errata_lista3

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Questão 1
b) Para obtermos o estimador da variância, trabalharemos com desvios de
si+� � si em relação ao seu valor esperado ��. Note que isso não altera o
estimador de �^2, como podemos observar abaixo:
S2 = (n�)
�1
nX
i=1
�
(si+� � si � ���)�
Pn
i=1 (si+� � si � ���)
n
�2
= (n�)
�1
nX
i=1
�
(si+� � si)� ����
Pn
i=1 si+� � si
n
+ ���
�2
= (n�)
�1
nX
i=1
�
(si+� � si)�
Pn
i=1 si+� � si
n
�2
= �^2
Portanto, temos que V ar(�^2) = V ar(S2) = E(S4)�E(S2):Como já obtemos
E(S2) no item anterior, resta calcularmos E(S4) para obtermos a variância de
�^2:
1
S4 =
(
(n�)
�1
nX
i=1
�
(si+� � si � ���)�
Pn
i=1 (si+� � si � ���)
n
�2)2
=
(Pn
i=1 (si+� � si � ���)2
n�
�
�Pn
i=1 (si+� � si � ���)
n�
�2)2
=
1
(n�)2
"
nX
i=1
(si+� � si � ���)2
#2
A
� 2
(n�)3
24 nX
i=1
(si+� � si � ���)2
 
nX
i=1
(si+� � si � ���)
!235
B
+
1
(n�)4
 
nX
i=1
(si+� � si � ���)
!4
C
A =
"
nX
i=1
(si+� � si � ���)2
#2
=
nX
i=1
(si+� � si � ���)4 +
X
i 6=j
(si+� � si � ���)2 (sj+� � sj � ���)2
B =
nX
i=1
(si+� � si � ���)2
 
nX
i=1
(si+� � si � ���)
!2
=
nX
i=1
(si+� � si � ���)4 +
X
i 6=j
(si+� � si � ���)2 (sj+� � sj � ���)2
+2
X
i 6=j
(si+� � si � ���)3 (sj+� � sj � ���)
+
X
i 6=j 6=k
(si+� � si � ���)2 (sj+� � sj � ���) (sk+� � sk � ���)
C =
 
nX
i=1
(si+� � si � ���)
!4
=
nX
i=1
(si+� � si � ���)4 + 3
X
i 6=j
(si+� � si � ���)2 (sj+� � sj � ���)2
+4
X
i 6=j
(si+� � si � ���)3 (sj+� � sj � ���)
+6
X
i 6=j 6=k
(si+� � si � ���)2 (sj+� � sj � ���) (sk+� � sk � ���)
+
X
i 6=j 6=k 6=l
(si+� � si � ���) (sj+� � sj � ���) (sk+� � sk � ���) (sl+� � sl � ���)
2
Dado que f(si+� � si � ���)gni=1 é i:i:d: e E (si+� � si � ���) = 0, segue
que
E(A) = nE (si+� � si � ���)4 + n(n� 1)
h
E (si+� � si � ���)2
i2
E(B) = nE (si+� � si � ���)4 + n(n� 1)
h
E (si+� � si � ���)2
i2
E(C) = nE (si+� � si � ���)4 + 3n(n� 1)
h
E (si+� � si � ���)2
i2
Na distribuição normal temos que E[X�E(X)]4 = 3(E[X�E(X)]2): Assim
sendo, dado que E (si+� � si � ���)2 = �2�, temos que
E(A) = 3n�2�4 + n(n� 1)�2�4 = n�2�4(n� 2)
E(B) = 3n�2�4 + n(n� 1)�2�4 = n�2�4(n� 2)
E(C) = 3n�2�4 + 3n(n� 1)�2�4 = 3n2�2�4
Assim sendo, da expressão que obtivemos para S4 segue que
S4 =
n�4�2
(n�)4
�
(n�)2(n� 2)� 2(n�)(n� 2) + 3n	
Por …m, a variância de �^2 é dada por
V ar(�^2) = E(S4)� E(S2)2
=
n�4�2
(n�)4
�
(n�)2(n� 2)� 2(n�)(n� 2) + 3n� (n� 1)
2
n
�2
�
Questão 3
3
a)
L(xij �) =
nY
i=1
f(xij �) =
nY
i=1
�x��1i
lnL(xij �) =
nX
i=1
ln
�
�x��1i
�
= n ln � + (� � 1)
nX
i=1
lnxi
@ lnL(xij �)
@�
= 0 =) n
�
+
nX
i=1
lnxi = 0
�MV = � nPn
i=1 lnxi
@ ln f(xij �)
@�
=
1
�
+ lnxi
@2 ln f(xij �)
@�2
= � 1
�2
Sendo g(�) = �(1+�)�1; pelo princípio da invariância temos que o estimador
de máxima verossimilhança de g(�) é dado por g(�MV ):
b) �
�E@
2 ln f(xij �)
@�2
��1
= �2
p
n(�MV � �) d! N(0; �2)
Utilizando o método Delta, temos que
p
n
h
g
�
�MV
�
� g(�)
i
d! g0(�)N(0; �2) = 1
(1 + �)
2N(0; �
2)
= N
�
0;
�2
(1 + �)4
�
Questão 4
a)
L(xij �) =
nY
i=1
1
�
exp
�
�x
�
�
lnL(xij �) =
nX
i=1
�
ln
1
�
exp
�
�x
�
��
= �n ln � �
nX
i=1
xi
�
4
b)
@ lnL(xij �)
@�
= �n
�
+
nX
i=1
xi
�2
= 0
�ML = n�1
nX
i=1
xi = �x
c)
@ ln f(xij �)
@�
= �1
�
+
xi
�2
@2 ln f(xij �)
@�2
=
1
�2
� 2xi
�3�
�E@
2 lnL(xij �)
@�2
��1
=
�
� 1
�2
+ 2
�
�3
��1
= �2
p
n(�MV � �) d! N �0; �2�
d) Pelo princípio da invariância, o estimador de máxima verossimilhança de
�3 é dado por �^
3
:Pelo princípio de Mahn-Wald, esse estimador é consistente,
dada consistência de �^:
e) Utilizando o método Delta, sendo g(�) = �3; temos que
p
n
h
g
�
�MV
�
� g(�)
i
d! g0(�)N(0; �2) = 3�2N(0; �2)
= N
�
0; 9�6
�
5