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Respostas dos exercícios - Noções de probabilidade e estatística

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Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica
Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios Pares
Cap´ıtulo 2
Gledson Luiz Picharski
Data da u´ltima atualizac¸a˜o: 2 de Maio de 2008
Sec¸a˜o 2.1
2. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espac¸o amostral, “traduza” para a linguagem da
Teoria dos Conjuntos, as seguintes situac¸o˜es:
a) Pelo menos um dos eventos ocorre.
b) O evento A ocorre mas B na˜o.
c) Nenhum deles ocorre.
d) Exatamente um dos eventos ocorre.
Resposta:
Os eventos podem ser traduzidos pela seguinte notac¸a˜o.
a) (A ∪B)
b) (A ∩Bc)
c) (A ∩B)c
d) (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B)
4. Sejam A e B dois eventos em um dado espac¸o amostral, tais que P (A) = 0, 2, P(B)=p,
P (A ∪B) = 0, 5 e P (A ∩B) = 0, 1.Determine o valor de p.
Resposta:
Existem algumas maneiras de se chegar ao mesmo resultado, de forma bem simples atin-
giremos este objetivo, como segue.
1
> p <- (A.uni.B = 0.5) - (A = 0.2) + (A.inter.B = 0.1)
> p
[1] 0.4
2
Sec¸a˜o 2.2
2. Se P (A ∪B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos.
b) A e B serem independentes.
Resposta:
Sendo os dois eventos disjuntos a intersecc¸a˜o entre eles e´ 0, enta˜o temos:
a) > x <- -(A = 0.5) + (A.uni.B = 0.8) + (A.inter.B = 0)
> x
[1] 0.3
b) > # A.inter.B = 0.5 * x
> x <- (-(A=0.5)+(A.uni.B = 0.8))/0.5
> x
[1] 0.6
4. Se P (B) = 0, 4; P (A) = 0, 7 e P (A ∩B) = 0, 3; calcule P (A|Bc).
Resposta:
Pelo teorema de Bayes podemos chegar a seguinte conclusa˜o:
> x <- ((A = 0.7) - (A.inter.B = 0.3))/(B. = 0.6)
> x
[1] 0.6666667
6. O Sa˜o Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se na˜o chove.
Em Setembro a probabilidade de chuva e´ de 0,3. O Sa˜o Paulo ganhou uma partida em
Setembro , qual a probabilidade de ter chovido nesse dia?
Resposta:
A probabilidade em questa˜o e´ obtida usando o teorema de Bayes, o desenvolvimento
aparece a seguir:
> G.dado.C <- 0.7
> C <- 0.3
> G.dado.c <- 0.8
> C.inter.G <- G.dado.C * C
> c.inter.G <- G.dado.c * (1 - C)
> G <- C.inter.G + c.inter.G
3
> x <- (C.inter.G)/G
> x
[1] 0.2727273
4
Sec¸a˜o 2.3
2. Considere um conjunto de 4 nu´meros dos quais nenhum deles e´ zero, dois sa˜o positivos
e dois sa˜o negativos. Sorteamos ao acaso, com reposic¸a˜o, 2 nu´meros desse conjunto.
Determine a probabilidade de:
a) Somente um deles ser negativo.
b) O quociente ser negativo.
c) Os dois nu´meros terem o mesmo sinal.
Resposta:
Geramos atra´vez dos comandos a seguir o nosso conjunto amostral, onde e´ feita a
suposic¸a˜o de A e B serem negativos, enquanto C e D sa˜o positivos, coloco N no
lugar dos negativos e P para os positivos ja´ que para a resoluc¸a˜o do exerc´ıcio o que
importa e´ apenas o sinal.
> num <- LETTERS[1:4]
> possiveis <- length(rep(num, 4))
> prob <- data.frame(sorteio.1 = rep(num, each = 4), sorteio.2 = rep(num,
+ 4), Prob = 1/possiveis)
a) Para perceber quais sa˜o meus casos favoraveis testo a linha em que temos apenas um
nu´mero negativo, assim consigo a probabilidade deste evento, como e´ demonstrado
pelos comandos a seguir.
> favoraveis <- with(prob, sum(((sorteio.1 != sorteio.2)) & (((sorteio.1 ==
+ "A") | (sorteio.1 == "B")) & ((sorteio.2 == "C") | (sorteio.2 ==
+ "D"))) | (((sorteio.2 == "A") | (sorteio.2 == "B")) & ((sorteio.1 ==
+ "C") | (sorteio.1 == "D")))))
> favoraveis/possiveis
[1] 0.5
Podemos verificar que existem 8 casos favoraveis em 16possiveis, enta˜o a probabili-
dade de somente um deles ser negativo e´ de 0.5
b) Se o quociente e´ negativo, somente um deles e´ negativo, o que implica em fazer o
mesmo teste do item a, onde obtemos 0.5.
c) O teste e´ feito de forma semelhante ao item a, assim conseguimos encontrar a pro-
babilidade dos dois nu´meros terem o mesmo sinal.
> favoraveis.c <- with(prob, sum(((sorteio.1 == sorteio.2)) | (((sorteio.1 ==
+ "A") & (sorteio.2 == "B")) | ((sorteio.1 == "B") & (sorteio.2 ==
+ "A"))) | (((sorteio.1 == "C") & (sorteio.2 == "D")) | ((sorteio.1 ==
+ "D") & (sorteio.2 == "C")))))
> favoraveis.c/possiveis
[1] 0.5
Pela demosntrac¸a˜o feita percebemos que temos 8 casos provaveis em 16 possiveis,
resultando em uma probabilidade de 0.5.
5
4. Uma classe de estat´ıstica teve a seguinte distribuic¸a˜o das notas finais:4 do sexo masculino
e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados.
Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo
masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule:
a) P (A ∪M c)
b) P (Ac capM c)
c) P (A|M)
Resposta:
As probabilidades sa˜o facilmente calculadas a seguir.
a) P (A ∪M c) = P (A) + P (M c)− P (A ∩M c)
22
32
+
20
32
−
14
32
= 0.875
b) P (Ac ∩M c) = P (Ac) + P (M c)− P (Ac ∪M c)
10
32
+
20
32
−
24
32
0.1875
c) P (A|M) =
P (A ∩M)
P (M)
8
32
+
12
32
= 0.625
d) P (M c|A) =
P (M c ∪ A)
P (A)
14
22
= 0.6367
e) P (M |A) =
P (M ∪ A)
P (A)
8
22
= 0.3636
6. Para dois eventos A e B, num mesmo espac¸o amostral, verifique, atrave´s de um diagrama,
que e´ sempre poss´ıvel escrever o evento A como sendo (A∩B)∪ (A∩Bc) e que, portanto,
vale P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc).
Resposta:
A Figura 1 mostra o diagrama em questa˜o.
> plot(1:100, 1:100, ty = "n", main = "", xlab = "", ylab = "",
+ axes = F)
> rect(1, 3, 99, 97)
> symbols(30, 50, circles = 28, inches = F, add = T)
> symbols(70, 50, circles = 28, inches = F, add = T)
> text(50, 50, expression(paste("A", intersect(B, , ))))
6
> text(30, 83, "A")
> text(70, 83, "B")
> text(30, 50, expression(paste("A", intersect(B^c, , ))))
> text(25, 8, expression(paste("A = A", intersect(B^c, , ), "+ ",
+ "A", intersect(B, , ))))
A∩B
A B
A∩Bc
A = A∩Bc+ A∩B
Figura 1: Diagrama dos eventos A e B.
8. As prefereˆncias de homens e mulheres por cada geˆnero de filme alugado em uma locadora
de v´ıdeos, esta˜o apresentados na pro´xima tabela.
Sexo/Filme Come´dia Romance Policial
Homens 136 92 248
Mulheres 102 195 62
Sorteando-se ao acaso, uma dessas locac¸o˜es de v´ıdeo, pergunta-se a probabilidade de:
a) Uma mulher ter alugado um filme policial?
b) O filme alugado ser uma come´dia?
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance?
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem?
Resposta:
Usando os comandos a seguir, obtenho a Tabela 1.
7
> freq <- c(136, 102, 92, 195, 248, 62)
> Sexo <- rep(rep(c("Homens", "Mulheres"), 3), freq)
> Filme <- rep(rep(c("come´dia", "romance", "policial"), each = 2),
+ freq)
> tab <- data.frame(Sexo, Filme)
> with(tab, table(Sexo, Filme))
Filme
Sexo come´dia policial romance
Homens 136 248 92
Mulheres 102 62 195
> xtable(table(Sexo, Filme), caption = "Prefere^ncia por gene^ro de filme",
+ label = "tab:2-3-8")
come´dia policial romance
Homens 136 248 92
Mulheres 102 62 195
Tabela 1: Prefereˆncia por geneˆro de filme
a) Esta probabilidade pode ser obtida conforme segue:
> Mulheres.inter.policial <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "policial" &
+ Sexo == "Mulheres"])))
> total <- length(tab[, 1])
> Mulheres.inter.policial/total
[1] 0.0742515
b) > n.come´dia <- with(tab, (length(Filme[Filme == "come´dia"])))
> total <- length(tab[, 1])
> n.come´dia/total
[1] 0.2850299
c) > Homens.uniao.come´dia <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "come´dia" |
+ Sexo == "Homens"])))
> total <- length(tab[, 1])
> Homens.uniao.come´dia/total
[1] 0.6922156
d) > Homens.inter.policial <- with(tab, (length(Sexo[Filme == "policial" &
+ Sexo == "Homens"])))
> n.Homens <- with(tab, length(Sexo[Sexo == "Homens"]))
> Homens.inter.policial/n.Homens
[1] 0.5210084
8
10. Em um bairro existem treˆs empresas de TV a caboe 20 mil resideˆncias. A empresa TA
tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 assinantes e a empresa TC tem 2600 assinantes,
sendo que algumas resideˆncias em alguns condomı´nios subscrevem aos servic¸os de mais
uma empresa. Assim, temos 420 resideˆncias que sa˜o assinantes de TA e TB, 120 de TA
e TC, 180 de TB e TC 30 que sa˜o assinantes das treˆs empresas. Se uma resideˆncia desse
abirro e´ sorteada ao acaso, qual a probabilidade de:
a) Ser assinante somente da empresa TA?
b) Assinar pelo menos uma delas?
c) Na˜o ter TV a cabo?
Resposta:
A Figura 2 ilustra a quantidade de assinates em cada empresa.
> plot(1:100, 1:100, ty = "n", main = "", xlab = "", ylab = "",
+ axes = F)
> rect(1, 1, 99, 99)
> symbols(50, 32, circles = 27, inches = F, add = T)
> symbols(32, 68, circles = 27, inches = F, add = T)
> symbols(68, 68, circles = 27, inches = F, add = T)
> text(c(10, 90, 72, 50), c(90, 90, 10, 55), c("A", "B", "C", "30"),
+ cex = 0.7)
> text(c(50, 50, 40, 60), c(70, 67, 45, 45), c("420 - 30", "= 390",
+ "120-30 = 90", "180-30=150"), cex = 0.7)
> text(c(25, 75, 50), c(70, 70, 25), c("2100-390-90-30 = 1590",
+ "1850-390-150-30 = 1280", "2600-90-150-30 = 2330"), cex = 0.7)
A B
C
30
420 − 30
= 390
120−30 = 90 180−30=150
2100−390−90−30 = 1590 1850−390−150−30 = 1280
2600−90−150−30 = 2330
Figura 2: Representac¸a˜o das assinaturas de TV.
9
a) P (TA) =
1590
20000
= 0.079
b) P (TA ∪ TB ∪ TC) =
1590 + 1280 + 2330 + 90 + 150 + 390 + 30
20000
=
5860
20000
= 0.293
c) P ((TA ∪ TB ∪ TC)c) =
20000− 5860
20000
= 0.707
12. Das pacientes de uma Cl´ınica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% sa˜o ou
foram casadas e 40% sa˜o solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distu´-
bio hormonal no u´ltimo ano e´ de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade
aumenta para 30%. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distu´rbio
hormonal?
b) Se a paciente sorteada tiver distu´rbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira?
c) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposic¸a˜o, qual e´ a probabilidade de
pelo menos uma ter o distu´rbio?
Resposta:
A Tabela 2 mostra os percentuais dados pelo exerc´ıcio.
> Civil <- rep(c("casada", "solteira"), c(60, 40))
> Saude <- rep(rep(c("com disturbio", "sem disturbio"), 2), c(30,
+ 30, 10, 30))
> x <- table(Saude, Civil)
> addmargins(prop.table(x))
Civil
Saude casada solteira Sum
com disturbio 0.3 0.1 0.4
sem disturbio 0.3 0.3 0.6
Sum 0.6 0.4 1.0
> xtable(addmargins(prop.table(x)), caption = "Pacientes de uma Clı´nica de Ginecologia.",
+ label = "tab:2-3-12")
casada solteira Sum
com disturbio 0.30 0.10 0.40
sem disturbio 0.30 0.30 0.60
Sum 0.60 0.40 1.00
Tabela 2: Pacientes de uma Cl´ınica de Ginecologia.
a) Essa probabilidade pode ser observada na tabela, onde encontramos 0.4.
10
b) P (solteira|disturbio) =
P (solteira ∩ disturbio)
P (disturbio)
=
10
40
= 0.25
c) A probabilidade e´ apresentada na tabela a seguir.
Eventos Probabilidades
dist. e dist. 0.4 x 0.4 = 0.16
dist. e n.dist. 0.4 x 0.6 = 0.24
n.dist. dist. 0.6 x 0.4 = 0.24
n.dist. e n.dist. 0.6 x 0.6 = 0.36
0.16 + 0.24 + 0.24 = 0.64
14. Numa certa regia˜o, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera e´ de 0,1.
Um meteorologista da TV acerta suas previso˜es em 80% dos dias em que chove e em 90%
dos dias em que na˜o chove.
a) Qual e´ a probabilidade de o meteorologista acertar sua previsa˜o?
b) Se houve acerto na previsa˜o feita, qual a probabilidade de ter sido num dia de chuva?
Resposta:
P (A|C) = 0.8
P (A|Cc) = 0.9
P (C) = 0.1
P (Cc) = 0.9
a) P (A) = P (A ∩ C) + P (A ∩ Cc)
P (A ∩ C) = P (A|C) · P (C) = 0.8× 0.1 = 0.08
P (A ∩ Cc) = P (A|Cc) · P (Cc) = 0.9× 0.9 = 0.81
P (A) = 0.89
b) P (C|A) =
P (A ∩ C)
P (A)
=
0.08
0.89
= 0.0899
16. Treˆs candidatos disputam as eleic¸o˜es para o Governo do Estado. O candidato do partido
de direita tem 30%da prefereˆncia eleitoral, o de centro tem 30% e o de esquerda 40%. Em
sendo eleito a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educac¸a˜o e Sau´de e´ de
0,4;0,6 e 0,9, para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.
a) Qual a probabilidade de na˜o ser dada prioridade a essas a´reas no pro´ximo governo?
b) Se a a´rea teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a
eleic¸a˜o?
Resposta:
Utilizarei p para representar a prioridade em sau´de e educac¸a˜o.
11
a) P (direita ∩ p1c) + P (centro ∩ p2c) + P (esquerda ∩ p3c)
0.3× 0.6 + 0.3× 0.4 + 0.4× 0.1 = 0.34
b) P (direita|p) =
P (A ∩ yP )
P (p)
=
0.12
0.66
= 0.18
18. Um me´dico desconfia que um paciente tem tumor no abdoˆmen, pois isto ocorreu em 70%
dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som
o detectara´ com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele na˜o tiver o tumor, o exame pode,
erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor,
qual e´ a probabilidade do paciente teˆ-lo de fato? Resposta:
Usarei D para detecc¸a˜o do tumor e T para a existeˆncia do tumor no paciente.
P (D ∩ T c) = P (D|T c) · P (T c) = 0.1× 0.3 = 0.03
P (T ∩D) = P (D|T ) · P (T ) = 0.9× 0.7 = 0.63
P (T |D) =
P (T ∩D)
P (D)
=
P (T ∩D)
P (D ∩ T ) + P (D ∩ T c)
=
0.63
0.63 + 0.03
= 0.955
20. Numa certa populac¸a˜o, a probabilidade de gostar de teatro e´ 1/3, enquanto que a de
gostar de cinema e´ 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e na˜o de cinema,
nos seguintes casos:
a) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o disjuntos.
b) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o eventos independentes.
c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema.
d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema e´ de 1/8.
e) Dentre os que na˜o gostam de cinema, a probabilidade de na˜o gostar de teatro e´ de
3/4.
Resposta:
Usarei C para cinema e T para teatro.
a) P (T ∩ Cc) = P (T ) =
1
3
b) P (T ∩ Cc) =
1
3
×
1
2
=
1
6
c) P (T ∩ Cc) = 0
d) P (T ∩ Cc) =
1
3
−
1
8
= 0.208
e) P (Cc) = P (T c ∩ Cc) + P (T ∩ Cc)
1
2
=
3
8
+ P (T ∩ Cc)
P (T ∩ Cc) = 0.125
12
22. Acredita-se que numa certa populac¸a˜o, 20% de seus habitantes sofrem de algum tipo de
alergia e sa˜o classificados como ale´rgicos para fins de sau´de pu´blica. Sendo ale´rgico, a
probabilidade de ter reac¸a˜o a um certo antibio´tico e´ de 0,5. Para os na˜o ale´rgicos essa
probabilidade e´ de apenas 0,05. Uma pessoa dessa populac¸a˜o teve reac¸a˜o ao ingerir o
antibio´tico, qual a probabilidade de:
a) Ser do grupo na˜o ale´rgico?
b) Ser do grupo ale´rgico?
Resposta:
Usarei R para reac¸a˜o e A para alergia.
a) P (R ∩ A) = P (A) · P (R|A) = 0.2× 0.5 = 0.1
P (R ∩ Ac) = P (Ac) · P (R|Ac) = 0.8× 0.5 = 0.04
P (Ac|R) =
P (Ac ∩R)
P (R)
= fracP (Ac ∩R)P (Ac ∩R) + P (A ∩R) =
0.1
0.1 + 0.04
= 0.714
b) P (A|R) = 1− P (Ac|R) = 0.286
24. Sejam A e B dois eventos de Ω, tal que P (B) > 0.Mostre que:
a) Se P (A|B) = P (A) enta˜o P (A ∩B) = P (A)P (B).
b) Se P (A ∩B) = P (A)P (B) enta˜o A e B sa˜o independentes.
Resposta:
a) P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
=
P (A) · P (B)
P (B)
= P (A)
b) P (A ∩B) = P (A) · P (B)
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
= P (A)
P (B|A) =
P (B ∩ A)
P (A)
= P (B)
26. A probabilidade de encontrar ga´s numa certa regia˜o e´ 1/10. Treˆs sondas ideˆnticas esta˜o
perfurando de modo independente.
a) Sabendo-se que uma delas (qualquer) na˜o achou ga´s, qual a probabilidade das outras
duas encontrarem?
b) Sabendo-se que uma delas (qualquer) na˜o achou ga´s, qual a probabilidade de encon-
trar ga´s na regia˜o atrave´s dessas perfurac¸o˜es?
c) Sabendo-se que na˜o mais de uma delas (qualquer) achou ga´s, qual a probabilidadede nenhuma encontrar ga´s?
Resposta:
13
Eventos Probabilidades
A B C 1
10
× 1
10
× 1
10
= 1
1000
A B Cc 1
10
× 1
10
× 9
10
= 9
1000
A Bc C 1
10
× 9
10
× 1
10
= 9
1000
A Bc Cc 1
10
× 9
10
× 9
10
= 81
1000
Ac B C 9
10
× 1
10
× 1
10
= 9
1000
Ac B Cc 9
10
× 1
10
× 9
10
= 81
1000
Ac Bc C 9
10
× 9
10
× 1
10
= 81
1000
Ac Bc Cc 9
10
× 9
10
× 9
10
= 729
1000
Tabela 3: Probabilidades de encontrar ga´s na regia˜o.
Vou chamar as sondas de A, B e C, enta˜o construo a Tabela 3 com os eventos e suas
probabilidades.
a) Os dados podem ser observados na tabela, vou considerar que a C na˜o encontrou
ga´s.
P ((A ∩B)|Cc) =
P (A ∩B ∩ Cc)
P (C)c
=
9
1000
1
10
= 0.09
b) Vou considerar que a sonda C na˜o encontrou ga´s.
P ((A ∪B)|Cc) =
P ((A ∪B) ∩ Cc)
P (C)c
=
(P (A) + P (B)− P (A ∩B)) · P (Cc)
P (Cc)
=
20−1
100
· 9
10
9
10
= 0.19
c)
AcBcCc
ABcCc ∪ AcBCc ∪ AcBcC ∪ AcBcCc
=
243
725 + 243
= 0.25
28. Uma famı´lia viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congesti-
onamento na estrada e´ de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois
filhos brigarem no carro e´ de 0,8, e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com
probabilidade 0,4. Quando ha´ briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do
pai perder a pacieˆncia com os filhos e´ de 0,7. E´ claro que havendo congestionamento o
pai pode perder a pacieˆncia com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com pro-
babilidade 0,5. Quando na˜o ha´ nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqu¨ilo
e na˜o perde a pacieˆncia. Determine a probabilidade de:
a) Na˜o ter havido congestionamento se o pai na˜o perdeu a pacieˆncia com seus filhos.
b) Ter havido briga dado que perdeu a pacieˆncia.
Resposta:
Usarei C para congestionamento, B para briga e P para situac¸a˜o de o pai perder a
pacieˆncia. Este problema em algumas situac¸a˜o me pareceu ter mais de uma inter-
14
pretac¸a˜o, mas assumo que os valores que o exerc´ıcio deu sa˜o os que vou represenatar
abaixo.
P (C) = 0.6
P (B|C) = 0.8
P (B|Cc) = 0.4
P (P |B) = 0.7
P (P |C) = 0.5
P (P |C∩Bc) = 0
Assim podemos obter a probabilidade de outros eventos:
P (P ) = P (P ∩B) + P (P ∩Bc)
P (P ) = P (P |B)P˙ (B) + P (P |Bc ∩ C)P˙ (Bc ∩ C) + P (P |Bc ∩ Cc)P˙ (Bc ∩ Cc)
P (P ) = 0.7× 0.64 + 0.5× 0.2× 0.6 + 0 = 0.508
P (C ∩ P c) = P (P c|C)P˙ (C) = 0.6× 0.5 = 0.3
P (B) = P (B ∩ Cc) + P (B ∩ C) = 0.16 + 0.48 = 0.64
P (P ∩B) = P (P |B)P˙ (B) = 0.7× 0.64 = 0.448
a) P (Cc|P c) = 1− P (C|P c) = 1−
P (C ∩ P c)
P (P c)
= 1−
0.3
0.498
= 0.3976
b) P (B|P ) =
P (B ∩ P )
P (P )
= zfrac0.4480.492 = 0.91
30. (Use o computador) Considere os dados do arquivo areas.txt descrito no Exerc´ıcio 25,
Cap´ıtulo 1. Suponha que voceˆ ganhe um apartamento em uma promoc¸a˜o feita por uma
cadeia de lojas. Utilizando o computador, construa tabelas de frequ¨eˆncia necessa´rias para
responder a`s seguintes questo˜es.
a) Qual a probabilidade do apartamento estar situado entre os andares 4 e 7?
b) Qual a probabilidade do apartamento estar situado no bloco B?
c) Qual seria a probabilidade de voceˆ ganhar um apartamento com algum problema de
construc¸a˜o? (Isto e´, com rachaduras e infiltrac¸o˜es).
d) Repita os itens anteriores, dado que o apartamento esta´ situado no bloco B.
Resposta:
> areas <- read.table("http://www.ime.usp.br/~noproest/areas",
+ head = T)
> head(areas)
Id Bloco Andar Final Sala Cozinha Banheiro Dorm Rachadura Infiltr
1 1 A 1 1 27.8 7.9 5.0 11.6 0 0
2 2 A 1 2 28.3 7.3 5.4 13.1 0 0
3 3 A 1 3 27.1 7.1 5.0 14.9 0 0
4 4 A 1 4 26.5 8.4 3.9 12.4 1 1
5 5 A 2 1 27.7 7.6 4.7 12.1 0 0
6 6 A 2 2 28.3 7.7 4.6 14.3 0 0
15
a) > with(areas, length(Andar[Andar >= 4 & Andar <= 7])/length(Andar))
[1] 0.2105263
b) > with(areas, length(Bloco[Bloco == "B"])/length(Bloco))
[1] 0.5
c) > with(areas, length(Id[Rachadura == 1 | Infiltr == 1])/length(Id))
[1] 0.5723684
d) Os 3 itens sa˜o calculados a seguir, obviamente que a chance de o aparatamento ser
no bloco B dado que e´ do bloco B vai ser 1.
> with(areas, length(Andar[Andar >= 4 & Andar <= 7 & Bloco == "B"])/length(Andar[Bloco
+ "B"]))
[1] 0.2105263
> with(areas, length(Bloco[Bloco == "B"])/length(Bloco[Bloco ==
+ "B"]))
[1] 1
> with(areas, length(Id[(Rachadura == 1 | Infiltr == 1) & Bloco ==
+ "B"])/length(Id[Bloco == "B"]))
[1] 0.5921053
32. (Use o computador) Considere os dados do arquivo aeusp.txt descrito no Exerc´ıcio 26,
Cap´ıtulo 1. Suponha que escolhemos, ao acaso um dos moradores entrevistados.
a) Qual a probabilidade da idade do entrevistado ser inferior a 35 anos?
b) Dado que o morador tem menos de 35 anos, qual e´ a probabilidade dele ser do sexo
feminino?
c) Qual seria a probabilidade de escolher um morador do Jardim Raposo que tenha
acesso a computador?
d) Determine a probabilidade de escolher um entrevistado que tenha vindo do nordeste,
seja do sexo feminino e esta´ trabalhando. Se esse morador foi escolhido, qual e´ a
probabilidade dele ter carteira assinada?
A seguir, carrego os dados e fac¸o os mesmos testes que os apresentados no capitulo
1, supondo que subistituir os dados incoerentes por NA satisfac¸a a situac¸a˜o.
> se <- read.xls("aeusp.xls", head = T)
[1] "/tmp/Rtmp9G76oV/file684a481a.csv"
> head(se)
Num Comun Sexo Idade Ecivil X.Reproce X.Temposp X.Resid Trab Ttrab X.Itrab
1 1 JdRaposo 2 4 4 Nordeste 21 9 3 NA 20
2 2 JdRaposo 2 1 1 Sudeste 24 9 1 1 14
3 3 JdRaposo 2 2 1 Nordeste 31 3 1 1 14
16
4 4 JdRaposo 1 2 2 Nordeste 10 3 1 4 10
5 5 JdRaposo 2 4 2 Nordeste 31 6 1 1 11
6 6 JdRaposo 2 4 2 Sudeste 24 4 2 NA 15
X.Renda X.Acompu X.Serief
1 1 2 1
2 2 2 7
3 5 2 7
4 5 2 11
5 6 1 4
6 4 2 4
> with(se, Sexo[Sexo != 1 & Sexo != 2] <- NA)
> with(se, Idade[Idade < 1 | Idade > 4] <- NA)
> with(se, Ecivil[Ecivil < 1 | Ecivil > 5] <- NA)
> with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 1] > 25] <- NA)
> with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 2] > 35] <- NA)
> with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 3] > 45] <- NA)
> with(se, X.Temposp[X.Temposp[Idade == 4] > Inf] <- NA)
> with(se, Idade[X.Temposp == NA] <- NA)
> with(se, Trab[Trab < 1 | Trab > 3] <- NA)
> with(se, Ttrab[Ttrab < 1 | Ttrab > 5] <- NA)
> with(se, X.Renda[X.Renda < 1 | X.Renda > 6] <- NA)
> with(se, X.Acompu[X.Acompu < 1 | X.Acompu > 2] <- NA)
> with(se, X.Serief[X.Serief < 1 | X.Serief > 12] <- NA)
Resposta:
a) > with(se, length(Idade[Idade == 3 | Idade == 4])/length(Idade[Idade = !NA]))
[1] 0.3948052
b) > with(se, length(Sexo[Sexo == 2 & Idade < 3])/length(Idade[Idade <
+ 3]))
[1] 0.5536481
c) > levels(se$Comun)
[1] "Cohab" "JddAbril" "JdRaposo" "Sape´" "V1010" "VDalva"
> with(se, length(Comun[Comun == "JdRaposo" & X.Acompu == 1])/length(Comun))
[1] 0.03636364
d) > with(se, sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab == 1)/length(Num))
[1] 0.1350649
> with(se, sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab == 1 &
+ Ttrab == 1)/sum(X.Reproce == "Nordeste" & Sexo == 2 & Trab ==
+ 1))
[1] 0.3076923
17

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