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Fundamentos de Matemática Elementar 
 
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9. Dada a função 34)( 2 +−= xxxf , faça o que se pede: 
 
a) Identifique a concavidade. 
b) Determine os zeros da função. 
c) Determine o vértice da função. 
d) Identifique o valor máximo ou o valor mínimo da função. 
e) Esboce o gráfico de f. 
 
10. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no 
ano x é dado pela função ( ) 2450 xxxf ++= onde x = 0 corresponde ao ano de 2000, x = 1 
corresponde ao ano de 2001 e assim sucessivamente. 
a) O que e quanto f(0) representa? 
b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005. 
c) Qual a quantidade de aparelhos de fax vendidos em 2008? 
 
11. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por 
3000802 +−= xxC . Nessas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. 
b) o valor mínimo do custo. 
 
12. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula: L = R – C, em que L é o lucro 
total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, 
verificou-se que 27000)( xxxR −= e xxxC 3000)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a 
produção x para que o lucro da empresa seja máximo ? 
 
13. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por 5302 −+−= xxL , em que x é a 
quantidade mensal vendida, qual o lucro mensal máximo possível? 
 
14. (UFPB/PSS) A função 17001600200)( 2 −+−= xxxL representa o lucro de uma empresa, em 
milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as 
seguintes afirmações: 
I) Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. 
II) Se vender exatamente 4 unidades, a empresa terá lucro máximo. 
III) Se vender 5 unidades, a empresa terá prejuízo. 
Estão correta(s) apenas: 
a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas: 
 
1. b; 2. c; 3. d; 
4. e 5. Resposta pessoal; 
6. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 (a) (b) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 (c) (d) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 (e) (f) 
 
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7. 50; 8. Valor mínimo; -25/4; 9. a) Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima; 
b) x =1 e x = 3; c) V(2, -1); d) ym = -1, e) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
10. a) 50 fax foram vendidos em 2000, b) f(5) = 95, c) f(8) = 146; 11. a) Xv = 40 unidades, b) Cv = 
1400; 12. Xv = 2500 unidades; 13. Lucro máximo = 220; 14. I) 700, portanto lucro, II) lucro 
máximo: Xv = -1600/-400 = 4, portanto é verdadeira, III) L(5) = 1300, portanto lucro. Logo 
resposta d; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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V - FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 
 
 
1- FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Def.: Sejam três conjuntos distintos A, B e C, tal que entre eles existem as seguintes funções: f: A → 
B e g: B → C. Chama-se função composta de g em f à função h: A → C, indicada por h(x) = g(f(x)). 
 
 Uma função composta também pode ser indicada por g o f (lê – se: g composta com f), assim: 
 
( )( ) ))(( xfgxfg =o 
 
 O domínio de g o f é o conjunto de todos os números x no domínio de f, tal que f(x) esteja no 
domínio de g. 
 
A composta g o f pode ser representada graficamente ou pelo diagrama, vejamos um exemplo 
da representação de uma função composta utilizando diagramas: 
 
Ex.: Sejam as funções reais definidas por f(x) = 4x + 2 e g(x) = 7x – 4. As composições fog e gof são 
possíveis e neste caso serão definidas por: 
 (fog)(x) = f(g(x)) = g(7x - 4) = 4(7x - 4) + 2 = 28x - 14 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10 
 
Ex.: Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {3, 0, -1, 8} e C = {6, 0, -2, 16}, tal que entre eles 
existem as seguintes funções: f: A → B definida por f(x) = x2 – 1 e g: B → C definida por g(x) = 2x. 
Veja o diagrama abaixo que representa essas funções: 
 
 
Observe que, para cada elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x2 – 1 e para 
cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = 2x, onde f(3) = 8 e g(8) = 16. Podemos 
obter g(f(x)) simplesmente tomando g(x) e trocando x por f(x), assim temos uma função h: A → C 
definida por h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2, onde h(3) = 16. Veja sua 
representação no diagrama abaixo: 
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Observação: Em geral, fog é diferente de gof. 
 
2 - FUNÇÃO INJETORA - Uma função f : A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos 
de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: 
x1 x2 implica que f(x1) f(x2) 
ou de forma equivalente 
f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 
Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores 
diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 
 
3 - FUNÇÃO SOBREJETORA - Uma função f : A B é sobrejetora se todo elemento de B é a 
imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser 
exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal 
que y = f(x). 
Ex.: A função f : R R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um 
elemento de R pela função. 
 
4 - FUNÇÃO BIJETORA - Uma função f : A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora. 
Ex.: A função f : R R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. 
 
5 - FUNÇÃO INVERSA 
 
Def.: Se f for uma função bijetora, então existirá uma função f -1, chamada de inversa de f, tal que 
 
)(1 yfx −= ⇔ )(xfy = 
 
O domínio de f -1 é a imagem de f e a imagem de f -1 é o domínio de f. 
 O gráfico de f e f -1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano 
cartesiano. 
 
Ex.: Determine a função inversa das funções abaixo: 
 
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a) 4)( += xxf b) xxf 2)( = 
 
 
 
 
Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções bijetoras que admitem função inversa: 
 
 
Ex.: Os diagramas abaixo representam exemplos de funções que não admitem função inversa: 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 1. Dada a função f(x) = 2x + 5, determine: 
a) f(5) b) f(0) c) f(-1) 
 
Exercício 2. Classifique em injetora, sobrejetora ou bijetora as funções representadas pelos 
diagramas abaixo e marque as funções que admitem inversa: 
 
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