Sorger Resolução de Exemplos Capítulo 2

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Sorger – Resolução de Exemplos Capítulo 2
Exemplo 2.1
Aplicando o Teorema 2.2 para resolver equações em diferenças homogêneas lineares por meio de autovalores e autovetores. Considere a equação em diferenças homogênea linear de uma dimensão:
com e . Perceba que nesta situação a matriz é dada por
ou seja, a matriz é um número real, de tal forma que seu autovalor será o próprio e, seu autovetor correspondente, . Uma vez que é um número real, podemos utilizar da parte (a) do Teorema 2.2, de tal forma que teremos uma trajetória de dada por
Uma vez que , sabemos que não há outras trajetórias linearmente independentes, de tal forma que a solução geral será dada por
onde é um parâmetro real. Se tivermos um dado, então .
Exemplo 2.6
Para ilustrar o método de variação de constantes, considere a equação em diferenças linear não homogênea de uma dimensão 
onde e . Uma solução base para a equação homogênea
é dada por (encontrado no exemplo anterior). Assim, temos que . Portanto, a solução particular da equação não homogênea é dada por (fórmula de variação de constantes):
Tome , onde e são números reais e . Assim,
Perceba que
Perceba que temos uma progressão geométrica de e de razão , portanto, pela soma parcial de uma progressão geométrica. Assim,
Portanto,
Uma vez que podemos escolher aleatoriamente, tomemos , de tal forma que
Exemplo 2.8
Para ilustrar o método “guess-and-verify”, considere a equação em diferenças linear não homogênea de uma dimensão
onde e . 
Perceba que a parte não homogênea
é dada pela soma de um polinômio quadrático e um termo exponencial. Assim, podemos considerar (“chutar”) uma solução particular da forma
e tentar determinar os coeficientes , tais que seja uma trajetória da equação em diferenças dada. Substituindo doas dois lados da equação e rearranjando os termos, temos
Assim, temos que
Portanto, a solução do problema é dada por
Exercício 2.2 – Considere a equação em diferenças linear de segunda ordem
a) Reescreva a equação como uma equação de primeira ordem em um espaço estado de duas dimensões.
Tome , de tal forma que
b) Determine a solução geral para a equação.
Encontrando os autovalores para a matriz
Portanto, temos o autovalor . Encontrando o autovetor associado:
Assim, temos um autovetor associado de multiplicidade 2, dado por
Uma vez que não existe outro autovetor linearmente independente de , devemos encontrar um autovetor generalizado dado por:
Portanto, um vetor que satisfaz a equação é
Assim, temos a solução geral dada por 
c) Determine a solução particular satisfazendo as condições e .
Considerando as condições iniciais de e , em , temos que
Assim, temos que a solução particular é dada por