lista5sol 324

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 5 - Soluc¸a˜o
Questa˜o 1
O caso ba´sico e´ regredir y0is contra o intercepto e x
0
is. Neste caso o estimador
da inclinac¸a˜o de M.Q.O. deve ser:
βˆ =
P
(xi − x¯) (yi − y¯)P
(xi − x¯)2
a) Suponha que somente transformamos x0is, o que significa que ao inve´s de
regredir y0is no intercepto e x
0
is, regredimos y
0
is em x
∗
i = xi − x¯ sem intercepto.
Enta˜o a inclinac¸a˜o deve ser:
βˆ
∗
=
P
x∗i yiP
(x∗i )
2
Note que: X
(xi − x¯) (yi − y¯) =
X
(xi − x¯) yi
Consequentemente,
βˆ
∗
=
P
x∗i yiP
(x∗i )
2 =
P
(xi − x¯) yiP
(xi − x¯)2
=
P
(xi − x¯) (yi − y¯)P
(xi − x¯)2
= βˆ
b) Suponha que transformamos yi em y∗i = yi − y¯, e regredimos y∗i em x0is
sem intercepto. Enta˜o temos o seguinte coeficiente de inclinac¸a˜o:
βˆ
∗
=
P
xiy∗iP
x2i
=
P
xi (yi − y¯)P
x2i
=
P
(xi − x¯) (yi − y¯)P
x2i
Enta˜o na˜o temos certeza que ele e´ igual a βˆ como no´s temos
P
xi (yi − y¯) =P
(xi − x¯) (yi − y¯) mas geralmente
P
x2i 6=
P
(xi − x¯)2. Para igualdade temos
x¯ = 0.
Questa˜o 2
bn,s = (X
0X)−1X 0y ⇒ (X 0X)bn,s = X 0y
⇒ (X 0nXn + xsx0s)bn,s = (X 0nyn + xsys)
1
Multiplicando ambos os lados por (X 0nXn)−1, segue-se que
bn,s + (X
0
nXn)
−1(xsx
0
s)bn,s = (X
0
nXn)
−1(X 0nyn) + (X
0
nXn)
−1(xsys)
que implica que
bn,s + (X 0nXn)
−1(xsx0s)bn,s = bn + (X
0
nXn)
−1(xsys)⇒
x0sbn,s + x
0
s(X
0
nXn)
−1(xsx0s)bn,s = x
0
sbn + x
0
s(X
0
nXn)
−1(xsys)⇒
x0sbn,s =
x0sbn
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
+
x0s(X 0nXn)−1(xsys)
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
Agora note que
1
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
x0sbn = x
0
sbn −
1
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
x0s(X
0
nXn)
−1xsx0sbn
Enta˜o,
x0sbn,s = x
0
sbn −
x0s(X
0
nXn)
−1xsx0sbn
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
+
x0s(X
0
nXn)
−1(xsys)
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
⇒ x0sbn,s = x0sbn +
1
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
x0s(X
0
nXn)
−1xs(ys − x0sbn)
Multiplicando ambos os lados por (xsx0s)
−1 xs, temos que:
(xsx
0
s)
−1 xsx
0
sbn,s = (xsx
0
s)
−1 xsx
0
sbn +
(xsx0s)
−1 xsx0s(X
0
nXn)
−1xs(ys − x0sbn)
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
⇒ bn,s = bn +
1
1 + x0s(X 0nXn)−1xs
(X 0nXn)
−1xs(ys − x0sbn)
Questa˜o 3
a)
β∗ =
y¯
x¯
=
P
ytP
xt
=
X
wtyt
onde
wt =
1P
xt
Assim, β∗ e´ linear em y. Desde que E (εt|x) = 0,
E (β∗|x) = E
µP
ytP
xt
|x
¶
= E
µP
(xtβ + εt)P
xt
|x
¶
= β +
P
E (εt|x)P
xt
= β
Enta˜o β∗ e´ na˜o viciado.
V (β∗|x) = V
µP
ytP
xt
|x
¶
= V
µP
(xtβ + εt)P
xt
|x
¶
=
P
V (εt|x)
(
P
xt)
2 =
Tσ2
(
P
xt)
2 =
σ2
T x¯2
2
onde x¯ =
PT
t=1 xt/T. A variaˆncia do estimador de M.Q.O. e´ igual a
V
h
βˆ
OLS |x
i
= σ2 (x0x)−1 =
σ2P
x2t
Mas X
(xt − x¯)2 =
X¡
x2t − 2x¯xt + x¯2
¢
=
X
x2t − 2T x¯2 + T x¯2
=
X
x2t − T x¯2 ≥ 0
como o quadrado de um nu´mero real na˜o pode ser negativo, enta˜o,
P
x2t ≥ T x¯2,
que implica que
σ2P
x2t
≤ σ
2
T x¯2
Consequentemente, V [β∗|x] ≥ V
h
βˆ
OLS |x
i
.
b) β∗∗ resolve
min
β∗∗
τX
t=1
(yt − β∗∗xt)2
Diferenciando em relac¸a˜o a β∗∗ e igualando o resultado a zero, temos:
−2
τX
t=1
(yt − β∗∗xt)xt = 0⇒ β∗∗ =
Pτ
t=1 xtytPτ
t=1 x
2
t
⇒ β∗∗ =
τX
t=1
wtyt
onde wt = xtSτ
t=1 x
2
t
. Assim, β∗∗ e´ linear em y. Calculando a esperanc¸a de β∗∗ :
E (β∗∗|x) = E
µPτ
t=1 xtytPτ
t=1 x
2
t
|x
¶
=
Pτ
t=1 xtE (yt|x)Pτ
t=1 x
2
t
=
Pτ
t=1 xtE (βxt + εt|x)Pτ
t=1 x
2
t
= β +
Pτ
t=1 xtE (εt|x)Pτ
t=1 x
2
t
= β
Assim podemos calcular a variaˆncia, usando o fato de que β∗∗ = β+
Sτ
t=1 xtεtSτ
t=1 x
2
t
,
de
V (β∗∗) = E (β∗∗ −E (β∗∗))2 = E
µ
β +
Pτ
t=1 xtεtPτ
t=1 x
2
t
− β
¶2
= E
µPτ
t=1 xtεtPτ
t=1 x
2
t
¶2
=
1
(
Pτ
t=1 x
2
t )
2
τX
t=1
x2tE (εt)
2 =
σ2Pτ
t=1 x
2
t
onde na quarta igualdade usamos o fato de que E (εiεj) = 0 ∀i 6= j.
3
Por u´ltimo, note que
TX
t=1
x2t =
τX
t=1
x2t +
TX
t=τ+1
x2t ≥
τX
t=1
x2t
que implica que
σ2PT
t=1 x
2
t
≤ σ
2Pτ
t=1 x
2
t
Assim, β∗∗ e´ tambe´m na˜o viciado e tem variaˆncia maior ou igual a V
h
βˆ
OLS |x
i
.
c) Seja β∗∗∗ = k, onde k e´ uma constante. Enta˜o β∗∗∗ e´ linear e tem variaˆncia
zero. Mas se k 6= β, enta˜o, ele e´ viesado.
4