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1. A grandeza força é considerada como vetorial, ou seja, para ficar bem definida,
necessitamos do seu módulo (valor absoluto), direção e sentido. Suponha que
queiramos representar a grandeza força no plano. O vetor u que representa uma
força aplicada em um determinado objeto está mostrado a seguir:
A alternativa que contém as componentes corretas de u é:
a) u = (2,5; -5)
b) u = (0; 2, 5)
c) u = (-2,5; 5)
d) u = (5; -2, 5)
e) u = (-5; 2,5)
2. Dois animais estão com cordas fixadas em um mesmo ponto e os vetores representam
as forças de tensão estão apresentados a baixo:
As componentes do vetor soma u + v que é aquele no qual representamos a força
resultante nessas cordas seria:
a) (3; 8)
b) (-3; 6)
c) (2; 8)
d) (-2 ; -4)
e) (0; 7)
3. Considere as afimações a seguir a respeito dos vetores no plano e no espaço:
I. Uma grandeza escalar é aquela que pode exclusivamente ser representada
por um vetor.
II. As componentes de um vetor no plano (ℝ􀬶) podem ser expressas através de
um par ordenado.
III. Só podemos somar, algebricamente, dois ou mais vetores que tenham componentes
com mesmo sinal, ou seja, não podemos somar componentes com
sinais diferentes.
IV. No espaço os vetores podem ser representados por ternas ordenadas como
 e cujas componentes podem ser números reais.
Podemos afirmar que:
a) as afirmativas I e III estão corretas e as demais falsas.
b) somente II e IV estão corretas.
c) apenas I e II são falsas.
d) apenas IV é falsa.
e) I e II são corretas e III e IV são falsas.
4. Considerando dois vetores u e v, do plano, vamos supor que eles representam duas
grandezas vetoriais. Para determinarmos a resultante da soma desses vetores,
temos a forma algébrica (somando as componentes) e a forma gráfica
(apresentando o vetor que seria a soma no plano). Se u e v, são dados inicialmente por pares de pontos que caracterizam origem e extremidade de cada um.
Como teria que proceder um estudante que desejasse apresentar o vetor soma
usando o método do paralelogramo no plano de coordenadas cartesianas?
a) Não seria possível apresentar o vetor soma pelo método do paralelogramo.
b) O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma.
c) Ele deveria transladar os vetores para o primeiro quandrante, onde as componentes
seriam todas positivas e assim unir origem de u􁈬⃗ com extremidade de v􁈬⃗.
d) O estudante deveria transladar u􁈬⃗ e v􁈬⃗, de modo que a origem de ambos fosse a origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim traçarmos o vetor soma como a diagonal de um paralelogramo.
e) O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adição (unir a origem
de um com a extremidade de outro).
5. Assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores abaixo:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 26
e) 5
6. Sendo dados dois vetores do espaço (ℝ3), u e v, considere então as seguintes
afirmativas a respeito do produto interno dos mesmos:
1ª afirmativa: O produto interno no ℝ3 é definido como sendo a soma dos produtos
das componentes das ternas ordenadas.
2ª afirmativa: Se então o produto escalar ), u∙ v⃗ será negativo
pelo fato de termos 4 componentes negativas e apenas duas positivas.
Assim, em relação ás afirmativas dadas, podemos garantir que:
a) Ambas estão corretas.
b) Ambas são falsas.
c) A 1ª afirmação é falsa e a 2ª é correta.
d) A 1ª afirmação é verdadeira e a 2ª é falsa.
e) A primeira afirmação está correta e a segunda está parcialmente correta.
7. Considerando o vetor u = (−3; 4; 0) do ℝ, vamos supor que ele represente uma grandeza verificada em um fenômeno físico. O módulo desse vetor ou norma, representa na prática o seu tamanho. Assinale a alternativa que apresenta a norma de u (‖u‖).
a) 12
b) 14
c) 18
d) 10
e) 5
8. Se os vetores u = (−3; 7 ) e v = ( 2; 5) pertencem ao ℝ, a alternativa que contém o
valor correto da norma de u − v será:
a) 2
b) √29
c) √5
d) √2
e) √19
1. Revendo o conceito de combinação linear e sabendo que alguns vetores podem
ser obtidos através de algumas operações envolvendo outrosvetores, considere:
u􁈬⃗ = ( 1; 0 ) e v􁈬⃗ = ( 0; 1) do plano cartesiano e então determine os valores das
constantes α e β que fazem com que a combinação linear abaixo realmente
exista
α ∙ u􁈬⃗ + β ∙ v􁈬⃗ = ( −2; 3)
a) α = 1 e β = 2
b) α = −2 e β = 2
c) α = −1 e β = −2
d) α − 2 e β = 3
e) α = 1 e β = 3
2. Sendo dados os vetores do, o vetor que é resultante da combinação linear abaixo:
eCORRETA
3. Dois vetores representam graficamente, no plano cartesiano, com suas
extremidades os deslocamentos de dois corpos ( deslocamento na unidade km )
feitos a partir de um ponto em comum ( origem do sistema de coordenadas
cartesianas ). Veja:
Podemos então afirmar que a distância entre esses dois corpos após o
deslocamento será de:
a) √13 km
b) 2√13 km
c) 2√26 km
d) 15√3 km
e) √15 km
4. Um grupo de vetores em ℝ􀬶pode ser apresentado sem necessariamente ter a
origem coincidindo com a origem do plano de coordenadas cartesianas, o que
pode acontecer quando, por exemplo estivermos representado vetores que são
na prática um grupo de grandezas estudadas em certas situações. Considere o
diagrama vetorial abaixo, onde temos relaconadas três grandezas coplanares:
A única igualdade correta a seu respeito será:
a) u􁈬⃗ − v􁈬⃗ = w􁈬􁈬⃗ CORRETA
b) u􁈬⃗ + v􁈬⃗ = w
c) u􁈬⃗ + w􁈬􁈬⃗ = v􁈬⃗
d) −􁈬􁈬􁈬􁈬􁈬u⃗ + 􁈬v⃗ = w􁈬􁈬⃗
e) w􁈬􁈬⃗ − v􁈬⃗ = u
5. Dois animais estão amarrados a cordas distintas e irão realizar um trabalho, onde
vão aparecer tensões em tais cordas. Estas tensões estão sendo representadas no plano cartesiano abaixo:
Determine qual é então a medida do ângulo α, que é na verdade o ângulo
existente entre os vetores que estão representando as tensões nas cordas:
a) 92,8º
b) 100,1º
c) 85,2º
d) 12,7º
e) 106,3º
6. Considere as afirmações a seguir que são a respeito do ângluo formado entre dois
vetores e logo a seguir julgue-as em verdadeiras ou falsas.
I. Quando apresentamos dois vetores no ℝ􀬶 e as suas componentes são tais que
esses vetores estão exatamante sobre os eixos coordenados. Podemos afirmar
que eles são necessariamente perpendiculares.
II. Dois vetores do ℝ􀬶 são perpenciculares, o que acarreta de a norma de cada
um deles ser nula.
III. Ao calcularmos,segundo a fórmula apresentada, o valor do cosseno do ângulo
formado entre dois vetores do ℝ􀬶, se encontrarmos um valor negativo, resulta
em termos um ângulo também negativo
Podemos então concluir que:
a) as afirmativas I,II e III estão corretas.
b) as afirmativas I e II estão corretas.
c) todas as afirmativas estão incorretas.
d) somente as afirmativas II e III estão corretas.
e) somente a afirmativa I está incorreta.
7. Sabemos que o produto vetorial é aqule em que tomados dois vetores do ℝ􀬷,
iremos obter um outro vetor também do ℝ􀬷. Importante afirmar que essa operção
é exclusiva do espaço ℝ􀬷. Sendo dessa operação dada, e lembrando que a
obtenção do vetor resultante é dado por:
Determine o produto vetorial u􁈬⃗ × v􁈬⃗ quando u􁈬⃗ = ( −1; 2; 1 ) e v􁈬⃗ = y(u 2; −3; 0 )
a) (3; 2; −1)
b) (3; −2; −1)
c) (0; 2; 1)
d) (3; −1; 0)
e) (3; 0; −1)
8. Considere dois vetores u􁈬⃗ e v􁈬⃗ pertencentes ao espaço ℝ􀬷. Podemos encontrar a
norma de cada um deles, usando um raciocínio análogo ao usado para
encontrar no ℝ􀬶, ou seja se u􁈬⃗ = ( x􀭳; y􀭳; z􀭳), podemos então determinar a sua
norma ( ou módulo) usando a seguinte fórmula: ‖u􁈬⃗‖ = 􀶥x􀭳
􀬶 + y􀭳
􀬶 + z􀭳
􀬶. Da mesma
forma podemos proceder para o encontro do produto escalar. De posse dessas
afirmações, encontre, aproximadamente, então o ângulo formado emtre os
vetores do espaço que têm as seguintes componentes u􁈬⃗ = ( 2; 1; −2) e v􁈬⃗ =
( 0; 3; −1).
a) 36,8°
b) 58,2º
c) 24,9º
d) 69,2º
e) 108,3
1. A resolução de um sistema de equações lineares, consiste em encontrar soluções
simultâneas para todas as equações que compõem o mesmo. Sendo assim,
usando o método do escalonamento, determine o conjunto solução do sistema
linear apresentado a seguir:
a) S= { ( 1; 2; 3 )}
b) S ={ ( -1; 0 ; 1 ) }
c) S = { ( 0; 0; 0 ) }
d) S= { ( 0; -2 ; 1 ) }
e) S= { (0;-2;-3 )}
2. Sabe-se que, na compra de umacaixa de lenços, dois bonés e três camisetas,
gasta-se um total de R$127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco
camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$241,00, a quantia a
ser desembolsada na compra de um boné, uma camiseta e uma caixa de lenço
é:
a) R$72,00.
b) R$65,00.
c) R$60,00.
d) R$57,00.
e) R$49,00.
3. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para
Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos
conjuntamente. Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas
passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de
passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?
a) 26.
b) 38.
c) 48.
d) 62.
e) 68.
4. (Cp2 2019) - Jorge, Marcos e Paulo são três irmãos que adoram colecionar
figurinhas e também adoram charadas. Como eles têm uma prima, Lavínia, que
também adora decifrar enigmas, propuseram a ela o seguinte problema:
- Jorge e Marcos têm, juntos, 110 figurinhas.
- Jorge e Paulo têm, juntos, 73figurinhas.
- Marcos e Paulo têm, juntos, 65 figurinhas.
Quem tem mais figurinhas e quantas são elas?
Se Lavínia conseguir decifrar o enigma, sua resposta será:
a) Paulo, com 14 figurinhas.
b) Marcos, com 56 figurinhas.
c) Jorge, com 59 figurinhas.
d) Jorge e Marcos, ambos com 55 figurinhas.
e) Marcos, com 90 figurinhas.
5. Em relação às soluções de um sistema de equações lineares lineares, considere
as seguintes afirmações apresentadas a seguir e logo após classifique-as em
verdadeiras ou falsas.
I. Todo sistema linear quadrado, possui um número finito de soluções.
II. Um sistema linear não quadrado obrigatoriamente terá infinitas soluções.
III. Em um sistema linear quadrado o nuúmero de equações será sempre igual ao
número de variáveis em cada equação.
IV. Em um sistema qualquer, sempre teremos uma solução que seja comum a
todas às equações.
a) Todas as afirmativas são verdadeiras.
b) Todas as afirmativas são falsas.
c) Somente a afirmativa I é verdadeira.
d) Somente a afirmativa I é falsa.
e) Somente a afirmativa III é verdadeira.
6. (Espm 2019 - Modificada) – Usando os conceitos a respeito de equações e
sistemas lineares, monte e resolva o sistema que dê a solução da seguinte
situação apresentada: Um menino possui 29 moedas de 10 centavos e 15 moedas
de 25 centavos.número de maneiras diferentes que ele tem para formar 5 reais é
igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
7. (Espm 2019) Daqui a 3 anos, a idade de um pai será a soma das idades que terão
sua esposa e seu filho. Quando a esposa nasceu, a idade do pai era:
a) igual à idade atual do seu filho.
b) o dobro da idade atual do seu filho.
c) menor que a idade atual do seu filho.
d) 3 anos a menos que a idade atual do seu filho.
e) igual à idade que terá seu filho daqui a 3 anos.
8. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema
qual os termos independentes são todos nulos ( iguais a zero ). Um sistema homogêneo
admite pelo menos uma solução. Essa solução é chamada de solução trivial
de um sistema homogêneo. De acordo com todas as informações apresentadas
anteriormente, determine o valor de k no sistema abaixo de forma que ele tenha
solução distinta da solução trivial (x = 0, y = 0 e z= 0).
a) k = 1
b) k = 2
c) k = −2
d) k = −1
e) k = 3
1. Vamos nos lembrar que para efetivamente um conjunto ser considerado como
espaço vetorial, algumas operações devem ser observadas em seu fechamento
(um conjunto é fechado para uma operação quando dois elementos quaisquer
resultam em um outro elemento que também pertence obrigatoriamente a esse
conjunto). Considere então o conjunto W formado por todas as matrizes de ordem 3. Sobre tal conjunto, podemos afirmar corretamente que:
a) Não pode ser considerado um espaço vetorial, pois existem matrizes de ordem 3 que quando somadas resultam em uma matriz de ordem 2 que por sua vez não pertencem a W.
b) Não pode ser considerado um espaço vetorial pois a propriedade do elemento
neutro não pode ser verificada, uma vez que se somarmos duas matrizes opostas
vamos obter um número real e não uma outra matriz de ordem três.
c) O conjunto W admite como um subespaço o conjunto formado por todas as matrizes
de ordem 3 do tipo 
x 0 y
w 0 t
v 0 z
, com x, y, w, t, v e z sendo números reais.
d) O conjunto W não admite nenhum subespaço.
e) O conjunto W não pode ser considerado um espaço vetorial pois a propriedade
do elemento oposto não pode ser verificada.
2. Em relação ao conjunto V formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 (
M(2,2)), podemos verificar que afirmação correta em relação e esse conjunto será:
a) O conjunto V não será um espaço vetorial, pois não será “fechado” para a operação usual de adição.
􁉃􁉅, ou seja esse subconjunto apresentado
é uma base de V.
d)CORRETA
e) O conjunto V não é um espaço vetorial, pois não obedece à propriedade do
elemento oposto, ou seja, não existe uma matriz que somada a um original, resulta
em uma matriz nula.
3. Considere as afirmações a seguir:
Afirmação 1:
O vetor (2; -3; 2; 2) pertencente ao ℝ􀬸 é tambem pertencente ao subespaço gerado
por v􀬵 = (1; −1; 0; 0 ), v􀬶 = ( 0; 0; 1; 1 ), v􀬷 = ( −2; 2, 1, 1 ) e v􀬸 = ( 1; 0; 0; 0 ).
Afirmação 2:
O subespaço gerado por v􀬵, v􀬶, v􀬷 e v􀬸, ou seja [v􀬵, v􀬶, v􀬷, v􀬸 ] = ℝ􀬸 .
Em relação às afirmações acima, podemos dizer que:
a) Ambas estão corretas.
b) Ambas estão incorretas.
c) Somente a primeira afirmação é correta.
d) Somente a segunda afirmação é correta.
e) não podemos afirmar nada no ℝ􀬸.
4. Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI ( linearmente independentes
) e LD ( vetores linearmente dependentes ), considere o seguinte conjunto
de vetores do espaço ℝ􀬷: { (1; 0) , (-1; 1), (3; 5) }. Podemos afirmar corretamente
que:
a) O conjunto formado é LI e gera ℝ􀬷.
b) O conjunto é LI e não é uma base de ℝ􀬷.
c) O conjunto é LD, portanto é uma base de ℝ􀬷.
d) O conjunto é LD e não pode portanto ser uma base de ℝ􀬷.
e) O conjunto de vetores apresentado não pode ser LI ou LD.
5. Ao verificar o conjunto de vetores pertencentes ao espaço vetorial V ( M(2,2) ),
que é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, 􁉄􁉂
1 0
1 0
􁉃 , 􁉂
1 1
0 0
􁉃 , 􁉂
2 −1
𝑘 0
􁉃􁉅, determine
o valor de k para que o conjunto seja LD (linearmente dependente).
a) K = 0
b) K =-1
c) K = -3
d) K = 3
e) K = 2
6. Um conjunto de vetores LI ou LD, pode ser visualizado graficamente, por exemplo
se o espaço vetorial a ser considerado for o plano ℝ􀬶. Observe a seguir dois conjuntos
de vetores do ℝ􀬶, apresentados graficamente:
Em relação aos conjuntos de vetores apresentados a seguir, podemos afirmar que:
a) O conjunto I é LI e o conjunto II é LD.
b) Ambos os conjuntos de vetores são LI.
c) Ambos os conjuntos de vetores são LD.
d) O conjunto I é LD e o conjunto II é LI.
e) Não podemos classificar em LI e LD dois vetores do plano ℝ􀬶.
7. A base de um espaço vetorial é formada por um conjunto de vetores aos quais
todos os outros vetores desse espaço podem ser obtidos por uma combinação linear
desses. Definimos como coordenadas de um vetor em relação a uma determinada
base, aos números reais que são os coeficientes da combinação linear
que “gera” um determinado vetor do espaço vetorial. Baseando-se nas informações
dadas, determine então ao coordenadas do vetor v􁈬⃗ = ( 1; 0; 0 ) em relação à base β = {( 1; 1; 1 ), ( −1 ; 1; 0 ), ( 1; 0 ; −1)}.
CORRETA
8. Em relação à classificação dos vetores como LI ou como LD, são apresentadas as
afirmativas a seguir. Faça a análise de cada uma delas e logo a seguir assinale a
alternativa correta.
I. O conjunto de vetores do ℝ􀬷, { 􁈬v􁈬􁈬􀬵⃗ =( 1;0;0 ), 􁈬v􁈬􁈬􁈬􀬶⃗ = (2; 3; 0 ), 􁈬v􁈬􁈬􁈬􀬷⃗ = (5;1; 1)} é LI, pois
a “resolvermos” a igualdade (0; 0; 0 ) = a ∙ 􁈬v􁈬􁈬􀬵⃗ + b ∙ v􁈬􁈬􁈬􁈬􀬶⃗ + c ∙ 􁈬v􁈬􁈬􁈬􀬷⃗, encontraremos somente
e exclusivamente a= 0, b= 0 e c= 0.
II. O trio de vetores do ℝ􀬶 apresentado por v􁈬⃗􀬵 = (2; 3),v􁈬⃗􀬶 = (5; 4) e v􁈬⃗􀬷 = (1; 1) é
LD, pois se resolvermos a igualdade (0; 0;0 ) = a ∙ v􁈬⃗􀬵 + b ∙ v􁈬⃗􀬶 + c ∙ v􁈬⃗􀬷, vamos encontrar
infinitos valores para a, b e c que a satisfazem.
III. Os vetores v􁈬⃗􀬵 = ( 1; −1; −2 ), v􁈬⃗􀬶 = ( 2; 1; 1 ) e v􁈬⃗􀬷 = ( −1; 0; 3 ) pertencentes ao ℝ􀬷
formam um grupo LI.
IV. Quando no ℝ􀬷, tivermos um conjunto unitário de vetores, onde o vetor presente for diferente do vetor nulo, ele será obrigatoriamente LI.
Em relação às afirmativas acima, podemos dizer que:
a) São todas falsas.
b) Somente I e III são falsas.
c) Todas são verdadeiras.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) Somente III é verdadeira.
1. Lembrando-se que uma transformação linear é uma aplicação que leva elementos
de um espaço vetorial a outro espaço vetorial, considere a seguinte transformação
linear:
T: ℝ􀬷 → : ℝ􀬶 tal que T(x; y; z ) = ( 2x + y; y − z )
Considere as seguintes considerações a respeito de tal transformação linear:
I. Ao tomarmos o vetor w􁈬􁈬⃗ = (1; 0; 0) pertencente ao ℝ􀬷, a transformação linear
dada o aplicará a (2; 0), ou seja T( 1; 0; 0 ) = (2; 0).
II. O vetor v􁈬⃗, pertencente ao espaço vetorial ℝ􀬷 tal que T(v􁈬⃗)=(3; 2) é da seguinte
forma: (x; 3 − 2x; 1 − 2x).
III. Podemos verificar, através da transformação linear dada que T(0; 0; 1) = (1; 1).
Fazendo a análise das afirmativas dadas, podemos concluir que:
a) Todas são falsas.
b) Todas são verdadeiras.
c) Somente I e III são veradeiras.
d) Somente I e III são falsas.
e) Somente II é falsa.
2. Determine a transformação linear T: ℝ􀬶 → : ℝ􀬷, tal que T(1; 1) =
( 2; 0; 2 ) e T(0; −2) = ( −2; 2; 0 ).
a) T( x + y; 4x; 2x)
b) T( x + y; x − y; 2x)
c) T( x + y; 4x; −x )
d) T( x − y; −2x; 2x)
e) T( 2x + y; −x; x)
3. As transformações lineares podem ser muito úteis em vários campos do conhecimento,
inclusive na Física, envolvendo deslocamento de vetores no plano cartesiano.
Vamos tomar uma situação a respeito desse deslovcamento, veja:
O deslocamento de um vetor do ℝ􀬶segundo um ângulo α pode ser observado
graficamente da seguinte forma:
A transformação linear que realiza essa rotação é dada por T: ℝ􀬶 → ℝ􀬶 tal que a
sua lei de formação será: T(x; y ) = (x ∙ cosα − y ∙ senα; y ∙ cosα+ x ∙ senα). Baseando-se
nessa informação, ao rotacionarmos o vetor ( 1; 3) por um ângulo de 90º, encontrriamos
quais componentes do vetor rotacionado?
a) (1; -3)
b) (2 ; 0)
c) (-3 ; 1)
d) (0 ; 3)
e) (-1; -3)
4. Considerando a transformação linear T: ℝ􀬶 → ℝ􀬶 tal que T(v) = −2 ∙ v, vamos fazer
as seguintes considerações a respeito da mesma:
I. A tranformação linear realiza apenas uma rotação de 180º com o vetor v.
II. A transformação linear realiza apenas uma duplicação do vetor v.
III. A transformação linear realiza uma rotação de 180º com a sua duplicação.
IV. A transformação linear realiza uma rotação de 270º com o vetor oposto ao
vetor v.
V. Tomando um vetor com componentes positivas, de uma maneira genérica,
podemos representar a aplicação da transformação da seguinte maneira:
Em relação as afirmativas apresentadas acima, podemos dizer que:
a) Apenas I e III estão corretas.
b) Todas estão corretas.
c) Todas estão incorretas.
d) Apenas V está correta.
e) Apenas III e V estão corretas.
5. Observando a transformação linear dada abaixo:
CORRETA
6. Consideremos uma transformação linear T: ℝ􀬶 → ℝ􀬷 de tal forma que T(1; 0 ) =( 1; 2; −1)
T(0; 1) = (3; 0; 4 )
Determine então o vetor resultante de T( 2; 5)
a) (1; 0; 0)
b) (15; 0; 12)
c) (17; 0; -2)
d) (9; -3; 7)
e) (17; 4; 18)
7. Uma transformação linear do tipo 𝐓: ℝ𝟐 → ℝ𝟐 tem como característica tomar um
vetor do plano ℝ𝟐 e transforma-lo, rotacionando, aumentando-o, diminuindo-o ou
fazendo simultameatente as informações anteriores além de também poder leválo
a um outro qualquer. De acordo com as informações apresentadas, verificamos
a importância de uma transformação linear em vários campos de estudo, como
por exemplo na Física, onde se pode aplicar esse estudo em movimentos de braços
de forma linear. Observando o esquema gráfico a seguir, determine qual dentre
as transformações apresentadas poderia representá-lo.
a) T( x; y ) = ( x; y ) c) T( x; y ) = ( -x; -y ) e) T(x; y ) = ( y; x )
b) T( x; y) = ( -x; y ) 
d) T( x; y ) = ( x; -y )
8. Considere a seguinte transformação linear:
T: ℝ􀬶 → P􀬶 tal que que T(x; y) = 􁉀
􀭶􀬾􀬷􀭷
􀬸
􁉁 − 􁉀
􀭶􀬾􀬻􀭷
􀬸
􁉁 x + 􁉀
􀭶􀬿􀭷
􀬶
􁉁 x􀬶 Onde P􀬶 representa o conjunto
de todos os polinômios de ordem 2.
Determine então o polinômio resultante de T(−7; 9 )
a) P(x) = 3 - 5x + 6x2
b) P(x) = 5 - 14x + 8x2
c) P(x) = -2 + 4x + 9x2
d) P(x) = 7 - 15x - 7x2
e) P(x) = 1 + 13x + 18x2
1. A observarmos uma parábola que representa um determinado fenômeno físico,
verificamos que sua equação geral é representada da seguinte maneira:
2x􀬶 + 4x + 3y − 4 = 0
Podemos então afirmar que as coordenadas do vértice, as quais indicam o ponto
máximo desse fenômeno serão:
a) (0; 3)
b) (0; 0)
c) (-1; 2)
d) (3; 0 )
e) (2 ; -1)
2. O estudo da geometria analítica possibilita a análise de estruturas geometricas
através de equações e normas algébricas, não excluindo totalmente a visualização
de tais estruturas geométricas pela sua forma. Com base nessas informações
e observando a figura abaixo, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas.
I. A circunferência apresentada tem centro no ponto C (2; 1).
II. A equação geral da circunfência é dada por x􀬶 + y􀬶 + 2x + y – 3 = 0.
III. A distância do centro da circunferência apresentada até a origem do sistema
de coordenadas cartesianas é igual a √𝟓.
IV. Ao traçarmos uma reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto
A (-1; 3), a sua equação geral será dada por 2x + 3y − 7 = 0.
Em relação às afirmativas apresentadas acima, podemos dizer que:
a) Todas são incorretas.
b) Todas estão corretas.
c) Somente I e IV estão incorretas.
d) Somente as afirmativas I, III e IV estão corretas.
e) Somente IV está correta.
3. Sendo dada uma reta r do plano de coordenadas cartesianas, podemos escrevêla
da forma geral ( usando por exemplo a condição de alinhamento de três pontos
com o determinante de ordem 3 ), porém, podemos apresentar uma reta na
forma reduzida, que seria, de uma forma bem rápida, obtida ao isolarmos a variável
y na forma geral.
ax + by + c = 0 ⟹ by = −ax − c ⇒ y = −
a
b
x −
c
b
Assim então, podemos verificar que o coeficiente de x e nessa forma reduzida será
denominado de coeficiente angular e estará relacionado com a inclinação da reta
que ele representa ( o coeficiente angular também será cahamado de declividade
).
Observando as retas r e s apresentadas no plano cartesiano a seguir, determine
então os valores dos coeficientes angulares de cada uma delas ( m􀭰 e m􀭱).
a) m􀭰 = 2 e m􀭱 = −3
bCORRETA
c) m􀭰 =
e m􀭱 = 3
d) m􀭰 = −
e m􀭱 = −3
e) m􀭰 = 2 e m􀭱 =
4. Considere uma elipse com a seguinte e equação reduzida:
As afirmações abaixo seão relativa à cônica, julgue-as em verdadeiras ou falsas e
logo após assinale a alternativa correta:
I. A elipse apresentada tem centro fora da origem e as suas coordenadas são
C( 1; 1 ).
II. A elipse apresentada tem eixo menor horizontal e mede 2 unidades de
comprimento.
III. As coordenadas dos focos da elipse são: ( 0; 2􀶥3) e ( 2√3; 0 ).
IV. O eixo maior da elipse é vertical e mede 8 unidades de comprimento.
V. A elipse apresentada tem distância focal igual a 4√3 unidades de comprimento.
Podemos afirmar que:
a) Todas as afirmativas estão incorretas.
b) Somente I, IV e V estão corretas.
c) Todas as afirmativas estão corretas.
d) Somente I e II estão corretas.
e) Somente e III estão corretas.
5. O cálculo do determinante de uma matriz possui grande utilidade não só na Matemática,
mas também em diversas áreas do conhecimento, como a Física Quântica
e a Engenharia. Uma de suas aplicações em Engenharia é para descobrir se
três pontos são colineares, isto é se três pontos estão alinhados ( pertencem à
mesma reta ); algo importante,, por exemplo, em um projeto de um automóvel,
para saber se o eixo está corretamente alinhado com as rodas. Prova-se que a
condição para que três pontos (x1, y1), ( x2, y2) e (x3, y3) sejam colineares é que o
determinante􀸭
𝑥􀬵 𝑦􀬵 1
𝑥􀬶 𝑦􀬶 1
𝑥􀬷 𝑦􀬷 1
􀸭 seja nulo.
Considerando o exemplo do automóvel, em um projeto o alinhamento lateral do
carro é feito comparando a posição das rodas (dianteira e traseira de um mesmo
lado) com um ponto lateral do chassi. O carro está alinhado se os pontos que representam
cada uma dessas partes forem colineares. Sabe-se que nesse projeto a
roída dianteira é representada pelo ponto A (-1 , 2), o ponto que representa o
chassi é B(0, 3) e a roda traseira C (1 , k ). Dessa forma, para que o carro esteja alinhado
o valor de k deve ser igual a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5
e) 9
6. Uma hipérbole como a apresentada na figura abaixo, tem como equação geral
a seguinte expressão algébrica:
a) 9𝑥2 − 25𝑦2 − 225 = 0
b) 25𝑥􀬶 + 9𝑦􀬶 − 225 = 0
c) 9𝑥􀬶 + 25𝑦􀬶 − 225 = 0
d) 𝑥􀬶 − 25𝑦􀬶 − 25 = 0
e) 9𝑥􀬶 − 25𝑦􀬶 + 225 = 0
7. A condição de alinhamento a respeito de três pontos, nos informa que se o determinante
que envolve as coordendas dos pontos for igual a zero, podemos garantir
que os pontos apresentados são colineares. Podemos então concluir que se
os pontos não estiverem alinhados, obrigatoriamente eles serão vértices de um triângulo
qualquer do plano cartesiano.
Analisando os pontos A(3k+2; -1), B(2; 3) e C (-1; 4), encontre a condição para que
eles sejam vétices de um triângulo ABC.
a) k = -1
b) k ≠ 0
c) k ≠ 3
d) k ≠ 4
e) k ≠ 2
8. Uma circunferência tem diâmetro que é um segmento com estremidades nos
pontos A(-1; 4) e B(2; 5). São feitas algumas afirmativas em relação a essa forma
geométrica:
I. A circunferência dada, tem centro na origem do sistema de coordenadas
cartesianas e raio igual a 2 unidades de comprimento.
II. O diâmetro da circunferência apresenta pelos pontos tem medida igual a 20
unidades de comprimento.
III. O raio dessa circunferência tem medida igual a 10 unidades de comprimento.
IV. A equação reduzida dessa circunferência é: 􁉀𝑥 −
Podemos afirmar então que:
a) Somente a afirmativa II é correta.
b) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
c) Somente a afirmativa IV está correta.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão incorretas.
Questão 01
Considerando dois vetores do plano, vamos supor que eles representam duas grandezas vetoriais. Para determinarmos a resultante da soma desses vetores, temos a forma algébrica (somando as componentes) e a forma gráfica (apresentando o vetor que seria a soma no plano). Se são dados inicialmente por pares de pontos que caracterizam origem e extremidade de cada um. Como teria que proceder um estudante que desejasse apresentar o vetor soma usando o método do paralelogramo no plano de coordenadas cartesianas?
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma.
· Ele deveria transladar os vetores para o primeiro quandrante, onde as componentes seriam todas positivas e assim unir origem de  com extremidade de 
· Não seria possível apresentar o vetor soma pelo método do paralelogramo.
· O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adição (unir a origem de um com a extremidade de outro).
· O estudante deveria transladar de modo que a origem de ambos fosse a origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim traçarmos o vetor soma como a diagonal de um paralelogramo.
Questão 02
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 60°
· 30°
· 0°
· 90°
· 45°
Questão 03
Considerando dois vetores  e  do plano, vamos supor que eles representam duas grandezas vetoriais. Para determinarmos a resultante da soma desses vetores, temos a forma algébrica (somando as componentes ) e a forma gráfica( apresentando o vetor que seria a soma no plano ). Se  e  são dados inicialmente por pares de pontos que caracterizam origem e extremidade de cada um. Como teria que proceder um estudadnte que desejasse apresentar o vetor soma usando o método do paralelogramo no plano de coordenadas cartesianas?
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma.
· O estudante deveria transladar e de modo que a origem de ambos fosse a origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim traçarmos o vetor soma como a diagonal de um paralelogramo.
· O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adição (unir a origem de um com a extremidade de outro ).
· Ele deveria transladar os vetores para o primeiro quandrante, onde as componentes seriam todas positivas e assim unir origem de   com extremidade de .
· Não seria possível apresentar o vetor soma pelo método do paralelogramo.
Questão 04
Os vetores  e  representados na figura a seguir, têm módulos, respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo  mede 120°.
Qual é o módulo do vetor  e  ?
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· 
· 
· 
· 
· CORRETA
Questão 05
Considere a árvore de natal de vetores, montada conforme a figura a seguir.
A alternativa correta que apresenta o módulo, em  do vetor resultante é:
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· 6
· 4
· 2
· 0
· 5
Questão 06
A grandeza força é considerada como vetorial, ou seja, para ficar bem definida, necessitamos do seu módulo (valor absoluto), direção e sentido. Suponha que queiramos representar a grandeza força no plano. O vetor u que representa uma força aplicada em um determinado objeto está mostrado a seguir:
A alternativa que contém as componentes corretas de u é:
 
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· u = ( 5; -2,5 )
· u = ( -2,5; 5 )
· u = ( 0; 2,5 )
· u = ( -5; 2,5 )
· u = ( 2,5; -5 )
Questão 07
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· 2
· √5
· √19
· √2
· √29
Questão 08
Considere os vetores A secante do ângulo formado pelos vetoresé :
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· -1
· 
· 2
· 0,5
· 
Questão 01
Sabemos que o produto vetorial é aqule em que tomados dois vetores do , iremos obter um outro vetor também do . Importante afirmar que essa operção é exclusiva do espaço . Sendo dessa operação dada, e lembrando que a obtenção do vetor resultante é dado por:
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· (3; -2; -1)
· (0; 2; 1)
· (3; 2; -1)
· (3; -1;0)
· (3;0; -1)
Questão 02
Sabemos que o produto vetorial é aqule em que tomados dois vetores do iremos obter um outro vetor também do . Importante afirmar que essa operção é exclusiva do espaço . Sendo dessa operação dada, e lembrando que a obtenção do vetor resultante é dado  por:
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· ( 3; 2; -1 )
· ( 2; -2;  3 )
· ( 3; 2; 1)
· ( 3; - 2; - 1)
· ( - 3; -1 ; - 2 )
Questão 03
Um grupo de vetores em  pode ser apresentado sem necessariamente ter a origem coincidindo com a origem do plano de coordenadas cartesianas, o que pode acontecer quando, por exemplo estivermos representado vetores que são na prática um grupo de grandezas estudadas em certas situações. Considere o diagrama vetorial abaixo, onde temos relaconadas três grandezas coplanares:
A única igualdade correta a seu respeito será:
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· U + W = V CORRETA
· 
· 
· 
· 
Questão 04
Dois animais estão amarrados a cordas distintas e irão realizar um trabalho, onde vão aparecer tensões em tais cordas. Estas tensões estão sendo representadas no plano cartesiano abaixo:
Determine qual é então a medida do ângulo , que é na verdade o ângulo existente entre os vetores que estão representando as tensões nas cordas:
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· 
· 
· 
· CORRETA
· 
Questão 05
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· CORRETA
· 
· 
· 
· 
Questão 06
Revendo o conceito de combinação linear e sabendo que alguns vetores podem ser obtidos através de algumas operações envolvendo outrosvetores, considere:
do plano cartesiano e então determine os valores das constantes   que fazem com que a combinação linear abaixo realmente exista 
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· 
· 
· CORRETA
· 
· 
Questão 07
Dois animais estão amarrados a cordas distintas e irão realizar um trabalho, onde vão aparecer tensões em tais cordas. Estas tensões estão sendo representadas no plano cartesiano abaixo:
Determine qual é então a medida do ângulo, que é na verdade o ângulo existente entre os vetores que estão representando as tensões nas cordas:
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· 92,8º
· 12,7º
· 85,2º· 100,1º
· 106,3º CORRETA
Questão 08
Considere as afirmações a seguir que são a respeito do ângluo formado entre dois vetores e logo a seguir julgue-as em verdadeiras ou falsas.
I – Quando apresentamos dois vetores no  e as suas componentes são tais que esses  vetores estão exatamante sobre os eixos coordenados. Podemos afirmar que eles são necessariamente perpendiculares.
II – Dois vetores do  são perpenciculares, o que acarreta de a norma de cada um deles ser nula.
III -  Ao calcularmos,segundo a fórmula apresentada, o valor do cosseno do ângulo formado entre dois vetores do , se encontrarmos um valor negativo, resulta em termos um ângulo também negativo.
       
Podemos então concluir que:
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· as afirmativas I,II e III estão corretas.
· somente as afirmativas II e III estão corretas.
· as afirmativas I e II estão corretas.
· somente a afirmativa I está incorreta.
· todas as afirmativas estão incorretas.
Questão 01
Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema  qual os termos independentes são todos nulos ( iguais a zero ). Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Essa solução é chamada de solução trivial de um sistema homogêneo. De acordo com todas as informações apresentadas anteriormente, determine o valor de  no sistema abaixo de forma que ele tenha solução distinta da solução trivial 
 
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 
· 
· 
· 
· CORRETA
Questão 02
(Espm 2019 - Modificada) – Usando os conceitos a respeito de equações e sistemas lineares, monte e resolva o sistema que dê a solução da seguinte situação apresentada:
Um menino possui 29 moedas de 10 centavos e 15 moedas de 25 centavos.número de maneiras diferentes que ele tem para formar 5 reais é igual a:
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· 4
· 3
· 6
· 5
· 2
Questão 03
(Espm 2019) -  Daqui a 3 anos, a idade de um pai será a soma das idades que terão sua esposa e seu filho. Quando a esposa nasceu, a idade do pai era: 
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· igual à idade atual do seu filho.    
· 3 anos a menos que a idade atual do seu filho.    
· menor que a idade atual do seu filho.    
· igual à idade que terá seu filho daqui a 3 anos.   
· o dobro da idade atual do seu filho.    
Questão 04
A condição para que o sistema a e tenha solução única é
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· a 2
· a 1
· a 0
· a -1
· a -2
Questão 05
Considere o sistema de equações lineares abaixo:
A alternativa que apresenta os valores de x, y e z que satisfaça o sistema é, respectivamente:
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· 5,3,1
· 1,2,3
· 2,1,0
· 2,3,1
· 5,1,0
Questão 06
( Cp2 2019) - Jorge, Marcos e Paulo são três irmãos que adoram colecionar figurinhas e também adoram charadas. Como eles têm uma prima, Lavínia, que também adora decifrar enigmas, propuseram a ela o seguinte problema:
- Jorge e Marcos têm, juntos, 110 figurinhas.
- Jorge e Paulo têm, juntos, 73figurinhas.
- Marcos e Paulo têm, juntos, 65 figurinhas.
Quem tem mais figurinhas e quantas são elas?
Se Lavínia conseguir decifrar o enigma, sua resposta será:
 
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· Jorge, com 59 figurinhas.    
· Marcos, com 90 figurinhas.
· Paulo, com 14 figurinhas.    
· Jorge e Marcos, ambos com 55 figurinhas.    
· Marcos, com 56 figurinhas.    
Questão 07
Considerando o sistema
verifica-se que 
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· as retas que representam esse sistema são paralelas.    
· a solução desse sistema é
· o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é igual a zero
· esse sistema não possui solução.    
· as retas que representam esse sistema são coincidentes.    
Questão 08
José precisa pesar três peças de metal A, B e C.  Mas, a balança que ele dispõe não é precisa para pesos menores do que 1 kg. José decide então pesar as peças de duas em duas. A e B juntas pesam 1600g B e C juntas pesam 1400g e A e C juntas pesam 1700g.
Nestas condições, qual o peso da peça mais leve?
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· 700g
· 1400g
· 550g
· 650g
· 950g
Questão 01
Um conjunto de vetores LI ou LD, pode ser visualizado graficamente, por exemplo se o espaço vetorial a ser considerado for o plano . Observe a seguir dois conjuntos de vetores do , apresentados graficamente:
Em relação aos conjuntos de vetores apresentados a seguir, podemos afirmar que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· o conjunto I é LI e o conjunto II é LD.
· ambos os conjuntos de vetores são LI.
· o conjunto I é LD e o conjunto II é LI.
· não podemos classificar em LI e LD dois vetores do plano .
· ambos os conjuntos de vetores são LD.
Questão 02
Em relação ao conjunto V formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 (M(2,2) ), podemos verificar que afirmação correta em relação e esse conjunto será:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· O conjunto  é uma base de V.
· O conjunto V não será um espaço vetorial, pois não será “fechado” para a operação usual de adição.
· O conjunto V é gerado por , ou seja esse subconjunto apresentado é uma base de V.
· O elemento neutro da operação de adição será a matriz identidade de ordem 2, ou seja: 
· O conjunto V não é um espaço vetorial, pois não obedece à propriedade do elemento oposto, ou seja, não existe uma matriz que somada a uma original, resulta em uma matriz nula.
Questão 03
A base de um espaço vetorial é formada por um conjunto de vetores aos quais todos os outros vetores desse espaço podem ser obtidos por uma combinação linear desses. Definimos como coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base, aos números reais que são os coeficientes da combinação linear que “gera” um determinado vetor do espaço vetorial.
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 
· 
· CORRETA
· 
· 
Questão 04
Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI (linearmente independentes) e LD (vetores linearmente dependentes), considere o seguinte conjunto de vetores do espaço : { ( 1; 0 ) , ( -1; 1 ), ( 3; 5 ) }. Podemos afirmar corretamente que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· o conjunto é LD e não pode portanto ser uma base de .
· o conjunto de vetores apresentado não pode ser LI ou LD.
· o conjunto é LD, portanto é uma base de .
· o conjunto é LI e não é uma base de .
· o conjunto formado é LI e gera .
Questão 05
Em relação à classificação dos vetores como LI ou como LD, são apresentadas as afirmativas a seguir. Faça a análise de cada uma delas e logo a seguir assinale a alternativa correta.
Em relação às afirmativas acima, podemos dizer que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· somente I, II e IV são verdadeiras.
· somente III é verdadeira.
· são todas falsas.
· todas são verdadeiras.
· somente I e III são falsas.
Questão 06
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· as três afirmações são falsas
· apenas a afirmação I é verdadeira
· as três afirmações são verdadeiras.
· apenas a afirmação II é falsa
· apenas as afirmações II e III são verdadeiras
Questão 07
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· nada podemos afirmar a respeito do conjunto W
· W é fechado para a soma, porém não é fechado para o produto por um escalar
· o elemento ( 0; 0 ) W.
· W é um subespaço vetorial de V
· W não é fechado para a soma, porém é fechado para o produto por um escalar
Questão 08
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· as duas afirmativas são falsas.
· as duas afirmações não tem relação alguma
· a primeira é falsa e a segunda é verdadeira.
· as duas afirmações se completam e são verdadeiras
· a primeira afirmativa é verdadeira porém a segunda é falsa.
Questão 01
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· uma esfera de raio 1
· um disco centrado na origem de raio 1
· Um plano
· um espaço vetorial.   
· uma reta que passa por z = 1.   
Questão 02
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· ( 1; 0)
· ( 5; 0 )
· ( 4; 0 )
· ( 0 ; 4 )
· ( 0; 5 )
Questão 03
Determine a transformação linear , tal que T(1; 1 ) = ( 2; 0; 2 ) e   T(0; -2) = ( -2; 2; 0 ).
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 
· 
· 
· CORRETA
· 
Questão 04
As transformações lineares podem ser muito úteis em vários campos do conhecimento, inclusive na Física, envolvendo deslocamento de vetores no plano cartesiano. Vamos tomar uma situação a respeito desse deslovcamento, veja:
O deslocamento de um vetor do segundo um ângulo a pode ser observado graficamente da seguinte forma:
 
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· ( 0; 3 )
· ( 2; 0 )
· ( 1 ; -3 )
· ( -3 ; 1 )CORRETA
· ( - 3; -1 )
Questão 05
Consideremos uma transformação linear de tal forma que
    
Determine então o vetor resultante de 
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· (15; 0; 12)
· (1; 0; 0)
· (17; 0; -2)
· (17; 4; 18)
· (9; -3; 7)
Questão 06
Uma transformação linear do tipo tem como característica tomar um vetor do plano  e transforma-lo, rotacionando, aumentando-o, diminuindo-o ou  fazendo simultaneamente as informações anteriores além de também pode levá-lo a um outro qualquer. De acordo com as informações apresentadas, verificamos a importância de uma transformação linear em vários campos de estudo, como por exemplo na Física, onde se pode aplicar esse estudo em movimentos de braços de forma linear. Observando o esquema gráfico a seguir, determine qual dentre as transformações apresentadas poderia representá-lo:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· T( x; y ) = ( x; -y )
· T(x; y ) = ( y; x )
· T( x; y ) = ( x; y ) 
· T( x; y) = ( -x; y )                 
· T( x; y ) = ( -x; -y )
Questão 07
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· CORRETA
· 
· 
· 
· 
Questão 08
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· P(x) = -2 + 4x + 9x2
· P(x) = 1 + 13x + 18x2
· P(x) = 3 - 5x + 6x2
· P(x) = 7 - 15x - 7x2
· P(x) = 5 - 14x + 8x2
Questão 01
No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, os gráficos das funções reais de variável real f(x) = x2 - 6x + 9  e g(x) = -x2 + 6x -1  são parábolas. Os pontos de interseção dessas parábolas juntamente com seus vértices são vértices de um quadrilátero convexo, cuja medida da área é igual a:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 18 u.a
· 16 u.a
· 20 u.a
· 24 u.a
· 22 u.a
Questão 02
Sendo dada uma reta r do plano de coordenadas cartesianas, podemos escrevê-la da forma geral (usando por exemplo a condição de alinhamento de três pontos com o determinante de ordem 3), porém, podemos apresentar uma reta na forma reduzida, que seria, de uma forma bem rápida, obtida ao isolarmos a variável y na forma geral.
Assim então, podemos verificar que o coeficiente de x e nessa forma reduzida será denominado de coeficiente angular e estará relacionado com a inclinação da reta que ele representa (o coeficiente angular também será chamado de declividade).
Observando as retas r e s apresentadas no plano cartesiano a seguir, determine então os valores dos coeficientes angulares de cada uma delas (m_r e m_s).
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· m_r=2 e m_s= -3
· m_r=2/3 e m_s= 3
· m_r=2 e m_s= 4/5
· m_r=-1/2 e m_s= 4/3
· m_r=-1/2 e m_s= -3
Questão 03
O estudo da geometria analítica possibilita a análise de estruturas geométricas através de equações e normas algébricas, não excluindo totalmente a visualização de tais estruturas geométricas pela sua forma. Com base nessas informações e observando a figura abaixo, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas.
I – A circunferência apresentada tem centro no ponto C (2; 1).
II – A equação geral da circunferência é dada por x2 + y2 + 2x +y – 3 =0.
III – A distância do centro da circunferência apresentada até a origem do sistema de coordenadas cartesianas é igual a √5.
IV – Ao traçarmos uma reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto A ( -1; 3), a sua equação geral será dada por 2x +3y -7 = 0.
Em relação às afirmativas apresentadas acima, podemos dizer que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· somente IV está correta.
· somente I e IV estão incorretas.
· todas são incorretas.
· somente as afirmativas I, III e IV estão corretas.
· todas estão corretas.
Questão 04
Considere uma elipse com a seguinte e equação reduzida:
E gráfico apresentado a seguir:
As afirmações abaixo serão relativas à cônica, julgue-as em verdadeiras ou falsas e logo após assinale a alternativa correta.
I -  A elipse apresentada tem centro fora da origem e as suas coordenadas são C( 1; 1 ).
II – A elipse apresentada tem eixo menor horizontal e mede 2 unidades de comprimento.
III – As coordenadas dos focos da elipse são: ( 0; 2√(3))  e ( 2√3; 0 ).
IV – O eixo maior da elipse é vertical e mede 8 unidades de comprimento.
V – A elipse apresentada tem distância focal igual a 4√3 unidades de comprimento.
Podemos afirmar que:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· todas as afirmativas estão corretas.
· somente I e II estão corretas.
· somente I, IV e V estão corretas.
· somente e III estão corretas.
· todas as afirmativas estão incorretas.
Questão 05
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 
· 
· CORRETA
· 
· 
Questão 06
Em um plano cartesiano, seja r a reta de equação x-3y+ 6 = 0  A reta  é perpendicular à reta  e delimita, com os eixos coordenados, no primeiro quadrante, um triângulo de área 
                                            
 
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 
· 
· CORRETA
· 
· 
Questão 07
A observarmos uma parábola que representa um determinado fenômeno físico, verificamos que sua equação geral é representada da seguinte maneira:
Podemos então afirmar que as coordenadas do vértice, as quais indicam o ponto máximo desse fenômeno serão:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· ( 2 ; -1 )
· ( 0; 0 )
· ( -1; 2 )
· ( 0; 3 )
· ( 3; 0 )
Questão 08
A elipse de equação  está esboçada na imagem a seguir.
A área do quadrilátero A B C D é:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
· 24
· 9
· 36
· 12
· 4