()( 2112
22''' TT
L
xTT
k
xLq
xT G
 
S
G T
k
xLq
xT 
2
)()(
22'''
 
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33 
 
 
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, 
ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco 
comum de uma reação endotérmica, ou '''Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo 
e, no plano central, haveria a mínima temperatura. 
 
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0
dx
dT
 
 S
G
CMÁX Tk
LqTT 
2
2'''
 
 
O fluxo de calor (lei de Fourier) 
 
dx
dTkAq  ou, o fluxo de calor por unidade de área, 
 
dx
dTk
A
qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem: 
 
 


  S
'''
G'' T
k
)xL(q
dx
dkq
2
22
, 
 
ou, simplesmente: 
 
 
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das 
condições de contorno. 
 
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q 
 
 
 
 
 
 (B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo, 
21 TT  , como ilustrado abaixo a seguir. 
'''''
Gxqq  
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34 
 
 
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) 
 
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx : 
 
0
máxx
dx
dTk ou 
 
 0
22
)()(
2
21
12
22
'''


  TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em: 
 
0
2
)( 12''' 
L
TT
x
k
q
máx
G
 
 
 
Cuja solução é: 
 
 
 
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se 
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso! 
 
 
PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer 
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. 
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não 
sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula? 
 
 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência 
de calor e massa, Incropera 
4.1. O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre sua 
superfície interna. 
(a) Se o ar quente está a T∞,i = 40°C e o coeficiente de convecção correspondente é a hi = 30 
W/(m2 K), quais as temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro de 4 
mm de espessura se a temperatura do ar ambiente é T∞,e = -10°C e o coeficiente de convecção 
associado é he = 65 W/(m2 K)? 
'''
12
2
)(
G
máx Lq
kTT
x
 
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Diagrama esquemático do problema: 
 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. A transferência de calor por radiação é desprezível 
4. As propriedades físicas são constantes 
Solução: (a) O fluxo pode ser obtido por: �′′ = �∞,ଵ − �∞,ଶ�௧�௧ = �∞,� − �∞,଴ͳℎ଴ + ܮ� + ͳℎ� = ͶͲ°� − ሺ−ͳͲ°�ሻͳ͸ͷ �ܹଶܭ + Ͳ,ͲͲͶ �ͳ,Ͷ �ܹ ܭ + ͳ͵Ͳ �ܹଶ ܭ = ͷͲ°�ሺͲ,ͲͳͷͶ + Ͳ,ͲͲʹͻ + Ͳ,Ͳ͵͵͵ሻ�ଶ ܭ/ܹ = ͻ͸ͺ �ܹଶ 
Se o fluxo de calor �′′ = ℎ�(�∞,� − �∞,଴), a temperatura da superfície é: �௦,� = �∞,� − �′′ℎ� = ͶͲ°� − ଽ଺଼ ��మଷ଴ ��మ� = ͹,͹°� 
Da mesma forma obtemos para a temperatura da superfície externa: �௦,଴ = �∞,଴ − �′′ℎ� = −ͳͲ°� − ଽ଺଼ ��మ଺ହ ��మ� = Ͷ,ͻ°C 
 
4.2.Uma parede plana de espessura 0,1 m e condutividade térmica k = 25 W/(m K) com geração 
volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3 é isolada de um lado enquanto o outro lado é 
expostoa um fluido a 92°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a 
parede e o fluido é 500W/(m2 K). Determine a temperatura máxima da parede. 
Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. Condução unidimensional 
3. Geração de energia uniforme no 
volume 
4. A superfície interna é adiabática 
 
 
Solução: A equação do perfil de temperatura é para parede plana é dado por; �ሺ�ሻ = �ଵ� + �ଶ 
Como a parede interna é adiabática, a temperatura no ponto � = Ͳ, é a temperatura máxima na 
parede que pode ser obtido com a equação: �଴ = �̇�మଶ� + �௦ 
A temperatura externa pode obtida por: �௦ = �∞ + �̇ܮℎ = ͻʹ°� + Ͳ,͵ܺͳͲ଺ �ܹଷ Ͳ,ͳ �ͷͲͲ �ܹଶܭ = ͻʹ + ͸Ͳ = ͳͷʹ°� 
Consequentemente obtemos: �଴ = Ͳ,͵ܺͳͲ଺ ௐ�య ሺ଴,ଵ � ሻమଶ௑ଶହ ��� + ͳͷʹ°� = ͸Ͳ + ͳͷʹ = ʹͳʹ°� 
 
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AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE 
GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna 
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de 
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule 
devido à passagem de corrente elétrica em fios 
elétricos, como indicado na figura ao lado. 
 
Partindo da equação geral da condução de calor: 
 t
T
k
q
T
'''
G

 
12
 (Regime permanente) 
 
Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: 
 
 2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T









  
 
Hipóteses adicionais 
- simetria radial: 02
2


 (não há influência da posição angular numa seção 
 transversal, pois há simetria radial) 
- o tubo é muito longo: 02
2


z
 (não há efeitos de borda na direção axial) 
 
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou 
seja, )(rTT  
 
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem: 
 
01
'''



k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
 
 
Ou, integrando por partes: 
 
1
'''
Crdr
k
q
dr
dT
rd G 

  , ou, ainda: 1
2'''
2
C
k
rq
dr
dT
r G  
 
Integrando novamente por separação de variáveis: 
 
2
1
'''
2
Cdr
r
C
r
k
qdT G 


   
 
 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
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37 
*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: 
 
(1) STrrT  )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida 
(2) 0
0

rdr
dT
 simetria radial na linha central 
 
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, 
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha. 
 
Da segunda condição de contorno, vem que: 
 
0
2
lim 1
'''
0


  r
C
k
rqG
r
 
 
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula. 
Da primeira condição de contorno. 
 
2
2'''
4
C
k
rq
T GS  ou, k
rqTC GS 4
2
0
'''
2  
 
Finalmente, a equação da condução de calor fica: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) ! 
 
 
 
Sendo, SGmáx Tk
rqT 
4
2
0
'''
 
 
 
 
 
 
 
 
  SG TrrkqT  220
'''
4
 
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38 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado 
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT . 
 
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''Gq uniforme. 
a) calcule a distribuição de temperaturas; 
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); 
c) determine a temperatura da superfície externa. 
 
 
 
Solução: 
 
Hipóteses: as mesmas que as anteriores. 
 
Eq. 01
'''



k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
 
 
Condições de contorno: 
 
 (1) ii TrrT  )( (temperatura interna constante) 
 
 
(2) 0
erdr
dT
 (fluxo de calor nulo na superfície) 
 
A solução geral, como já visto, é: 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
 
Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico: 
 
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39 
i
ie
ieG T
r
r
r
rr
k
rq
rT 






 ln2
4
)( 2
222'''
 
k
rq
C eG
2
2'''
1  ; 


 


 )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieG
i r
r
r
k
rqTC 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é: 
 
dr
dTkAq  
 
 
)()2( rT
dr
d
rLkq  
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem: 
 
 22''' ieG rrqLq   (W/m) 
 
A temperatura máxima é: 
 
emáx TT  
 
i
i
e
e
eieG
emáx T
r
r
r
rr
k
rq
TT 





 ln2
4 2
222'''
 
 
 
 
 
 
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada 
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de 
transferência de calor vale CmkW o2/10 . 
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua 
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22 
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40 
CT oc 267 
 
Solução: 
 
 
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume. 
R
URiP
2
2 
 ; 
A
LR  
m 81070 
mL 3,0 , 26
232
100425,8
4
)102,3(
4
m
DA 

 
 

 

2
6
8
106111,2
100425,8
3,01070R 
kWP 830,3
106111,2
100
2   
3,0100425,8
1083,31083,3
6
33


 LAV
PqG 
3
910587,1
m
WqG  
hA
PTTTThAP PP   )( 
3,0)102,3(1010
1083,395 33
3

 PT 
CT oP 222 
k
rq
TT oGPc 4
2
 
5,224
)106,1(10587,1222
239



cT 
 
 
 
 
 
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41 
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações 
 
 
 
- paredes planas 
 
 
R
TTq 21  
kA
LR  
 
 
- circuito elétrico 
 
 
 
 
- paredes compostas 
 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Ainda, 
 
 
 
 
onde 
432//
1111
RRRR

 
5//1 RRRREQ  
EQR
TTq 21 
 
 
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42 
- Tubo cilíndrico 
 
 
R
TTq ei  ;kL
r
r
R i
e
2
ln 


 
 
 
 
- Tubo cilíndrico composto 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
ieq RR  
 
 
 
 
 
 
 
Para dois tubos: 
 
Lk
r
r
R
1
1
2
1 2
ln





 
Lk
r
r
R
2
2
3
2 2
ln





 
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 





 
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43 
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? 
 
 
 
Lei de convecção (Newton) 
 
)(  TThAq p e 
hA
TT
q p 1

 
onde, 
hA
1
 é a resistência térmica de convecção 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes: 
 
 
 
 
 
 
- Convecção em tubo cilíndrico 
 
 
 
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44 
 
Tabela-resumo de Resistências Térmicas 
 
 Circuito Elétrico 
Fluxo de 
Transferência 
de calor 
Resistências Térmicas 
Parede plana 
 
 
 
 
R
TTq 21  
kA
LR  
Parede plana com 
convecção 
 
 R
TTq 21   
321 RRRR 
AhkA
L
Ah
R
21
11  
 
 
Paredes compostas 
 
 
EQR
TTq 21 
 
5//1 RRRREQ 
432//
1111
RRRR

 
Tubo cilíndrico 
 
 
R
TTq ei  
kL
r
r
R i
e
2
ln 


 
Tubo cilíndrico 
composto 
 
 
eq
ei
R
TT
q
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 





 
Convecção externa 
em tubo cilíndrico 
 
 
eq
ei
R
TT
q
 
hAkL
r
r
R i
e
eq
1
2
ln




  
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45 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U 
 
O coeficiente global de transferência de calor é definido por: 
 
totalTUAq  
 
 
Claramente, U está associado com a resistência térmica, 
 
 
- parede plana 
 
AhkA
L
Ah
R
21
11 
 
 
TUA
R
Tq  
 
R
UA 1 ou 
RA
U 1 
Logo, 
 
21
11
1
hk
L
h
U

 
 
- tubo cilíndrico 
 
 
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à 
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são 
intercambiáveis mediante a seguinte expressão: 
 
totaliitotalee TAUTAU  
 
Logo, iiee AUAU  
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46 
U referido à área externa: 
  
e
r
r
e
e
hkL
A
U
i
e 1
2
ln
1



 
U referido à área interna: 
 
  
ee
ir
r
i
i
hA
A
kL
A
U
i
e


2
ln
1
 
 
 
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO 
 
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio 
ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em 
custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e 
simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais 
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta 
operação. 
Como visto, o fluxo de calor é 
 
  
hLrkL
TTq
e
r
r
i
i
e
 2
1
2
ln 
  
 
ou,  
hrk
TTL
q
e
r
r
i
i
e 1ln
)(2

  
 
 
Note que o raio externo que aparece no 
denominador dessa expressão tem duas 
contribuições: uma no termo de condução e a 
outra no termo de convecção. De forma que, se 
o raio externo do isolamento aumentar, ele 
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência 
térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um 
ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre 
quando a derivada é nula, isto é, 
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h
k
rcrit  
 
   








 
 
2
.
1
.
1
2
1ln
)(20
e
rherk
hrk
TTL
dr
dq
e
r
r
i
e
i
e

 
 
Assim, 
 2
11
ee hrkr

  
 
critr é o chamado raio crítico de isolamento. 
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que 
h
k
 a transferência de calor 
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio 
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao 
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de 
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão 
de fato diminuir a perda de calor. 
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por 
convecção de h = 
Cm
W
o27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos 
de isolamento para alguns isolantes térmicos. 
 
material  CmW ok critr (mm) 
Teflon 0,350 50,0 
Papel 0,180 25,7 
Couro 0,159 22,7 
Borracha macia 0,130 18,6 
Silicato de cálcio 0,055 7,9 
Lã de vidro 0,038 5,4 
Poliestireno expandido 0,027 3,9 
Folhas de papel e alumínio de 
vidro laminado 0,000017 0,0024 
 
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa, 
Çengel 
5.1 Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante de plástico, espessura de 
2 mm e condutividade térmica, k = 0,15 W/m°C. Medições elétricas indicam que passa uma 
corrente de 10 A pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V. O isolamento de plástico 
fica exposto ao ar com T∞ = 30°C e o coeficiente de transferência de calor, h = 12W/m2°C. 
Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolante em operação de regime 
permanente, e determine o raio crítico. 
 
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Hipóteses: 
1. Regime estacionário 
2. A condução de calor unidimensional 
3. As propriedades físicas constantes 
4. A resistência de contato entre fio e o isolante é desprezível 
5. A transferência de calor por radiação está incluída no 
coeficiente de transferência de calor 
Solução: A taxa de transferência de calor do fio para o isolante é 
igual a taxa de geração de calor produzido devido à resistência, 
assim podemos obter: 
 ܳ̇ = ܹ̇� = ܸ � = ሺͺ ܸሻሺͳͲ �ሻ = ͺͲܹ 
A área da superfície externa, �ଶ = ሺʹ � �ଶሻ� =ʹ �ሺͲ,ͲͲ͵ͷ �ሻሺͷ �ሻ = Ͳ,ͳͳͲ �ଶ 
E as resistências apresentadas são dados por: ܴ�௢௡� = ͳℎ�ଶ = ͳሺͳʹ �ܹଶ°�ሻሺͲ,ͳͳͲ �ଶሻ = Ͳ,͹͸ °�ܹ ܴ௣��௦௧��௢ = ln ሺ�ଶ�ଵሻʹ��� = ln ሺ͵,ͷͳ,ͷሻʹ �ሺͲ,ͳͷ �ܹ°� ሺͷ �ሻ = Ͳ,ͳͺ °�ܹ 
Portanto: ܴ௧௢௧�� = ܴ௣��௦௧��௢ + ܴ�௢௡� = Ͳ,͹͸ + Ͳ,ͳͺ = Ͳ,ͻͶ °�� 
 ܳ̇ = �1−�∞������ → determinando a temperatura na superfície de contato entre o fio e a capa de 
plástico: �ଵ = �∞ + ܴܳ̇௧௢௧�� = ͵Ͳ°� + ሺͺͲܹሻ ቀͲ,ͻͶ °��ቁ = ͳͲͷ°� 
 
Ainda determinamoso raio crítico do isolamento: ��௥ = �ℎ = Ͳ,ͳͷ �ܹ°�ͳʹ �ܹଶ°� = Ͳ,Ͳͳʹͷ � = ͳʹ,ͷ �� 
O raio crítico, rcr , com o aumento da espessura da capa de plástico a taxa de transferência de 
calor aumenta se a temperatura da superfície de contato permanecer constante. Este 
comportamento ocorre até que o raio da capa plástico atinja o raio crítico. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 49 
 
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AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
Considere uma superfície aquecida (ou resfriada) que se deseja trocar calor com um 
fluido que a envolve que está à temperatura T∞. 
 
 
 
 
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por 
  TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a 
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe). 
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por 
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, 
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o 
fluxo de calor trocado. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato que vai se 
exigir a utilização de equipamentos de maior porte para movimentação do fluido, ou 
seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos). 
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste 
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas 
abaixo. 
 
 
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo 
aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido. 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 50 
 
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Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas: 
 
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do 
“velho” fusca e motores de motocicletas; 
(2) carcaça de motores elétricos; 
(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado; 
(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de computadores; 
(5) orelhas de elefantes. 
 
 
 
 
TIPOS DE ALETAS 
 
A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem 
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao 
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc). 
 
 
 
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) 
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil 
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil 
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado 
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico 
truncado; (i) pino parabólico. 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO GERAL DA ALETA 
 
 
 
 
Volume de controle 
elementar, C 
 
 
Hipóteses: 
 
- regime permanente; 
- temperatura uniforme na seção transversal; 
- propriedades constantes. 
 
Balanço de energia 
 


























convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
 
 
(I) 
dx
dTkAq xx  
(II) )( 2dxodx
dx
dqqq xxdxx  expansão em série de Taylor 
(III) )TT(hAq Lc  
 )(  TThPdxqc 
 
P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da 
aleta que se encontra em contato com o fluido. 
 
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem: 
 dxTThPdxdx
dx
dq
qq xxx   )( 
0)(  TThPdx
dqx
 
 
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução: 
 
0)( 

 TThPdx
dTA
dx
dk
 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 52 
 
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mxmx ececx  21)( 
Sendo dTdTT    
 
0

 
k
hP
dx
dA
dx
d
 Esta é a equação geral da Aleta 
 
 )(x  que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta; 
)(xAA  que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida). 
 
 
 
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR 
 
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de 
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção 
transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem: 
 
022
2
  m
dx
d
, 
kA
hP
m 2 
 
A solução é do tipo: , 
 
 
Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e 
distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo. 
 
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno: 
 
a1 Condição de Contorno 
 
 




TT
TT
xpara
bb
b
 )0(
)0(
0 
 
0
2
0
1
 ececb 
 
 
 
 
 
bcc  21 
 Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 53 
 
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LEMBRETE DE CÁLCULO 
 
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes 
 
02
2
 cy
dx
dyb
dx
yd
 
 
Assume-se que nxey  
 
Substituindo essa solução, vem 
 
02  nxnxnx cebneen  nxe 
Daí, obtém-se o polinômio característico 
 
02  cbnn 
 
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos 
 
xnxn
ececy 21 21  
 
Caso 2: 1n e 2n reais iguais 
 
xnxn
xececy 11 21  
 
Caso 3: conjugados complexos 
 qipn 1 ; qipn 2 
 
 )]()cos([ 21 qxsencqxcey px  
 
Onde, 
2
bp  ; 
2
4 2bcq  
 
 
 
 
 
A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme 
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados: 
 
(a) aleta muito longa 
 Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua 
extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de 
vista matemático uma aleta muito longa pode ser 
simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, 
isto é: 
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____________________________ 
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


  
x
kA
hP
b
mx
b e
x
ex 
 )()( 
0  ouTTx 
 
Assim, 
   bmxmx
x
ccecec 2121 0lim0   
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é: 
 
 
 
 
 
Ou, substituindo a definição de  , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode 
ser calculado por dois métodos: 
 
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total 
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta) 
 
(2) dxTThPqaleta )(0 
   (o fluxo de calor total transferido é a integral do 
fluxo