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Curso: Administração Disciplina: Fundamentos de Matemática Elementar Professora: Aluno (a): ________________________________________________ 2012/02 Fundamentos de Matemática Elementar Profª. Verônica Moreira Email: veronica.moreira@oi.com.br Fundamentos de Matemática Elementar 2 ÍNDICE Página Relação Binária 3 Exercícios de Fixação 5 Funções Reais 6 Exercícios de Fixação 9 Função do 1º Grau 11 Exercícios de Fixação 16 Função do 2º Grau 21 Exercícios de Fixação 28 Função Composta 32 Exercícios de Fixação 34 Função Inversa 33 Exercícios de Fixação 34 Equação e Função Exponencial 37 Exercícios de Fixação 39 Bibliografia 42 Fundamentos de Matemática Elementar 3 I - RELAÇÃO 1 - Par Ordenado Definição: É um elemento de um conjunto formado por dois números reais a e b colocados entre parênteses e separados por vírgula, que se apresenta da seguinte forma: (a, b) Um par ordenado representa as coordenadas de um ponto P, onde o primeiro elemento do par representa a abscissa do ponto e o segundo elemento representa a ordenado do ponto P. 2 - Representação Gráfica 2.1 - Sistema Cartesiano Ortogonal Definição: É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si, onde o eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. P(a, b) Exemplo: Marque no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), B(-4, -5), C(0, 5), D(3, 0) e E(1/2, 5/2). y 2˚ quadrante 1˚ quadrante b 0 a x 3˚ quadrante 4˚ quadrante Fundamentos de Matemática Elementar 4 2.2- Produto Cartesiano A ×××× B Definição: É o conjunto A × B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, sendo A e B dois conjuntos não vazios. A × B ={(x, y) / x ∈ A e y ∈ B} Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine A × B. Construa o Diagrama de setas e faça a representação gráfica. 2.3- Produto Cartesiano B ×××× A Definição: É o conjunto B × A cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a B e o segundo elemento pertence a A, sendo A e B dois conjuntos não vazios. B × A ={(x, y) / x ∈ B e y ∈ A} Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, determine B × A. Construa o Diagrama de setas e faça a representação gráfica. 3 – Relação Binária de A em B Definição: É todo subconjunto R de A × B, sendo A e B dois conjuntos dados. R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B Exemplo: Dados A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}, quais são os elementos da relação R = {(x, y)/x < y} de A em B? Faça a representação gráfica e o diagrama de Venn. 4 – Domínio e Imagem Definição: O conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a um conjunto R é chamado domínio da Relação. Definição: O conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a um conjunto R é chamado Imagem da Relação. Exemplo 1: Se A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4}, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) ∈ A × B / y = 2x}? Exemplo 2: Se A = {0,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6}, qual é o domínio e a imagem da relação }/),{( xdemúltiploéyAxByxR ∈= ? Fundamentos de Matemática Elementar 5 5 - Exercícios de Fixação 1. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: a) BA× c) CB × e) 2A b) AB × d) BC × f) 2C 2. Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, 3), B(0, -4), C(-4, -5), D(-1, 0), E(0, 5), F(5, 4), G(3, 0), H(-3, 2) e I(-1/2, -5/2). 3. I) represente por meio de setas; II) faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} definidas por: a) ( ){ }2, =+= yxyxR b) ( ){ }12, −== xyyxT c) ( ){ }yxyxU >= , 4. Estabelecer o domínio e a imagem das relações do exercício 3. Fundamentos de Matemática Elementar 6 II - FUNÇÕES REAIS 1 – Introdução No estudo científico de qualquer fenômeno, sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas duas grandezas. Veja dois exemplos de situações do cotidiano. Exemplo 1: O quiosque do Luiz vende empadas ao preço de R$ 1,50 a unidade. Como vende muitas empadas durante o verão, Luiz montou a seguinte tabela para facilitar seus cálculos: Quantidade de Empadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Preço (R$) 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00 13,50 15,00 Nesse exemplo, estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de empadas vendidas e o respectivo preço. A cada quantidade de empada corresponde um único preço. Dizemos que o preço é função do número de empadas vendidas. Aqui é possível encontrar uma fórmula que estabelece a relação de interdependência entre preço (y) e a quantidade de empadas (x): y = 1,50 . x Exemplo 2: Para fretar um ônibus de excursão com 40 lugares paga-se ao todo R$ 360,00. Essa despesa deverá ser igualmente repartida entre os participantes. Para saber a quantia que cada um deverá desembolsar (y), basta dividir o preço total (R$ 360,00) pelo número de passageiros (x). A fórmula que relaciona y com x é: x y 360= Observe a tabela com alguns valores referentes a correspondência entre x e y: O preço y que cada passageiro pagará pelo ônibus dependerá da quantidade de passageiros x que fará a excursão. Esse é um exemplo de função. Número de Passageiros (x) 4 12 15 18 20 24 36 40 Preço por passageiro (y) 90 30 24 20 18 15 10 9 Fundamentos de Matemática Elementar 7 2 – Definição de Função Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B recebe o nome de função de A em B. O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores resultantes de y é chamado de imagem da função. Exemplo 1: Considere o conjunto A = {a,b,c,d,e} e B = {1,2,3,4,5,6,7}. A relação descrita pela tabela em que cada x ∈ A tem um único correspondente y ∈ B é uma função de A em B porque a todo elemento de A corresponde um único elemento de B. x ∈ A y ∈ B a 2 b 3 c 5 d 7 e 1 Exemplo 2: Considere o conjunto A = {0,1,2,3} e B = {-1,0,1,2,3}. Vamos associar a cada elemento x ∈ A o elemento y ∈ B tal que y = x + 1. Para cada elemento que x ∈ A, com exceção do 3, existe umsó y ∈ B tal que y é o correspondente de x. Para o elemento 3 ∈ A não existe correspondente y ∈ B. Logo essa relação não representa uma função. Como exercício, represente essa relação pelo diagrama de Venn. 3 - Notação Toda função é uma relação binária de A em B. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x ∈ A, determina-se y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, logo f = {(x, y)/ x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)} Isso significa que dados os conjuntos A e B, a função tem a lei de correspondência y = f(x). Retornando ao exemplo 1 temos: f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 7, f(e) = 1. 4 - Domínio e Contradomínio Definição: Seja f: A → B uma função. O conjunto A é chamado domínio de f, e o conjunto B é chamado contradomínio de f. Exemplo: Sendo A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, a função f: A → B tal que f(x) = x + 1 tem domínio A e contradomínio B, ou seja, f = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)} D(f) = A e CD(f) = B Essa relação ainda poderia ser descrita pelo conjunto f de pares ordenados do tipo (x,y) em que x ∈ A e y ∈ B, e y é o correspondente de x: f = {(a,2),(b,3),(c,5),(d,7),(e,1)} Como exercício represente essa relação pelo diagrama de Venn e determine o domínio e a imagem de f. x y 0 1 1 2 2 3 Fundamentos de Matemática Elementar 8 Observe que todo elemento x do domínio tem uma única imagem y no contradomínio, embora possam existir elementos no contradomínio que não são imagem de nenhum x do domínio. Note que no exemplo anterior 0 e 5 não são imagens de x ∈ A. 5 - Imagem Definição: Se f: A → B é uma função, chama-se conjunto imagem de f o subconjunto Im do contradomínio constituído pelos elementos y que são correspondentes de algum x ∈ A. Retomando o exemplo anterior, temos: Im(f) = {1,2,3,4} 6 - Determinação do Domínio Muitas vezes se faz referência a uma função f, dizendo apenas qual é a lei de correspondência que a define. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuando os cálculos, resulte um y real. Vejamos alguns exemplos: Exemplos: Dê o domínio das seguintes funções reais: • y = 3x + 4 D = R • 1 3 − + = x xy }1{−= RD • 2−= xy D = x ≥ 2 ou }2/{ ≥∈= xRxD • 3 1+x D = R • x x y + − = 1 1 D = x ≥ 0 e x ≠ 1 ou }10/{ ≠≥∈= xexRxD 7 – Funções Iguais Definição: Duas funções f: A → B e g: C → D são iguais se, e somente se, apresentarem: i) domínios iguais (A = C) ii) contradomínios iguais (B = D) iii) f(x) = g(x) para todo x do domínio. Fundamentos de Matemática Elementar 9 8 – Exercícios de Fixação 1. Dê o domínio das seguintes funções reais: 2. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1,0,1,2} em B = { -2,-1,0,1,2,3}. 3. Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {0,1,2} em B = {-1,0,1,2}. Fundamentos de Matemática Elementar 10 4. Quais das relações de R em R, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções ? Justifique. Respostas: 1. 2. 3. 4. FUNÇÃO DO 1˚ GRAU Fundamentos de Matemática Elementar 11 III - FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM 1 - Introdução Antes de apresentar o conceito de função afim, veja dois exemplos de problemas envolvendo situações do dia a dia. Exemplo 1: Luciana pegou um táxi para ir a faculdade que fica a 18 km de distância. O valor cobrado engloba o preço da parcela fixa (bandeirada) de R$ 4,80 mais R$ 1,70 por quilômetro rodado. Ou seja, ela pagou 18 . R$ 1,70 = R$ 30,60 pela distância percorrida mais R$ 4,80 pela bandeirada, isto é: R$ 30,60 + R$ 4,80 = R$ 35,40. Se a faculdade ficasse a 30 km de distância, Luciana teria pago: 30 . R$ 1,70 + R$ 4,80 = R$ 51,00 + R$ 4,80 = R$ 55,80. Podemos notar que, para cada distância x percorrida pelo táxi, há certo preço p(x) para a corrida. O valor p(x) é uma função de x. Para encontrar a fórmula que expressa p(x) em função de x, fazemos: p(x) = 1,70 . x + 4,80 que é um exemplo de função polinomial do 1º grau ou função afim. Exemplo 2: Michel é vendedor da empresa “Tô mentindo” e recebe mensalmente um salário compostos de duas partes: • uma parte fixa, que corresponde ao salário mínimo; • outra parte variável, que corresponde a comissão de 2% sobre o valor das vendas realizadas no mês. Considerando o salário mínimo no valor de R$ 545,00 e que o salário total mensal de Michel não sofre qualquer desconto, qual o salário desse vendedor se suas vendas em certo mês somaram R$ 300 000,00 ? Solução: Para calcular quanto o vendedor recebeu de salário nesse mês, fazemos: = 545 + 2% . 300 000 = 545 + 0,02 . 300 000 = 545 + 6000 = 6545 Portanto o salário de Michel nesse mês foi de R$ 6 545,00. Observamos que, para cada total x de vendas no mês, há um certo salário s(x) pago ao vendedor. O valor s(x) é uma função de x. A fórmula que expressa s(x) em função de x é: s(x) = 500 + 0,02 . x que é exemplo de função afim. Fundamentos de Matemática Elementar 12 2 – Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. Na lei f(x) = ax + b, o número a é chamado coeficiente de x e o número b é chamado termo constante ou independente. O gráfico de uma função afim é uma reta. Exemplos: • f(x) = 3x + 5, em que a = 3 e b = 5; • f(x) = - x + 6, em que a = -1 e b = 6; • f(x) = - 2x - 2 1 , em que a = -2 e b = - 2 1 ; • f(x) = 7 3 3 − x , em que a = 3 1 e b = 7 3 − ; • f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0. 3 - Função Identidade Definição: É uma aplicação de R em R que a cada elemento x ∈ R associa o próprio x. Está função é representada por f(x) = x O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1˚ e 3˚ quadrantes. A imagem é Im = R. 4 – Função Linear Definição: É um caso particular da função do 1˚ grau definida por f(x) = ax, onde a ≠ 0 é um número real dado e b = 0. O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem. A imagem é Im = R. Exemplos: a) f(x) = 3x, em que a = 3 e b = 0; b) f(x) = - x, em que a = -1 e b = 0; c) f(x) = - 2x, em que a = -2 e b = 0; −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y (a) (b) (c) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Fundamentos de Matemática Elementar 13 5 – Função Constante Definição: Quando em f(x) = ax + b temos a = 0, essa lei não define uma função afim, mas sim outro tipo de função denominada função constante. É a função cuja imagem consiste em um único número. Está função é representada por f(x) = 0x + b ou seja, f(x) = b para todo x. O gráfico da funçãoconstante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, b). A imagem é o conjunto Im = {b} Exemplo: Dê o domínio, a imagem e esboce o gráfico de f(x) = 5. Solução: D(f) = R e Im(f) = {3} −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −2 −1 1 2 3 4 x y 6 – Zero da Função do 1º Grau (ou Raiz da Função) Definição: É o valor de x que anula a função, ou seja, torna f(x) = 0. Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = - 2x + 5 e representar a função geometricamente. Solução: - 2x + 5 = 0 - 2x = - 5 x = 5/2 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y Fundamentos de Matemática Elementar 14 7 – Gráfico Exemplo 1: Construa o gráfico das seguintes funções: a) y = 2x + 1 b) f(x) = - x + 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Exemplo 2: O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. Solução: Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo total correspondente. Nesse caso, Custo total = (custo unitário)(número de unidades) + custo fixo C(x) = 50 . x + 200 que é o custo total em função do número x de unidades produzidas. O gráfico dessa função de custo é uma linha reta cuja ordenada aumenta de 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 1. Fundamentos de Matemática Elementar 15 8 – Função Crescente Definição: Uma função y = f(x) é crescente, para todo x ∈ D se, e somente se para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao seu domínio, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). 9 – Função Decrescente Definição: Uma função y = f(x) é decrescente, para todo x ∈ D se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao seu domínio, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Exemplos: Construa o gráfico das funções e verifique se são crescentes ou decrescentes: a) f(x) = x + 2 b) f(x) = - 2x + 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Fundamentos de Matemática Elementar 16 10 - Exercícios de Fixação 1. Construa o gráfico cartesiano das funções: a) y = 2x –1 b) y = 3x + 2 c) y = - x + 1 d) y = 2 34 x− 2. Uma empresa recebeu 5750 currículos de profissionais interessados em participar do processo de seleção para preenchimento de vagas de estágios. O departamento de Recursos Humanos (RH) da empresa é capaz de, por meio de uma primeira triagem, descartar 300 currículos por semana, até que sobrem 50 nomes de candidatos que participarão do processo de seleção. a) Como se expressa a quantidade de currículos (y) existentes após x semanas do inicio da triagem feita pelo RH ? b) Após quantas semanas serão conhecidos os nomes dos 50 candidatos ? 3. Em uma cidade, a empresa de telefonia está promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$ 20,00, incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$ 0,10 por minuto. a) Se x é o número de minutos excedentes, qual é a lei de formação da função que representa o valor (v) mensal da conta ? b) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 minutos em ligações locais. 4. Um vendedor recebe um salário fixo e mais uma parte variável, correspondente à comissão sobre o valor total vendido em um mês. O gráfico seguinte informa algumas possibilidades de salário em função das vendas. a) Encontre a lei da função cujo gráfico é essa reta. b) Qual é a parte fixa do salário ? c) Alguém da loja disse ao vendedor que, se ele conseguisse dobrar as vendas, seu salário também dobraria. Isso é verdade ? Explique. 5. Durante uma década, verificou-se que uma empresa apresentou um decréscimo linear no quadro de funcionários, como mostra o gráfico seguinte: a) Qual era o número de funcionários dessa empresa em 2007 ? b) Qual foi a perda de funcionários de 2001 a 2011 ? Fundamentos de Matemática Elementar 17 6. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5 000,00 e um custo variável de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 7. Cintia leu a seguinte informação numa revista: “Conhece-se há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura: ,150)100( k a aP −−−= onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros, k = 4, para homens e k = 2 para mulheres.” a) Cintia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo de seu peso ideal. Calcule a altura de Cintia. 8. A academia Cia. Do Corpo cobra uma Taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia Energia e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 70,00 e uma mensalidade de R$ 40,00. E a academia Oficina do Corpo não cobra taxa de inscrição, mas cobra uma mensalidade de R$ 60,00. a) Expresse o valor total pago y por um aluno em função do tempo t em meses. b) Qual academia oferece o menor custo para um aluno que deseja “malhar” durante um ano ? Por quê ? 9. Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d’água; no dia 21, está apenas com 164 milhões de litros. a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo. b) Quanta água havia no reservatório no dia 8? 10. Uma pizzaria oferece serviço de entrega e cobra por isso uma taxa fixa de R$ 1,50 mais R$ 0,60 por quilometro rodado no trajeto entre o estabelecimento e o local da entrega. a) Qual será o valor da taxa se o local da entrega for a 13 km da pizzaria ? E se o local for a 8,5 km? b) Escreva uma função que permita calcular o valor v da taxa de entrega em função da distância d percorrida. 11. Um técnico de informática, que presta serviços a empresas, realizou um trabalho em 3horas e cobrou R$ 130,00. Sabendo que esse técnico cobra R$ 30,00 por hora de trabalho mais um valor fixo, escreva uma função que represente o preço p que ele cobra por h horas de trabalho. 12. Seu Renato assustou-se com sua última conta de celular. Ela veio com o valor 250,00 (em reais). Ele, como uma pessoa que não gosta de gastar dinheiro à toa, só liga nos horários de descontos e para telefones fixos (PARA CELULAR JAMAIS!). Sendo assim a função que descreve o valor da conta telefônica é P = 31,00 + 0,25t, onde P é o valor da conta telefônica, t é o número de pulsos, (31,00 é o valor da assinatura básica, 0,25 é o valor de cada pulso por minuto). Quantos pulsos seu Renato usou para que sua conta chegasse com este valor absurdo (250,00)?a) 492 b) 500 c) 876 d) 356 Fundamentos de Matemática Elementar 18 13. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$140,00 e R$20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$110,00 e R$25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré-estabelecido. Vamos determinar: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação os dois planos se equivalem. 14. Diga se cada uma das funções f: R → R é crescente ou decrescente: a) y = - x + 3 b) f(x) = 2 x c) g(x) = x – 5 d) y = 2x e) h(x) = x f) f(x) = - x3 15. Construa o gráfico das seguintes funções: Fundamentos de Matemática Elementar 19 Respostas: 1.a) b) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y c) d) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y 2. a) Após x semanas foram descartados 300x currículos e, dos 5750 iniciais, sobram 5750 – 300x. Entao, y = 5750 – 300x, b) 19 semanas; 3. a) v(x) = 20 + 0,10 . x; b) v(80) = 20, pagando somente a assinatura, pois não alcançou os 100 minutos de franquia. R$ 20,00. v(120) = 20 + 0,10 . 20 = 22, R$ 22,00 e v(200) = 20 + 0,10 . 100 = 30, R$ 30,00; 4. a) y = 0,05x + 300, b) R$ 300,00, c) Não. Se as vendas fossem iguais a 2x, o salário seria y = 0,05.2x + 300 = 0,1x + 300, que não é o dobro do salário para vendas iguais a x; 5. a) 1440, b) 400; 6. C(x) = 60x + 5000; Gráfico: 7. a) 1,64m; Fundamentos de Matemática Elementar 20 8. a) Academia Cia. Do Corpo → y = 50x + 60, Academia Energia e Saúde → y = 40x + 70, Academia Oficina do Corpo → y = 60x, b) Durante 1 ano, o aluno matriculado na academia Cia. Do Corpo vai pagar R$ 660,00, se for para a academia Energia e Saúde pagará R$ 550,00 e se for para a academia Oficina do Corpo pagará R$ 720,00, assim a que oferece menor custo em um ano é a Academia Energia e Saúde; 9. a) f(t) = -4t + 248; b) No dia 8 havia no reservatório 216 milhões de litros d’água; 10. a) R$ 9,30 e R$ 6,60, b) v(d) = 1,50 + 0,60d; 11. p( h ) = 30h + 40; 12. c; 13. a) yA = 140 + 20x e yB = 110 + 25x, b) yA = yB quando 140 + 20x = 110 + 25x → 20x – 25x = 110 – 140 → - 5x = - 30 → 5x = 30 → x = 6 consultas. 14. decrescente: a, f.; crescente: b, c, d, e; 15. Fundamentos de Matemática Elementar 21 IV - FUNÇÃO DO 2˚ GRAU OU QUADRÁTICA 1 - Introdução As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções. Veja a resolução do seguinte problema: Exemplo 1: Um campeonato de futebol vai ser disputado por 5 clubes pelo sistema em que todos jogam contra todos em dois turnos. Vamos verificar quantos jogos serão realizados. Contamos o número de jogos que cada clube fará “em casa”, ou seja, no seu campo: 4 jogos. Como são 5 clubes, o total de jogos será 5 . 4 = 20 jogos. Se o campeonato fosse disputado por 20 clubes, poderíamos calcular quantos jogos seriam realizados usando o mesmo raciocínio: 20 . 19 = 380 jogos Enfim, para cada número de clubes (x), é possível calcular o número de jogos do campeonato (y). O valor de y é função de x. A regra que permite calcular y a partir de x é a seguinte: y = x . (x - 1), ou seja, y = x2 – x Esse é um exemplo de função polinomial do 2º grau ou função quadrática. 2 – Recordando: Equação do Segundo Grau Definição: Toda equação representada na forma 02 =++ cbxax com a ≠ 0 é chamada de equação de 2º grau. Exemplos: a) = = = =++ 6 3 2 0632 2 c b a xx b) = = = =++ tc kb a tkxx 1 02 c) = = = =++ 4 042 c pb ma pxmx d) 5 0 1 050 05 2 2 = = = =++ =+ c b a xx ou x e) − = = −= =−+− 3 1 9 1 0 3 192 c b a xx f) 0 1 3 1 00 3 1 0 3 2 2 = = = =++⋅ =+ c b a xx ou x x Fundamentos de Matemática Elementar 22 Resolução de equações do Segundo grau Temos sempre que lembrar que resolver uma equação na variável x significa determinar o valor de x que satisfaça a equação dada. No caso de uma equação de 2º grau do tipo 02 =++ cbxax , os valores de x que satisfazem esta equação são chamados de raízes da equação e são obtidos pela “Fórmula de Bhaskara”. a acbb x 2 42 −±− = Podemos optar por calcular os valores que estão dentro da raiz quadrada separadamente, então dizemos b2 – 4ac = ∆ (lê-se, Delta ou Discriminante). A fórmula fica: a b x 2 ∆±− = . Numa equação de 2º grau: • Se ∆ > 0, teremos duas raízes reais e diferentes • Se ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais; • Se ∆ < 0, não teremos raízes reais. Tipos de equações do Segundo grau • Equações Completas Quando a equação apresentar todos os coeficientes a, b e c, diferentes de 0, a equação é denominada equação completa do segundo grau. Neste caso, o melhor método para a determinação das raízes da equação é utilizar a “Fórmula de Bhaskara” descrita acima. Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização desta fórmula. Portanto devemos começar a resolver uma equação de 2º grau identificando os coeficientes a, b e c. Exemplo: Calcule as raízes da equação 0342 =+− xx . Solução: Coeficientes: a = 1, b = - 4 e c = 3, substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: ( ) ( ) = − = = + =±+ = ±−− = ∆±− = =−=−−=−=∆ 1 2 24 3 2 24 2 24 1.2 44 2 412163.1.44..4 2 1 22 x x a b x cab Logo o conjunto solução da equação 0342 =+− xx é S = {1,3}. Fundamentos de Matemática Elementar 23 • Equações Incompletas Quando uma equação do segundo grau apresentar o coeficiente b = 0, o coeficiente c = 0 ou os dois coeficientes iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta. Exemplo: a) 093 2 =−x b) 05 2 =− xx c) 093 2 =− xx d) 084 2 =−x e) 09 2 =x Embora as soluções de equações incompletas também posam ser feita pela fórmula Bhaskara, existem para elas, métodos mais simples de solução. Vejamos: 1º. Caso: Quando c = 0 A equação é do tipo 02 =+ bxax . A variável x é um fator comum, portanto podemos colocá- la em evidência: ( ) 0=+ baxx . Neste caso as raízes da equação são: 01 =x e a b x − =2 Exemplo: Calcule as raízes da equação 042 2 =− xx Solução: Como c = 0, então: x1 = 0 ( ) 2 2 4 2 4 2222 =⇒ + =⇒ −− =⇒ − = xxx a b x Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = 2e o conjunto solução é S = {0,2}. 2º. Caso: Quando b = 0 A equação é do tipo 02 =+ cax . Isolando a variável x no primeiro membro, obtemos; a c x a c x −±= − = 2 Exemplo: Calcule as raízes da equação 01004 2 =−x Solução: 525 4 10001004 22 ±=⇒±=⇒=⇒=− xxxx Logo as raízes da equação são: x1 = 5 e x2 = -5 e o conjunto solução é S = {-5,5}. Fundamentos de Matemática Elementar 24 3º. Caso: Quando c = 0 e b = 0 A equação é do tipo 02 =ax . Neste caso as raízes da equação serão 01 =x e 02 =x e o conjunto solução é S = {0}. Exemplo: Calcule as raízes da equação 04 2 =x Solução: 00 4 004 22 ±=⇒±=⇒=⇒= xxxx Logo o conjunto solução é S = {0}. 3 – Definição É uma função f: R → R dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos: • f(x) = x2 – 3x + 2 (a = 1, b = -3 e c = 2). • f(x) = 2x2 + 4x – 3 (a = 2, b = 4 e c = -3). • f(x) = x2 – 4 (a = 1, b = 0 e c = -4). • f(x) = -2x2 + 5x (a = -2, b = 5 e c = 0). • f(x) = -3x2 (a = -3, b = 0 e c = 0). Valor Numérico de uma Função do Segundo Grau Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x2 + bx + c para xn é dado por f(xn) = a.(xn)2 + b.xn + c. Exemplo: Calcule o valor numérico da função ( ) 042 2 =−= xxxf , para f(3). Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) 63129.233.43.23042 22 =⇒−=⇒−=⇒=−= fffxxxf 4 – Raízes da Função Quadrática Definição: São os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Para determinar os zeros ou raízes de uma função quadrática, basta resolver a equação do 2˚ grau ax2 + bx + c = 0. O número de raízes da equação do segundo grau fica condicionado ao valor do ∆, onde ∆ = b2 – 4ac. Assim, temos três casos: � Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas, que são: a b x .21 ∆+− = e a b x .22 ∆−− = . � Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais iguais, que são: a b xx .221 − == . � Se ∆ < 0, então a equação não possui raízes reais. Os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x. Fundamentos de Matemática Elementar 25 Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) 24082 −+= xxxf Solução: Fazendo 024082 =−+ xx , e aplicando Bhaskara, temos: ( ) −= −− = = +− = ±− = ±− = ∆±− = =+=−−=−=∆ −=== 20 2 328 12 2 328 2 328 1.2 024.18 2 024.196064240.1.48..4 240,8,1 2 1 22 x x a b x cab cba Logo as raízes da equação são: x1 = 12 e x2 = - 20 e S = { -20,12}. Exemplo: Calcule as raízes da função ( ) xxxf 84 2 += Solução: Fazendo 084 2 =+ xx , temos: 01 =x e 24 8 222 −=⇒ − =⇒ − = xx a b x Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = -2 e S = { -2,0}. 5 - Gráfico da Função do Segundo Grau O gráfico da função definida de IR em IR por: ( ) 02 ≠++= acomcbxaxxf . É uma curva chamada parábola. Ao observarmos uma montanha russa, podemos visualizar uma parábola. Ao construir o gráfico de uma função quadrática, notaremos sempre que: Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Fundamentos de Matemática Elementar 26 A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado: vértice. Vértice Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de ordenada mínima (a > 0). A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola. É o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. Para calcular as coordenadas do vértice usamos: a b x v 2 − = Para calcular o valor da abscissa x e a y v 4 ∆− = Para calcular o valor da ordenada y, Portanto: ∆−− = aa bV 4 , 2 . Tome Nota • Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo na função, o valor da abscissa x encontrado anteriormente e calcular seu valor numérico. • A fórmula a y v 4 ∆− = só é interessante quando você já calculou o valor do delta ou quando o valor do x é na forma de fração. Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função 100402 −+= xxy Para calcular o valor da abscissa x Para calcular o valor da ordenada y 20 1.2 40 2 −= − = − = v v v x x a b x ( ) ( ) 500 100800400 100204020 10040 2 2 −= −−= −−+−= −+= y y y xxy O vértice da parábola é: ( )500,20 −−=V . Fundamentos de Matemática Elementar 27 Pontos notáveis do gráfico Para construir o gráfico da função de 2º grau devemos seguir o mesmo procedimento utilizado para função do primeiro grau, porém é importante você determinar alguns pontos da parábola que facilitarão a construção do gráfico. � Determinamos as raízes da função; � Determinamos as coordenadas do vértice; � Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e calculamos os correspondentes valores de y (Caso seja necessário). � Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano. � Traçamos o gráfico. Exemplo: Construa o gráfico da função 322 −−= xxy Cálculo das raízes Cálculo Vértice Dois maiores e dois menores que xv ( ) ( ) ( ) ( ) −= −+ = = ++ = ±−− = ±−− = ∆±− = =+=−−−=−=∆ 1 2 42 3 2 42 2 42 1.2 162 2 161243.1.42..4 2 1 22 x x x a b x cab ( ) 1 1.2 2 2 = −− = − = v v v x x a b x ( ) 4 3121 32 2 2 −= −−= −−= y y xxy ( ) ( ) 3030.200 2 −=⇒−−= ff ( ) ( ) ( ) ( ) 0131.211 2 =−⇒−−−−=− ff ( ) ( ) 3232.222 2 −=⇒−−= ff ( ) ( ) 0333.233 2 =⇒−−= ff Construção do Gráfico. -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Fundamentos de Matemática Elementar 28 6 – Exercícios de Fixação 1. Seja a função y = cbxax ++− 2 , o seu gráfico terá concavidade: a) voltada para cima b) voltada para baixo c) será uma reta d) não terá concavidade 2. Se uma função do 2° grau tiver a > 0 e o valor do discriminante (∆) < 0, ela possuirá o gráfico: a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. b) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. c) com concavidade voltada para cima e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 3. Se uma função do 2° grau tiver a < 0 e o valor do discriminante (∆) > 0, ela possuirá o gráfico: a) com concavidade voltada para cima e 2 pontos de intercessão com o eixo x. b) com concavidade voltada para cima e 1 ponto de intercessão com o eixo x. c) com concavidade voltada para baixo e nenhum ponto de intercessão com o eixo x. d) com concavidade voltada para baixo e 2 pontos de intercessão com o eixo x. 4. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e o valor do discriminante (∆) = 0. 5. Esboce o gráfico de uma função com a < 0 e raízes -1 e 4. 6. Construa o gráfico das funções abaixo: a) y = 652 +− xx b) y = 2x c) y = xx 22 − d) y = 422 +− xx e) y = 442 ++ xx f) y = 962 −+− xx 7. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50 – x/2. Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$ 1250,00, qual foi a quantidade vendida? 8. A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?Fundamentos de Matemática Elementar 29 9. Dada a função 34)( 2 +−= xxxf , faça o que se pede: a) Identifique a concavidade. b) Determine os zeros da função. c) Determine o vértice da função. d) Identifique o valor máximo ou o valor mínimo da função. e) Esboce o gráfico de f. 10. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no ano x é dado pela função ( ) 2450 xxxf ++= onde x = 0 corresponde ao ano de 2000, x = 1 corresponde ao ano de 2001 e assim sucessivamente. a) O que e quanto f(0) representa? b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005. c) Qual a quantidade de aparelhos de fax vendidos em 2008? 11. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por 3000802 +−= xxC . Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b) o valor mínimo do custo. 12. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula: L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que 27000)( xxxR −= e xxxC 3000)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo ? 13. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por 5302 −+−= xxL , em que x é a quantidade mensal vendida, qual o lucro mensal máximo possível? 14. (UFPB/PSS) A função 17001600200)( 2 −+−= xxxL representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações: I) Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. II) Se vender exatamente 4 unidades, a empresa terá lucro máximo. III) Se vender 5 unidades, a empresa terá prejuízo. Estão correta(s) apenas: a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Fundamentos de Matemática Elementar 30 Respostas: 1. b; 2. c; 3. d; 4. e 5. Resposta pessoal; 6. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y (a) (b) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y (c) (d) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y (e) (f) Fundamentos de Matemática Elementar 31 7. 50; 8. Valor mínimo; -25/4; 9. a) Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima; b) x =1 e x = 3; c) V(2, -1); d) ym = -1, e) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y 10. a) 50 fax foram vendidos em 2000, b) f(5) = 95, c) f(8) = 146; 11. a) Xv = 40 unidades, b) Cv = 1400; 12. Xv = 2500 unidades; 13. Lucro máximo = 220; 14. I) 700, portanto lucro, II) lucro máximo: Xv = -1600/-400 = 4, portanto é verdadeira, III) L(5) = 1300, portanto lucro. Logo resposta d; Fundamentos de Matemática Elementar 32 V - FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 1- FUNÇÃO COMPOSTA Def.: Sejam três conjuntos distintos A, B e C, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → B e g: B → C. Chama-se função composta de g em f à função h: A → C, indicada por h(x) = g(f(x)). Uma função composta também pode ser indicada por g o f (lê – se: g composta com f), assim: ( )( ) ))(( xfgxfg =o O domínio de g o f é o conjunto de todos os números x no domínio de f, tal que f(x) esteja no domínio de g. A composta g o f pode ser representada graficamente ou pelo diagrama, vejamos um exemplo da representação de uma função composta utilizando diagramas: Ex.: Sejam as funções reais definidas por f(x) = 4x + 2 e g(x) = 7x – 4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: (fog)(x) = f(g(x)) = g(7x - 4) = 4(7x - 4) + 2 = 28x - 14 (gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10 Ex.: Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {3, 0, -1, 8} e C = {6, 0, -2, 16}, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → B definida por f(x) = x2 – 1 e g: B → C definida por g(x) = 2x. Veja o diagrama abaixo que representa essas funções: Observe que, para cada elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x2 – 1 e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = 2x, onde f(3) = 8 e g(8) = 16. Podemos obter g(f(x)) simplesmente tomando g(x) e trocando x por f(x), assim temos uma função h: A → C definida por h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2, onde h(3) = 16. Veja sua representação no diagrama abaixo: Fundamentos de Matemática Elementar 33 Observação: Em geral, fog é diferente de gof. 2 - FUNÇÃO INJETORA - Uma função f : A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: x1 x2 implica que f(x1) f(x2) ou de forma equivalente f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 3 - FUNÇÃO SOBREJETORA - Uma função f : A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y = f(x). Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 4 - FUNÇÃO BIJETORA - Uma função f : A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Ex.: A função f : R R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. 5 - FUNÇÃO INVERSA Def.: Se f for uma função bijetora, então existirá uma função f -1, chamada de inversa de f, tal que )(1 yfx −= ⇔ )(xfy = O domínio de f -1 é a imagem de f e a imagem de f -1 é o domínio de f. O gráfico de f e f -1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. Ex.: Determine a função inversa das funções abaixo: Fundamentos de Matemática Elementar 34 a) 4)( += xxf b) xxf 2)( = Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções bijetoras que admitem função inversa: Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções que não admitem função inversa: Exercícios de Fixação Exercício 1. Dada a função f(x) = 2x + 5, determine: a) f(5) b) f(0) c) f(-1) Exercício 2. Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora as funções representadas pelos diagramas abaixo e marque as funções que admitem inversa: Fundamentos de Matemática Elementar35 Exercício 3. Marque a alternativa certa. Para ser função: a) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B. b) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B. c) Todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A só tem uma única imagem em B. d) Nem todo elemento de A tem imagem em B e cada elemento de A pode ter várias imagens em B. Exercício 4. Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3}. Fundamentos de Matemática Elementar 36 Exercício 5. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3}. Exercício 6. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x) = x² - 4x + 7? Exercício 7. Para a função real f(x) = 2x + 4, qual é o conjunto f-1(8)? Exercício 8. Dadas às funções reais f(x) = 3x - 1 e g(x) = x + 2, obter gof, fog, gog e fof. Exercício 9. Calcule a inversa das funções: a. y = 2x + 4 b. y = 3x – 1 c. y = 3x d. y = 3x + 5 Respostas: 1. a) 15, b) 5, c) 3; 2. Injetora: a, b, f, g, h, k, l, Sobrejetora: b, c, d, f, g, i, j, l, m, Bijetora e Inversa: b, f, g, l. 3. c; 4. b; 5. b; 6. 7, 28, 3, 67; 7. {2}; 8. (gof)(x) = 3x+1; (fog)(x) = 3x+5; (gog)(x) = x+4; (fof)(x) = 9x –4; 9. a) 2 4− = xy , b) 3 1+ = xy , c) 3 xy = , d) 3 5− = xy . Fundamentos de Matemática Elementar 37 VI – EQUAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos: 1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x = 81 Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34 E daí, x = 4. 2) 9x = 1 Resolução: 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x=0. FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IR�IR+ definida por f(x) = ax, com a ∈ IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). )0 e 1( >≠=⇒= aanmaa nm 4 3 logo ; 33 33 273 :Resolução 273 )4 .4 então ; 4 3 4 3 4 3 4 3 256 81 4 3 :Resolução 256 81 4 3 )3 4 3 4 34 4 4 4 4 ==⇒=⇒= = = = ⇒= ⇒= = x x xxx x xxx x Fundamentos de Matemática Elementar 38 GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: � quando a > 1; � quando 0 < a < 1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1) y=2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4 2) y = (1/2)x (nesse caso, a = 1/2, logo 0 < a < 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4 Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; Fundamentos de Matemática Elementar 39 b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im = IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Exercícios de Fixação Exercício 1: Gráficos das funções f1(x) = 3x, f2(x) = 5x, f3(x) = 7x, f4(x) = 1 e f5(x) = 0, estão traçados na figura abaixo. Quais dos gráficos não são funções exponenciais? Exercício 2: Dado o gráfico da função exponencial f(x) = 9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e o que ocorre com os valores de y = f(x) quando x aumenta? Fundamentos de Matemática Elementar 40 Exercício 3. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente. 1. f1(x)=7x, f2(x)=7-x , f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x Exercício 4. Resolva as equações exponenciais: a) 322 =x b) 12 =x c) 24327 =x d) 25625 =x e) 3 3 1 = x f) 81 16 9 4 = x g) xx 1255 2 =+ h) 0497 83 =−+x Exercício 5. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula: tiCM )1( += . Supondo que o capital aplicado é de R$ 155 000,00 a uma taxa de 1% am durante 2 meses, qual o montante no final da aplicação ? Exercício 6. (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o inicio de certo experimento, é dado pela expressão ttN 4,02.1200)( = . Nessas condições, quanto tempo após o inicio do experimento a cultura terá 38 400 bactérias ? Exercício 7. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula: tiCM )1( += . Supondo que o capital aplicado é de R$ 10 000,00 a uma taxa de 2% am durante 3 meses, qual o montante no final da aplicação ? Fundamentos de Matemática Elementar 41 Respostas: 1. As funções f4(x) = 1 e f5(x) = 0 são constantes e não são funções exponenciais, 2. a) f(1/2) = 3, f(2) = 81, f(3) = 729, f(4) = 6561, b) Os valores de y também aumentam, pois esta é uma função crescente. Geometricamente, uma função f é crescente se para valores crescentes de x, f também cresce. 3. crescentes: f1 e f4, decrescentes: f2, f3 e f5; 4. a) x = 5, b) x = 0, c) x = 5/3, d) x = ½, e) x = -1, f) x = 2, g) x = 1, h) x = -2, 5. R$ 158 115,50; 6. 12,5 horas ou 12h e 30 min; 7. R$ 10 612,08. Fundamentos de Matemática Elementar 42 BIBLIOGRAFIA * (LIVRO TEXTO) [1] * IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. Editora Atual, 1993. [2] BEZERRA, M. J. PUTNOKI, M. J. Novo Bezerra Matemática. Editora Scipione, Volume Único, 1995. [3] JR. GONÇALVES, Oscar. Matemática por Assunto. Volume 1, Editora Scipione, 1988. [4] MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática Temas e Metas. Volume 6 - Funções e Derivadas. Editora Atual, 1988. [5] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo. Editora Atual, 1991.
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