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e o conjunto solução é S = {0,2}. 
 
2º. Caso: Quando b = 0 
A equação é do tipo 02 =+ cax . Isolando a variável x no primeiro membro, obtemos; 
a
c
x
a
c
x
−±=
−
=
2
 
 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 01004 2 =−x 
Solução: 525
4
10001004 22 ±=⇒±=⇒=⇒=− xxxx 
Logo as raízes da equação são: x1 = 5 e x2 = -5 e o conjunto solução é S = {-5,5}. 
 
 
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3º. Caso: Quando c = 0 e b = 0 
A equação é do tipo 02 =ax . Neste caso as raízes da equação serão 01 =x e 02 =x e o conjunto 
solução é S = {0}. 
 
Exemplo: Calcule as raízes da equação 04 2 =x 
Solução: 00
4
004 22 ±=⇒±=⇒=⇒= xxxx 
Logo o conjunto solução é S = {0}. 
 
3 – Definição 
 
É uma função f: R → R dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
• f(x) = x2 – 3x + 2 (a = 1, b = -3 e c = 2). 
• f(x) = 2x2 + 4x – 3 (a = 2, b = 4 e c = -3). 
• f(x) = x2 – 4 (a = 1, b = 0 e c = -4). 
• f(x) = -2x2 + 5x (a = -2, b = 5 e c = 0). 
• f(x) = -3x2 (a = -3, b = 0 e c = 0). 
 
Valor Numérico de uma Função do Segundo Grau 
 
Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x2 + bx + c para xn é dado por 
f(xn) = a.(xn)2 + b.xn + c. 
 
Exemplo: Calcule o valor numérico da função ( ) 042 2 =−= xxxf , para f(3). 
Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) 63129.233.43.23042 22 =⇒−=⇒−=⇒=−= fffxxxf 
 
4 – Raízes da Função Quadrática 
 
Definição: São os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Para determinar 
os zeros ou raízes de uma função quadrática, basta resolver a equação do 2˚ grau ax2 + bx + c = 0. 
 O número de raízes da equação do segundo grau fica condicionado ao valor do ∆, onde 
∆ = b2 – 4ac. Assim, temos três casos: 
� Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas, que são: 
a
b
x
.21
∆+−
= e 
a
b
x
.22
∆−−
= . 
� Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais iguais, que são: 
a
b
xx
.221
−
== . 
� Se ∆ < 0, então a equação não possui raízes reais. 
 
 Os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x. 
 
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Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) 24082 −+= xxxf 
Solução: Fazendo 024082 =−+ xx , e aplicando Bhaskara, temos: 
( )






−=
−−
=
=
+−
=
±−
=
±−
=
∆±−
=
=+=−−=−=∆
−===
20
2
328
12
2
328
2
328
1.2
024.18
2
024.196064240.1.48..4
240,8,1
2
1
22
x
x
a
b
x
cab
cba
 
Logo as raízes da equação são: x1 = 12 e x2 = - 20 e S = { -20,12}. 
 
Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) xxxf 84 2 += 
Solução: Fazendo 084 2 =+ xx , temos: 01 =x e 24
8
222 −=⇒
−
=⇒
−
= xx
a
b
x 
Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = -2 e S = { -2,0}. 
 
 
5 - Gráfico da Função do Segundo Grau 
 
O gráfico da função definida de IR em IR por: ( ) 02 ≠++= acomcbxaxxf . É uma 
curva chamada parábola. Ao observarmos uma montanha russa, podemos visualizar uma parábola. 
 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática, notaremos sempre que: 
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima; 
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo; 
 
 
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A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado: vértice. 
 
Vértice 
 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de ordenada mínima 
(a > 0). A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola. É o ponto mais alto ou mais baixo 
do gráfico. 
Para calcular as coordenadas do vértice usamos: 
a
b
x v 2
−
= Para calcular o valor da abscissa x e 
a
y v 4
∆−
= Para calcular o valor da ordenada y, 
Portanto: 




 ∆−−
=
aa
bV
4
,
2
. 
 
 
Tome Nota 
• Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo na função, o valor da abscissa x 
encontrado anteriormente e calcular seu valor numérico. 
• A fórmula 
a
y v 4
∆−
= só é interessante quando você já calculou o valor do delta ou quando o 
valor do x é na forma de fração. 
 
Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função 100402 −+= xxy 
 
Para calcular o valor da abscissa x Para calcular o valor da ordenada y 
20
1.2
40
2
−=
−
=
−
=
v
v
v
x
x
a
b
x
 
( ) ( )
500
100800400
100204020
10040
2
2
−=
−−=
−−+−=
−+=
y
y
y
xxy
 
O vértice da parábola é: ( )500,20 −−=V . 
 
 
 
 
 
 
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Pontos notáveis do gráfico 
Para construir o gráfico da função de 2º grau devemos seguir o mesmo procedimento 
utilizado para função do primeiro grau, porém é importante você determinar alguns pontos da 
parábola que facilitarão a construção do gráfico. 
� Determinamos as raízes da função; 
� Determinamos as coordenadas do vértice; 
� Atribuímos a x dois valores menores e dois 
maiores que o x do vértice e calculamos os 
correspondentes valores de y (Caso seja necessário). 
� Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano. 
� Traçamos o gráfico. 
 
Exemplo: Construa o gráfico da função 322 −−= xxy 
Cálculo das raízes Cálculo Vértice Dois maiores e dois menores que xv 
( ) ( )
( )
( )






−=
−+
=
=
++
=
±−−
=
±−−
=
∆±−
=
=+=−−−=−=∆
1
2
42
3
2
42
2
42
1.2
162
2
161243.1.42..4
2
1
22
x
x
x
a
b
x
cab
 ( )
1
1.2
2
2
=
−−
=
−
=
v
v
v
x
x
a
b
x
 
( )
4
3121
32
2
2
−=
−−=
−−=
y
y
xxy
 
( ) ( ) 3030.200 2 −=⇒−−= ff 
( ) ( ) ( ) ( ) 0131.211 2 =−⇒−−−−=− ff 
( ) ( ) 3232.222 2 −=⇒−−= ff 
( ) ( ) 0333.233 2 =⇒−−= ff 
Construção do Gráfico. 
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
 
 
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6 – Exercícios de Fixação 
 
1. Seja a função y = cbxax ++− 2 , o seu gráfico terá concavidade: 
a) voltada para cima b) voltada para baixo c) será uma reta d) não terá concavidade 
 
2. Se uma função do 2° grau tiver a > 0 e o valor do discriminante (∆) < 0, ela possuirá o gráfico: 
a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
b) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
c) com concavidade voltada para cima e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
 
3. Se uma função do 2° grau tiver a < 0 e o valor do discriminante (∆) > 0, ela possuirá o gráfico: 
a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
b) com concavidade voltada para cima e 1 ponto de intercessão com o eixo x. 
c) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. 
d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 
 
4. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e o valor do discriminante (∆) = 0. 
 
5. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e raízes -1 e 4. 
 
6. Construa o gráfico das funções abaixo: 
a) y = 652 +− xx b) y = 2x c) y = xx 22 − 
d) y = 422 +− xx e) y = 442 ++ xx f) y = 962 −+− xx 
 
7. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue 
vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do 
produto, de acordo com a equação y = 50 – x/2. Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o 
preço de venda) obtida foi de R$ 1250,00, qual foi a quantidade vendida? 
 
 
8. A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?