Condição de Inada

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Condição de Inada
Demonstração - Condição de Inada na Origem: 
· Composta de duas partes.
· Tome e como sequências ótimas de estado e controle.
Parte : 
Tome, por contradição, a afirmação como falsa. Ou seja, 
De tal forma que, por consequência, temos
Se isso é verdade, podemos montar trajetórias e melhores que e , ditas ótimas, respectivamente. 
Assim, sejam e iguais a e , a não ser por
 e e 
Para alguma .
[Esse ponto é necessário pois as sequências e e e diferem apenas no período . Se a riqueza de não fosse igual ao consumo, as sequencias iriam diferir em mais períodos.]
Isso significa que retiramos um consumo em para consumirmos em .
Assim, podemos construir duas utilidades
De tal forma que a diferença entre as utilidades é dada por
[Se a diferença de utilidades nesses períodos que diferem for positiva, significa que uma utilidade é maior que a outra e, portanto, e são melhores que e ]
Como e , 
Condição de Inada na Origem:
Seja o problema de otimização
Tome e como os estados e os controles ótimos (feasible pair), respectivamente.
Assuma que
 é crescente, côncava e continuamente diferenciável.
 
Então 
[Queremos chegar na definição de derivada, então dividimos por ]
Dividindo por ,
Aplicando o limite,
Multiplicamos o primeiro termo por em cima e embaixo, de tal forma que
Tome . Como [Definição de derivada]
Temos que
Portanto
Como (assumido), temos que para um suficientemente pequeno, é positivo, de tal forma que e melhores que e , o que é uma contradição.
Parte : 
Assuma, por contradição, que esse não é o caso. Ou seja, existe algum período de consumo nulo.
Note que não existe um tal que , pois (é melhor gastarmos em algum momento).
Dessa forma, só é possível existir um período tal que e .
Assim, sejam e iguais a e , a não ser por
 e e 
Onde [perceba que se , e se, ].
Ou seja, vamos antecipar parte do consumo de para .
Assim, podemos construir duas utilidades
De tal forma que a diferença entre as utilidades é dada por
Como , 
[Queremos chegar na definição de derivada, então dividimos por ]
Dividindo ,
Aplicando o limite,
Tome . Como [Definição de derivada]
Portanto
Como (assumido), temos que para um suficientemente pequeno, é positivo, de tal forma que e melhores que e , o que é uma contradição.