midterm08 324

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
1a prova
Esse e´ um exame sem consulta.
Voceˆ tem 1h50 para completa´-lo.
O uso de calculadora na˜o e´ permitido.
Ha´ 4 questo˜es. Voceˆ deve resolver todas.
Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar.
Cre´dito parcial sera´ conferido.
Voceˆ DEVE manter a prova grampeada.
BOA SORTE!
Nome ....................................................
1
1. Questo˜es curtas (20 pontos: 4 pontos para cada resposta)
(a) O que acontece com as estimativas do intercepto e da declividade
do estimador de mı´nimos quadrados ordina´rios quando todas as ob-
servac¸o˜es da varia´vel explicativa sa˜o ideˆnticas?
(b) VERDADEIRO ou FALSO: Considere o seguinte modelo de regressa˜o
simples: Yi = α+βXi+ui . Todas as hipo´teses usuais sa˜o satisfeitas.
Denote por αˆ e βˆ os estimadores de mı´nimos quadrados ordina´rios
de α e β, respectivamente.
Enta˜o Y¯ = αˆ+ βˆX¯ ? Explique sua resposta.
(c) O n´ıvel de significaˆncia de um teste de hipo´tese e´ melhor definido
como: (1) a probabilidade de na˜o rejeitar H0 quando H0 e´ verdadeiro
(2) a probabilidade de rejeitar H0 quando H0 e´ verdadeiro (3) a
probabilidade de na˜o rejeitar H0 quando H0 e´ falso (4) a probabili-
dade de rejeitar H0 quando H0 e´ falso.
(d) Qual e´ o significado de auseˆncia de vie´s para um estimador? O que
significa consisteˆncia?
(e) Duas varia´veis aleato´rias independentes X1 e X2 sa˜o ambas normal-
mente distribu´ıdas N(µ, σ2). No´s sabemos que σ2 = 50, mas no´s na˜o
conhecemos a me´dia µ. O seguinte estimador para µ e´ proposto:
µˆ =
1
3
X1 +
2
3
X2
Qual e´ a variaˆncia desse estimador? Esse e´ um estimador eficiente
de µ ?
2
(Questa˜o 1)
3
(Questa˜o 1)
4
2. Testes de Hipo´tese e Varia´veis Dummy (20 pontos)
Suponha que voceˆ tenha o seguinte modelo
yi = α+ β1x
1
i + β2x
2
i + β3x
3
i + εi i = 1, ..., 45
com todas as suposic¸o˜es padro˜es.
(a) Como voceˆ testaria as seguintes hipo´teses? (Seja espec´ıfico com os
testes, deˆ o nu´mero de graus de liberdade e conclua se a hipo´tese nula
e´ ou na˜o rejeitada)
i. (5 pontos) H0 : β3 − β2 > 0
ii. (5 pontos) H0 : β1 + β2 = −4 e β3 = 5. (Um teste conjunto de
ambas as hipo´teses)
(b) Suponha que o dia da semana e o meˆs em que no´s observamos os
dados para cada indiv´ıduo i sejam reportados. Para isso, utilizam-se
as varia´veis dummy:
Dia: Dji para j = 1, .., 7 e i para o indiv´ıduo.
Meˆs: Mki para k = 1, .., 12 e i para o indiv´ıduo.
Considere a equac¸a˜o modificada:
yi = α+β1x
1
i+β2x
2
i+β3x
3
i+
7X
j=1
θjD
j
i+
12X
k=1
µkM
k
i +εi i = 1, .., 45
i. (5 pontos) Voceˆ pode aplicar mı´nimos quadrados ordina´rios
nessa equac¸a˜o? Por queˆ?
ii. (5 pontos) Qual das seguintes regresso˜es solucionaria o
problema? (Seja exaustivo, pode na˜o haver nenhuma soluc¸a˜o
ou mais de uma soluc¸a˜o poss´ıvel).
(ii.1) Rodar a regressa˜o sem o intercepto.
(ii.2) Rodar a regressa˜o sem um dos Dj0i s (qualquer j=1,..,7).
(ii.3) Rodar a regressa˜o sem um dosMk0i s (qualquer k=1,..,12).
(ii.4) Rodar a regressa˜o sem um dosMk0i s (qualquer k=1,..,12)
e sem um dos Dj0i s (qualquer j=1,..,7).
(ii.5) Rodar a regressa˜o sem o intercepto e sem um dos Mk0i s
(qualquer k=1,..,12).
(ii.6) Rodar a regressa˜o sem o intercepto e sem um dos Dj0i s
(qualquer j=1,..,7).
5
(Questa˜o 2)
6
(Questa˜o 2)
7
3. Ma´xima Verossimilhanc¸a (30 pontos)
Considere a seguinte func¸a˜o de densidade conjunta:
fX,Y (x, y) =
½
δxy−δ−1/2 para 0 < x < 2 e 1 < y <∞
0 caso contra´rio
para 1 < δ < 2
(a) (4 pontos)Mostre que fX,Y (x, y) e´ uma func¸a˜o de densidade va´lida.
(b) (4 pontos) Compute a densidade marginal de Y , fY (y).
(c) (4 pontos) Qual e´ a variaˆncia de Y ?
(d) (4 pontos) Derive uma formula para E(X|Y ).
Para as partes (e)-(g), assuma que δ > 2.
(e) (4 pontos) Baseado numa amostra de N observac¸o˜es independentes
e identicamente distribu´ıdas de fY (y), escreva a func¸a˜o de log
verossimilhanc¸a e derive o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a
δˆ
MLE
de δ.
(f) (5 pontos) Derive a distribuic¸a˜o assinto´tica do estimador δˆ
MLE
da
parte (e).
(g) (5 pontos) Qual e´ o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a de
√
δ?
Derive a distribuic¸a˜o assinto´tica desse estimador.
8
(Questa˜o 3)
9
(Questa˜o 3)
10
4. Mı´nimos Quadrados Ordina´rios (30 pontos: 5 pontos para cada
resposta)
Considere o seguinte modelo de regressa˜o:
Yi = β1 + ui, i = 1, 2, ..., n
no qual
E(ui) = 0, var(ui) = σ
2x2i , E(uiuj) = 0 para i 6= j
Suponha tambe´m que os x0is sa˜o na˜o estoca´sticos para todo i = 1, 2, ..., n.
(a) Derive o estimador de mı´nimos quadrados ordina´rios βˆ
ols
1 para o
paraˆmetro verdadeiro β1.
(b) Mostre que a variaˆncia de βˆ
ols
1 e´ dada por:
V ar(βˆ
ols
1 ) =
σ2
n2
nX
i=1
x2i .
(c) Considere agora a regressa˜o: Y ∗i = β1x
∗
i + u
∗
i , i = 1, 2, ..., n com
Y ∗i =
Yi
xi
, x∗i =
1
xi
e u∗i =
ui
xi
Mostre que E(u∗i ) = 0, var(u
∗
i ) = σ
2.
(d) Derive o estimador de mı´nimos quadrados ordina´rios β˜
ols
1 para o
modelo da questa˜o (c).
(e) Mostre que a variaˆncia de β˜
ols
1 nesse modelo e´ dada por
V ar(β˜
ols
1 ) =
σ2Pn
i=1
1
x2i
(f) Qual desses estimadores voceˆ escolheria? Por queˆ?
11
(Questa˜o 4)
12
(Questa˜o 4)
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