Aula3_Probabilidade1

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Probabilidade Probabilidade 
ee
DistribuicoesDistribuicoes
Prof. Tania Guillén de Torres
E-mail: tguillen@iesc.ufrj.br
ProbabilidadesProbabilidades::
A probabilidade de um evento A mede de alguma maneira, quão 
verossímel é a ocorrência do evento A.
Probabilidade ClProbabilidade Cláássicassica
É aplicada quando o espaço amostral Ω é finito e os eventos 
elementares são equiprováveis; isto é, eles têm a mesma probabilidade 
de ocorrer. Seja A um evento qualquer do espaço amostral Ω. Define-se 
a probabilidade de A como a razão entre o número de resultados 
favoráveis ao evento e o número total de resultados possíveis, onde 
todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer.
Essa interpretação é difícil de ser utilizada como regra geral, até pela 
dificuldade de garantir que os resultados tenham a mesma chance de 
ocorrência.
 possíveis resultados de número
A de ocorrência à favoráveis resultados de número)( =AP
Probabilidade Probabilidade FreqFreqüüentistaentista
Em situações onde os elementos do espaço amostral não são 
igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer o evento A 
pode ser calculada através da noção de freqüência relativa.
Se um experimento E for repetido um grande número de 
vezes, n, e se algum evento A ocorre nA vezes, a freqüência 
relativa do evento A é definida por:
oexperiment do repetições de totalNº
ocorreuA que vezesNº
=f A
ProbabilidadesProbabilidades::
Exemplo: estimar a P(Recem nascido ser do sexo masculino)
Total
Região N p N p N
São José de Ubá 43 0,5375 37 0,4625 80
Masculino Feminino 
Total
Região N p N p N
São Sebastião do Alto 53 0,48624 56 0,51376 109
Masculino Feminino 
Total
Região N p N p N
São José de Ubá 43 0,5375 37 0,4625 80
Comendador Levy Gasparian 54 0,54545 45 0,45455 100
São Sebastião do Alto 53 0,48624 56 0,51376 109
Macuco 57 0,50893 55 0,49107 112
Rio das Flores 48 0,43243 63 0,56757 113
Paraíba do Sul 267 0,55165 217 0,44835 490
Saquarema 509 0,52746 456 0,47254 965
330330 Niterói 3159 0,51441 2982 0,48559 6152
Municipio de Rio de Janeiro 44603 0,50971 42904 0,49029 87909
Estado de Rio de Janeiro 118350 0,51099 113259 0,48901 232255
Região Sudeste 604187 0,51198 575907 0,48802 1181131
Total 1554918 0,51251 1479019 0,48749 3038251
Masculino Feminino 
ProbabilidadesProbabilidades: : P(Recem nascido ser do sexo masculino)
À medida que o número de repetições do experimento aumenta, 
a freqüência relativa de ocorrência de algum evento A tende a 
se estabilizar e será igual à probabilidade de ocorrência de A. 
Esta característica é conhecida como regularidade estatística.
ERJ - Frequencia relativa do recem nascido sexo masculino 
por número de nascidos vivos.
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0 50000 100000 150000 200000 250000
(
%
)
0
.
2
.
4
.
6
.
8
1
D
e
n
s
i
t
y
0 2 4 6 8
Peso em Kgr
0
.
2
.
4
.
6
.
8
1
D
e
n
s
i
t
y
1 2 3 4 5
Peso em Kgr
0
.
2
.
4
.
6
.
8
D
e
n
s
i
t
y
1 2 3 4 5
Peso em Kgr
Distribuição do Peso ao nascer para diferentes tamanhos de amostra
n = 80 n = 800
n = 80 000
Probabilidade SubjetivaProbabilidade Subjetiva
Esta interpretação expressa na probabilidade a confiança que 
determinado indivíduo tem acerca da verdade de uma proposição, 
incorporando o conhecimento que ele dispõe sobre o evento.
Exemplo: Pela sua experiência, um cirurgião pode tranqüilizar os 
familiares de um paciente que será submetido a uma cirurgia delicada, 
com base na sua confiança no sucesso.
Exemplo: Foi realizado um estudo prospectivo de um ano, de 477 pacientes tratados por 
acidentes com corpos estranhos (CE) otorrinolaringológicos pelo serviço de ORL / EPO–
HMSA / RJ, observando-se a seguinte distribuição: Qual a probabilidade de que um 
paciente escolhido ao acaso seja tratado por um acidente com CE auricular (CE-A), 
sabendo que ele é do sexo masculino? E se for do sexo feminino?
Tipo de Corpo Sexo
Extranho Masculino Femenino Total
Nasal 130 99 229
Auricular 71 75 146
Faríngeo 47 55 102
Total 248 229 477
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um 
outro evento B ocorreu, é chamada de probabilidade condicional do 
evento A dado B. Ela e denotada por
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩=
Tipo de Corpo Sexo
Extranho Masculino Femenino Total
Nasal 130 99 229
Auricular 71 75 146
Faríngeo 47 55 102
Total 248 229 477
Exemplo: Foi realizado um estudo prospectivo de um ano, de 477 pacientes tratados por 
acidentes com corpos estranhos (CE) otorrinolaringológicos pelo serviço de ORL / EPO–
HMSA / RJ, observando-se a seguinte distribuição: Qual a probabilidade de que um 
paciente escolhido ao acaso seja tratado por um acidente com CE auricular (A), sabendo 
que ele é do sexo masculino (M)? E se for do sexo feminino?
(
)(
))()|(
MP
MAPMAP ∩=
29.0
477/248
477/71
==
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um 
outro evento B ocorreu, é chamada de probabilidade condicional do 
evento A dado B. Ela e denotada por
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩=
(
( )()|()
)()|()
APAMPMAP
ou
MPMAPMAP
×=∩
×=∩
Observe que a partir desta definição a probabilidade da interseção
A ∩ B pode ser expressa como:
ESTUDOS DE COORTE
Seleciona expostos e não expostos e compara a ocorrência do 
desfecho depois de um período de seguimento
Presente Futuro
Expostos
Não Expostos
Doentes?
anodoinicionovivosdenúmero
anonoDoentesdenúmeroRDoença=Risco de doença
Aplicações do Conceito de Probabilidades CondicionaisAplicações do Conceito de Probabilidades Condicionais
N
IRiscoR ==
42,1
0065,0
0092,0
min
/: === R
R
RR
morte
morte
inofe
masculino
femmascmorte
Estudo de Coorte
anodoinicionovivosdenúmero
anonomortesdenúmero
RMorte=
Sexo Óbitos Pop_Resident Probabilidade de Morte Razao de Prob
Masc 65934 7136931 0.009238425 1.421702489
Fem 50310 7742213 0.006498142
Total 116318 14879144 0.00781752
ERJ – Probabilidade de Morte por todas as causas segundo o sexo -
2003
0092,0
7136931
65934
==Rmortemasculino
0065,0
7742213
50310
min
==Rmorte inofe
Razão de Riscos:
Probabilidade
Idade Masculino Feminino RR
Menor 1 ano 0.018031028 0.014716583 1.225218341
1 a 4 anos 0.000727395 0.000613201 1.186226949
5 a 9 anos 0.000361247 0.000234514 1.540407538
10 a 14 anos 0.000485368 0.000256744 1.890472989
15 a 19 anos 0.002821425 0.00053035 5.319928537
20 a 29 anos 0.004154793 0.000826367 5.027782956
30 a 39 anos 0.003988123 0.001491504 2.673893031
40 a 49 anos 0.007289989 0.003555948 2.050083484
50 a 59 anos 0.014945402 0.007884982 1.895426295
60 a 69 anos 0.029601933 0.016255489 1.821042227
70 a 79 anos 0.063303795 0.039493554 1.602889291
80 anos e mais 0.140738117 0.116693236 1.206052052
ERJ – Razão de Probabilidade de Morte por todas as 
causas, por sexo segundo faixa etária - 2003
ESTUDOS CASO-CONTROLE
Seleciona casos com doença doença e controles sem doença e 
compara a freqüência da exposição
PresentePassado
Casos
Controles
� Expostos
� Não 
Expostos
Aplicações do Conceito de ProbabilidadesAplicações do Conceito de Probabilidades
0091,0
009,01
009,0
)(1
)(
=
−
=
−
=
+
+
D
D
P
P
odds
4217,1
006,01
006,0
009,01
009,0
)|(1
)|(
)|(1
)|(
=
−
−
=
−
−
==
−+
−+
++
++
−
+
eD
eD
eD
eD
odds
odds
P
P
P
P
e
eOR
Estudos Caso-Controle
Sexo Óbitos Pop_Resident Probabilidade de Morte OR
Masc 65934 7136931 0.009238425 1.421702489
Fem 50310 7742213 0.006498142
Total 116318 14879144 0.00781752
ERJ – Probabilidade de Morte por todas as causas - 2003
Odds = 
Chance
OR -Razão de 
Chances
Aplicações do Conceito de ProbabilidadesAplicações do Conceito de Probabilidades
)(
)(
)(1
)(
−
+
=
+−
+
=
+ FP
FP
FP
FP
odds F
11.0048
9167,0
0833,0
5000,0
5000,0
)|(
)|(
)|(
)|(
====
−−
−+
+−
++
+
+
−
+
+
CaF
CaF
CaF
CaF
odds
odds
OR
P
P
P
P
F
F
F
Ca
Ca
Odds de Fumo
ERJ – Probabilidade de Fumar nos grupos com e sem Ca. 
Laringe
n p n p n %
Não (CA-) 330 0,9167 30 0,0833 3600,50
Sim (Ca+) 180 0,50 180 0,50 360 0,50
Total 510 0,7083 210 1.00 720 1,00
 Cancer de Laringe - Ca
 Fumo (F) 
 Total Não (F-) Sim (F+)
Estudos Caso-Controle
Aplicações do Conceito de ProbabilidadesAplicações do Conceito de Probabilidades
ERJ – Probabilidade de Ca. Laringe
nos grupos fuma e não fuma
n % n % n %
Não 330 64,71 30 14,29 360 50
Sim 180 35,29 180 85,71 360 50
Total 510 100,00 210 100,00 720 100
 Cancer de Laringe
 Fumo 
 Total Não Sim
)(1
)(
Ca
Ca
odds P
P
Ca
+
+
−
=
+
11.0048
6471,0
3529,0
1429,0
8571,0
)|(
)|(
)|(
)|(
/
/
====
−−
−+
+−
++
+
+
+
−
+
FCa
FCa
FCa
FCa
odds
odds
OR
P
P
P
P
Ca
Ca
Ca
F
F
Estudos Caso-Controle
Odds de Câncer de Laringe:
Razão de Odds de Câncer de 
Laringe:
INQUINQUÉÉRITO OU ESTUDO SECCIONALRITO OU ESTUDO SECCIONAL
Estimam a prevalência da doença na população total, 
ou em estratos dessa população.
Disfonia em professores do ensino municipal: 
prevalência e fatores de risco
A disfonia é um sintoma muito freqüente em professores,
profissionais para os quais a voz é elemento indispensável.
Objetivos:
� Observar a prevalência deste sintoma em professores 
de pré-escola e da escola primária.
Casuística e Método: 
• Estudo transversal consistindo de questionários respondidos 
por 451 professores (pré-escola e quatro primeiras séries do 
ensino fundamental) de 66 escolas municipais de Mogi das 
Cruzes
Disfonia em professores do ensino municipal: 
prevalência e fatores de risco
Resultados:
80,7% dos professores referiram algum grau de disfonia. 
Não observamos relação entre idade, tempo de profissão e 
classe atendida e freqüência referida de disfonia.
n p n p n p
Pré-escola 40 0,20 228 0,80 268 0,61
EnsinoFund. 42 0,25 129 0,75 171 0,39
Total 82 0,19 357 0,81 439 1,00
 Cancer de Laringe
Disfonia
 Total Não Sim
07,1
75,0
80,0Pr
===
−
P
P
RP
Disf
Disf
Disf
EnsinoFund
escolaéP = Prevalência da doença
RP = Razão de Prevalência
Exemplo de Dependência Estatística:
As probabilidades de morte por câncer de pulmão 
podem ser melhor preditas, se são conhecidos os hábitos de 
fumo dos indivíduos. Suponha que as probabilidades são de 
0.015 para os fumantes e 0.005 para os não fumantes, então 
essas probabilidades são condicionais e dependentes ao 
tabagismo (exposição).
Fuma Morte Sobrevida Total
E + (sim) 0.006 0.394 0.4
E 
- 
(não) 0.003 0.597 0.6
Total 0.009 0.991 1
Exemplo de Dependência Estatística:
Fuma Morte Sobrevida Total
E + (sim) 0.006 0.394 0.4
E 
- 
(não) 0.003 0.597 0.6
Total 0.009 0.991 1
No exemplo, a probabilidade de morte difere de acordo com a 
exposição ou não ao fumo. 
P(M|E+) = 0,015 ≠≠≠≠ P(M|E-) = 0,005) 
� logo os eventos “Morte” e “Fumo” são eventos dependentes.
Independência Estatística:
Se a probabilidade de morte é a mesma se o 
indivíduo está exposto ou não a algum fator, diz-se que a 
morte e o fator de exposição são estatisticamente 
independentes. 
Dois eventos são independentes se a ocorrência 
ou não ocorrência de um deles não afeta a probabilidade 
de ocorrência ou não ocorrência do outro.
Exemplo: Suponha agora o estudo de câncer (M = morte, S = sobrevida) 
e cor dos cabelos (L = louro, NL = não louro).
Obs: Câncer e cor natural dos 
cabelos seriam eventos 
independentes, pois
P(M|L) = P(M|NL) = 0,009
Teorema de Bayes e Testes Diagnósticos
Uma aplicação muito útil e freqüente envolvendo probabilidade condicional é o 
Teorema de Bayes. Para entendê-lo melhor, primeiro será feita uma aplicação prática 
para então formalizá-lo.
Suponha um teste com os valores de sensibilidade e especificidade conhecidos. 
Sensibilidade = S = P (ΤΤΤΤ++++||||D++++) ���� Probabilidade do teste ser + no grupo de D+
Especificidade = E = P (ΤΤΤΤ
−−−−
| | | | D 
−−−−
) ���� Probabilidade do teste ser - no grupo de D-
Prevalência = p = P (D++++) ���� (probabilidade de doença ou probabilidade a priori)
A pergunta é: Dado que o teste teve um resultado positivo, qual a 
probabilidade de estar doente efetivamente? Chama-se esta probabilidade 
de valor preditivo positivo (VPP).
VPP = Valor preditivo positivo = P (D++++|T++++)
Pela definição de probabilidade condicional,
P (D++++|T++++) = P (D++++ ∩∩∩∩ T++++) / P (T++++).
Probabilidade do teste ser positivo, 
P(T++++) = P(T++++∩∩∩∩ D++++) + P(T++++ ∩∩∩∩ D−−−−) = P(T++++|D++++)××××P(D++++) + P(T++++|D−−−−)××××P(D−−−−)
= p ×××× S + (1 – p) ×××× (1 – E)
Aplicando a lei da multiplicação no numerador da relação acima,
P (D+ + + + ∩∩∩∩ T++++) = P (T++++|D++++) ×××× P (D++++) = p ×××× S
= Sensibilidade x Prevalência da doença.
Agora, com todos os termos conhecidos, pode-se reescrever
ou
DPDTPDPDTP
DPDTP
TP
TDPTDPVPP )( )|()( )|(
)( )|(
)(
)()|(
−−−−−−−−++++++++++++++++
++++++++++++
++++
++++++++
++++++++ ++++
====
∩∩∩∩
========
)1).(1(.
.)|(
pEpS
pSTDPVPP
−−−−−−−−++++
======== ++++++++
)1()1(
)1()|(
SpEp
EpTDPVPN
−−−−××××++++××××−−−−
××××−−−−
====−−−−−−−−====
De forma análoga podemos obter uma expressão para o valor de predição 
negativo
Decisões Incorretas:
Probabilidade de Falso Positivo: PFP = P(D - | T+) = 1 - P(D+ | T+) = 1 – VPP
Probabilidade de Falso Negativo: PFN = P(D+ | T-) = 1 - P(D - | T-) = 1 – VPN
Exemplo: Exemplo: Teste ELISA para detecTeste ELISA para detecçãção do HIVo do HIV (Ref. F. Soares)
Durante o mês de julho de 1985, a imprensa, através de editoriais, tratou 
freqüentemente do assunto Aids. Um dos pontos em questão era o teste que 
detecta a presença do vírus HIV. A versão do laboratório Abbott do teste 
produziu 37 resultados positivos em 17420 amostras de sangue de pessoas 
sadias; e 123 positivos em 129 pacientes, comprovadamente, com Aids. 
Calcule a sensibilidade e a especificidade do teste.
S = P(T++++|D++++) = 123/129 = 0,9535, e 
E = P (ΤΤΤΤ
−−−−
| | | | D 
−−−−
) = (17420-37)/ 17420 = 17383/17420 = 0,9979
Se a prevalência da Aids fosse de 15/100000, qual seria o 
valor de predição positiva do teste? E o valor de predição 
negativa do teste?
Doença Resultado do Teste 
D+ D- Total 
T+ 0,000143025 0,000006975 0,00224271 
T
-
 0,002099685 0,997750315 0,99775729 
 
P(T+) = P(T+ ∩ D+) + P(T+ ∩ D-) = 0,000143025+ 0,002099685
= 0,00224271
VPP = P(D+ | T+) = 06377,00,00224271
50,00014302
)(
)(
========
++++
++++∩∩∩∩++++
TP
DTP
P(T-) = P(T- ∩ D+) + P(T- ∩ D -) = 0,000006975+ 0,997750315= 0,99775729
VPN = P(D- | T-) = 99999,0
0,99775729
50,99775031
)(
)(
========
−−−−
−−−−∩∩∩∩−−−−
TP
DTP
Doença Resultado do Teste 
D+ D- Total 
T+ 0,000143025 0,000006975 0,00224271 
T
-
 0,002099685 0,997750315 0,99775729 
 
Exemplo: Teste ELISA para detecExemplo: Teste ELISA para detecçãção do HIV cont...o do HIV cont...
Valores de Predição (VPP E VPN) e proporção de falsos resultados (PFP e PFN) e proporção 
de falsos resultados (PFP e PFN) do teste Elisa para detecção do HIV, versão ABBOTT, para 
diferentes possíveis valores da prevalência (Ref. Fco. Soares, 1995).
Prevalência VPP(%) VPN(%) PFP(%) PFN(%)
1/100000 0,47 100,00 99,53 0,00
1/10000 4,54 100,00 95,46 0,00
1/1000 32,21 99,99 67,79 0,01
1/500 48,77 99,99 51,23 0,01
1/200 70,47 99,99 29,53 0,01
1/100 82,75 99,99 17,25 0,01
1/50 90,65 99,89 9,35 0,11
HIV/AIDS: Doença de prevalência pequena
Valor de Predição Positiva é pequena 
Valor de Predição Negativa é alto
Uso do teste em larga escala poderia resultar em testes falsos positivos 
Resultado positivo deve ser reconfirmado através de teste baseado em tecnologia diferente do 
ELISA.
VariVariááveis Aleatveis Aleatóórias e Distribuirias e Distribuiçõções de Probabilidadeses de Probabilidades
A partir da realização de um experimento, pode-se estar interessado não 
apenas no resultado observado, como também em alguma função do 
espaço amostral em questão. Essas funções definidas no espaço amostral
são chamadas de variáveis aleatórias. 
Exemplo: Num estudo sobre obesidade em adultos, um experimento 
consiste em observar o peso ea altura dos indivíduos. Se I for o Índice de 
Massa Corporal ( ), então I é uma variável aleatória que pode assumir 
qualquer valor real maior que zero. 
Como os valores de uma variável aleatória são determinados pelo 
resultado de um experimento, pode-se associar probabilidades aos valores 
possíveis de um variável aleatória.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como discretasdiscretasdiscretasdiscretas ou 
contcontcontcontíííínuasnuasnuasnuas.
É desejado prever, de alguma forma, o valor que a variável aleatória X irá
assumir (ou conhecer o comportamento da distribuição), embora essa 
predição envolva um grau de incerteza. Diante disso, relaciona-se os 
valores de uma variável aleatória e a probabilidade de suas ocorrências. 
Duas funções são utilizadas para este fim: a função de densidade de 
probabilidade e a função de distribuição acumulada. 
No caso de variáveis aleatórias discretas, a função de densidade chama-se 
simplesmente distribuição de probabilidades e mede a probabilidade de que a v. a. 
X assuma um valor específico x ( P(X = x) ).
Suponha X = número de crianças por 
família em uma amostra de 50 famílias. A 
tabela a seguir especifica todos os valores 
possíveis para X e as respectivas 
probabilidade de ocorrência e função de 
distribuição acumulada, estimadas a partir 
das freqüências relativas na amostra 
observada. 
X Freqüência 
observada
P(X = x) P(X <= x) 
0 3 0,06 0,06
1 10 0,20 0,26
2 18 0,36 0,62
3 8 0,16 0,78
4 5 0,10 0,88
5 2 0,04 0,92
6 3 0,06 0,98
8 1 0,02 1,00
50 1,00
DistribuiDistribuiçãção Binomialo Binomial
Uma das distribuições de probabilidade mais largamente aplicadas é a 
distribuição binomial. Ela tem por base o ensaio de Bernoulli, que é um 
experimento que apresenta apenas dois resultados possíveis, 
mutuamente excludentes, tais como morrer ou sobreviver, masculino ou 
feminino, sucesso ou fracasso.
Suponha que determinada cirurgia apresente 80% de probabilidade de 
sucesso. A variável de interesse X é número de sucessos. Então, para um 
paciente, tem-se:
⇒⇒⇒⇒ Ω =Ω =Ω =Ω = { F , S } w X P ( X = x )
F 0 q = 1-p = 0,2
S 1 p = 0,8
Ω =Ω =Ω =Ω = { FF, FS, SF, SS }⇒⇒⇒⇒ w X P ( X = x )FF 0 P(F∩F) = P(F) P(F) = (1-p)2 = 0.22
FS ou SF 1 P(F∩S) + P(S∩F) = 2 p (1-p) = 2 . 0.81 .0.21
SS 2 P(S∩S) = p2 = 0.82
De forma geral, assumindo que:
1. tem-se n ensaios de Bernoulli
2. os ensaios são independentes
3. a probabilidade de sucesso é igual a p em qualquer ensaio,
a distribuição Binomial estabelece que: 
xnx pp
x
n
xXP −−





== )1( )(
w X P
 ( X = x )
FFF 0 1. 0,80. 0,23
FFS ou FSF ou SFF 1 3. 0,81. 0,22
FSS ou SFS ou SSF 2 3. 0,82. 0,21
SSS 3 1. 0,83. 0,20
Distribuição de Probabilidades do número de sucessos quando n = 3
Dados os parâmetros da distribuição binomial (n e p), a média e a 
variância de uma variável aleatória com essa distribuição são dadas por 
np e np(1-p), respectivamente.
Média (X) = µµµµ = n p
Variância (X) = σσσσ2222 = n p (1-p)
Exemplo:Exemplo: Suponha que 30% de uma população é imune a uma certa 
doença. Qual a probabilidade de, num grupo de 5 pessoas desta 
população, encontrarmos: 3 imunes?
a) Seja X = número de pessoas imunes a doença
n = 5 pessoas observadas
p = 0,30 é a probabilidade de uma pessoa ser imune a doença
evento de interesse: [x = 3], logo
( ) ( ) 1323,0,70 ,3010)3,01( ,30 
3
5)3( 23353 =×=−





==
−XP
P(X = x | p = 0.3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0 1 2 3 4 5 P(X=3) quando: n=5 e p = 0,30
n
x P( X = x | p = 0.3 )
0 0.16807
1 0.36015
2 0.30870
3 0.13230
4 0.02835
5 0.00243
Distribuição de Probabilidade Binomial 
quando: n = 5 e p = 0,3
P(X = x | p = 0.3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0 1 2 3 4 5
b) Qual seria o valor com maior probabilidade de acontecer?
c) Qual a Probabilidade do número de imunes variar entre 3 e 5 inclusive?
P( 3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 
= 0,13230 + 0,02835 + 0,00243 = 0,16308
Distribuição de Poisson
� Outra distribuição utilizada para modelar variáveis do tipo quantitativo 
discreta é a distribuição de Poisson, 
� Empregada para modelar a ocorrência de eventos raros (eventos 
com probabilidade de ocorrência muito pequena). 
Exemplos: 
1. Número de chegadas a um pronto-socorro durante a madrugada
2. Número de pessoas com leucemia numa cidade
3. Número de acidentes de carro na Ponte Rio-Niterói por dia
4. Número de metamielócitos no sangue de pessoas sadias
Distribuição de Poisson
� A distribuição de Poisson geralmente está associada a um processo 
aleatório, que objetiva estudar o número de eventos de interesse e o 
tempo entre a ocorrência de dois eventos seguidos. 
� Este processo é chamado de Processo de Poisson e apresenta as 
seguintes características:
� O número de eventos que ocorrem num determinado intervalo de 
tempo (ou espaço) é independente do número de eventos que 
ocorrem num outro intervalo de tempo (ou espaço) disjunto do 
primeiro.
� Os eventos de interesse (falhas) ocorrem com alguma taxa média 
de ocorrência λλλλ, que é constante para todo intervalo de tempo (ou 
espaço).
� Quanto menor for o intervalo de tempo considerado, menor será a 
probabilidade de que aconteça mais de um evento de interesse 
nesse intervalo.
� Proporciona as probabilidades do número de "falhas" que 
acontecem num determinado período de tempo ou espaço (ou 
volume de matéria). 
Para X = Número de Falhas
A probabilidade de X assumir um valor igual a k é dada por:
onde : X = número de eventos
λ = taxa média do processo
k = 0,1,2, ...
e = 2.7182818.. (número de Euler)
L,2,1,0,
!
)( ===
−
k
k
kXP e
k λλ
Distribuição de Poisson
Na distribuição de Poisson, a média e a variância são iguais a αααα.
Média (X) = µµµµ = λλλλ
Variância (X) = σσσσ2 = λλλλ
Desvio Padrão = σσσσ = √√√√ λλλλ
λ = 1
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
λ = 4
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
λ = 10λ = 10λ = 10λ = 10
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Exemplo:
Um hospital recebe em média quatro chamadas de urgência por dia. 
Desejando melhor equipa-lo para suas funções, necessita-se 
conhecer qual a probabilidade de que o hospital receba:
a) Oito chamadas?
X = número de chamadas de urgência num dia
03.0
!8
)8(
484
===
−
eXP
b) Três ou menos chamadas num dia? 
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,018 + 0,073 + 0,147 + 0,195 = 0,433
DistribuiDistribuiçãção de Poisson como Aproximao de Poisson como Aproximaçãção da Distribuio da Distribuiçãção Binomialo Binomial
Quando:
� o número de realizações de um experimento binomial (n) é grande e 
� a probabilidade de sucesso (p) é muito pequena de modo que np ≤ 7, 
� a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de 
Poisson com 
α = n × p
DistribuiDistribuiçãção de Poisson como Aproximao de Poisson como Aproximaçãção da Distribuio da Distribuiçãção Binomialo Binomial
Exemplo: A probabilidade de uma pessoa sofrer intoxicação alimentar na 
lanchonete de um parque de diversões é 0,001. Qual a probabilidade de 
que em 2.000 pessoas que passam o dia no parque, duas sofram de 
intoxicação alimentar?
α = n p = 2000 x 0,001 = 2 
� P(X = 2) = 0,2707
x P(X=k)
0.0000 0.1353
1.0000 0.2707
2.0000 0.2707
3.0000 0.1804
4.0000 0.0902
5.0000 0.0361
6.0000 0.0120
7.0000 0.0034
8.0000 0.0009
9.0000 0.0002
DistribuiDistribuiçãçãoo NormalNormal ou Gaussianaou Gaussiana
Tem sua origem associada ao eminente matemático alemão Gauss que 
ao utilizá-la na construção da teoria dos erros, mostrou sua importância, 
porém ela foi primeiramente estudada por Abraham de Moivre. 
A distribuição Normal (ou Gaussiana) também é associada às medidas 
biológicas e às medidas de produtos fabricados em série.
A distribuição Normal de uma variável aleatória contínua tem a seguinte 
função de densidade:
onde µµµµ (média) e σσσσ (desvio padrão) são os parâmetrosda distribuição.
( )e xxf µσpiσ
−−=
2
22
1
2
1)(
Algumas características da distribuição Normal:
1. A variável aleatória pode assumir qualquer valor (- ∞ < x < + ∞).
2. Α expressão: X ~ N ( µ , σ 2 ) denota que a variável aleatória X tem 
distribuição Gaussiana ou Normal com média µ e desvio-padrão σ.
3. Na distribuição Normal a Média, Mediana e a Moda são iguais a µ .
4. A área total sob a curva e acima do eixo horizontal é igual a 1.
Área = 1
Distribuições Normais com o mesmo desvio-padrão e diferentes médias 
(µ1 ≠ µ2 ), possuem a mesma forma mas diferem quanto a localização. 
Isto é, quanto maior o valor da média mais à direita estará a curva. 
Observe na figura que a distribuição em vermelho apresenta maior valor 
para a média.
Para um mesmo valor de média e valores diferentes de desvio-padrão, a 
distribuição com desvio-padrão de maior valor é mais “achatada”, 
acusando maior variabilidade em torno da média. Aquela que tem menor 
desvio-padrão, apresenta um pico e tem menor dispersão em torno da 
média.
A A áárea sob a curva normalrea sob a curva normal
µ ± 1 σ � 68,26% 
µ ± 1,96 σ � 95,00% 
µ ± 2,58 σ � 99,00%
DistribuiDistribuiçãção Normal Padro Normal Padrããoo
Uma distribuição Normal com média µ = 0 e desvio-padrão σ = 1, é
chamada de distribuição Normal padrão. 
Uma variável aleatória com distribuição Normal padrão é usualmente 
identificada pela letra Z, e representada por:
Z ~ N ( 0 , 1 )
DistribuiDistribuiçãção Normal Padro Normal Padrããoo
Z é uma variável continua logo P(Z = a) = 0, para qualquer 
valor de a.
Para o caso: média µ = 0 e desvio-padrão σ = 1 foram 
calculadas probabilidades da variável aleatória assumir 
valores menores ou iguais a z0 i.e. P(Z ≤ z0), 
disponibilizadas em tabelas ou em pacotes computacionais.
P(Z ≤ 2,58) = 0,9951
P(Z ≤ 2,00) = 0,9772
P(Z ≤ - 2,58) = 0,0049
P(Z ≤ - 0,74) = 0,2296
P(Z > 2)
Calculo de Probabilidades do tipo Calculo de Probabilidades do tipo P(P(Z Z >> zz00),),
P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) 
= 1 - 0,9772 = 0.0228
= -
= 1 -
P(Z > -1) = 1 - P(Z ≤ -1) = 1 - 0,1587 = 0.8413
Calculo de Probabilidades do tipo: P(a < Z ≤≤≤≤ b)
= -
P(-1,96 < Z ≤ 1,96) = P(Z ≤ 1,96) - P(Z ≤ - 1,96) 
= 0,9750 - 0.02499 
= 0,95
P(-1,96 < Z ≤ 1,96)
P(-2,58 < Z ≤ 2,58)
P(-2,58 < Z ≤ 2,58) = P(Z ≤ 2,58) - P(Z ≤ - 2,58) 
= 0,0.995 - 0.005 
= 0,990
Calculo de Probabilidades do tipo: P(a < Z ≤≤≤≤ b)
= -
PadronizaPadronizaçãção:o:
Quando uma variável aleatória tem distribuição normal 
� com média µ ≠ 0 e σ ≠ 1 
� deve-se padronizar a variável através da seguinte transformação: 
Z = 
A variável Z tem agora distribuição normal padrão (µ = 0 e σ = 1) 
σ
µ−x
Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado 
Diferentemente do Coeficiente de Variação, o escore padronizado, é útil para 
comparação dos resultados indivíduais.
Os escores padronizados são muito úteis na comparação da posição relativa da 
medida de um indivíduo dentro do grupo ao qual pertence, o que justifica sua 
grande aplicação como medida de avaliação de desempenho.
Fonte: http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/node27.html
nixz ii ,...,2,1, =
−
=
σ
µ
Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado 
Exemplo:
Os escores padronizados são amplamente utilizados em teste de aptidão física. 
Mathews (1980) compara testes de aptidão física e conhecimento desportivo. 
Fonte: http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/node27.html
Tabela 10: Resultados obtidos por duas alunas do curso secundário, média e desvio 
padrão da turma em teste de aptidão física e conhecimento desportivo. 
Teste µ σ x z 
 Maria Joana Maria Joana 
abdominais em 2 min 30 6 42 38 2,00 1,33 
salto em extensão (cm) 155 23 102 173 -2.33 0,78 
suspensão braços flexionados 
(seg) 50 8 38 71 -1.50 2,63 
correr/andar em 12 min (m) 1829 274 2149 1554 1,17 -1,00 
conhecimento desportivo 75 12 97 70 1,83 -0,42 
 
Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado Escore padronizado 
Maria apresentou um desempenho muito acima da média em força 
abdominal (dois desvios padrão acima da média); sua capacidade aeróbica 
(corrida/caminhada) está acima da média mas não é notável e ela tem um 
conhecimento desportivo bastante bom comparado com o grupo. 
No salto de extensão e na suspensão com flexão do braço sobre 
antebraço, Maria obteve escores abaixo das respectivas médias do grupo, 
sendo que o desempenho de Maria para salto em extensão é bastante 
ruim. 
Descreva o desempenho de Joana.
Fonte: http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/node27.html
Exemplo:Exemplo: O conteúdo de glicose no sangue em pessoas adultas pode ser 
considerado normalmente distribuído com média 100mh/100ml e desvio 
padrão 10mg/100ml. Suponha que 500 indivíduos da população são 
escolhidos ao acaso. Se os indivíduos com um conteúdo de glicose igual ou 
maior que 120mg/100ml são considerados diabéticos, qual o número 
esperado de diabéticos entre os 500 indivíduos escolhidos?
Seja X = conteúdo de glicose com distribuição X ~ N ( µµµµ = 100 , σσσσ = 10 )
P( X > 120 ) = P ( ) = P(Z > 2 ) = 1 - P( Z ≤ 2 ) =
= 1 - 0,9772 = 0,0227
N°esperado de diabéticos = 0,0227 × 500 = 11,35
10
100120
10
100 −
>
−X
X ~ N ( 100 , 10 2 )
X ~ N ( 0 , 1 )
Faixas de Referencia ou Faixas de Referencia ou valores de refervalores de referêênciancia
A construção da Faixa de referência é um procedimento que permite a 
caracterização do que é típico em uma determinada população. 
É empregado largamente em Ciências da Saúde, por exemplo, nos 
resultados de exames de laboratório � na determinação dos valores de 
referência para a Hemoglobina, Hematócrito, Hematias, etc.
Outras aplicações: 
- determinação de níveis toleráveis de barulho 
- caracterização dos níveis de poluição em uma região. 
Fonte: Nogueira et al. 1996
MMéétodo da curva de Gauss todo da curva de Gauss 
Este método pressupõe que a variável de interesse tem distribuição 
Gaussiana (normal). 
Portanto, antes de utilizá-lo, é necessário verificar se as observações 
dos indivíduos sadios provém de uma distribuição normal ou 
aproximadamente normal. 
Uma faixa de referência, usual considera aproximadamente 95% dos 
indivíduos sadios. Cujos limites, conforme vimos são: 
µµµµ ±±±± 1,96 σσσσ
De maneira análoga, podem ser obtidas outras faixas de referência 
compreendendo outras porcentagens de indivíduos sadios, tais como:
90% � µ ± 1,64 σ
99%, � µ ± 2,58 σ
etc. 
Exemplo:Exemplo:
Sabendo-se que a taxa de hemoglobina (g%) em mulheres sadias tem 
distribuição N(14,2), construiremos faixas de referência que 
englobem:
95% das taxas de hemoglobina
� µ ± 1,96 σ � 14 ± 1,96 *2 � 10.08, 17.92
90% das taxas de hemoglobina
� µ ± 1,64 σ � 14 ± 1, 64 *2 � 10.71, 17.29
Faixas de ReferenciaFaixas de Referencia
X = conteúdo de glicose com distribuição e X ~ N ( 100 , 10 2 )
-1,96 < Z < 1,96 80,4 < Glicose ≤ 119,6)
95 %95 %
-2,58 < Z ≤ 2,58 74,2 < Glicose ≤ 125,8)
99 %99 %
P(-1,96 < Z ≤ 1,96) = 0.95
P(-2,58 < Z ≤ 2,58) = 0.99
Distribuição Distribuição QuiQui--quadradoquadrado
Se forem , k distribuições normais padronizadas 
(ou seja, média 0 e desvio padrão 1) independentes, então a 
soma de seus quadrados é uma distribuição Chi-quadrado 
com k graus de liberdade:
A distribuição chi-quadrado (χ2), é uma das mais usadas em 
processos de inferência estatística. Assume valores não-negativos e 
é assimétrica.
Distribuição Distribuição QuiQui--quadradoquadrado
Distribuição T de Student
A distribuição t de Student, desenvolvida por William Sealy 
Gosset.
A distribuição t é uma distribuição de probabilidade teórica. 
É simétrica, semelhante à curva normal padrão, porém com caudas 
maislargas, ou seja, uma simulação da t de Student pode gerar 
valores mais extremos que uma simulação da normal. 
O único parâmetro v que a define e caracteriza a sua forma é o 
número de graus de liberdade. Quanto maior for esse parâmetro, 
mais próxima da normal ela será.
A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar 
a distribuição da média de uma população (que segue uma distribuição 
Normal), a partir de uma amostra. Neste problema, não se conhecee qual é a 
média ou o desvio padrão da distribuição.
Supondo que o tamanho da amostra n seja muito menor que o tamanho da 
população, temos que a amostra é formada por n variáveis aleatórias normais, 
independentes X1, X2, ..., Xn, cuja média amostral :
é o melhor estimador para a média da população (µ), e se a variância amostral é 
dada pela seguinte expressão:
A variável aleatória dada por
Segue uma distribuição t de Student com ν = n-1 graus de liberdade.
Distribuição TDistribuição T
Distribuição F Distribuição F 
Também denominada distribuição F de Snedecor ou distribuição 
Fisher-Snedecor, encontra aplicações em alguns testes estatísticos.
Consideram-se as variáveis aleatórias U e V tais que
• U e V são independentes.
• U tem distribuição χ2 com α graus de liberdade.
• V tem distribuição χ2 com β graus de liberdade.
Define-se uma nova variável aleatória X tal que
X = (U / α) / (V / β)
Então X é tem distribuição F com α e β graus de liberdade ou 
X ~F(α, β).
Fonte:http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est358.shtml
A Figura abaixo apresenta curvas aproximadas das funções de 
distribuição acumulada e de densidade de probabilidades para α =
5 e β = 2
Média da distribuição F:
E(X) = se β > 2
Variância da distribuição F:
Var(X) =
2−β
β
( )4
)2(2
)2( 2
2
−
−+
−
β
βα
βα
β
Algumas propriedades
01) Se X tem distribuição t-student com ν graus de liberdade, então
X2 ~F(1, ν).
03) Sejam as seguintes amostras:
X1, X2, ... , Xm de uma população com distribuição normal de
média µ1 e variância σ12.Y1, Y2, ... , Yn de uma população com distribuição normal de 
média µ2 e variância σ22.
As variâncias das amostras são:
Então a variável definida por Z = s12 / s22 tem distribuição F com 
m e n graus de liberdade. Esta propriedade pode ser usada para 
testar a igualdade de variância entre as duas populações.
( )
1
2
2
1
−
=
∑ −
m
i xxS
( )
1
2
2
2
−
=
∑ −
n
i yyS