Vibrações Mecânicas e Vibrações Forçadas Harmonicamente Amortecidas

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Vibrações Mecânicas e 
Vibrações Forçadas 
Harmonicamente Amortecidas
Maria Ribeiro Machado Pires
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Tópicos
 Introdução à Vibrações 
Mecânicas;
 Classificação das vibrações;
 Exemplo de Vibrações;
 Elementos de mola;
 Associação de molas;
 Elementos de massa;
 Associação de massas;
 Amortecimento;
 Definições importantes;
 Vibrações forçadas 
harmonicamente amortecidas;
 Equação do movimento;
 Resposta de um sistema não 
amortecido à força harmônica;
 Resposta total e batimento;
 Resposta de um sistema 
amortecido à força harmônica;
 Resposta total;
 Fator de Qualidade e largura de 
banda;
 Exercícios Resolvidos
 Conclusão;
 Referências Bibliográficas;
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Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Fonte: ScienceDirect
Figura 1:
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Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Primeiramente, temos que citar a importância do 
estudo da vibração. Os primeiros estudiosos dessa área se 
concentraram em entender os fenômenos naturais e 
desenvolver as teorias matemáticas em cima desses 
fenômenos para que pudesse ser entendendo como um 
sistema físico. Aqui trataremos o estudo das vibrações na 
engenharia, em que podem ser estudados motores, 
estruturas, máquinas, etc.
Durante a explicação, conceitos serão definidos a fim 
de melhorar o entendimento.
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Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
O conceito de Vibração:
É o movimento oscilatório de corpos. É Qualquer 
movimento que se repita após um intervalo de 
tempo, como por exemplo, um pêndulo.
Partes elementares de sistemas vibratórios:
Um sistema vibratório geralmente inclui um meio para 
armazenar energia potencial, um meio para 
armazenar energia cinética, e um meio de perda 
gradual de energia. Sendo estes, respectivamente, 
mola, massa e amortecedor.
Graus de liberdade:
É o número mínimo de coordenadas independentes 
requeridas para determinar completamente as 
posições de todas as partes de um sistema a 
qualquer instante.
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Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Sistemas discretos e contínuos:
Uma grande quantidade de sistemas práticos podem 
ser descritas usando um número finito de graus de 
liberdade. Sistemas com um número finito de graus 
de liberdade são denominados sistemas discretos, 
enquanto que os que tem um numero infinito de 
graus de liberdade são denominados sistemas 
contínuos.
Fonte: Vibrações mecânicas 
– Rao Singiresu
Figura 2: Exemplos de sistemas com três graus de liberdade
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Classificação das vibrações
 Podemos classificar as vibrações de diferentes formas:
 Vibração livre: Se um sistema, após uma perturbação inicial continuar a vibrar por conta 
própria, a vibração resultante é conhecida como vibração livre, em que nenhuma força 
externa age sobre o sistema.
 Vibração forçada: se um sistema estiver sujeito a uma força externa, a vibração 
resultante é conhecida como vibração forçada. 
 Vibração não amortecida: ocorre quando nenhuma energia é perdida ou dissipada por 
atrito ou outra resistência durante a oscilação.
 Vibração amortecida: quando qualquer energia é perdida durante a oscilação.
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Classificação das vibrações
 Vibração linear: quando todos os componentes básicos de um sistema vibratório, como 
a mola, a massa e o amortecedor, se comportam linearmente.
 Vibração não-linear: os elementos não se comportam de forma linear.
 Vibração determinística: quando o valor ou a magnitude da excitação que está agindo 
sobre um sistema vibratório é conhecido a qualquer instante.
 Vibração aleatória: o valor da excitação não pode ser previsto.
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Exemplo de vibrações
Fonte: Fundamentos de vibrações 
mecânicas – Professor Sidney 
Bruce 9
Elementos de mola
A mola linear é um elo mecânico que desenvolve força quando há movimento relativo entre 
suas extremidades. 
Lei de Hooke: 𝐹𝑘 = 𝑘𝑥
A mola é um elemento que armazena energia na forma de energia potencial elástica:
Mola de translação: 𝑈𝑘 =
1
2
𝑘𝑥²
Mola torcional: 𝑈𝑘 =
1
2
𝑘𝜃²
É importante ressaltar que nem sempre haverá uma mola propriamente dita em um sistema 
vibratório e que alguns casos uma estrutura elástica fará o papel de mola, sendo necessário 
achar uma rigidez de mola equivalente para fazer a análise.
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce 10
Elementos de mola
No exemplo dado temos um sistema de Barra uniforme. Contém o Módulo de Young, Área 
de seção transversal e o Comprimento Inicial :
𝜎 = 𝐸𝜀
𝐹
𝐴
= 𝐸(
∆𝑙
𝑙0
)
𝐹 = (
𝐸𝐴
𝑙0
)∆𝑙
𝐹 = 𝑘𝑒𝑞𝑥
𝒌𝒆𝒒 =
𝑬𝑨
𝒍𝟎
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce
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Associação de molas
Nas aplicações práticas, varias molas lineares são usadas em 
associação, que podem ser associadas em uma única mola 
equivalente como vamos exemplificar:
CASO 1: MOLAS EM PARALELO: Para derivar uma expressão para 
a constante elástica equivalente de molas ligadas em paralelo, 
iremos considerar as molas mostradas na figura. Quando é 
aplicada uma carga W, o sistema sofre deflexão estática 𝛿𝑠𝑡. 
Então o diagrama de corpo livre representado fornece a 
equação de equilíbrio
𝑊 = 𝑘1𝛿𝑠𝑡 + 𝑘2𝛿𝑠𝑡
FONTE: Vibrações mecânicas –
Rao Singiresu
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Associação de molas
Se 𝑘𝑒𝑞 é a constante elástica equivalente para a associação de duas molas, então para a 
mesma deflexão 𝛿𝑠𝑡, teremos:
𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡
Associando as equações anteriores, teremos então 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2
Em geral, se tivermos n molas com constante elásticas 𝑘1, 𝑘2, … 𝑘𝑛 em paralelo, então pode se 
obter a constante elástica equivalente:
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 +⋯+ 𝑘𝑛
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Associação de molas
CASO 2 -MOLAS EM SÉRIE: agora será conceituado a expressão para a 
constante elástica equivalente de molas ligadas em série, considerando as 
duas molas demonstradas na figura presente. Sob a ação de uma carga 
W as molas 1 e 2 sofrem alongamentos 𝛿1 e 𝛿2, respectivamente, como 
mostrado. O alongamento total, ou deflexão estática do sistema 𝛿𝑠𝑡 é dado 
por 𝛿𝑠𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2. Visto que ambas molas estão sujeitas à mesma força W, 
temos o equilíbrio mostrado na figura:
𝑊 = 𝑘1𝛿1 𝑒 𝑊 = 𝑘1𝛿2
Se 𝑘𝑒𝑞 denotar a constante elástica equivalente, então para a mesma 
deflexão estática, 𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡, com as equações teremos 𝑘1𝛿1 = 𝑘1𝛿2 =
𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡. Isolando 𝛿1 𝑒 𝛿2 e somando as equações, teremos uma equação 
generalizada para o caso de n molas:
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+⋯+
1
𝑘𝑛
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao Singiresu
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Elementos de massas
Em um sistema vibratório a massa é responsável por armazenar energia cinética
 Translação: 𝑇 =
1
2
𝑚 ሶ𝑥²
 Rotação: 𝑇 =
1
2
𝐽 ሶ𝜃2, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐽 é 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.
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Associação de Massas
A associação de massas é feita igualando-se a soma das energias cinéticas de cada massa 
à energia cinética de uma massa equivalente.
𝑇𝑒𝑞 = 𝑇1 + 𝑇2 +⋯+ 𝑇𝑛
Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia (energia cinética e potencial) na 
forma de calor ou som. Essas perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia 
gradativamente até o sistema entrar em equilíbrio. 
O mecanismo deperda de energia é chamado de AMORTECIMENTO.
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Amortecimento
Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia na forma de calor ou som. Essas 
perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia gradativamente até o sistema 
entrar em equilíbrio. Esse mecanismo de perda de energia é chamado AMORTECIMENTO. 
Temos alguns tipos de amortecimento:
 Amortecimento viscoso: perdas de um corpo em um fluido: 𝐹𝑐 = 𝑐 ሶ𝑥, em que C é 
coeficiente de amortecimento [Ns/m].
 Amortecimento de Coulomb (atrito seco): força devido ao contato entre superfícies e 
força de módulo constante e sentido oposto ao do movimento do corpo: |F|=𝜇𝑁 em 𝜇 é 
o coeficiente de atrito que depende das superfícies em contato eN é a reação normal.
 A associação de amortecedores é feita de forma análoga a associação de molas.
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Definições importantes
 Amplitude de vibração (A): máxima amplitude de deslocamento do corpo;
 Período de oscilação (T): tempo para completar um ciclo de movimento;
 Frequência de oscilação (f em Hz) ou (𝜔 em rad/s): é o número de ciclos de oscilação por 
unidade de tempo f=
1
𝑇
=
𝜔
2𝜋
 Valor quadrático médio (RMS): usado para quantificar a magnitude de um sinal oscilatório x(t) 
com duração T: 𝑥𝑅𝑀𝑆 =
1
𝑇
0׬
𝑇
𝑥2 𝑡 𝑑𝑡
 Ângulo de fase (𝜙): considerando duas oscilações, temos 
𝑥1 𝑡 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑥2 𝑡 = 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙)
O ângulo (𝜙) em radianos traz um atraso/avanço de uma vibração em relação à outra.
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Definições importantes
 Exemplo dos ângulos de fase:
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce
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Vibrações 
Forçadas 
Harmonicamente 
Amortecidas
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Vibrações 
Forçadas 
Harmonicamente 
Amortecidas
Um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração
forçada sempre que a energia externa é fornecida ao
sistema durante vibração. A energia pode ser fornecida
ao sistema por meio de uma força aplicada ou por uma
excitação de deslocamento imposta.
A resposta de um sistema à excitação harmônica é
denominada resposta harmônica.
Nesta parte iremos considerar a resposta dinâmica
de um sistema com um grau de liberdade sob excitação
harmônicas da forma 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑒
𝑖(𝜔𝑡+𝜙) ou 𝐹 𝑡 =
𝐹0cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ou 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) , onde
𝐹0 é 𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒, 𝜔 é 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒 𝜙 é 𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒
𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑎.
O valor de f depende do valor de F (t) em t=0 e
geralmente é considerado zero. Sob
excitação harmônica, a resposta do sistema também
será harmônica. Se a frequência de excitação
corresponde à frequência natural do sistema, a resposta
será muito grande. Essa condição, conhecida como
ressonância, deve ser evitada para que o sistema não
falhe.
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Equação do movimento
Se uma força F (t) atua em um sistema de massa-mola viscosamente amortecido, como 
mostrado na figura, a equação do movimento pode ser obtida aplicando a segunda lei de 
Newton:
Como essa equação não é homogênea, a soma da solução homogênea 𝑥ℎ(𝑡) e a solução 
particular, 𝑥𝑝(𝑡) fornece sua solução geral. A solução homogênea, que é a solução da 
equação homogênea
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
A parte do movimento que é reduzida pelo 
amortecimento (a parte de vibração livre) é chamada 
de transitória. A taxa na qual o movimento transitória é 
reduzido depende dos valores dos parâmetros do 
sistema k, c e m.
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Resposta de um sistema não amortecido 
à força harmônica
Considerando a força agindo sobre uma massa m de um sistema amortecido temos que:
A solução homogênea dessa equação é dada por:
Em que 𝜔𝑛 = (
𝑘
𝑚
)1/2 é a frequência natural do sistema. Como a força excitadora F(t) é 
harmônica, a solução particular também é harmônica e tem a mesma frequência 𝜔,
admitindo uma solução na forma
O X denota a máxima amplitude, quando substituímos temos a equação:
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Resposta de um sistema não amortecido 
à força harmônica
𝛿𝑠𝑡 =
𝐹0
𝑘
é a deflexão estática. Sendo assim a solução total fica:
E usando as condições iniciais x(t=0)= ሶ𝑥(t=0)= ሶ𝑥0 constatamos que
E por consequência
Sendo a a máxima amplitude X expressa como
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Resposta de um sistema não amortecido 
à força harmônica - CASOS
Caso 1: 0 <
𝜔
𝜔𝑛
< 1 quando a resposta do 
sistema Xp(t) está em fase com a força 
externa.
Caso 2: 𝜔/𝜔𝑛 > 1 a resposta do sistema a 
uma força harmônica de frequência muito 
alta é próxima de zero
Caso 3: 𝜔/𝜔𝑛 = 1 isso acontece quando a 
frequência forçante é igual a frequência 
natural e o sistema entra no que definimos 
como ressonância.
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Resposta total e batimento
 Batimento: se a frequência natural for 
próxima, mas não exatamente igual à 
frequência natural do sistema pode 
ocorrer o batimento.
 Resposta total: o movimento completo 
pode ser expresso como a soma de duas 
curvas cossenóides de frequências 
diferentes.
Período e frequência do batimento:
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Resposta de um sistema amortecido à 
força harmônica
Sob a atuação de uma força harmônica a 
equação do movimento amortecido se torna 
A solução particular é 
Colocando a amplitude X em evidência e 
reagrupando os termos
Usando as relações trigonométricas:
Igualando os coeficientes:
De onde se obtém
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Resposta de um sistema amortecido à 
força harmônica
Dividindo os denominadores por k, temos:
Como
Citando a razão das frequências como 𝑟 =
𝜔/𝜔𝑛
 A figura representa a representação 
gráfica de uma função excitadora e 
resposta:
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Resposta de um sistema amortecido à 
força harmônica
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Resposta de um sistema amortecido à 
força harmônica
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Resposta de um sistema amortecido à 
força harmônica
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Resposta total
Teremos a solução da reposta particular da seguinte maneira
As constantes 𝑋0 𝑒 𝜙0 são constantes de integração obtidas através das condições iniciais. 
Com x(t=0)=𝑥0 e ሶ𝑥=(t=0)=𝑣0, 𝑋0 𝑒 𝜙0
são obtidos como
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Fator de qualidade e largura de banda
 Para baixos fatores de amortecimento 𝜉 < 0,05 a equação abaixo pode ser utilizada, em
que Q é fator de qualidade.
 Na figura os valores R1 e R2 correspondentes a relações de frequência para as quais a
razão de amplitudes é 𝑄/ 2, são chamados de pontos de meia potência, pois a energia
vibratória é proporcional ao quadrado da amplitude no movimento harmônico. A
diferença entre as frequências correspondentes a estes dois pontos, ω2 - ω1 , define o
que se chama de largura de banda. Os valores das relações de frequência
correspondentes a estes pontos podem ser obtidos fazendo
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Fator de qualidade e largura de banda
Subtraindo as duas raízes, temos:
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Uma bomba alternativa com 150lb de peso 
está montada no meio de uma placa de aço 
de 0,5in de espessura, 20in de largura e 100in 
de comprimento, presa por braçadeiras ao 
longo de duas bordas, como mostra a figura. 
Durante a operação da bomba, a placa é 
sujeita a uma força harmônica, 
F(t)=50cos62,832t lb. Determine a amplitude de 
vibração da placa.
A placa pode ser modelada como uma 
viga fixa nas duas extremidades com 
módulo de Young (E) = 30× 106𝑝𝑠𝑖, 
comprimento (l)=100in d momento de 
inércia da área (I)=
1
12
20 0,5 3 = 0,2083𝑖𝑛4.
A resistência à flexão da viga é dada por
A amplitude da resposta harmônica é 
dada pela equação abaixo e o sinal indica 
que a resposta x(t) da placa está defasada 
da excitação F(t).
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao 
Singiresu
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Determine a resposta total de um sistema com um grau de liberdade 
com m=10kg, c=20N.m, k=4000N/m, 𝑥0 = 0,01𝑚, ሶ𝑥0 = 0 sob as seguintes 
condições:
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Um peso de 50N está suspenso por uma mola de rigidez 4000N/m e sujeito a uma força 
harmônica de amplitude 60N e a frequência 6Hz. Determine:
a) a extensão da mola devido ao peso suspenso;
b) o deslocamento estático da mola devido à máxima força aplicada;
c) amplitude de movimento da forçado do peso.
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Determine a razão da frequência r=𝝎/𝝎𝒏 ao qual a amplitude de um sistema 
amortecido com um grau de liberdade atinge o valor máximo. Determine também 
o valor da amplitude máxima.
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Exemplos de como as 
vibrações podem agir 
de forma inesperada.
Com vento forte, a estrada 
apresentaria violentas vibrações de 
torção, conforme mostrado nas 
imagens.
Fonte: PBS e Brown
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Conclusões
A importância de se estudar as vibrações é encontrar
uma maneira de calcular, principalmente nos presentes
casos deste trabalho, a frequência e amplitude. Na
engenharia, analisaremosvários sistemas conservadores
de vibração livre, sistema dissipativo, para que possamos
mostrar a influência das perdas de energia no sistema
mecânico e por fim, analisar e discutir o comportamento
desses sistemas quando há forças aplicadas e por isso
outras variáveis e ações foram mostradas.
Fonte: Directgate
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Referências Bibliográficas
https://www.sciencedirect.com/topics/materials-science/mechanical-vibration
https://sites.google.com/site/profsbshiki/teaching/vibracoes-mecanicas
https://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/wonder/structure/narrows1_bridge.html
https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_overview/
vibrations_overview.htm
https://directgate.blogspot.com/2019/09/mechanical-vibrations-recommended-books.html
RAO, SINGIRESU S. Vibraciones mecánicas Quinta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 
2012.
RAO, SINGIRESU S. Vibrações Mecânicas Quarta edição. PEARSON EDUCACIÓN, México, 
2009.
Vibrações Mecânicas RAO (4ª Edição) – solucionário – acesso em: 
https://www.passeidireto.com/lista/94533135-dinamica-de-maquinas-e-
vibracoes/arquivo/68525910-vibracoes-mecanicas-rao-4-edicao-solucionario
41
https://www.sciencedirect.com/topics/materials-science/mechanical-vibration
https://sites.google.com/site/profsbshiki/teaching/vibracoes-mecanicas
https://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/wonder/structure/narrows1_bridge.html
https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_overview/vibrations_overview.htm
Obrigado
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