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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de
Confianc¸a Assinto´tico, p-Bootstrap e
t-Bootstrap, Para Alguns Paraˆmetros da
Distribuic¸a˜o Weibull
Waldir Verissimo da Silva Junior
Professor Dr. Josmar Mazucheli
Orientador
Maringa´
2005
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de
Confianc¸a Assinto´tico, p-Bootstrap e
t-Bootstrap, Para Alguns Paraˆmetros da
Distribuic¸a˜o Weibull
Waldir Verissimo da Silva Junior
Professor Dr. Josmar Mazucheli
Orientador
Monografia de conclusa˜o de
curso apresentada junto ao De-
partamento de Estat´ıstica do
Centro de Cieˆncias Exatas da
Universidade Estadual de Mar-
inga´, para a obtenc¸a˜o do t´ıtulo
de Bacharel em Estat´ıstica.
Maringa´
2005
Waldir Verissimo da Silva Junior
Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de
Confianc¸a Assinto´tico, p-Bootstrap e
t-Bootstrap, Para Alguns Paraˆmetros da
Distribuic¸a˜o Weibull
Esta monografia foi julgada
adequada para a aprovac¸a˜o na
disciplina Estat´ıstica Aplicada do
curso de Graduac¸a˜o Bacharelado
em Estat´ıstica da Universi-
dade Estadual de Maringa´, pela
seguinte banca examinadora:
Banca Examinadora
Professor Dr. Josmar Mazucheli
Orientador
Professor Ms. Carlos Aparecido dos Santos
Membro
Professor Ms. Vanderly Janeiro
Membro
Resumo
Neste trabalho sa˜o apresentadas as principais caracter´ısticas da distribuic¸a˜o Weibull — a
func¸a˜o densidade de probabilidade, a func¸a˜o de sobreviveˆncia, a func¸a˜o de risco, a moda, a
mediana e alguns outros paraˆmetros importantes que sa˜o utilizados na modelagem de dados
que representam o tempo ate´ a ocorreˆncia de algum evento de interesse. Aborda-se tambe´m
neste trabalho treˆs me´todos de construc¸a˜o de intervalos de confianc¸a, para os estimadores de
ma´xima verossimilhanc¸a dos paraˆmetros de escala, µ, forma, β, mediana (t0.50), 1
o quartil
(t0.25) e 3
o quartil (t0.75), onde um deles e´ o o intervalo de confianc¸a assinto´tico e os outros
dois, p-Bootstrap e t-Bootstrap, sa˜o baseados no processo de reamostragem conhecido como
Bootstrap (Efron, 1993). O objetivo desta monografia e´ avaliar a probabilidade de cobertura
destas 3 formas de construc¸a˜o dos intervalos de confianc¸a considerando-se va´rios tamanhos
de amostra e diversas porcentagens de observac¸o˜es censuradas. Avalia-se a probabilidade de
cobertura dos intervalos para os paraˆmetros µ, β, 1o quartil (t0.25), 2
o quartil (t0.50) e 3
o quartil
(t0.75). No ca´lculo das probabilidades utiliza-se o software SAS onde em particular e´ utilizada
o procedimento nlmixed.
Palavras Chave: Probabilidade de Cobertura, Bootstrap, intervalos de confianc¸a, dis-
tribuic¸a˜o Weibull.
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 8
1.1 Descric¸a˜o dos Cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 A Distribuic¸a˜o Weibull 10
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Caracterizac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Func¸a˜o de Verossimilhanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Estimadores de Ma´xima Verossimilhanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Intervalos de Confianc¸a Assinto´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Simulac¸a˜o Bootstrap 17
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 O Processo de Reamostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Intervalos de Confianc¸a Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Intervalos de Confianc¸a p-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Intervalos de Confianc¸a t-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Aplicac¸a˜o 21
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Ana´lise Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com µ = 2 e β = 0.5 . . . . . . . . 23
4.3.1 Ana´lise do Paraˆmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.2 Ana´lise do Paraˆmetro β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 Ana´lise do Paraˆmetro t0.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.4 Ana´lise do Paraˆmetro t0.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
4.3.5 Ana´lise do Paraˆmetro t0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Ana´lise Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com µ = 2 e β = 1.5 . . . . . . . . 43
4.4.1 Ana´lise do Paraˆmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Ana´lise do Paraˆmetro β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.3 Ana´lise do Paraˆmetro t0.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.4 Ana´lise do Paraˆmetro t0.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.5 Ana´lise do Paraˆmetro t0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Ana´lise Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com µ = 2 e β = 3 . . . . . . . . . 64
4.5.1 Ana´lise do Paraˆmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.2 Ana´lise do Paraˆmetro β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.3 Ana´lise do Paraˆmetro t0.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.4 Ana´lise do Paraˆmetro t0.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.5 Ana´lise do Paraˆmetro t0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Apeˆndice A.........................................................................................................................86
Apeˆndice B.........................................................................................................................90
Refereˆncias Bibliogra´ficas...................................................................................................93
ii
I´ndice de Tabelas
Tabela 4.1: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro µ.............................................................................................22
Tabela 4.2: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro β.............................................................................................26
Tabela 4.3: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.25.........................................................................................29
Tabela 4.4: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.50.........................................................................................33
Tabela 4.5: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.75.........................................................................................37
Tabela 4.6: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% deconfianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro µ.............................................................................................42
Tabela 4.7: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro β.............................................................................................46
Tabela 4.8: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.25.........................................................................................50
Tabela 4.9: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.50.........................................................................................54
Tabela 4.10: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.75.........................................................................................58
Tabela 4.11: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro µ.............................................................................................63
iii
Tabela 4.12: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro β.............................................................................................67
Tabela 4.13: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.25.........................................................................................71
Tabela 4.14: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.50.........................................................................................75
Tabela 4.15: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assinto´tico, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.75.........................................................................................79
iv
I´ndice de Figuras
Figura 2.1: Func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Weibull para diferentes valores de µ e β...........09
Figura 2.2: Func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o exponencial para fiferentes valores de µ...........10
Figura 2.3: Func¸a˜o de risco considerando diferentes valores do paraˆmetro β e µ=2...............11
Figura 3.1: O procedimento Bootstrap..................................................................................17
Figura 4.1: Func¸a˜o densidade de probabilidade da Distribuic¸a˜o Weibull para µ = 2 e β =
0.5, com a representac¸a˜o do 1o, 2o e 3o quartil.............................................................................21
Figura 4.2: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro µ................................................24
Figura 4.3: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro µ...............................25
Figura 4.4: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro β.............................................27
Figura 4.5: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro β...........................28
Figura 4.6: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.25.......................................31
Figura 4.7: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.25.........................32
Figura 4.8: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.50.......................................35
Figura 4.9: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.50.........................36
Figura 4.10: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.75.......................................39
Figura 4.11: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.75...................40
Figura 4.12: Func¸a˜o densidade de probabilidade da Distribuic¸a˜o Weibull para µ = 2 e β =
1.5, com a representac¸a˜o do 1o, 2o e 3o quartil.........................................................................41
Figura 4.13: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro µ..........................................44
v
Figura 4.14: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro µ..........................45
Figura 4.15: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro β...............................................48
Figura 4.16: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro β..........................49
Figura 4.17: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.25.....................................52
Figura 4.18: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.25.....................53
Figura 4.19: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.50....................................56
Figura 4.20: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.50.....................57
Figura 4.21: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.75...................................60
Figura 4.22: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.75.....................61
Figura 4.23: Func¸a˜o densidade de probabilidade da Distribuic¸a˜o Weibull para µ = 2 e β = 3,
com a representac¸a˜o do 1o, 2o e 3o quartil................................................................................62Figura 4.24: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro µ............................................65
Figura 4.25: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro µ.........................66
Figura 4.26: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro β........................................69
Figura 4.27: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro β.........................70
Figura 4.28: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.25...................................73
Figura 4.29: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.25...................74
Figura 4.30: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.50...................................77
Figura 4.31: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
vi
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.50..................78
Figura 4.32: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando,
respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.75..................................81
Figura 4.33: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.75..................82
vii
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
O termo ana´lise de sobreviveˆncia e´ usado genericamente para designar um conjunto de
procedimentos ou me´todos estat´ısticos importantes na ana´lise de dados que representam o
tempo ate´ a ocorreˆncia de algum evento de interesse — morte de um paciente, falha de um
equipamento etc. Umas das peculariedades intr´ınseca a este tipo de dados diz respeito a` ob-
servac¸a˜o parcial do tempo ate´ a ocorreˆncia deste(s) evento(s). Esta peculariedade caracteriza
o termo “presenc¸a” de observac¸o˜es censuradas (Lawless, 1982). Tradicionalmente, infereˆncias
a respeito dos paraˆmetros que caracterizam a distribuic¸a˜o dos tempos de sobreviveˆncia e´ con-
duzida lanc¸ando-se ma˜o de argumentos assinto´ticos. Estudos recentes tem mostrado que a
qualidade das infereˆncias esta˜o associadas na˜o somente ao tamanho da amostra dispon´ıvel para
a` ana´lise mas tambe´m na quantidade de observac¸o˜es censuradas. Meeker e outros em 2003
conduziram um estudo de simulac¸a˜o com o intuito de avaliar as probabilidades de cobertura
dos intervalos de confianc¸a assinto´ticos e alguns baseados em simulac¸a˜o Bootstrap. Neste es-
tudo os autores avaliam principalmente o impacto da quantidade de observac¸o˜es censuradas
nas probabilidades de cobertura dos intervalos de confianc¸a assinto´ticos.
Este trabalho, considerando a distribuic¸a˜o Weibull, proposta originalmente por Weibull
1951, tem por objetivo avaliar atrave´s de simulac¸a˜o o impacto que os seguintes fatores:
1) o tamanho da amostra;
2) a quantidade de observac¸o˜es censuras e
3) a forma da func¸a˜o de risco
exercem nas probabilidades de coberturas dos intervalos de confianc¸a assinto´tico e (p,t)-
Bootstrap.
1.1 Descric¸a˜o dos Cap´ıtulos
O Cap´ıtulo 2 desta monografia apresenta uma caracterizac¸a˜o completa da distribuic¸a˜o
Weibull em termos dos paraˆmetros que sa˜o de ma´xima importaˆncia na modelagem de dados
8
de sobreviveˆncia. Como alternativa aos bem conhecidos intervalos de confianc¸a assinto´ticos, no
Cap´ıtulo 3 e´ introduzido o conceito de simulac¸a˜o Bootstrap assim como os dois principais pro-
cedimentos de construc¸a˜o de intervalos de confianc¸a — intervalos de confianc¸a (p,t)-Bootstrap.
Considerando va´rias instaˆncias — diferentes tamanhos de amostra, va´rias porcentagens de cen-
sura e func¸o˜es de riscos crescente e decrescentes — no Cap´ıtulo 4 sa˜o apresentados e discutidas
as probabilidades de cobertura para os paraˆmetros de escala, forma e alguns percentis. Algu-
mas propriedades matema´ticas sa˜o deduzidas no Apeˆndice A. O Apeˆndice B apresenta a macro
implementada em linguagem SAS utilizada na conduc¸a˜o do estudo de simulac¸a˜o propriamente
dito.
9
Cap´ıtulo 2
A Distribuic¸a˜o Weibull
2.1 Introduc¸a˜o
A distribuic¸a˜o Weibull foi proposta originalmente por Wallodi Weibull em (1951) e desde
enta˜o, devido a sua simplicidade e flexibilidade em acomodar diferentes formas de func¸a˜o de
risco, e´ uma das distribuic¸o˜es de probabilidade mais utilizadas na ana´lise de dados que indicam
o tempo ate´ a ocorreˆncia de algum evento de interesse, como por exemplo morte de um paciente,
falha de um equipamento, etc. (Lawlees, 1982).
Um outro fato importante relacionado a distribuic¸a˜o Weibull e´ que na presenc¸a de co-
varia´veis, tem-se um modelo de riscos proporcionais (Cox, 1972) e de falha acelerada (Lawless,
1982). A distribuic¸a˜o Weibull e´ a u´nica distribuic¸a˜o de probabilidade que pode ser escrita na
forma de um modelo de riscos proporcionais.
2.2 Caracterizac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Weibull
A distribuic¸a˜o Weibull e´ caracterizada por dois paraˆmetros, µ e β ambos positivos. O
paraˆmetro β determina a forma da curva da func¸a˜o densidade de probabilidade e µ e´ o paraˆmetro
de escala. O paraˆmetro β e´ adimensional, enquanto que µ esta´ na mesma escala dos dados e
e´ aproximadamente igual ao 63o percentil da distribuic¸a˜o dos tempos de sobreviveˆncia. Sua
func¸a˜o de densidade pode ser escrita na seguinte forma:
f(t|µ, β) = β
µβ
tβ−1 exp
[
−
(
t
µ
)β]
, (2.1)
em que t ≥ 0 e µ, β > 0.
A Figura 2.1, apresenta a curva da func¸a˜o de densidade de probabilidade para diferentes
valores dos paraˆmetros µ e β.
10
0 2 4 6 8 10
0
.0
0
.5
1
.0
1
.5
2
.0
2
.5
3
.0
(a)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t 0 2 4 6 8 10
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
(b)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t
0 2 4 6 8 10
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
(c)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t 0 2 4 6 8 10
0
.0
0
.5
1
.0
1
.5
2
.0
2
.5
(d)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t
0 2 4 6 8 10
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
(e)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t 0 2 4 6 8 10
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
(f)
f(
t,
 
µ
,
 
β)
t
Figura 2.1: Func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Weibull onde: (a): µ =2 e β = 0.5; (b): µ =2 e
β = 1.5; (c): µ =2 e β = 3.0; (d): µ =3 e β = 0.5; (e): µ =3 e β = 1.5; (f): µ =3 e β =3.0.
11
Uma extensa˜o da distribuic¸a˜o Weibull e´ dada pela distribuic¸a˜o Weibull especificada a partir
de 3 paraˆmetros, que e´ aplicada em situac¸o˜es em que supo˜em-se que o evento de interesse -
morte ou falha - na˜o ocorre antes de algum instante (t0 < t) (Johnson e Kotz 1995, Smith e
Naylor, 1987). Generalizac¸o˜es de (1.1), para acomodar func¸o˜es de riscos na˜o mono´tonas, em
forma de “U”, por exemplo, sa˜o dadas pela mistura de distribuic¸o˜es Weibull (Jiang e Murthy,
1998; Ahmad et al., 1997; Sinha, 1987; Woodward e Gunst, 1987), distribuic¸a˜o Weibull-mu´ltipla
(Berger e Sun, 1996; Berger e Sun, 1993; Mazucheli, 2001) e a distribuic¸a˜o Weibull exponenciada
(Mudholkar et al., 1996; Mudholkar e Kollia, 1994).
Considerando β = 1 em (2.1), obteˆm - se a distribuic¸a˜o exponencial como caso particular,
onde a func¸a˜o de densidade e´ dada por:
f(t|µ) = 1
µ
exp
(
− t
µ
)
, (2.2)
denotada por Exp(µ).
A Figura 2.2 mostra a curva da func¸a˜o de densidade de probabilidade para diferentes valores
do paraˆmetro µ com β = 1.
t
f(t
,
 
µ)
0 2 4 6 8 10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
1.
2
Exp(1) Exp(2) Exp(3)
Figura 2.2: Func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜oexponencial para diferentes valores de µ.
A partir da equac¸a˜o (2.1) tem-se que a func¸a˜o de sobreviveˆncia da distribuic¸a˜o Weibull e´
dada por:
12
S(t) = exp
[
−
(
t
µ
)β]
, (2.3)
onde S(t), indica a probabilidade de um certo indiv´ıduo ou equipamento sobreviver mais que
um determinado tempo t, consequentemente 0 ≤ S(t) ≤ 1.
A func¸a˜o de risco da distribuic¸a˜o Weibull e´ dada por:
h(t) =
β
µβ
tβ−1. (2.4)
Para o paraˆmetro de forma β < 1 tem-se func¸o˜es de risco mono´tonas decrescentes, para β >
1 as func¸o˜es de risco sa˜o mono´tonas crescentes e para β = 1 tem-se a distribuic¸a˜o exponencial
com func¸a˜o de risco constante, como mostra a Figura 2.3.
Figura 2.3: Func¸a˜o de risco (2.4) considerando diferentes valores do paraˆmetro β e µ = 2.
A partir da func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o Weibull, (2.1), tem-se que o k-e´simo momento,
E(T k), e´ dado por µkΓ(1 + k
β
), (ver, apeˆndice) onde Γ(·), denota a func¸a˜o gama. Desta forma,
a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria T sa˜o dadas respectivamente por:
E(T ) = µΓ(1 +
1
β
) e V ar(T ) = µ2
[
Γ
(
1 +
2
β
)
− Γ2
(
1 +
1
β
)]
. (2.5)
O p-e´simo percentil da distribuic¸a˜o Weibull e´ dado por:
13
tp = µ [− log(1− p)]
1
β . (2.6)
Para p = 0.50 obteˆm-se o paraˆmetro que caracteriza a mediana da distribuic¸a˜o Weibull
dado por:
t0.50 = µ [log(2)]
1
β . (2.7)
A moda (tm) da distribuic¸a˜o Weibull, pode ser obtida calculando o ponto de ma´ximo da
func¸a˜o densidade, f(t), ou seja,
d(f(t))
dt
= 0,
obtendo-se
tm =

µ
[
β−1
β
] 1
β
se β > 1
0 se β ≤ 1.
(2.8)
O paraˆmetro que caracteriza a moda indica o tempo mais prova´vel do acontecimento de
mortes ou falhas.
A partir da equac¸a˜o (2.3) a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada, F (t), e´ dada por:
F (t) = 1− exp
[
−
(
t
µ
)β]
. (2.9)
2.3 Func¸a˜o de Verossimilhanc¸a
Para a distribuic¸a˜o Weibull, com paraˆmetros µ e β, considerando uma amostra aleato´ria
(t1, ..., tn) e a varia´vel indicadora de censura δi, δi = 1 se ti e´ exatamente observado ou δi = 0
se ti e´ censurado a` direita, a func¸a˜o de verossimilhanc¸a pode ser escrita na forma:
L(µ, β|t) =
n∏
i=1
[
β
µ
(
ti
µ
)β−1]δi
exp
[
−
n∑
i=1
(
ti
µ
)β]
. (2.10)
Aplicando o logaritmo em (2.10) obteˆm-se a func¸a˜o log-verossimilhanc¸a escrita na forma:
l(µ, β|t) =
n∑
i=1
δi [log(β) + (β − 1) log(ti)− β log(µ)]−
n∑
i=1
(
ti
µ
)β
. (2.11)
14
2.4 Estimadores de Ma´xima Verossimilhanc¸a
Os estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a (EMV) de µ e β, sa˜o obtidos resolvendo itera-
tivamente o seguinte sistema de equac¸o˜es na˜o lineares
∂l(µ,β)
∂µ
= −β
µ
∑n
i=1 δi +
β
µ
∑n
i=1
(
ti
µ
)β
= 0
∂l(µ,β)
∂β
= 1
β
∑n
i=1 δi +
∑n
i=1 δi log(
ti
µ
)−∑ni=1 ( tiµ)β log ( tiµ) = 0.
(2.12)
No software SAS, as estimativas de ma´xima verossimilhanc¸a podem ser facilmente obti-
das por meio dos procedimentos nlmixed, nlp ou iml uma vez especificada a func¸a˜o log-
verossimilhanc¸a. O mesmo fato e´ va´lido, para qualquer func¸a˜o densidade de probabilidade
que na˜o permita a obtenc¸a˜o dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a analiticamente.
2.5 Intervalos de Confianc¸a Assinto´ticos
Intervalos de confianc¸a com coeficientes de confianc¸a 100 × (1 − α)% para os paraˆmetros
µ e β, podem ser obtidos diretamente a partir da normalidade assinto´tica dos estimadores de
ma´xima verossimilhanc¸a (Guitany and Maller, 1992).
IC(µ; 100× (1− α)%) = µˆ± zα/2
√
V ar(µˆ),
IC(β; 100× (1− α)%) = βˆ ± zα/2
√
V ar(βˆ),
em que zα/2 e´ o
α
2
- e´simo percentil da distribuic¸a˜o normal padra˜o, e V ar(µˆ) e V ar(βˆ) sa˜o
obtidos na diagonal principal do inverso da matriz de informac¸a˜o de Fisher (Ghitany amd
Maller, 1992).
Na pra´tica, ao inve´s de se trabalhar com o inverso da informac¸a˜o de Fisher, trabalha-se com
o inverso da matriz de informac¸a˜o observada. A matriz de informac¸a˜o observada localmente
nos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a, pode ser escrita como:
I(µˆ, βˆ|t) =

∂2l(µ,β)
∂µ∂µ
|µ=µˆ,β=βˆ ∂
2l(µ,β)
∂µ∂β
|µ=µˆ,β=βˆ
∂2l(µ,β)
∂µ∂β
|µ=µˆ,β=βˆ ∂
2l(µ,β)
∂β∂β
|µ=µˆ,β=βˆ
 .
A inversa da matriz de informac¸a˜o observada e´ definida como:
I−1(µˆ, βˆ) =
[
V ar(µˆ) Cov(µˆ, βˆ)
Cov(µˆ, βˆ) V ar(βˆ)
]
. (2.13)
15
Os intervalos de confianc¸a com coeficiente de confianc¸a 100× (1− α)% para func¸o˜es de µ e
β, g(µ, β), sa˜o dados por:
IC [g(µ, β); 100× (1− α)%] = g(µˆ, βˆ)± zα/2
√
V ar
[
g(µˆ, βˆ)
]
,
onde g(µˆ, βˆ) pode ser, por exemplo, o p-e´simo percentil da distribuic¸a˜o Weibull. A variaˆncia
estimada de g(µˆ, βˆ) pode ser obtida atrave´s do me´todo Delta (Rao and Toutenburg, 1999) a
partir da equac¸a˜o:
V ar
[
g
(
µˆ, βˆ
)]
=
(
∂
∂µ
g
(
µˆ, βˆ
))2
V ar(µˆ) +
(
∂
∂β
g
(
µˆ, βˆ
))2
V ar(βˆ) + (2.14)
2
(
∂
∂µ
g
(
µˆ, βˆ
))( ∂
∂β
g
(
µˆ, βˆ
))
Cov(µˆ, βˆ),
em que os valores de V ar(µˆ), V ar(βˆ) e Cov(µˆ, βˆ) sa˜o obtidos da inversa da matriz de informac¸a˜o
observada definida em (1.13).
Vale lembrar que e´ poss´ıvel estimar V ar
[
g
(
µˆ, βˆ
)]
, diretamente pela matriz inversa da
matriz de informac¸a˜o, utilizando a propriedade da invariaˆncia dos estimadores de ma´xima
verossimilhanc¸a, ou seja, reparametrizando a func¸a˜o verossimilhanc¸a, ou a log-verossimilhanc¸a.
Por exemplo, considere o p-e´simo percentil da distribuic¸a˜o, definido em (2.7). Isolando o
paraˆmetro µ obteˆm-se:
µ = tp [− log (1− p)]−
1
β . (2.15)
Logo, reparametrizando a func¸a˜o de verossimilhanc¸a ou a log-verossimilhanc¸a, a partir da
equac¸a˜o (2.14) a variaˆncia estimada do p-e´simo percentil da distribuic¸a˜o e´ obtida diretamente
pela inversa da matriz de informac¸a˜o observada.
16
Cap´ıtulo 3
Simulac¸a˜o Bootstrap
3.1 Introduc¸a˜o
A ide´ia da reamostragem surgiu em meados de 1935, entretanto a aplicac¸a˜o de tais te´cnicas
teve que esperar ate´ a chegada de computadores mais ra´pidos, uma vez que procedimentos de
reamostragem utilizam intensivamente o computador.
A te´cnica Bootstrap foi introduzida por Bradley Efron em 1979, como abordagem alterna-
tiva ao ca´lculo de intervalos de confianc¸a, em circunstaˆncias em que outras te´cnicas na˜o sa˜o
aplica´veis, em particular, no caso em que o tamanho da amostra e´ pequeno.
Esta te´cnica, baseada na hipo´tese de um elevado nu´mero de amostras, foi extrapolada
para a resoluc¸a˜o de muitos outros problemas de dif´ıcil resoluc¸a˜o atrave´s de te´cnicas de ana´lise
estat´ıstica tradicionais, como por exemplo a obtenc¸a˜o da distribuic¸a˜o emp´ırica de um estimador,
onde sua distribuic¸a˜o de probabilidade e´ desconhecida ou de dif´ıcil acesso, ou ainda determinar
intervalos de confianc¸a para o ma´ximo da func¸a˜o de risco.
Os procedimentos Bootstrap levam as amostras combinadas como uma representac¸a˜o da
populac¸a˜o da qual os dados sa˜o provenientes, e gera va´rias amostras Bootstrap retiradas, com
reposic¸a˜o, da pseudo - populac¸a˜o, a amostra dispon´ıvel.
Infereˆncias a respeito de um paraˆmetro sa˜o baseadas na distribuic¸a˜o amostral de seu es-
timador. A te´cnica Bootstrap e´ em primeiro lugar, uma maneira de encontrar a distribuic¸a˜o
amostral, pelo menos aproximadamente, a partir de uma u´nica amostra dispon´ıvel.
Uma distribuic¸a˜o amostral esta´ baseada em muitas amostras aleato´rias da populac¸a˜o. Entre-
tanto, ao inve´s de retirar-se muitas amostras da populac¸a˜o, cria-se reamostras, com reposic¸a˜o, a
partir de uma u´nica amostra da populac¸a˜o. Cada reamostra tem o mesmo tamanho da amostra
aleato´ria original.
A simulac¸a˜o Bootstrap tambe´m pode ser vista como um procedimento para tirar concluso˜es
sobre os dados, quando na˜o se tem suposic¸o˜es sobre a distribuic¸a˜o dos paraˆmetros de interesse.
A u´nica suposic¸a˜o feita e´ que a amostra original represente bem a populac¸a˜o da qual os dados
17
sa˜o provenientes.
O termo Bootstrap parame´trico e´ utilizado quando se tem alguma suposic¸a˜o da distribuic¸a˜o,
por exemplo, a suposic¸a˜o de que a populac¸a˜o segue uma distribuic¸a˜o Weibull, ou ainda tem-se
o conhecimentoda distribuic¸a˜o amostral de algum estimador e deseja-se obter a distribuic¸a˜o
amostral de um outro estimador que depende do primeiro, por exemplo, sabe-se que se uma
varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o normal ou o tamanho da amostra e´ suficientemente grande
(n → ∞) , enta˜o X¯ tem distribuic¸a˜o Normal com me´dia µ e variaˆncia σ2
n
, e (n−1)S
2
σ2
tem dis-
tribuic¸a˜o χ2n−1. Logo, o coeficiente de variac¸a˜o, definido como, C.V. =
s
x¯
, tera´ qual distribuic¸a˜o
amostral ?
Ja´ o termo Bootstrap na˜o - parame´trico e´ utilizado quando na˜o se tem nenhuma suposic¸a˜o
da distribuic¸a˜o do conjunto de dados, ou seja, a distribuic¸a˜o amostral da qual os dados vieram
e´ desconhecida.
Embora a te´cnica Bootstrap seja teoricamente simples, deve-se ter dispon´ıvel um software
para fazer reamostragem. Os softwares como SPSS, SAS e MINITAB, na˜o teˆm um procedi-
mento dispon´ıvel para fazer a reamostragem, entretanto pode-se programar procedimentos de
reamostragem.
3.2 O Processo de Reamostragem
O processo de reamostragem conhecido como Bootstrap tenta realizar o que seria deseja´vel
realizar na pra´tica, se fosse poss´ıvel, que e´ repetir a experieˆncia de amostragem B vezes. Ale´m
disso, o procedimento trata a amostra observada como se esta representasse exatamente toda
a populac¸a˜o.
Seja t = (t1, t2, ..., tn) uma amostra aleato´ria contendo n tempos de sobreviveˆncia dispon´ıveis
para ana´lise, com δi = 1 para os tempos exatamente observados e δi = 0 , para tempos censura-
dos a direita, (i = 1, 2, ..., n). Logo, o conjunto de dados dispon´ıveis e´ dado por T = (t, δ). O
processo de reamostragem Bootstrap consiste em reamostrar B amostras T ∗(1), T ∗(2), ..., T ∗(B) ,
independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.), cada uma de tamanho n.
Na terminologia do procedimento Bootstrap, as B amostras (i.i.d.) constru´ıdas a partir da
populac¸a˜o finita T = (t, δ) corresponde em reamostrar com reposic¸a˜o a partir do conjunto T.
Apo´s a obtenc¸a˜o das B amostras Bootstrap, pode-se obter as estimativas de ma´xima ve-
rossimilhanc¸a do paraˆmetro de interesse, para cada amostra Bootstrap, chegando ao vetor
θˆ
∗
= (θˆ
∗
(1), θˆ
∗
(2), ..., θˆ
∗
(B)). A partir do vetor θˆ
∗
, pode-se obter a distribuic¸a˜o Bootstrap do es-
timador θˆ, que permite construir intervalos de confianc¸a e tambe´m testar hipo´teses a respeito
do paraˆmetro θ. A Figura a seguir ilustra a ide´ia do procedimento Bootstrap.
18
Figura 3.1: O Procedimento Bootstrap.
3.3 Intervalos de Confianc¸a Bootstrap
Uma vez que obtida a distribuic¸a˜o emp´ırica do estimador θˆ pode-se obter intervalos de
confianc¸a Bootstrap para o paraˆmetro de interesse.
O intervalo de confianc¸a Bootstrap, baseado nos percentis da distribuic¸a˜o Bootstrap de θ,
proposto for Efrom (1993) e´ conhecido como intervalo de confianc¸a p-Bootstrap. Hall (1988)
sugeriu o intervalo de confianc¸a t-Bootstrap, que sob o ponto de vista assinto´tico, sua probabi-
lidade de cobertura e´ aproximadamente igual ao coeficiente de confianc¸a nominal (Efron and
Tibshirani, 1993).
3.3.1 Intervalos de Confianc¸a p-Bootstrap
Considere t = (t1, t2, ..., tn) um vetor com o conjunto de tempos de sobreviveˆncia dispon´ıveis
para ana´lise, com δi = 1 para os tempos de sobreviveˆncia exatamente observados e δi = 0
para tempos de sobreviveˆncia censurados a` direita, (i = 1, ..., n). Logo, o conjunto de dados
dispon´ıveis e´ dado por T = (t, δ).
Contudo, a seguir sa˜o apresentados os passos para construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a
p-Bootstrap.
Passo 1: Retirar, com reposic¸a˜o, de T uma amostra Bootstrap (t∗1, δ
∗
1), ..., (t
∗
n, δ
∗
n).
19
Passo 2: Da amostra Bootstrap (t∗1, δ
∗
1), ..., (t
∗
n, δ
∗
n) obter o estimador de ma´xima verossimi-
lhanc¸a do paraˆmetro θ, representado por θˆ
∗
.
Passo 3: Repetir os passos 1 e 2 B vezes.
Passo 4: A partir do vetor θˆ
∗
=
(
θˆ
∗
(1) ≤ θˆ
∗
(2) ≤ · · · ≤ θˆ
∗
(B)
)
, para algum n´ıvel de significaˆncia
α (0 < α < 1), o intervalo p-Bootstrap com coeficiente de confianc¸a 100× (1−α)% e´ dado por:
(
θˆ
∗
(Q1)
; θˆ
∗
(Q2)
)
, (3.1)
onde Q1 =
[
B × (α
2
)]
e Q2 = B − Q1 e [ ] indica o menor nu´mero inteiro maior ou igual ao
argumento. Como exemplo, considere um coeficiente de confianc¸a de 95% (α = 0.05) e 1000
amostras Bootstrap (B = 1000), logo Q1 = 25 e Q2 = 975. Consequentemente, o intervalo
p-Bootstrap com 95% de confianc¸a e´ dado por
(
θˆ
∗
(25); θˆ
∗
(975)
)
.
3.3.2 Intervalos de Confianc¸a t-Bootstrap
Para construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a t - Bootstrap redefinir, a partir do Passo 4 na
forma:
Passo 4’: A partir de θˆ
∗
=
(
θˆ
∗
(1) ≤ θˆ
∗
(2) ≤ · · · ≤ θˆ
∗
(B)
)
obter T ∗ =
(
T ∗(1), T
∗
(2), · · · , T ∗(B)
)
,
T ∗(i) ≤ T ∗(j) para (i, j = 1, 2, ..., B, i 6= j) em que:
T ∗i =
(
θˆ
∗
i − θˆ
)
σˆ∗i
, (3.2)
onde θˆ e´ o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a de θ e σˆ∗i (i = 1, ..., B) e´ o erro padra˜o de
θˆ
∗
i , que e´ dado pela raiz quadrada da diagonal principal da inversa da matriz de informac¸a˜o
observada.
Passo 5’: Usando T ∗, o intervalo t-Bootstrap com coeficiente de confianc¸a 100× (1− α)% e´
dado por: (
θˆ − σˆT ∗(Q2); θˆ − σˆT ∗(Q1)
)
(3.3)
em que Q1 =
[
B × (α
2
)]
, Q2 = B −Q1 ( [ ] indica o menor nu´mero inteiro maior ou igual ao
argumento) e σˆ =
√
V ar
(
θˆ
)
, onde θˆ e σˆ sa˜o calculados a partir dos tempos de sobreviveˆncia
originais. Outras formas de construc¸a˜o de intervalos de confianc¸a Bootstrap sa˜o discutidos em
Efron e Tibshirani, 1993.
20
Cap´ıtulo 4
Aplicac¸a˜o
4.1 Introduc¸a˜o
Nos cap´ıtulos anteriores, foram definidos treˆs intervalos de confianc¸a, o primeiro obtido
a partir da normalidade assinto´tica dos estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a (Intervalo
Assinto´tico) e os outros dois a partir do processo de reamostragem Bootstrap (Intervalo p-
Bootstrap e t-Bootstrap).
Neste cap´ıtulo tem-se o interesse em avaliar qual dos treˆs intervalos possui uma maior pro-
babilidade de cobertura, ou seja, sob determinadas situac¸o˜es, como tamanho da amostra e
porcentagem de dados censurados, deseja-se estabelecer qual dos treˆs intervalos estudados pos-
sui a maior probabilidade de conter o verdadeiro valor do paraˆmetro. Em outras palavras, o
objetivo e´ avaliar as treˆs formas de construc¸a˜o dos intervalos de confianc¸a, levando em con-
siderac¸a˜o a presenc¸a de dados censurados e o tamanho da amostra, utilizando os tempos de
sobreviveˆncia gerados a partir da distribuic¸a˜o Weibull. Sa˜o avaliadas as probabilidades de
cobertura para os paraˆmetros µ, β, t0.25, t0.50 e t0.75.
4.2 Metodologia
No intuito de verificar qual dos treˆs intervalos possui uma maior probabilidade de cober-
tura, primeiramente gerou-se tempos de sobreviveˆncia a partir da distribuic¸a˜o Weibull com
paraˆmetros µ = 2 e β = 0.5, 1.5 e 3, ou seja, manteve-se o paraˆmetro de escala fixo, para uma
variac¸a˜o no paraˆmetro de forma, para tal feito foi utilizado o software SAS.
O tamanho da amostra nj ( j = 1, 2, 3, 4, 5), tambe´m foi levado em considerac¸a˜o, sendo
n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100, assim como a porcentagem de dados censurados
qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) , em que q1 = 0%, q2 = 5%, q3 = 10%, q4 = 15%, q5 = 20%. Para cada com-
binac¸a˜o dos valores dos paraˆmetros µ e β, dos tamanhos da amostra nj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) e das
porcentagens de censura qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5), foram simuladas 200 amostras (m1,m2, ...,m200)
a partir da distribuic¸a˜o Weibull, onde os tempos de sobreviveˆncia, para cada amostra, sa˜o
21
facilmente gerados a partir da expressa˜o
t = −µ [log (1− U)] 1β , (4.1)
onde U e´ a distribuic¸a˜o uniforme defnida no intervalo (0, 1) (Ripley, 1987, Devroye, 1986).
Para cada tempo de sobreviveˆncia ti , foi gerado tambe´m um valor para a varia´vel indicadora
de censura δi, simulado atrave´s da distribuic¸a˜o de Bernoulli, com a probabilidade de fracasso
variando de 0% a 20% , dependendo da porcentagem de censura qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) atribu´ıda.Como exemplo, considere µ = 2, β = 0.5, n1 = 10 e q1 = 0%, para esta combinac¸a˜o foram
geradas 200 amostras, (m1,m2, ...,m200) sendo que para cada uma das amostras geradas mi
(i = 1, 2, ..., 200), foram retiradas B = 1000 amostras Bootstrap.
Generalizando, tem-se um total de 3 (variac¸a˜o dos valores de β)× 5 (variac¸a˜o dos tamanhos
de amostra) × 5 (variac¸a˜o das porcentagens de dados censurados) = 75 combinac¸o˜es diferentes,
onde para cada combinac¸a˜o foram geradas 200 amostras, (m1,m2, ...,m200) sendo que para cada
uma das amostras geradas mi (i = 1, 2, ..., 200), foram retiradas B = 1000 amostras Bootstrap.
A partir dos tempos de sobreviveˆncia simulados, para cada uma das 200 amostras geradas
dentro de cada uma das 75 combinac¸o˜es, foram obtidos os estimadores de ma´xima verossimi-
lhanc¸a para µ, β e tambe´m para tempo mediano (t0.50), primeiro quartil (t0.25) e terceiro quartil
(t0.75), bem como os respectivos erros-padra˜o, para construc¸a˜o dos intervalos de confianc¸a.
Para implementac¸a˜o do Bootstrap na˜o-parame´trico, para cada uma das 200 amostras si-
muladas dentro de cada uma das 75 combinac¸o˜es, foram retiradas B = 1000 reamostras, e a
partir de cada reamostra foram calculados os estimadores de ma´xima verossimilhanc¸a para µ,
β e tambe´m para tempo mediano (t0.50), primeiro quartil (t0.25) e terceiro quartil (t0.75), bem
como os respectivos erros-padra˜o, para construc¸a˜o dos intervalos de confianc¸a p-Bootstrap e
t-Bootstrap.
Considere que todos os intervalos foram contru´ıdos com 95% de confianc¸a, ou seja, a cada
100 amostras retiradas da populac¸a˜o e constru´ıdos seus respectivos intervalos de confianc¸a para
o paraˆmetro de interesse, espera-se que 95 desses intervalos contenham o verdadeiro valor do
paraˆmetro, ou em outras palavras, cada intervalo tem 95% de probabilidade de conter o valor
do paraˆmetro.
Contudo, apo´s obtidos os intervalos de confianc¸a Assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap a
ide´ia e´ verificar quantos intervalos conte´m o verdadeiro valor do paraˆmetro µ, β, t0.25, t0.50 e
t0.75 na qual os dados foram gerados.
Enfim, a probabilidade de cobertura pode ser expressa pela seguinte raza˜o:
pc =
no de intervalos que conte´m o verdadeiro valor do paraˆmetro
no total de intervalos constru´ıdos
(4.2)
22
4.3 Ana´lise Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com µ = 2 e β = 0.5
Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com paraˆmetros µ = 2 e β = 0.5, o valor do primeiro
quartil, terceiro quartil e da mediana dos tempos de sobreviveˆncia sa˜o dados respectivamente,
por t0.25 = 0.1655, t0.75 = 3.8436 e t0.50 = 0.9609.
A Figura 4.1 ilustra a func¸a˜o densidade de probabilidade considerando µ = 2 e β = 0.5, e
a disposic¸a˜o dos treˆs percentis calculados, onde o ponto em vermelho representa o 1o quartil
(t0.25) o ponto em azul representa a mediana (t0.50) e o ponto em verde representa o 3
o quartil
(t0.75)
0 2 4 6 8 10
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
2.
5
3.
0
t
f(t
,
 
µ,
 
β)
l
l
l
Figura 4.1: Func¸a˜o densidade de probabilidade da Distribuic¸a˜o Weibull para µ = 2 e β = 0.5,
com a representac¸a˜o do 1o, 2o e 3o quartil.
Vale lembrar que os intervalos para cada amostra foram constru´ıdos com 95% de confianc¸a,
ou seja, teoricamente a probabilidade de cobertura de cada um dos treˆs tipos de intervalo
deveria ser 0.95, entretanto tem-se dois fatores importantes a serem levados em considerac¸a˜o,
que sa˜o o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobreviveˆncia censurados.
23
4.3.1 Ana´lise do Paraˆmetro µ
Tabela 4.1: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro µ.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.840
0.885
0.965
0.925
0.940
0.965
0.900
0.960
0.970
0.920
0.945
0.970
0.940
0.965
0.975
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.880
0.895
0.970
0.955
0.960
0.980
0.940
0.955
0.965
0.950
0.970
0.980
0.975
0.965
0.965
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.900
0.900
0.960
0.965
0.940
0.955
0.980
0.945
0.945
0.980
0.955
0.950
0.955
0.870
0.865
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.905
0.915
0.945
0.975
0.920
0.930
0.980
0.930
0.925
0.965
0.865
0.855
0.875
0.770
0.785
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.915
0.900
0.935
0.980
0.885
0.890
0.980
0.880
0.890
0.940
0.770
0.785
0.750
0.575
0.580
Pode-se observar, com base na Tabela 4.1, que a probabilidade de cobertura do intervalo
de confianc¸a assinto´tico aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando
ate´ 10% dos tempos de sobreviveˆncia censurados. Entretanto para 15% e 20% de tempos de
sobreviveˆncia censurados, para tamanho de amostras n5 = 100, a probabilidade de cobertura
e´ bem abaixo do esperado (0.95), devido a grande quantidade de dados censurados, uma vez
que, considerando a porcentagem de censura sendo 20%, para tamanho de amostra n1 = 10,
tem-se aproximadamente 2 tempos de sobreviveˆncia censurados, e para tamanho de amostra
n5 = 100 , tem-se aproximadamente 20 tempos censurados.
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que o
tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 5% de dados de sobreviveˆncia censurados.
Contudo pode-se notar que para 10%, 15% e 20% de censura, e tamanho de amostra n5 = 100,
a probabilidade de cobertura, fica bem abaixo do esperado (0.95).
Para o intervalo de confianc¸a t-Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras
pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30 com ate´ 15% de censura, ou tamanho de amostras grandes
n4 = 50, n5 = 100 e porcentagem de dados censurados ate´ 10%, obteˆm-se uma probabilidade
de cobertura elevada, entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e
considerando 15% e 20% de censura a probabilidade de cobertura e´ abaixo do esperado.
24
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que para tamanho de
amostra n1 = 10 ou ate´ 5% de censura, o intervalo t-Bootstrap e´ o mais apropriado.
Pore´m, considerando tamanho de amostra n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 ou n5 = 100, e
porcentagem de censura de 10%, 15% ou 20%, o intervalo de confianc¸a assinto´tico e´ “melhor”,
ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior em relac¸a˜o aos intervalos p-Bootstrap e
t-Bootstrap, como mostra as Figuras 4.2 e 4.3.
25
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l l
l
l
l l
l
l
l l
l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l l
l
l
l l
l
l
l
l
l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.6
0
.7
0
.8
0
.9
1
.0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l l
l
l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.2: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro µ.
26
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l l
l
l
l l
l
l
l l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra l
l
l
l ll
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l l l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
ll
l
l
l
l
l
l
l
l
lAssintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.6
0
.7
0
.8
0
.9
1
.0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.3: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro µ.
27
4.3.2 Ana´lise do Paraˆmetro β
Tabela 4.2: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro β.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.935
0.770
0.930
0.945
0.840
0.920
0.950
0.845
0.935
0.950
0.860
0.935
0.965
0.920
0.920
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.935
0.785
0.935
0.955
0.840
0.925
0.955
0.840
0.930
0.950
0.865
0.950
0.970
0.905
0.910
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.940
0.765
0.925
0.940
0.835
0.925
0.950
0.850
0.930
0.935
0.870
0.935
0.965
0.920
0.930
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.940
0.800
0.915
0.925
0.835
0.920
0.955
0.870
0.930
0.945
0.855
0.945
0.960
0.915
0.935
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.930
0.820
0.920
0.945
0.830
0.940
0.955
0.860
0.940
0.940
0.870
0.945
0.960
0.915
0.925
Para o paraˆmetro β, a probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a assinto´tico
aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de
censura. Considerando um tamanho de amostra fixo, e variando a porcentagem de censura,
pode-se notar que a probabilidade de cobertura e´ basicamente a mesma.
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que o
tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. Contudo sua pro-
babilidade de cobertura esta´ bem abaixo da esperada (0.95), excluso quando o tamanho da
amostra e´ de 100 observac¸o˜es.
Para o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que em geral, independente do
tamanho da amostra e da porcentagem de censura, a probabilidade de cobertura esta pro´xima
da probabilidade de cobertura esperada.
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que os intervalos de
confianc¸a assinto´ticos e t - Bootstrap se destacam, ou seja, teˆm uma probabilidade de cobertura
pro´xima da esperada (0.95), o que na˜o acontece com o intervalo de confianc¸a p - Bootstrap,
exceto quando o tamanho da amostra e´ igual a 100, como pode-se observar nas Figuras 4.4 e
4.5.
28
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
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.9
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0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
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o
b
e
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ra
l
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l
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l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
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20 40 60 80 100
0
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.8
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0
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.9
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0
.9
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1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
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u
ra
l
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l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
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l
20 40 60 80 100
0
.7
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0
.8
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0
.8
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.9
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0
.9
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.0
0
TamanhoAmostra
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ro
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ra
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l
l
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l
l
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ll l
l l l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
0
0
.8
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0
.9
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0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
0
0
.8
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0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll
l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.4: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro β.
29
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l l l l l
l
l
l
l
l
l l l
l l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l l l l l
l l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l l l l l
l l
l
l
l
l l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra l l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l l
l
0 5 10 15 20
0
.9
0
0
.9
2
0
.9
4
0
.9
6
0
.9
8
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra l
l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.5: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro β.
30
4.3.3 Ana´lise do Paraˆmetro t0.25
Tabela 4.3 : Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.25.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.865
0.950
0.925
0.905
0.955
0.945
0.920
0.945
0.920
0.940
0.930
0.955
0.955
0.935
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.885
0.840
0.960
0.900
0.895
0.955
0.925
0.910
0.940
0.925
0.930
0.930
0.900
0.920
0.935
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.860
0.845
0.955
0.885
0.860
0.935
0.895
0.875
0.940
0.875
0.890
0.920
0.865
0.875
0.885
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.835
0.825
0.950
0.865
0.835
0.925
0.865
0.855
0.920
0.850
0.850
0.900
0.800
0.800
0.830
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.825
0.860
0.915
0.820
0.795
0.915
0.795
0.805
0.895
0.795
0.785
0.855
0.670
0.665
0.745
Pode-se observar, da Tabela 4.3, que a probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a
assinto´tico para o paraˆmetro t0.25, aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta,
considerando ate´ 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20%, para os tamanhos de
amostras estudas, a probabilidade de cobertura e´ bem abaixo da esperada.
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap tambe´m aumenta a medida que
o tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 5% de censura. Contudo pode-se notar
que para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando os tamanhos de amostras estudados, a
probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada.
Para o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras
pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, ou tamanho de amostras grandes n4 = 50, n5 = 100 e
porcentagem de censura ate´ 10%, obteˆm-se uma probabilidade de cobertura pro´xima a esperada
(0.95), entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 15%
e 20% de censura a probabilidade de cobertura e´ abaixo da esperada.
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que para qualquer um dos
tamanhos de amostra estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer
porcentagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap e´ “melhor” que
31
os outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que o intervalo p-Bootstrap
e o intervalo de confianc¸a assinto´tico, comoindicam as Figuras 4.6 e 4.7.
32
l
l
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20 40 60 80 100
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Assintotico
p−Bootstrap
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Assintotico
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Assintotico
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.6: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.25.
33
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Assintotico
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Assintotico
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.7: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.25.
34
4.3.4 Ana´lise do Paraˆmetro t0.50
Tabela 4.4: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.50.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.915
0.900
0.955
0.935
0.950
0.955
0.950
0.960
0.965
0.950
0.940
0.945
0.960
0.965
0.955
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.900
0.955
0.935
0.940
0.965
0.940
0.940
0.965
0.940
0.955
0.945
0.935
0.960
0.950
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.890
0.895
0.945
0.905
0.915
0.935
0.920
0.925
0.935
0.880
0.925
0.940
0.840
0.855
0.875
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.875
0.895
0.930
0.885
0.910
0.930
0.885
0.900
0.915
0.840
0.860
0.875
0.705
0.740
0.755
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.860
0.930
0.935
0.840
0.865
0.895
0.805
0.850
0.870
0.750
0.755
0.795
0.540
0.555
0.580
Pode-se observar, da Tabela 4.4, que a probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a
assinto´tico para o paraˆmetro t0.50 aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta,
considerando ate´ 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os
tamanhos de amostras estudas, a probabilidade de cobertura e´ bem abaixo da esperada (0.95).
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que
o tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 5% de censura. Contudo pode-se notar
que para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando os tamanhos de amostras estudados, a
probabilidade de cobertura, fica abaixo da esperada.
Para o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras
pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, ou tamanho de amostras grandes n4 = 50, n5 = 100 e
porcentagem de censura ate´ 10%, obteˆm-se uma probabilidade de cobertura pro´xima a esperada,
entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 15% e 20%
de censura, a probabilidade de cobertura e´ abaixo da esperada.
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que para qualquer
tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer por-
centagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap e´ “melhor” que os
35
outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que os intervalos p-Bootstrap
e assinto´tico.
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l l l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.8: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.50.
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Assintotico
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.9: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, res-
pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.50.
38
4.3.5 Ana´lise do Paraˆmetro t0.75
Tabela 4.5: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.75.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.820
0.940
0.940
0.910
0.955
0.935
0.925
0.970
0.970
0.950
0.970
0.965
0.965
0.970
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.910
0.860
0.930
0.950
0.945
0.950
0.965
0.960
0.975
0.975
0.965
0.980
0.970
0.975
0.955
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.885
0.905
0.945
0.945
0.915
0.935
0.965
0.910
0.970
0.970
0.950
0.880
0.895
0.825
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap0.905
0.885
0.885
0.910
0.940
0.880
0.920
0.930
0.860
0.865
0.895
0.825
0.750
0.780
0.700
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.905
0.950
0.860
0.885
0.905
0.820
0.870
0.885
0.780
0.790
0.820
0.710
0.565
0.595
0.525
Para o paraˆmetro t0.75 a probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a assinto´tico
aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 5% de censura.
Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os tamanhos de amostras estudas,
em geral, a probabilidade de cobertura e´ bem abaixo da esperada.
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que o
tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 10% de censura. Contudo pode-se notar que
para 15% e 20% de censura, e considerando tamanhos de amostra, n4 = 50 e n5 = 100, a
probabilidade de cobertura fica abaixo da esperada.
Para o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras
estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100) e porcentagem de censura ate´
10%, obteˆm-se uma probabilidade de cobertura pro´xima a esperada (0.95), entretanto con-
siderando uma porcentagem de censura de 15% ou 20% para qualquer tamanho de amostra, a
probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a t-Bootstrap fica abaixo da esperada.
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que para qualquer
tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para uma porcenta-
gem de censura ate´ 5% o intervalo t - Bootstrap e´ ”melhor”que os outros dois, ou seja, tem
39
uma probabilidade de cobertura maior que o intervalo p-Bootstrap e o intervalo de confianc¸a
assinto´tico.
Entretanto, para uma porcentagem de censura acima de 10% o intervalo de p-Bootstrap e´
“melhor” que os outros dois intervalos estudados, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura
maior do que o intervalo assinto´tico e o intervalo t-Bootstrap, como mostra as Figuras 4.10 e
4.11.
40
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20 40 60 80 100
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Assintotico
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t−Bootstrap
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20 40 60 80 100
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0
.8
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0
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0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
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ro
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
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20 40 60 80 100
0
.5
0
.6
0
.7
0
.8
0
.9
1
.0
TamanhoAmostra
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ro
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p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.10: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro t0.75.
41
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l l
l
l
l l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l l
l
l
l
l l l
l
l l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l
l l
l
l
l l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
.7
0
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l l l
l
l
l
l l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.5
0
.6
0
.7
0
.8
0
.9
1
.0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l l
l
l
l
l l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.11: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando,
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro t0.75.
42
4.4 Ana´lise Considerando a Distribuic¸a˜o Weibull com µ = 2 e β = 1.5
Mudando o paraˆmetro de forma da Distribuic¸a˜o Weibull para β = 1.5 e mantendo µ = 2,
o valor do primeiro quartil, terceiro quartil e da mediana dos tempos de sobreviveˆncia sa˜o
dados, respectivamente por t0.25 = 0.8716, t0.75 = 2.4866 e t0.50 = 1.5664. A Figura 4.12 ilustra
a func¸a˜o densidade de probabilidade considerando µ = 2 e β = 1.5, e a disposic¸a˜o dos treˆs
percentis calculados, onde o ponto em vermelho representa o 1o quartil (t0.25) o ponto em azul
representa a mediana (t0.50) e o ponto em verde representa o 3
o quartil (t0.75).
0 2 4 6 8 10
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
t
f(t
,
 
µ,
 
β)
l
l
l
Figura 4.12: Func¸a˜o densidade de probabilidade da Distribuic¸a˜o Weibull para µ = 2 e β = 1.5,
com a representac¸a˜o do 1o, 2o e 3o quartil.
43
4.4.1 Ana´lise do Paraˆmetro µ
Tabela 4.6: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro µ.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.870
0.885
0.945
0.945
0.940
0.95
0.950
0.960
0.965
0.945
0.945
0.965
0.970
0.965
0.975
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.885
0.895
0.955
0.970
0.960
0.965
0.955
0.955
0.960
0.965
0.970
0.975
0.975
0.965
0.965
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.900
0.940
0.945
0.940
0.945
0.945
0.945
0.940
0.960
0.955
0.955
0.885
0.870
0.865
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.910
0.915
0.910
0.940
0.920
0.925
0.940
0.930
0.925
0.875
0.865
0.840
0.780
0.770
0.730
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.920
0.900
0.895
0.915
0.885
0.870
0.910
0.880
0.860
0.810
0.770
0.745
0.570
0.575
0.540
Pode-se observar, com base na Tabela 4.6, que a probabilidade de cobertura do intervalo de
confianc¸a assinto´tico, aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando ate´
10% de censura. Entretanto para 15% e 20% de censura, para tamanho de amostra n5 = 100,
a probabilidade de cobertura e´ bem abaixo do esperado (0.95), devido a grande quantidade
de dados censurados, uma vez que, considerando a porcentagem de censura sendo 20%, para
tamanho de amostra n1 = 10 , tem-se aproximadamente 2 tempos censurados, e para tamanho
de amostra n5 = 100 , tem-se aproximadamente 20 tempos censurados.
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que o
tamanho da amostra aumenta, considerando ate´ 5% de censura. Contudo, pode-se notar que
para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando um tamanho de amostra n4 = 50 e n5 = 100,
a probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada.
Para o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras
pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, ou tamanho de amostras grandes n4 = 50, n5 = 100 e
porcentagem de censura ate´ 10%, obteˆm-se uma probabilidade de cobertura pro´xima a esperada,
entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 15% e 20%
de censura, a probabilidade de cobertura e´ abaixo da esperada.
44
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que para tamanho de
amostra n1 = 10 ou ate´ 5% de censura o intervalo t - Bootstrap e´ “melhor” que os outros dois.
Pore´m, considerando tamanho de amostra n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 ou n5 = 100, e
porcentagem de censura em 10%, 15% ou 20%, o intervalo de confianc¸a assinto´tico e´ ”melhor”,
ou seja, tem uma probabilidade decobertura maior em relac¸a˜o aos intervalos p-Bootstrap e
t-Bootstrap. As Figuras 4.13 e 4.14 apresentam a probabilidade de cobertura de cada um dos
treˆs intervalos, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de censura.
45
l l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
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TamanhoAmostra
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b
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l
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l
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l l l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l
l
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20 40 60 80 100
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
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ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
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1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l l
l
l
l
l l
l
l
l l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.7
0
0
.7
5
0
.8
0
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
TamanhoAmostra
P
ro
b
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o
b
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rt
u
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l
l l
l
l
l l
l
l
l
l
l l
l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
20 40 60 80 100
0
.5
0
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0
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.9
1
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TamanhoAmostra
P
ro
b
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o
b
e
rt
u
ra
l l l
l
l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.13: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro µ.
46
l l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
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ra
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l
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l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
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0 5 10 15 20
0
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0
0
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0
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.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
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l
l l
l
l
l
l
l
l
l l
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l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
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0
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1
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0
PorcentagemCensura
P
ro
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C
o
b
e
rt
u
ra l
l
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l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.7
0
0
.7
5
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0
.8
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0
.9
0
0
.9
5
1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
b
e
rt
u
ra
l
l l
l
l
l
l
l
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l
l
l
l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
l
l
l
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0 5 10 15 20
0
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.7
0
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1
.0
PorcentagemCensura
P
ro
b
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o
b
e
rt
u
ra
l l
l
l
l
l l
l
l
l
l l
l
l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.14: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando,
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro µ.
47
4.4.2 Ana´lise do Paraˆmetro β
Tabela 4.7: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro β.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.935
0.770
0.930
0.945
0.840
0.920
0.950
0.845
0.935
0.950
0.860
0.935
0.965
0.920
0.920
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.935
0.785
0.935
0.955
0.840
0.925
0.955
0.835
0.930
0.950
0.865
0.950
0.970
0.905
0.910
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.940
0.765
0.925
0.950
0.835
0.925
0.950
0.850
0.930
0.935
0.870
0.935
0.965
0.920
0.930
q4 = 15%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.940
0.800
0.915
0.925
0.835
0.920
0.955
0.870
0.930
0.945
0.855
0.945
0.960
0.915
0.935
q5 = 20%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.930
0.820
0.920
0.945
0.830
0.940
0.955
0.860
0.940
0.940
0.870
0.945
0.960
0.915
0.925
Para o paraˆmetro β, a probabilidade de cobertura do intervalo de confianc¸a assinto´tico
aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de
censura. Entretanto considerando um tamanho de amostra fixo, e variando a porcentagem de
censura, pode-se notar que a probabilidade de cobertura e´ basicamente a mesma e pro´xima a
probabilidade esperada (0.95).
A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, tambe´m aumenta a medida que o
tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. Contudo sua proba-
bilidade de cobertura esta´ bem abaixo da esperada, excluso quando o tamanho da amostra e´
igual a 100.
Considerando o intervalo de confianc¸a t - Bootstrap, pode-se notar que, em geral, indepen-
dente do tamanho da amostra e da porcentagem de censura, a probabilidade de cobertura esta
perto da probabilidade esperada.
Comparando os treˆs tipos de intervalos de confianc¸a, pode-se notar que os intervalos de
confianc¸a assinto´tico e t - Bootstrap se destacam, ou seja, teˆm uma probabilidade de cobertura
perto da esperada, o que na˜o acontece com o intervalo de confianc¸a p - Bootstrap, exceto
quando o tamanho da amostra e´ de 100 observac¸o˜es. As Figuras 4.15 e 4.16 apresentam a
48
probabilidade de cobertura de cada um dos treˆs intervalos, considerando o tamanho da amostra
e a porcentagem de censura.
49
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20 40 60 80 100
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Assintotico
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
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0
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ro
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
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rt
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ra l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll
l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.15: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res-
pectivamente, 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, paraˆmetro β.
50
l
l
l
l
l
0 5 10 15 20
0
.7
5
0
.8
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0
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0
.9
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0
.9
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0
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b
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ra
l l l l l
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l
l
l
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l l l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
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.8
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.9
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0
.9
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.0
0
PorcentagemCensura
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ro
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o
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l
l
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l
l l l l l
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l
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0 5 10 15 20
0
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0
.8
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.9
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0
.9
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PorcentagemCensura
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l l l l l
l l
l
l
l
l l l l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
0 5 10 15 20
0
.8
5
0
.9
0
0
.9
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1
.0
0
PorcentagemCensura
P
ro
b
C
o
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Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
l l
l l
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0
.9
2
0
.9
4
0
.9
6
0
.9
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1
.0
0
PorcentagemCensura
P
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o
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l l
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l
l
Assintotico
p−Bootstrap
t−Bootstrap
Figura 4.16: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando,
respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, paraˆmetro β.
51
4.4.3 Ana´lise do Paraˆmetro t0.25
Tabela 4.8: Probabilidade de cobertura dos intervalos assinto´ticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap
com 95% de confianc¸a, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre-
viveˆncia censurados, paraˆmetro t0.25.
% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100
q1 = 0%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.895
0.865
0.950
0.925
0.905
0.955
0.945
0.920
0.945
0.920
0.940
0.930
0.955
0.945
0.940
q2 = 5%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.885
0.840
0.960
0.900
0.895
0.955
0.925
0.910
0.940
0.925
0.930
0.930
0.900
0.915
0.935
q3 = 10%
Assinto´tico
p-Bootstrap
t-Bootstrap
0.860
0.840
0.955
0.885
0.860
0.935
0.895
0.875
0.940
0.875
0.890
0.920