Sorger Equação de Euler e Condição de Transversalidade (5 2)

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Sorger – Equação de Euler e Condição de Transversalidade (5.2)
Objetivo:
Trataremos das condições de otimização de primeira ordem para o problema reduzido:
· Derivamos a equação de Euler, condição de otimização para uma trajetória ótima interior.
· Mostramos que sob hipóteses adicionais, uma condição de transversalidade deve ser satisfeita por toda trajetória ótima.
· Mostramos que a equação de Euler e a condição de transversalidade, juntas, constituem o conjunto das condições suficientes para otimização.
Condições:
As derivações das hipóteses serão feitas sob duas hipóteses:
· A função utilidade é diferenciável.
· Trajetória ótima é interior.
Ambas são facilmente formuladas quando o espaço de estado é um subespaço do espaço Euclidiano, caso da maioria dos problemas econômicos. Assim, assumimos que:
· Existe um inteiro positivo tal que ,
· Para falarmos de trajetórias ótimas interiores, assumimos que o espaço estado não é vazio e que temos que o espaço de transição é não vazio. 
· Uma trajetória é dita interior se está no interior de . 
Sob essas condições existe uma trajetória interior para todos os estados iniciais .
Além disso, assumimos que a soma infinita da função objetiva é bem definida e que podemos compará-la com diferentes trajetórias. Ou seja, assumimos que o limite abaixo existe para todas as trajetórias factíveis :
Com essa condição, temos que uma trajetória será ótima se a afirmativa
for verdadeira para todas as trajetórias partindo de .
Por último, definimos o conjunto para todo :
Nesse conjunto, a função é contínua e continuamente diferenciável .
Esboçando 
Ou seja, .
Em relação a equação de euler: podemos ignorar as restrições e não fazer o processo completo do  
Lagrangiano, pois os multiplicadores são nulos:
Teorema 5.1 (Necessidade da Equação de Euler)
Considere a otimização dinâmica do problema na forma reduzida e assuma que e são subconjuntos de com interiores não vazios para e . Além disso, assuma que a função utilidade é continuamente diferenciável em relação aos seus dois primeiros argumentos no interior de e que o limite
existe para todas as trajetórias factíveis. Se é uma trajetória ótima interior, então a Equação de Euler 
é verdadeira para todo .
Derivação Teorema 5.1
Tomemos a função objetiva
Note que os únicos termos que possuem são os escritos acima e que as únicas restrições para são que e . 
Assumimos que a função utilidade é crescente (primeira derivada positiva – quanto maior o consumo, maior a utilidade) e côncava (segunda derivada negativa – quanto maior o consumo, menor sua utilidade marginal). Assim, se é uma trajetória ótima, então resolve o problema de otimização
Note que maximização é em relação a e que e são fixos.
Sob a hipótese de função utilidade continuamente diferenciável no interior de , se é uma trajetória ótima, então a primeira derivada deve ser nula (condição de primeira ordem), ou seja
Essa equação é chamada de Equação de Euler, que consiste apenas na condição de primeira ordem para um ótimo interior. 
Assumimos que o espaço estado é um subconjunto de , de tal forma que a equação de Euler é uma equação em diferenças de segunda ordem implícita nas variáveis de estado. Assim, podemos escrevê-la como uma equação em diferenças de primeira ordem em variáveis de estado. Também sabemos (Teorema 1.1) que as condições iniciais dadas por usualmente não são suficientes para encontrarmos uma solução única da equação de Euler, mas se tivermos condições adicionais, então é possível. O Teorema 5.2 nos auxilia a obter tais condições adicionais (a condição de transversalidade). Essas condições se sustentam dado que o estado espaço contém apenas elementos não negativos e que a forma reduzida da função utilidade satisfaz algumas premissas de monotonicidade e concavidade.
Prova – Teorema 5.2:
Tome . Dado que a trajetória é interior, é convexa para todo e que , considere a trajetória alternativa 
Essa trajetória será factível se for suficientemente pequeno e positivo. Como é trajetória ótima,
Note que até , , dessa forma
Note, também, que a partir de, como é uma trajetória ótima, sua utilidade é superior à de , 
Perceba que os primeiros termos que divergem, entre as séries, são dados por
 e 
Assim, temos 
De tal forma que obtemos
Dividindo ambos os lados por ,
Dada a concavidade de , temos
Teorema 5.2 (Necessidade da Condição de Transversalidade)
Considere a otimização dinâmica do problema na forma reduzida e assuma as condições do Teorema 5.1. Além disso, assuma que é um subconjunto convexo de e que para todo o conjunto é um subconjunto convexo de , de origem em . Por fim, suponha que para todo , é côncava em relação a . Se é uma trajetória ótima interior tal que , então
Definição de função côncava: para qualquer ,
Tome e , temos
Somando e subtraindo 
Rearranjando e multiplicando por ,
Dividindo ambos os lados por ,
Para seguirmos a prova, tome e, portanto, .
Quando tende a , aplicando L’Hospital,
e
Assim, 
O lado esquerdo dessa inequação não é positivo pois assumimos que (a utilidade marginal de investir, isso é, poupar para o período seguinte, é negativa. Quanto mais você poupa, menos você quer poupar) e porque o espaço estado é um subespaço do Espaço Euclidiano não negativo (garante que ). Assim,
Assim, tendo em vista que as sequências e só diferem a partir de , quando temos que
Portanto,
Dessa forma, assumindo que o limite
existe para qualquer trajetória factível, temos
Portanto, a condição
é verdadeira.
Note que a condição de transversalidade é satisfeita se é uma trajetória limitada e se a derivada parcial converge para quando tende a . A segunda propriedade, de que o espaço estado possui apenas elementos não negativos e que a forma reduzida da função utilidade satisfaz as hipóteses de monotonicidade e concavidade, é trivial se possui a forma com um fator de preferência temporal e uma função continuamente diferenciável com derivadas parciais de primeira ordem limitadas. As condições adicionais tomadas como verdades, advindas do Teorema 5.1, não são dispensáveis.
	Os teoremas 5.1 e 5.2 mostram que a equação de Euler e a condição de transversalidade são necessárias para uma trajetória interior ser ótima. O teorema 5.3 mostra que, sob as hipóteses do teorema 5.2, essas duas condições são suficientes.
Teorema 5.3 (Suficiência da Equação de Euler e Condição de Transversalidade)
Considere o problema de otimização dinâmica na forma reduzida e tome as hipóteses do Teorema 5.2 como satisfeitas. Se é uma trajetória factível que satisfaz a equação de Euler, a condição de transversalidade e , então temos que é uma trajetória ótima.
Prova - Teorema 5.3
Considere uma trajetória , que satisfaz a Equação de Euler e a Condição de Transversalidade, e uma trajetória alternativa factível , ambas com início em . Tome
[Se esse limite da diferença for positivo, é melhor que e, como satisfaz apenas Euler e Transversalidade, essas condições são suficientes para uma trajetória ótima]
Uma vez que é côncava, 
Assim, temos
Multiplicando por 
Substituindo em ,
Uma vez que , podemos rearranjar o segundo somatório como
Da Equação de Euler, temos que 
Assim, nos resta (multiplicando o segundo termo da soma),
Da condição de transversalidade, 
Assim, temos que
Uma vez que (a utilidade de poupar para o período seguinte decrescente), temos 
Portanto, 
Dessa forma, demonstramos que uma trajetória que satisfaz apenas a Equação de Euler e a Condição de transversalidade resulta em um valor superior de utilidade em relação a qualquer outra trajetória, evidenciado pela diferença positiva. Dessa maneira, a Equação de Euler e a Condição de Transversalidade são suficientes para uma trajetória ótima.