Correlação e Regressão Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
PROFESSOR: HIRON PEREIRA FARIAS 
 DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATISTICA 
 
Capítulo 2 Correlação e Regressão linear 
 
2.1 Associação entre variáveis Quantitativas 
 
Apresentaremos medidas numéricas relecionando duas variáveis ao mesmo tempo. A 
covariância e o coeficiente de correlação medem a tendência e a forca da relação linear 
entre duas variáveis ou amostras. 
 
2.2 Covariância (σσσσxy) 
A covariância é a média dos produtos dos desvios das duas variáveis. 
 
A Covariância (σxy) das variáveis x = x1, x2, x3,. . . , xN e y = y1, y2, y3 , . . . ,yN , 
consideradas como população é : 
 
)).((1
1
yi
N
i
xixy yx
N
µµσ −
=
−∑= 
A Covariância (Sxy) das variáveis x = x1, x2, x3,. . . , xn e y = y1, y2, y3 , . . . ,yn , 
consideradas como amostra é : 
 
 
)).((
1
1
1
yyxx
n
S i
n
i
ixy −
=
−∑
−
= 
 
 
2.3 Propriedades: 
 
1) A covariância de uma variável e ela mesma é a própria variância da variável, 
seja no caso de população ou amostra. 
• σxx = σx
2
 
 
2) A permutação das variáveis não altera o resultado da covariância, se os mesmos 
pares de valores forem mantidos: σxy = σyx 
 
3) Se as variáveis X e Y forem estatisticamente independentes, então a covariância 
destas variáveis será igual zero. 
 
0bs: 1) Se o resultado da covariância das variáveis X e Y for igual a zero, não se pode 
afirmar que as duas variáveis sejam estatisticamente independentes. Para confirmar essa 
independência deve-se verificar se todos os pares de valores de X e Y cumprem a 
condição: P( X e Y) = P(X∩Y) = P(X) . P(Y) 
 
 2
2) A covariância pode assumir qualquer valor do conjunto dos números reais, pois pode 
ser nula, negativa ou positiva. 
 
 
 
 
2.4 Coeficiente de Correlação ( rxy) 
 
Para facilitar a relação entre duas variáveis e evitar a unidade de medida da covariância, 
foi definido o coeficiente de correlação ( rxy). 
 
Sejam X e Y variáveis 
 
• Se os dados referem-se à população : 
 
yx
xy
xyCov
r
σσ *
)(
=
 
 
 
2.5 Propriedades: 
 
1) Os valores de rxy estão limitados entre -1 e 1 ; isto é, -1 ≤ rxy ≤ 1; 
2) O Coeficiente de correlacão de uma variável e ela mesma é igual a um. 
 rxx = 1 
3) rxy = ryx ( se os mesmos pares de valores valores mantidos ). 
4) Se X e Y são independentes rxy = ryx = 0 
 
Observação: Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o 
comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que : 
•••• 0,6 ≤ | r | ≤ 1 
 
Se 
0 ≤ | r | < 0,6 ( fraca correlação ) 
 
Se 
0,6 ≤ | r | ≤ 1 ( forte correlação ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
 
 
2.6 Reta de Regressão 
 
O objetivo da análise de regressão simples é encontrar a equação de uma reta que 
permita: 
•••• Descrever e compreender a relação entre duas variáveis aleatórias. 
•••• Projetar ou estimar a relação uma das variáveis em função da outra. 
 
A reta de regressão é representada pela equação y = A + B Xi, sendo y a variável 
dependente e x a variável independente. Os coeficientes a e b são os coeficientes de 
regressão e têm o seguinte significado: 
• O coeficiente b é a declividade da reta e define o aumento ou diminuição da 
variável y por unidade de variação da variável x; 
• A constante a é o intercepto y, sendo igual ao valor de y para x = 0. 
 
∑
∑
−
−
=
xx n
yxnyx
B
i
ii
22
 ou 
 
σ
2
)(xyCovB = 
 
 e A= xBy − 
 
2.7 Coeficiente de Determinação ( r2): 
 
O Coeficiente de Determinação ( r2) é sempre positivo e deve ser interpretado como a 
proporção da variação total da variável dependente y que é explicada pela variação da 
variável independente x. 
0 ≤ r2 ≤ 1 
 
 
R2= (rxy)2 ou R2 = STQ
gSQ Re
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
 
 
 
 
2.8 Medidas de Variação na Regressão 
1) Erro padrão da estimativa 
 
Utilizamos o método dos mínimos quadrados para desenvolver o modelo matemático 
que relaciona a variável Y em função da variável X. Embora o método dos mínimos 
quadrados resulte em uma linha que se ajusta aos dados com a quantidade mínima de 
variação, a equação de regressão não é um modelo matemático perfeito de previsão, a 
menos que todos os pontos ( Xi , Yi ) estejam na linha de regressão. A linha de 
regressão serve somente como uma previsão aproximada de um valor Y para um dado 
valor de X. A medida de variabilidade em torno da linha de regressão ( seu desvio 
padrão ) é chamada de erro padrão da estimativa. 
O erro da estimativa, dado pelo símbolo Sxy , é definido como 
 
Sxy = 2
ii )yˆ - y( 2
−
∑
n
 
 
Em que 
Yi – ŷi = êi : Resíduos ( desvio em relação a Regressão ) 
∑∑
==
=−
n
i
i
n
i
i eyy i
11
ˆ)ˆ( = 0 
 
∑ )yˆ - y( ii 2 : soma dos quadrados dos Resíduos 
 
2) Obtenção da soma dos quadrados 
 
STQ : soma total dos quadrados 
 
∑
=
−
=
n
i
ii YSTQ y
1
2)( 
 
SQRg : Soma de Quadrados devido à regressão 
∑
=
−
=
n
i
ii yygST
1
2)( ˆRe 
 
SQRes : Soma de quadrados dos Resíduos 
 
∑
=
−
=
n
i
ii ysSQ y
1
2)( ˆRe 
Essas medidas de variação podem ser representadas da seguinte maneira: 
 
STQ = SQRes + SQReg ou SQReg = STQ – SQRes 
 5
 
Exercício1: Considerando uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos do 
curso de Medicina Veterinária da FTB : 
Número 
do aluno 
Matemática 
 ( xi ) 
Estatística 
 ( yi ) 
Estimativas 
( ŷi) 
Resíduos 
( êi =yi – ŷi) 
 
ii yy −ˆ 
1 5 6 
8 8 9 
24 7 8 
38 10 10 
44 6 5 
58 7 7 
59 9 8 
72 3 4 
80 8 6 
92 2 2 
 
 
 
 
a) Determine do conjunto: 
X = 







∑ i
xVar
Média
n
x
2
)(
 









=
∑ i
yVar
Média
n
Y
y 2
)( e ∑ iiyx 
b) Determine o coeficiente de correlação e Determinação. 
 
 
 
 
 
 
c) Determine a Reta de Regressão 
 
 
 
 
 
3) Faça a interpretação do exercício 
 
 
 
4) Estime y para os valores de x dados abaixo na tabela 
 
Xi Estimação ( ŷi ) 
4 
6 
8 
 
 
f) determine as tabelas de Covariância e Correlação. 
 6
 
Questão2: Em uma região de Goiás, acredita-se que o gado alimentado em um 
determinado pasto tem um ganho de peso maior que o usual. Estudos de laboratório 
detectaram uma substância no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada para 
melhorar o ganho de peso dos bovinos. Foram escolhidos 15 bois de mesma raça e 
idade, e cada animal recebeu uma determinada concentração da substância X (em mg/l). 
O ganho de peso após 30 dias denotado por Y, foi anotado e os dados foram os 
seguintes ( em kg): 
 
X 0,2 0,5 0,6 0,7 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 
Y 9,4 11,4 12,3 10,2 11,9 13,6 14,2 16,2 16,2 17,7 18,8 19,9 22,5 24,7 23,1 
Determine o que se pede cada item abaixo: 
a) O coeficiente de correlação (rxy ); 
 
 
b) A Reta de Regressão; 
 
 
c) O Coeficiente de determinação ( r2); 
 
 
d) O que você pode concluir com base nos dados acima ? 
 
 
 
 
e) As tabelas de covariância e Correlação; 
 
 
 
 
 
 
f) A Variância do conjunto X e o desvio-padrão do conjunto Y. 
 
 
g) Estime Y para os valores de X da tabela abaixo 
 
 
Xi 
Estimativas 
( ŷi ) 
0,9 
1,5 
2 
 
 
 
 
 
 7
 
Questão3: A quantidade de chuva é um fator importante na produtividade agrícola. 
Para medir esse efeito foram anotados, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o 
índice pluviométrico em milímetros (X) e produção do último ano em toneladas (Y ). 
X 120 140 122 150 115 190 130 118 
Y 40 46 45 37 25 54 33 30 
 Determine o que se pede cada item abaixo: 
 
a) O coeficiente de correlação (r ); 
 
 
b) A equação da reta de regressão; 
 
 
 
c) O Coeficiente de determinação ( r2); 
 
 
d) O que você pode concluir com base nos dados acima ? 
 
 
 
 
e) As tabelas de covariânciae Correlação; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
 
Bibliográfia 
 
• BUSSAB, Wilton de O. & MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. 
Editora Saraiva. São Paulo 2002. 
 
• DANTAS , Carlos A. B. Probabilidade: um curso introdutório 
 
• FONSECA, Jairo Simon da. & MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de 
Estatística. 6ª edição. Editora Atlas: São Paulo.1996 
 
• LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando o Excel. 4ª edição. São Paulo. 
Editora: Campus.2005 
 
• MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. 
Noções de Probabilidade e Estatística. 4ª edição. São Paulo: Editora da 
Universidade de São Paulo, 2002. 
 
• MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2ª 
edição. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006. 
 
• MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D.C. Introduction to the Theory of 
Statistics. Third Ediction. McGraw-Hill, 1974.