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Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios Pares Cap´ıtulo 2 Gledson Luiz Picharski Data da u´ltima atualizac¸a˜o: 2 de Maio de 2008 Sec¸a˜o 2.1 2. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espac¸o amostral, “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situac¸o˜es: a) Pelo menos um dos eventos ocorre. b) O evento A ocorre mas B na˜o. c) Nenhum deles ocorre. d) Exatamente um dos eventos ocorre. Resposta: Os eventos podem ser traduzidos pela seguinte notac¸a˜o. a) (A ∪B) b) (A ∩Bc) c) (A ∩B)c d) (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) 4. Sejam A e B dois eventos em um dado espac¸o amostral, tais que P (A) = 0, 2, P(B)=p, P (A ∪B) = 0, 5 e P (A ∩B) = 0, 1.Determine o valor de p. Resposta: Existem algumas maneiras de se chegar ao mesmo resultado, de forma bem simples atin- giremos este objetivo, como segue. 1 > p <- (A.uni.B = 0.5) - (A = 0.2) + (A.inter.B = 0.1) > p [1] 0.4 2 Sec¸a˜o 2.2 2. Se P (A ∪B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos. b) A e B serem independentes. Resposta: Sendo os dois eventos disjuntos a intersecc¸a˜o entre eles e´ 0, enta˜o temos: a) > x <- -(A = 0.5) + (A.uni.B = 0.8) + (A.inter.B = 0) > x [1] 0.3 b) > # A.inter.B = 0.5 * x > x <- (-(A=0.5)+(A.uni.B = 0.8))/0.5 > x [1] 0.6 4. Se P (B) = 0, 4; P (A) = 0, 7 e P (A ∩B) = 0, 3; calcule P (A|Bc). Resposta: Pelo teorema de Bayes podemos chegar a seguinte conclusa˜o: > x <- ((A = 0.7) - (A.inter.B = 0.3))/(B. = 0.6) > x [1] 0.6666667 6. O Sa˜o Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se na˜o chove. Em Setembro a probabilidade de chuva e´ de 0,3. O Sa˜o Paulo ganhou uma partida em Setembro , qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? Resposta: A probabilidade em questa˜o e´ obtida usando o teorema de Bayes, o desenvolvimento aparece a seguir: > G.dado.C <- 0.7 > C <- 0.3 > G.dado.c <- 0.8 > C.inter.G <- G.dado.C * C > c.inter.G <- G.dado.c * (1 - C) > G <- C.inter.G + c.inter.G 3 > x <- (C.inter.G)/G > x [1] 0.2727273 4 Sec¸a˜o 2.3 2. Considere um conjunto de 4 nu´meros dos quais nenhum deles e´ zero, dois sa˜o positivos e dois sa˜o negativos. Sorteamos ao acaso, com reposic¸a˜o, 2 nu´meros desse conjunto. Determine a probabilidade de: a) Somente um deles ser negativo. b) O quociente ser negativo. c) Os dois nu´meros terem o mesmo sinal. Resposta: Geramos atra´vez dos comandos a seguir o nosso conjunto amostral, onde e´ feita a suposic¸a˜o de A e B serem negativos, enquanto C e D sa˜o positivos, coloco N no lugar dos negativos e P para os positivos ja´ que para a resoluc¸a˜o do exerc´ıcio o que importa e´ apenas o sinal. > num <- LETTERS[1:4] > possiveis <- length(rep(num, 4)) > prob <- data.frame(sorteio.1 = rep(num, each = 4), sorteio.2 = rep(num, + 4), Prob = 1/possiveis) a) Para perceber quais sa˜o meus casos favoraveis testo a linha em que temos apenas um nu´mero negativo, assim consigo a probabilidade deste evento, como e´ demonstrado pelos comandos a seguir. > favoraveis <- with(prob, sum(((sorteio.1 != sorteio.2)) & (((sorteio.1 == + "A") | (sorteio.1 == "B")) & ((sorteio.2 == "C") | (sorteio.2 == + "D"))) | (((sorteio.2 == "A") | (sorteio.2 == "B")) & ((sorteio.1 == + "C") | (sorteio.1 == "D"))))) > favoraveis/possiveis [1] 0.5 Podemos verificar que existem 8 casos favoraveis em 16possiveis, enta˜o a probabili- dade de somente um deles ser negativo e´ de 0.5 b) Se o quociente e´ negativo, somente um deles e´ negativo, o que implica em fazer o mesmo teste do item a, onde obtemos 0.5. c) O teste e´ feito de forma semelhante ao item a, assim conseguimos encontrar a pro- babilidade dos dois nu´meros terem o mesmo sinal. > favoraveis.c <- with(prob, sum(((sorteio.1 == sorteio.2)) | (((sorteio.1 == + "A") & (sorteio.2 == "B")) | ((sorteio.1 == "B") & (sorteio.2 == + "A"))) | (((sorteio.1 == "C") & (sorteio.2 == "D")) | ((sorteio.1 == + "D") & (sorteio.2 == "C"))))) > favoraveis.c/possiveis [1] 0.5 Pela demosntrac¸a˜o feita percebemos que temos 8 casos provaveis em 16 possiveis, resultando em uma probabilidade de 0.5. 5 4. Uma classe de estat´ıstica teve a seguinte distribuic¸a˜o das notas finais:4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule: a) P (A ∪M c) b) P (Ac capM c) c) P (A|M) Resposta: As probabilidades sa˜o facilmente calculadas a seguir. a) P (A ∪M c) = P (A) + P (M c)− P (A ∩M c) 22 32 + 20 32 − 14 32 = 0.875 b) P (Ac ∩M c) = P (Ac) + P (M c)− P (Ac ∪M c) 10 32 + 20 32 − 24 32 0.1875 c) P (A|M) = P (A ∩M) P (M) 8 32 + 12 32 = 0.625 d) P (M c|A) = P (M c ∪ A) P (A) 14 22 = 0.6367 e) P (M |A) = P (M ∪ A) P (A) 8 22 = 0.3636 6. Para dois eventos A e B, num mesmo espac¸o amostral, verifique, atrave´s de um diagrama, que e´ sempre poss´ıvel escrever o evento A como sendo (A∩B)∪ (A∩Bc) e que, portanto, vale P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc). Resposta: A Figura 1 mostra o diagrama em questa˜o. > plot(1:100, 1:100, ty = "n", main = "", xlab = "", ylab = "", + axes = F) > rect(1, 3, 99, 97) > symbols(30, 50, circles = 28, inches = F, add = T) > symbols(70, 50, circles = 28, inches = F, add = T) > text(50, 50, expression(paste("A", intersect(B, , )))) 6 > text(30, 83, "A") > text(70, 83, "B") > text(30, 50, expression(paste("A", intersect(B^c, , )))) > text(25, 8, expression(paste("A = A", intersect(B^c, , ), "+ ", + "A", intersect(B, , )))) A∩B A B A∩Bc A = A∩Bc+ A∩B Figura 1: Diagrama dos eventos A e B. 8. As prefereˆncias de homens e mulheres por cada geˆnero de filme alugado em uma locadora de v´ıdeos, esta˜o apresentados na pro´xima tabela. Sexo/Filme Come´dia Romance Policial Homens 136 92 248 Mulheres 102 195 62 Sorteando-se ao acaso, uma dessas locac¸o˜es de v´ıdeo, pergunta-se a probabilidade de: a) Uma mulher ter alugado um filme policial? b) O filme alugado ser uma come´dia? c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance? d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem? Resposta: Usando os comandos a seguir, obtenho a Tabela 1. 7 > freq <- c(136, 102, 92, 195, 248, 62) > Sexo <- rep(rep(c("Homens", "Mulheres"), 3), freq) > Filme <- rep(rep(c("come´dia", "romance", "policial"), each = 2), + freq) > tab <- data.frame(Sexo, Filme) > with(tab, table(Sexo, Filme)) Filme Sexo come´dia policial romance Homens 136 248 92 Mulheres 102 62 195 > xtable(table(Sexo, Filme), caption = "Prefere^ncia por gene^ro de filme", + label = "tab:2-3-8") come´dia policial romance Homens 136 248 92 Mulheres 102 62 195 Tabela 1: Prefereˆncia por geneˆro de filme a) Esta probabilidade pode ser obtida conforme segue: > Mulheres.inter.policial <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "policial" & + Sexo == "Mulheres"]))) > total <- length(tab[, 1]) > Mulheres.inter.policial/total [1] 0.0742515 b) > n.come´dia <- with(tab, (length(Filme[Filme == "come´dia"]))) > total <- length(tab[, 1]) > n.come´dia/total [1] 0.2850299 c) > Homens.uniao.come´dia <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "come´dia" | + Sexo == "Homens"]))) > total <- length(tab[, 1]) > Homens.uniao.come´dia/total [1] 0.6922156 d) > Homens.inter.policial <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "policial" & + Sexo == "Homens"]))) > n.Homens <- with(tab, length(Sexo[Sexo == "Homens"])) > Homens.inter.policial/n.Homens [1] 0.5210084 8 10. Em um bairro existem treˆs empresas de TV a caboe 20 mil resideˆncias. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 assinantes e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas resideˆncias em alguns condomı´nios subscrevem aos servic¸os de mais uma empresa. Assim, temos 420 resideˆncias que sa˜o assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC 30 que sa˜o assinantes das treˆs empresas. Se uma resideˆncia desse abirro e´ sorteada ao acaso, qual a probabilidade de: a) Ser assinante somente da empresa TA? b) Assinar pelo menos uma delas? c) Na˜o ter TV a cabo? Resposta: A Figura 2 ilustra a quantidade de assinates em cada empresa. > plot(1:100, 1:100, ty = "n", main = "", xlab = "", ylab = "", + axes = F) > rect(1, 1, 99, 99) > symbols(50, 32, circles = 27, inches = F, add = T) > symbols(32, 68, circles = 27, inches = F, add = T) > symbols(68, 68, circles = 27, inches = F, add = T) > text(c(10, 90, 72, 50), c(90, 90, 10, 55), c("A", "B", "C", "30"), + cex = 0.7) > text(c(50, 50, 40, 60), c(70, 67, 45, 45), c("420 - 30", "= 390", + "120-30 = 90", "180-30=150"), cex = 0.7) > text(c(25, 75, 50), c(70, 70, 25), c("2100-390-90-30 = 1590", + "1850-390-150-30 = 1280", "2600-90-150-30 = 2330"), cex = 0.7) A B C 30 420 − 30 = 390 120−30 = 90 180−30=150 2100−390−90−30 = 1590 1850−390−150−30 = 1280 2600−90−150−30 = 2330 Figura 2: Representac¸a˜o das assinaturas de TV. 9 a) P (TA) = 1590 20000 = 0.079 b) P (TA ∪ TB ∪ TC) = 1590 + 1280 + 2330 + 90 + 150 + 390 + 30 20000 = 5860 20000 = 0.293 c) P ((TA ∪ TB ∪ TC)c) = 20000− 5860 20000 = 0.707 12. Das pacientes de uma Cl´ınica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% sa˜o ou foram casadas e 40% sa˜o solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distu´- bio hormonal no u´ltimo ano e´ de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distu´rbio hormonal? b) Se a paciente sorteada tiver distu´rbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira? c) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposic¸a˜o, qual e´ a probabilidade de pelo menos uma ter o distu´rbio? Resposta: A Tabela 2 mostra os percentuais dados pelo exerc´ıcio. > Civil <- rep(c("casada", "solteira"), c(60, 40)) > Saude <- rep(rep(c("com disturbio", "sem disturbio"), 2), c(30, + 30, 10, 30)) > x <- table(Saude, Civil) > addmargins(prop.table(x)) Civil Saude casada solteira Sum com disturbio 0.3 0.1 0.4 sem disturbio 0.3 0.3 0.6 Sum 0.6 0.4 1.0 > xtable(addmargins(prop.table(x)), caption = "Pacientes de uma Clı´nica de Ginecologia.", + label = "tab:2-3-12") casada solteira Sum com disturbio 0.30 0.10 0.40 sem disturbio 0.30 0.30 0.60 Sum 0.60 0.40 1.00 Tabela 2: Pacientes de uma Cl´ınica de Ginecologia. a) Essa probabilidade pode ser observada na tabela, onde encontramos 0.4. 10 b) P (solteira|disturbio) = P (solteira ∩ disturbio) P (disturbio) = 10 40 = 0.25 c) A probabilidade e´ apresentada na tabela a seguir. Eventos Probabilidades dist. e dist. 0.4 x 0.4 = 0.16 dist. e n.dist. 0.4 x 0.6 = 0.24 n.dist. dist. 0.6 x 0.4 = 0.24 n.dist. e n.dist. 0.6 x 0.6 = 0.36 0.16 + 0.24 + 0.24 = 0.64 14. Numa certa regia˜o, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera e´ de 0,1. Um meteorologista da TV acerta suas previso˜es em 80% dos dias em que chove e em 90% dos dias em que na˜o chove. a) Qual e´ a probabilidade de o meteorologista acertar sua previsa˜o? b) Se houve acerto na previsa˜o feita, qual a probabilidade de ter sido num dia de chuva? Resposta: P (A|C) = 0.8 P (A|Cc) = 0.9 P (C) = 0.1 P (Cc) = 0.9 a) P (A) = P (A ∩ C) + P (A ∩ Cc) P (A ∩ C) = P (A|C) · P (C) = 0.8× 0.1 = 0.08 P (A ∩ Cc) = P (A|Cc) · P (Cc) = 0.9× 0.9 = 0.81 P (A) = 0.89 b) P (C|A) = P (A ∩ C) P (A) = 0.08 0.89 = 0.0899 16. Treˆs candidatos disputam as eleic¸o˜es para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30%da prefereˆncia eleitoral, o de centro tem 30% e o de esquerda 40%. Em sendo eleito a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educac¸a˜o e Sau´de e´ de 0,4;0,6 e 0,9, para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. a) Qual a probabilidade de na˜o ser dada prioridade a essas a´reas no pro´ximo governo? b) Se a a´rea teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleic¸a˜o? Resposta: Utilizarei p para representar a prioridade em sau´de e educac¸a˜o. 11 a) P (direita ∩ p1c) + P (centro ∩ p2c) + P (esquerda ∩ p3c) 0.3× 0.6 + 0.3× 0.4 + 0.4× 0.1 = 0.34 b) P (direita|p) = P (A ∩ yP ) P (p) = 0.12 0.66 = 0.18 18. Um me´dico desconfia que um paciente tem tumor no abdoˆmen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectara´ com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele na˜o tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual e´ a probabilidade do paciente teˆ-lo de fato? Resposta: Usarei D para detecc¸a˜o do tumor e T para a existeˆncia do tumor no paciente. P (D ∩ T c) = P (D|T c) · P (T c) = 0.1× 0.3 = 0.03 P (T ∩D) = P (D|T ) · P (T ) = 0.9× 0.7 = 0.63 P (T |D) = P (T ∩D) P (D) = P (T ∩D) P (D ∩ T ) + P (D ∩ T c) = 0.63 0.63 + 0.03 = 0.955 20. Numa certa populac¸a˜o, a probabilidade de gostar de teatro e´ 1/3, enquanto que a de gostar de cinema e´ 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e na˜o de cinema, nos seguintes casos: a) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o disjuntos. b) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o eventos independentes. c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema. d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema e´ de 1/8. e) Dentre os que na˜o gostam de cinema, a probabilidade de na˜o gostar de teatro e´ de 3/4. Resposta: Usarei C para cinema e T para teatro. a) P (T ∩ Cc) = P (T ) = 1 3 b) P (T ∩ Cc) = 1 3 × 1 2 = 1 6 c) P (T ∩ Cc) = 0 d) P (T ∩ Cc) = 1 3 − 1 8 = 0.208 e) P (Cc) = P (T c ∩ Cc) + P (T ∩ Cc) 1 2 = 3 8 + P (T ∩ Cc) P (T ∩ Cc) = 0.125 12 22. Acredita-se que numa certa populac¸a˜o, 20% de seus habitantes sofrem de algum tipo de alergia e sa˜o classificados como ale´rgicos para fins de sau´de pu´blica. Sendo ale´rgico, a probabilidade de ter reac¸a˜o a um certo antibio´tico e´ de 0,5. Para os na˜o ale´rgicos essa probabilidade e´ de apenas 0,05. Uma pessoa dessa populac¸a˜o teve reac¸a˜o ao ingerir o antibio´tico, qual a probabilidade de: a) Ser do grupo na˜o ale´rgico? b) Ser do grupo ale´rgico? Resposta: Usarei R para reac¸a˜o e A para alergia. a) P (R ∩ A) = P (A) · P (R|A) = 0.2× 0.5 = 0.1 P (R ∩ Ac) = P (Ac) · P (R|Ac) = 0.8× 0.5 = 0.04 P (Ac|R) = P (Ac ∩R) P (R) = fracP (Ac ∩R)P (Ac ∩R) + P (A ∩R) = 0.1 0.1 + 0.04 = 0.714 b) P (A|R) = 1− P (Ac|R) = 0.286 24. Sejam A e B dois eventos de Ω, tal que P (B) > 0.Mostre que: a) Se P (A|B) = P (A) enta˜o P (A ∩B) = P (A)P (B). b) Se P (A ∩B) = P (A)P (B) enta˜o A e B sa˜o independentes. Resposta: a) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) = P (A) · P (B) P (B) = P (A) b) P (A ∩B) = P (A) · P (B) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) = P (A) P (B|A) = P (B ∩ A) P (A) = P (B) 26. A probabilidade de encontrar ga´s numa certa regia˜o e´ 1/10. Treˆs sondas ideˆnticas esta˜o perfurando de modo independente. a) Sabendo-se que uma delas (qualquer) na˜o achou ga´s, qual a probabilidade das outras duas encontrarem? b) Sabendo-se que uma delas (qualquer) na˜o achou ga´s, qual a probabilidade de encon- trar ga´s na regia˜o atrave´s dessas perfurac¸o˜es? c) Sabendo-se que na˜o mais de uma delas (qualquer) achou ga´s, qual a probabilidadede nenhuma encontrar ga´s? Resposta: 13 Eventos Probabilidades A B C 1 10 × 1 10 × 1 10 = 1 1000 A B Cc 1 10 × 1 10 × 9 10 = 9 1000 A Bc C 1 10 × 9 10 × 1 10 = 9 1000 A Bc Cc 1 10 × 9 10 × 9 10 = 81 1000 Ac B C 9 10 × 1 10 × 1 10 = 9 1000 Ac B Cc 9 10 × 1 10 × 9 10 = 81 1000 Ac Bc C 9 10 × 9 10 × 1 10 = 81 1000 Ac Bc Cc 9 10 × 9 10 × 9 10 = 729 1000 Tabela 3: Probabilidades de encontrar ga´s na regia˜o. Vou chamar as sondas de A, B e C, enta˜o construo a Tabela 3 com os eventos e suas probabilidades. a) Os dados podem ser observados na tabela, vou considerar que a C na˜o encontrou ga´s. P ((A ∩B)|Cc) = P (A ∩B ∩ Cc) P (C)c = 9 1000 1 10 = 0.09 b) Vou considerar que a sonda C na˜o encontrou ga´s. P ((A ∪B)|Cc) = P ((A ∪B) ∩ Cc) P (C)c = (P (A) + P (B)− P (A ∩B)) · P (Cc) P (Cc) = 20−1 100 · 9 10 9 10 = 0.19 c) AcBcCc ABcCc ∪ AcBCc ∪ AcBcC ∪ AcBcCc = 243 725 + 243 = 0.25 28. Uma famı´lia viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congesti- onamento na estrada e´ de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro e´ de 0,8, e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando ha´ briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a pacieˆncia com os filhos e´ de 0,7. E´ claro que havendo congestionamento o pai pode perder a pacieˆncia com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com pro- babilidade 0,5. Quando na˜o ha´ nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqu¨ilo e na˜o perde a pacieˆncia. Determine a probabilidade de: a) Na˜o ter havido congestionamento se o pai na˜o perdeu a pacieˆncia com seus filhos. b) Ter havido briga dado que perdeu a pacieˆncia. Resposta: Usarei C para congestionamento, B para briga e P para situac¸a˜o de o pai perder a pacieˆncia. Este problema em algumas situac¸a˜o me pareceu ter mais de uma inter- 14 pretac¸a˜o, mas assumo que os valores que o exerc´ıcio deu sa˜o os que vou represenatar abaixo. P (C) = 0.6 P (B|C) = 0.8 P (B|Cc) = 0.4 P (P |B) = 0.7 P (P |C) = 0.5 P (P |C∩Bc) = 0 Assim podemos obter a probabilidade de outros eventos: P (P ) = P (P ∩B) + P (P ∩Bc) P (P ) = P (P |B)P˙ (B) + P (P |Bc ∩ C)P˙ (Bc ∩ C) + P (P |Bc ∩ Cc)P˙ (Bc ∩ Cc) P (P ) = 0.7× 0.64 + 0.5× 0.2× 0.6 + 0 = 0.508 P (C ∩ P c) = P (P c|C)P˙ (C) = 0.6× 0.5 = 0.3 P (B) = P (B ∩ Cc) + P (B ∩ C) = 0.16 + 0.48 = 0.64 P (P ∩B) = P (P |B)P˙ (B) = 0.7× 0.64 = 0.448 a) P (Cc|P c) = 1− P (C|P c) = 1− P (C ∩ P c) P (P c) = 1− 0.3 0.498 = 0.3976 b) P (B|P ) = P (B ∩ P ) P (P ) = zfrac0.4480.492 = 0.91 30. (Use o computador) Considere os dados do arquivo areas.txt descrito no Exerc´ıcio 25, Cap´ıtulo 1. Suponha que voceˆ ganhe um apartamento em uma promoc¸a˜o feita por uma cadeia de lojas. Utilizando o computador, construa tabelas de frequ¨eˆncia necessa´rias para responder a`s seguintes questo˜es. a) Qual a probabilidade do apartamento estar situado entre os andares 4 e 7? b) Qual a probabilidade do apartamento estar situado no bloco B? c) Qual seria a probabilidade de voceˆ ganhar um apartamento com algum problema de construc¸a˜o? (Isto e´, com rachaduras e infiltrac¸o˜es). d) Repita os itens anteriores, dado que o apartamento esta´ situado no bloco B. Resposta: > areas <- read.table("http://www.ime.usp.br/~noproest/areas", + head = T) > head(areas) Id Bloco Andar Final Sala Cozinha Banheiro Dorm Rachadura Infiltr 1 1 A 1 1 27.8 7.9 5.0 11.6 0 0 2 2 A 1 2 28.3 7.3 5.4 13.1 0 0 3 3 A 1 3 27.1 7.1 5.0 14.9 0 0 4 4 A 1 4 26.5 8.4 3.9 12.4 1 1 5 5 A 2 1 27.7 7.6 4.7 12.1 0 0 6 6 A 2 2 28.3 7.7 4.6 14.3 0 0 15 a) > with(areas, length(Andar[Andar >= 4 & Andar <= 7])/length(Andar)) [1] 0.2105263 b) > with(areas, length(Bloco[Bloco == "B"])/length(Bloco)) [1] 0.5 c) > with(areas, length(Id[Rachadura == 1 | Infiltr == 1])/length(Id)) [1] 0.5723684 d) Os 3 itens sa˜o calculados a seguir, obviamente que a chance de o aparatamento ser no bloco B dado que e´ do bloco B vai ser 1. > with(areas, length(Andar[Andar >= 4 & Andar <= 7 & Bloco == "B"])/length(Andar[Bloco + "B"])) [1] 0.2105263 > with(areas, length(Bloco[Bloco == "B"])/length(Bloco[Bloco == + "B"])) [1] 1 > with(areas, length(Id[(Rachadura == 1 | Infiltr == 1) & Bloco == + "B"])/length(Id[Bloco == "B"])) [1] 0.5921053 32. (Use o computador) Considere os dados do arquivo aeusp.txt descrito no Exerc´ıcio 26, Cap´ıtulo 1. Suponha que escolhemos, ao acaso um dos moradores entrevistados. a) Qual a probabilidade da idade do entrevistado ser inferior a 35 anos? b) Dado que o morador tem menos de 35 anos, qual e´ a probabilidade dele ser do sexo feminino? c) Qual seria a probabilidade de escolher um morador do Jardim Raposo que tenha acesso a computador? d) Determine a probabilidade de escolher um entrevistado que tenha vindo do nordeste, seja do sexo feminino e esta´ trabalhando. Se esse morador foi escolhido, qual e´ a probabilidade dele ter carteira assinada? A seguir, carrego os dados e fac¸o os mesmos testes que os apresentados no capitulo 1, supondo que subistituir os dados incoerentes por NA satisfac¸a a situac¸a˜o. > se <- read.xls("aeusp.xls", head = T) [1] "/tmp/Rtmp9G76oV/file684a481a.csv" > head(se) Num Comun Sexo Idade Ecivil X.Reproce X.Temposp X.Resid Trab Ttrab X.Itrab 1 1 JdRaposo 2 4 4 Nordeste 21 9 3 NA 20 2 2 JdRaposo 2 1 1 Sudeste 24 9 1 1 14 3 3 JdRaposo 2 2 1 Nordeste 31 3 1 1 14 16 4 4 JdRaposo 1 2 2 Nordeste 10 3 1 4 10 5 5 JdRaposo 2 4 2 Nordeste 31 6 1 1 11 6 6 JdRaposo 2 4 2 Sudeste 24 4 2 NA 15 X.Renda X.Acompu X.Serief 1 1 2 1 2 2 2 7 3 5 2 7 4 5 2 11 5 6 1 4 6 4 2 4 > with(se, Sexo[Sexo != 1 & Sexo != 2] <- NA) > with(se, Idade[Idade < 1 | Idade > 4] <- NA) > with(se, Ecivil[Ecivil < 1 | Ecivil > 5] <- NA) > with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 1] > 25] <- NA) > with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 2] > 35] <- NA) > with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 3] > 45] <- NA) > with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 4] > Inf] <- NA) > with(se, Idade[X.Temposp == NA] <- NA) > with(se, Trab[Trab < 1 | Trab > 3] <- NA) > with(se, Ttrab[Ttrab < 1 | Ttrab > 5] <- NA) > with(se, X.Renda[X.Renda < 1 | X.Renda > 6] <- NA) > with(se, X.Acompu[X.Acompu < 1 | X.Acompu > 2] <- NA) > with(se, X.Serief[X.Serief < 1 | X.Serief > 12] <- NA) Resposta: a) > with(se, length(Idade[Idade == 3 | Idade == 4])/length(Idade[Idade = !NA])) [1] 0.3948052 b) > with(se, length(Sexo[Sexo == 2 & Idade < 3])/length(Idade[Idade < + 3])) [1] 0.5536481 c) > levels(se$Comun) [1] "Cohab" "JddAbril" "JdRaposo" "Sape´" "V1010" "VDalva" > with(se, length(Comun[Comun == "JdRaposo" & X.Acompu == 1])/length(Comun)) [1] 0.03636364 d) > with(se, sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab == 1)/length(Num)) [1] 0.1350649 > with(se, sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab == 1 & + Ttrab == 1)/sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab == + 1)) [1] 0.3076923 17
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