Equações Diferenciais Ordinárias- Valor Inicial

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Equações Diferenciais Ordinárias: Equações Separáveis 
com Valor Inicial 
Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. 
9. 𝑦′ = (1 − 2𝑥)𝑦2 , 𝑦(0) = −
1
6
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 − 2𝑥)𝑦2 
𝑑𝑦
𝑦2
= (1 − 2𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑦−2𝑑𝑦 = ∫(1 − 2𝑥)𝑑𝑥 
−
1
𝑦
= 𝑥 − 𝑥2 + 𝐶 
𝑦 = −
1
𝑥 − 𝑥2 + 𝐶
 
Se 𝑥 = 0 → 𝑦 = −
1
𝐶
 
−
1
6
= −
1
𝐶
 → 𝐶 = 6 
∴ 𝑦 = −
1
𝑥 − 𝑥2 + 6
 
10. 𝑦′ =
(1−2𝑥)
𝑦
 , 𝑦(1) = −2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 − 2𝑥)
𝑦
 
𝑦 𝑑𝑦 = (1 − 2𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥 
𝑦2
2
= 𝑥 − 𝑥2 + 𝐶 
𝑦2 = 2𝑥 − 2𝑥2 + 2𝐶 
2𝐶 = 𝐾 
𝑦 = √2𝑥 − 2𝑥2 + 𝐾 
Se 𝑥 = 1 → 𝑦 = √𝐾 
𝑦(1) = √𝐾 → −2 = √𝐾 
(−2)2 = √𝐾2 
4 = 𝐾 
∴ 𝑦 = √2𝑥 − 2𝑥2 + 4 
11. 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑒−𝑥 𝑑𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 1 
𝑦 𝑑𝑦 = −
𝑥
𝑒−𝑥
 𝑑𝑥 
∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ −
𝑥
𝑒−𝑥
 𝑑𝑥 
𝑦2
2
= − ∫ 𝑥 . 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Utilização da Técnica de Integração por Partes 
𝑢 = 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑒𝑥 , 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
− (𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥) 
−𝑥𝑒𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
−𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑦2
2
= −𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑦2 = −2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 2𝐶 
𝑦 = √−2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐾 
Se 𝑥 = 0 → 𝑦 = √2 + 𝐾 
1 = √2 + 𝐾 
12 = √(2 + 𝐾)2 
1 = 2 + 𝐾 → 𝐾 = −1 
∴ 𝑦 = √−2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 − 1 
12. 
𝑑𝑟
𝑑𝜃
=
𝑟2
𝜃
 , 𝑟(1) = 2 
1
𝑟2
 𝑑𝑟 =
1
𝜃
 𝑑𝜃 
∫
1
𝑟2
 𝑑𝑟 = ∫
1
𝜃
 𝑑𝜃 
∫ 𝑟−2𝑑𝑟 = ln|𝜃| + 𝐶 
𝑟−2+1
−2 + 1
= ln|𝜃| + 𝐶 
−𝑟−1 = ln|𝜃| + 𝐶 
−
1
𝑟
= ln|𝜃| + 𝐶 
𝑟 = −
1
ln|𝜃| + 𝐶
 
Se 𝜃 = 1 → 𝑟 = −
1
𝐶
 
2 = −
1
𝐶
 
2𝐶 = −1 → 𝐶 = −
1
2
 
∴ 𝑟 = −
1
ln|𝜃| −
1
2