Medidas Numéricas em Estatística

Prévia do material em texto

•1
ESTATÍSTICA BÁSICAESTATÍSTICA BÁSICA
AULA 2AULA 2
Economia Economia –– UFPELUFPEL
PrfPrf.: Anderson Antonio .: Anderson Antonio DenardinDenardin
MEDIDAS NUMÉRICASMEDIDAS NUMÉRICAS
 OO resumoresumo dede dadosdados porpor meiomeio dede tabelas,tabelas, gráficosgráficos
ee distribuiçãodistribuição dede freqüênciafreqüência fornecefornece muitomuito maismais
informaçõesinformações sobresobre oo comportamentocomportamento dede umauma
variávelvariável dodo queque aa tabelatabela originaloriginal dede dadosdados..
 ÉÉ possívelpossível resumirresumir aindaainda maismais estasestas informações,informações,
apresentandoapresentando umum ouou algunsalguns poucospoucos valoresvalores queque
sejamsejam representativosrepresentativos dada sériesérie todatoda..
 QuandoQuando utilizamosutilizamos umum sósó valor,valor, obtemosobtemos umauma
reduçãoredução drásticadrástica dasdas informaçõesinformações sugeridassugeridas pelopelo
conjuntoconjunto dede dadosdados..
•2
MEDIDAS NUMÉRICASMEDIDAS NUMÉRICAS
 SuponhaSuponha queque osos dadosdados observadosobservados nana amostraamostra sejamsejam
representadosrepresentados porpor:: xx11,, xx22,, xx33,,……xxnn.. OndeOnde nn representarepresenta oo
tamanhotamanho dada amostraamostra..
 ComCom osos elementoselementos destadesta amostraamostra podemospodemos encontrarencontrar
númerosnúmeros queque resumemresumem asas principaisprincipais característicascaracterísticas dada
amostraamostra..
 VamosVamos concentrarconcentrar aa atençãoatenção emem doisdois tipostipos dede medidasmedidas
numéricasnuméricas::
 AsAs queque caracterizamcaracterizam aa localizaçãolocalização dodo centrocentro dada
amostraamostra;;
 AsAs queque caracterizamcaracterizam aa dispersãodispersão dosdos dadosdados..
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
 TaisTais medidasmedidas orientamorientam--nosnos quantoquanto àà posiçãoposição dada distribuiçãodistribuição nono
eixoeixo xx (eixo(eixo dosdos númerosnúmeros reais),reais), possibilitandopossibilitando queque comparemoscomparemos
sériesséries dede dadosdados entreentre sisi pelopelo confrontoconfronto dessesdesses númerosnúmeros..
 SãoSão chamadaschamadas dede medidasmedidas dede tendênciatendência central,central, poispois
representamrepresentam osos fenômenosfenômenos pelopelo seusseus valoresvalores médios,médios, emem tornotorno
dosdos quaisquais tendemtendem aa concentrarconcentrar--sese osos dadosdados..
 NosNos informaminformam qualqual éé oo valorvalor centralcentral (valor(valor médio)médio) dede umauma
amostraamostra ouou conjuntoconjunto dede dadosdados..
 Usualmente,Usualmente, empregaemprega--sese umauma dasdas seguintesseguintes medidasmedidas dede
posiçãoposição (ou(ou localização)localização) centralcentral::
 MédiaMédia;;
 MedianaMediana;;
 ModaModa..
•3
MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO
 NosNos informainforma oo graugrau dede dispersãodispersão dosdos dadosdados emem tornotorno dede
umum dadodado valorvalor médio,médio, istoisto é,é, oo quantoquanto osos dadosdados
encontramencontram--sese “espalhados”“espalhados” emem tornotorno dada médiamédia..
 Usualmente,Usualmente, empregaemprega--sese umauma dasdas seguintesseguintes medidasmedidas dede
dispersãodispersão::
 DesvioDesvio PadrãoPadrão;;
 VariânciaVariância AmostralAmostral;;
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
•4
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 MédiaMédia AritméticaAritmética –– DadosDados nãonão AgrupadosAgrupados::
representarepresenta aa somasoma dasdas observaçõesobservações individuaisindividuais divididadividida
pelopelo númeronúmero dede observaçõesobservações dada amostraamostra..
 SejamSejam xx11,, xx22,, xx33,,........,, xxnn,, sendosendo “n”“n” oo tamanhotamanho dada amostraamostra
XX.. AA médiamédia aritméticaaritmética simplessimples dede XX podepode serser representadarepresentada
porpor::



 
n
i
i
n
i
i
n x
nn
x
n
xxxx
x
1
1321 1.....
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa médiamédia aritméticaaritmética simplessimples
considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– Amostra: 3, 7, 8, 10, 11Amostra: 3, 7, 8, 10, 11
–– n = 5n = 5
 Cálculo: Cálculo: 8,7
5
39
5
1110873 
n
x
x
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
•5
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 MédiaMédia AritméticaAritmética –– DadosDados AgrupadosAgrupados:: QuandoQuando osos
dadosdados estiveremestiverem agrupadosagrupados numanuma distribuiçãodistribuição dede
freqüênciafreqüência usaremosusaremos aa médiamédia aritméticaaritmética dosdos valoresvalores xx11,,
xx22,, xx33,,........,, xxnn,, ponderadosponderados pelaspelas respectivasrespectivas freqüênciasfreqüências
absolutasabsolutas FF11,, FF22,, FF33,,..........,, FFnn.. Assim,Assim, temostemos::



 
n
i
ii
n
i
ii
nn Fx
nn
Fx
n
xFxFxFxF
x
1
1332211 1.....
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa médiamédia aritméticaaritmética simplessimples
considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra:: 11,, 33,, 44,, 77,, 88,, 88,, 99,, 44,, 22,, 44
 Cálculo: Cálculo: 
5
10
50
10
4249887431 x
5
10
50
10
298)2(74)3(31 x
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Xi 1 2 3 4 7 8 9
Fi 1 1 1 3 1 2 1
∑XiFi 1 2 3 12 7 16 9
•6
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 MédiaMédia GeralGeral:: SejamSejam asas médiasmédias
aritméticasaritméticas dede kk séries,séries, ee nn11,, nn22,, nn33,,............,,nnkk osos númerosnúmeros dede
termostermos destasdestas séries,séries, respectivamenterespectivamente.. AA médiamédia
aritméticaaritmética dada sériesérie formadaformada pelospelos termostermos dasdas kk sériesséries
podepode serser representadarepresentada porpor::
k
kk
nnnn
xnxnxnxn
x


...
.....
321
332211
kxxxx ,...., , , 321
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa médiamédia geralgeral considerandoconsiderando asas
seguintesseguintes sériesséries amostraisamostrais..
 Cálculo: Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
11 x e 5 n que em 13, 12, 11, 9, :3 Amostra -
2 x e 3 n que em 3, 2, 1, :2 Amostra -
6 x e 5 n que em 8, 7, 6, 5, 4, :1 Amostra -
33
22
11



7
535
11.52.36.5 

x
•7
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 MédiaMédia GeométricaGeométrica:: SejamSejam xx11,, xx22,, xx33,,........,, xxnn,, valoresvalores dede XX
associadosassociados àsàs freqüênciasfreqüências absolutasabsolutas FF11,, FF22,, FF33,,..........,, FFnn,,
respectivamenterespectivamente.. Assim,Assim, temostemos queque aa médiamédia geométricageométrica
dede XX éé definidadefinida porpor::
 EmEm particular,particular, sese FF11== FF22== FF33==..........== FFnn == 11,, temostemos::
n
xFxFxFxF
Mg
ou
FnxxxxMg
nn
n
i
i
n F
n
FFF n
log....logloglog
log
 onde ......
332211
1
321
321

 

n
nxxxxMg  ......322
 ExemploExemplo 11:: DetermineDetermine aa médiamédia geométricageométrica
considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra:: 33,, 66,, 1212,, 2424,, 4848
 Cálculo: Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Xi 3 6 12 24 48
Fi 1 1 1 1 1
12832.24848241263 55  MgMg
•8
 ExemploExemplo 22:: CalculeCalcule aa médiamédia geométricageométrica considerandoconsiderando
osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra::
 Cálculo: Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIACENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Xi 1 2 3 5
Fi 8 6 5 3
9311,1
2858,0log
22
)6990,0(3)4771,0(5)3010,0(6)0(8
log
22
5log33log52log61log8
log




Mg
Mg
Mg
Mg
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 MédiaMédia HarmônicaHarmônica:: SejamSejam xx11,, xx22,, xx33,,........,, xxnn,, valoresvalores dede XX
associadosassociados àsàs freqüênciasfreqüências absolutasabsolutas FF11,, FF22,, FF33,,..........,, FFnn,,
respectivamenterespectivamente.. Assim,Assim, temostemos queque aa médiamédia harmônicaharmônica dede XX éé
definidadefinida porpor::
 EmEm particular,particular, sese FF11== FF22== FF33==..........== FFnn == 11,, temostemos::

 




n
i
in
i i
i
n
n
Fn
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
n
Mh
1
13
3
2
2
1
1
 onde 
n
 
.....
 
1
n
 
1
.....
111
1321





n
i in xxxxx
n
Mh
•9
 ExemploExemplo 11:: DetermineDetermine aa médiamédia harmônicaharmônica
considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra:: 22,, 55,, 88,, 1010,, 1515
 Cálculo: Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Xi 2 5 8 10 12
Fi 1 1 1 1 1
 4,9588 
0083,1
5
 
12
1
10
1
8
1
5
1
2
1
5 

Mh
 ExemploExemplo 22:: DetermineDetermine aa médiamédia harmônicaharmônica
considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra:: 22,, 55,, 88,, 1010,, 1515
 Cálculo: Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Xi 2 5 8 10 12
Fi 1 3 2 1 3
 2,9411 
7,1
5
 
12
3
10
1
8
2
5
3
2
1
5 

Mh
•10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 ConsidereConsidere agoraagora aa amostraamostra xx11,, xx22,, xx33,,……xxnn ee suponhasuponha queque vocêvocê aa
ordeneordene dede taltal formaforma queque xx((11)) sejaseja oo menormenor elementoelemento dada
amostra,amostra, xx((22)) sejaseja oo segundosegundo menormenor elemento,elemento, ......,, xx(n)(n) sejaseja oo
maiormaior elementoelemento dada amostraamostra..
 OsOs valoresvalores xx((11)),, xx((22)),,......xx(n)(n) sãosão chamadoschamados dede estatísticaestatística dede ordemordem
dada amostraamostra..
 OutrasOutras medidasmedidas dede tendênciatendência centralcentral ee dede dispersãodispersão podempodem serser
definidasdefinidas aa partirpartir dasdas estatísticasestatísticas dede ordemordem..
)()3()2()1( ....... nxxxx 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANAMEDIANA
 MedianaMediana:: éé aa realizaçãorealização queque ocupaocupa aa posiçãoposição
centralcentral dada sériesérie dede observações,observações, quandoquando aa sériesérie
apresentaapresenta--sese ordenadaordenada emem ordemordem crescentecrescente..
 ÉÉ definidadefinida aa partirpartir dasdas estatísticasestatísticas dede ordemordem::








 





 




 




imparfor amostra, da tamanhoo n, se ,X
par.for amostra, da tamanhoo n, se ,
2
~
2
1n
1
22
ou
XX
xMd
nn
•11
 ExemploExemplo:: sese existemexistem 66 observaçõesobservações nana amostra,amostra, aa medianamediana
equivaleequivale àà médiamédia entreentre xx((66//22)) ee xx[([(66//22)+)+11],], ouou seja,seja, entreentre oo ((33º)º) ee oo
((44º)º) elementoselementos::
X={3, 4, 7, 8, 8, 10}X={3, 4, 7, 8, 8, 10}
 SeSe aa amostraamostra contémcontém 55 elementos,elementos, aa medianamediana éé xx((33))..
X={3, 4, 7, 8, 8}X={3, 4, 7, 8, 8}
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANA
2
~ 122 


 



 

nn XX
xMd 5,7
2
87
2
~ 12
6
2
6







 



 XX
xMd
73
2
15
2
1 




 



  XXMd n
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa medianamediana considerandoconsiderando osos
seguintesseguintes valoresvalores amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra::
 nn == 1111,, nn éé impar,impar, logologo aa MdMd seráserá oo elementoelemento dede ordemordem (n+(n+11)/)/22,,
ouou seja,seja, ((1111++11)/)/22.. Será,Será, portanto,portanto, oo sextosexto elementoelemento.. ParaPara identificáidentificá--
lo,lo, abreabre--sese aa colunacoluna dada freqüênciafreqüência acumuladaacumulada..
 Assim,Assim, temostemos queque MdMd == 33.. SeráSerá oo elementoelemento correspondentecorrespondente àà classeclasse
queque contivercontiver aa ordemordem calculadacalculada..
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANAMEDIANA
Xi 1 2 3 4
Fi 1 3 5 2
Fac 1 4 9 11
•12
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa medianamediana considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores
amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra::
 nn == 4242,, nn éé par,par, logologo aa MdMd seráserá aa médiamédia entreentre osos elementoselementos dede
ordemordem (n/(n/22)) ee [(n/[(n/22)+)+11],], ouou seja,seja, ((4242)/)/22==2121ºº ee [([(4242//22)+)+11]=]=2222ºº..
Será,Será, portanto,portanto, aa médiamédia entreentre oo vigésimovigésimo primeiroprimeiro ee oo vigésimovigésimo
segundosegundo elementoelemento.. ParaPara identificáidentificá--lo,lo, abreabre--sese aa colunacoluna dada
freqüênciafreqüência acumuladaacumulada..
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANAMEDIANA
Xi 82 85 87 89 90
Fi 5 10 15 8 4
Fac 5 15 30 38 42
87 
2
8787 Md
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANAMEDIANA
 MedianaMediana parapara VariáveisVariáveis ContínuasContínuas:: parapara oo casocaso dede variáveisvariáveis
contínuascontínuas (agrupados(agrupados emem classes),classes), devedeve--sese seguirseguir osos seguintesseguintes
procedimentosprocedimentos::
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem n/n/22.. ComoComo aa variávelvariável éé contínua,contínua, nãonão
sese preocupepreocupe sese nn éé parpar ouou ímparímpar..
 22ºº PassoPasso:: PelaPela FFacac identificaidentifica--sese aa classeclasse queque contémcontém aa medianamediana
(classe(classe Md)Md)..
 33ºº PassoPasso:: utilizautiliza--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 LLMdMd == limitelimite inferiorinferior dada classeclasse medianamediana;;
 nn == tamanhotamanho dada amostraamostra ouou númeronúmero dede elementoselementos..
 ∑f∑f == somasoma dasdas freqüênciasfreqüências anterioresanteriores àà classeclasse medianamediana;;
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse medianamediana;;
 FFMdMd == freqüênciafreqüência dada classeclasse medianamediana..
 
.
2~
Md
Md F
hf
n
lxMd




 


•13
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIANAMEDIANA
 ExemploExemplo:: Determine a mediana considerando os seguintes valores
amostrais.
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem n/n/22.. ComoComo nn == 5858,, temotemo 5858//22==2929ºº..
 22ºº PassoPasso:: PelaPela FFacac identificaidentifica--sese aa classeclasse queque contémcontém aa medianamediana (classe(classe Md)Md)..
NesteNeste casocaso éé aa 33ªª classeclasse..
 33ºº PassoPasso:: utilizautiliza--sese aa fórmulafórmula::
Classes Fi Fac
35 Ⱶ 45 5 5
45 Ⱶ 55 12 17
55 Ⱶ 65 18 35
65 Ⱶ 75 14 49
75 Ⱶ 85 6 55
85 Ⱶ 95 3 58
∑ 58
61,67 
18
10.17
2
58
55~ 




 
 xMd
 ExemploExemplo::
 SeSe osos dadosdados sãosão:: XX == {{11,, 22,, 33,, 44,, 55}}
 MédiaMédia amostralamostral éé:: ((11++22++33++44++55)/)/55==33
 MedianaMediana amostralamostral tambémtambém seráserá == 33..
 Agora,Agora, sese osos dadosdados sãosão:: XX == {{11,, 22,, 33,, 44,, 4545}}
 MédiaMédia amostralamostral éé:: ((11++22++33++44++4545)/)/55==1111,,
 MedianaMediana amostralamostral continuacontinua sendosendo 33..
 Logo,Logo, aa médiamédia amostralamostral foifoi profundamenteprofundamente influenciadainfluenciada porpor umum únicoúnico
valor,valor, ee oo mesmomesmo nãonão aconteceuaconteceu comcom aa medianamediana amostralamostral..
 OBSOBS.:.: AA medianamedianaamostralamostral éé menosmenos influenciadainfluenciada queque aa médiamédia porpor
observaçõesobservações aberrantesaberrantes (“(“outliersoutliers”)”)..
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA X MEDIANAMÉDIA X MEDIANA
•14
 DentreDentre asas principaisprincipais medidasmedidas dede posição,posição, destacadestaca--sese aa
ModaModa..
 ModaModa:: éé definidadefinida comocomo aa realizaçãorealização maismais freqüentefreqüente dodo
conjuntoconjunto dede valoresvalores observadosobservados XX..
 ParaPara distribuiçõesdistribuições simplessimples (sem(sem agrupamentoagrupamento emem classes),classes),
aa identificaçãoidentificação dada ModaModa éé facilitadafacilitada pelapela simplessimples
observaçãoobservação dodo elementoelemento queque apresentaapresenta maiormaior freqüênciafreqüência..
 ExemploExemplo::
 XX == {{33,, 44,, 77,, 88,, 88,, 1010}}
 MoMo == 88,, poispois éé oo resultadoresultado queque sese repeterepete comcom maiormaior
númeronúmero dede vezes,vezes, ouou queque apresentaapresenta maiormaior freqüênciafreqüência 22..
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MODAMODA
 ExemploExemplo:: DetermineDetermine aa modamoda considerandoconsiderando osos seguintesseguintes valoresvalores
amostraisamostrais..
–– AmostraAmostra::
 AA modamoda seráserá 248248.. IndicaIndica--sese MoMo == 248248.. EsteEste númeronúmero éé oo dede maiormaior
freqüênciafreqüência nana amostra,amostra, poispois apareceaparece 2323 vezesvezes..
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MODAMODA
Xi 243 245 248 251 307
Fi 7 17 23 20 8
•15
 ParaPara dadosdados agrupadosagrupados emem classe,classe, devemosdevemos seguirseguir osos
seguintesseguintes passospassos::
 11ºº PassoPasso:: IdentificaIdentifica--sese aa classeclasse modal,modal, ouou seja,seja, aquelaaquela
queque possuirpossuir maiormaior frequênciafrequência..
 22ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 ll == limitelimite inferiorinferior dada classeclasse modalmodal;;
 ΔΔ11 == diferençadiferença entreentre aa freqüênciafreqüência dada classeclasse modalmodal ee aa
imediatamenteimediatamente anterioranterior..
 ΔΔ22 == diferençadiferença entreentre aa frequênciafrequência dada classeclasse modalmodal ee aa
imediatamenteimediatamente posteriorposterior..
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse modalmodal;;
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MODAMODA
.h 
21
1
Mo 
 lMo
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MODAMODA
 ExemploExemplo:: Determine a Moda considerando os seguintes valores
amostrais.
 11ºº PassoPasso:: indicaindica--sese aa classeclasse modalmodal.. NoNo caso,caso, tratatrata--sese dada 33ºº classeclasse..
 22ºº PassoPasso:: aplicaaplica--sese aa fórmulafórmula
Classes Fi
0 Ⱶ 1 3
1 Ⱶ 2 10
2 Ⱶ 3 17
3 Ⱶ 4 8
4 Ⱶ 5 5
∑ 43
44,21.
97
7
2 .1
)817()1017(
1017
2 



Mo
•16
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
QUARTISQUARTIS
 QuartisQuartis:: osos quartisquartis dividemdividem umum conjuntoconjunto dede dadosdados emem quatroquatro partespartes
iguaisiguais.. AssimAssim temostemos::

 OndeOnde;;
 QQ11 == 11ºº quartil,quartil, deixadeixa 2525%% dosdos elementoselementos;;
 QQ22 == 22ºº quartil,quartil, deixadeixa 5050%% dosdos elementoselementos (coincide(coincide comcom aa
mediana)mediana);;
 QQ33 == 33ºº quartil,quartil, deixadeixa 7575%% dosdos elementoselementos;;
%0 %25 %50 %75 %100
1Q 2Q 3
Q
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
QUARTISQUARTIS
 OsOs quartisquartis sãosão utilizadosutilizados apenasapenas parapara dadosdados agrupadosagrupados emem classesclasses.. AsAs
fórmulasfórmulas parapara aa determinaçãodeterminação dosdos quartisquartis QQ11 ee QQ33 sãosão semelhantessemelhantes àà
usadausada parapara oo cálculocálculo dada medianamediana..
 DeterminaçãoDeterminação dede QQ11::
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem n/n/44..
 22ºº PassoPasso:: PelaPela FFacac identificaidentifica--sese aa classeclasse QQ11..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 LLQQ11 == limitelimite inferiorinferior dodo primeiroprimeiro quartilquartil classeclasse medianamediana;;
 nn == tamanhotamanho dada amostraamostra ouou númeronúmero dede elementoselementos..
 ∑f∑f == somasoma dasdas freqüênciasfreqüências anterioresanteriores;;
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse;;
 FFQQ11 == freqüênciafreqüência dada classeclasse..
 
.
4
1
11
Q
Q F
hf
n
lQ




 


•17
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
QUARTISQUARTIS
 DeterminaçãoDeterminação dede QQ33::
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem 33n/n/44..
 22ºº PassoPasso:: PelaPela FFacac identificaidentifica--sese aa classeclasse QQ33..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 LLQQ11 == limitelimite inferiorinferior dodo primeiroprimeiro quartilquartil classeclasse medianamediana;;
 nn == tamanhotamanho dada amostraamostra ouou númeronúmero dede elementoselementos..
 ∑f∑f == somasoma dasdas freqüênciasfreqüências anterioresanteriores;;
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse;;
 FFQQ11 == freqüênciafreqüência dada classeclasse..
 
.
4
3
3
33
Q
Q F
hf
n
lQ




 


MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MODAMODA
 ExemploExemplo:: Dada a distribuição, determinar os quartis (QQ11 ee QQ33)) ee aa
medianamediana..
 11ºº PassoPasso:: parapara oo casocaso emem queque nn == 5656,, indicaindica--sese aa classeclasse parapara QQ11 ,, MdMd
ee QQ33.. AssimAssim temostemos::
Classes Fi Fac
7 Ⱶ 17 6 6
17 Ⱶ 27 15 21
27 Ⱶ 37 20 41
37 Ⱶ 47 10 51
47 Ⱶ 57 5 56
∑ 56
º42
4
56.3
4
3
 º28
2
56
2
 º14
4
56
4 31
 nQnMdnQ
•18
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
QUARTISQUARTIS
 22ºº PassoPasso:: PelaPela FFacac identificaidentifica--sese aa classeclasse
 QQ11 == segundasegunda classeclasse..
 Md=Md= terceiraterceira classeclasse..
 QQ33 == quartaquarta classeclasse..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
22,33 
15
10.6
4
56
171 




 
Q 5,03 
20
10.21
2
56
27 




 
Md 83 
10
10.41
4
56.3
373 




 
Q
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
QUARTISQUARTIS
 DianteDiante dessedesse resultado,resultado, podemospodemos afirmarafirmar que,que, nestanesta distribuiçãodistribuição
temostemos::
 AssimAssim temostemos queque::
 2222,,3333 deixadeixa 2525%% dosdos elementoselementos;;
 3030,,55 deixadeixa 5050%% dosdos elementoselementos;;
 3838 deixadeixa 7575%% dosdos elementoselementos
7
%25 %25 %25
5733,22 5,30 38
%25
•19
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
DECISDECIS
 DecisDecis:: osos decisdecis correspondemcorrespondem aosaos valoresvalores queque dividemdividem umum conjuntoconjunto
dede dadosdados (amostra)(amostra) emem dezdez ((1010)) partespartes iguaisiguais.. AssimAssim temostemos::

 OndeOnde;;
 DD11 == 11ºº DecilDecil,, deixadeixa 1010%% dosdos elementoselementos;;
 DD22 == 22ºº DecilDecil,, deixadeixa 2020%% dosdos elementoselementos;;
 DD33 == 33ºº DecilDecil,, deixadeixa 3030%% dosdos elementoselementos;;
 ..
 ..
 ..
 DD99 == 99ºº DecilDecil,, deixadeixa 9090%% dosdos elementoselementos;;
%0 %10 %20 %30 %100
1D
%40 %50 %60 %70 %80 %90
2D 3D 4D 5D 6D 7D 8D 9D
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
DECISDECIS
 AssimAssim devemosdevemos seguirseguir osos seguintesseguintes passospassos::
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem (i(i..n)/n)/1010,, emem queque ii == 11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66,, 77,, 88,, 99..
 22ºº PassoPasso:: IdentificaIdentifica--sese aa classeclasse DiDi pelapela FFacac ..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 LLDiDi ==limitelimite inferiorinferior dada classeclasse DDii,, ii == 11,, 22,,..........,,99..
 nn == tamanhotamanho dada amostraamostra ouou númeronúmero dede elementoselementos..
 ∑f∑f == somasoma dasdas freqüênciasfreqüências anterioresanteriores áá classeclasse DDii;;
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse DDii;;
 FFDiDi == freqüênciafreqüência dada classeclasse DDii..
 
.
10
i
i
D
Di F
hf
in
lD




 


•20
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PERCENTISPERCENTIS
 PercentisPercentis:: osos percentispercentis correspondemcorrespondem asas medidasmedidas queque dividemdividem umum
conjuntoconjunto dede dadosdados (amostra)(amostra) emem cemcem ((100100)) partespartes iguaisiguais.. AssimAssim
temostemos::

 OndeOnde;;
 PP11 == 11ºº percentil,percentil, deixadeixa 11%% dosdos elementoselementos;;
 PP22 == 22ºº percentil,percentil, deixadeixa 22%% dosdos elementoselementos;;
 PP33 == 33ºº percentil,percentil, deixadeixa 33%% dosdos elementoselementos;;
 ..
 ..
 ..
 9999 == 9999ºº percentil,percentil, deixadeixa 9999%% dosdos elementoselementos;;
%0 %1 %2 %3 %100
1P
%50 %97 %98 %99
2P 3P 50P 97P 98P 99P
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PERCENTISPERCENTIS
 AssimAssim devemosdevemos seguirseguir osos seguintesseguintes passospassos::
 11ºº PassoPasso:: CalculaCalcula--sese aa ordemordem (i(i..n)/n)/100100,, emem queque ii == 11,, 22,, 33,, 44,, 55,,..........,, 9898,, 9999..
 22ºº PassoPasso:: IdentificaIdentifica--sese aa classeclasse PiPi pelapela FFacac ..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 OndeOnde;;
 LLPiPi == limitelimite inferiorinferior dada classeclasse PPii,, ii == 11,, 22,,..........,,9898,, 9999..
 nn == tamanhotamanho dada amostraamostra ouou númeronúmero dede elementoselementos..
 ∑f∑f == somasoma dasdas freqüênciasfreqüências anterioresanteriores áá classeclasse PPii;;
 hh == amplitudeamplitude dada classeclasse PPii;;
 FFDiDi == freqüênciafreqüência dada classeclasse PPii..
 
.
100
i
i
P
Pi F
hf
in
lP




 


•21
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PERCENTISPERCENTIS
 ExemploExemplo:: Dada a distribuição, determinar o 4º decil e o 72º percentil
da seguinte distribuição.
 11ºº PassoPasso:: parapara oo casocaso emem queque nn == 4040,, indicaindica--sese aa classeclasse parapara DD44 ee
PP7272.. AssimAssim temostemos::
Classes Fi Fac
4 Ⱶ 9 8 8
9 Ⱶ 14 12 20
14 Ⱶ 19 17 37
19 Ⱶ 24 3 40
∑ 40
º8,28
100
40.72
100
.
 º16
10
40.4
4
.
724 
ni
P
ni
D
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
DECIS E PERCENTISDECIS E PERCENTIS
 22ºº PassoPasso:: IdentificaIdentifica--sese aa classeclasse DD44 ee PP7272 pelapela FFacac ..
 DD44 == segundasegunda classeclasse..
 PP7272 == terceiraterceira classeclasse..
 33ºº PassoPasso:: AplicaAplica--sese aa fórmulafórmula::
 DecisDecis
 NestaNesta distribuição,distribuição, oo valorvalor 1212,,3333 dividedivide aa amostraamostra emem duasduas partespartes::
umauma comcom 4040%% dosdos elementoselementos ee aa outraoutra comcom 6060%% dosdos elementoselementos..
 PercentisPercentis
 NestaNesta distribuição,distribuição, oo valorvalor 1616,,8989 indicaindica queque 7272%% dada distribuiçãodistribuição estãoestão
abaixoabaixo deledele ee 2828%% acimaacima deledele..
12,33 
12
5.8
10
40.4
94 




 
D
89,16 
17
5.20
100
40.72
1472 




 
P
•22
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA SIMÉTRICAFREQUÊNCIA SIMÉTRICA
 NesteNeste caso,caso, conformeconforme citadocitado anteriormente,anteriormente, aa médiamédia
aritméticaaritmética seráserá igualigual àà mediana,mediana, ee esta,esta, porpor suasua vez,vez, igualigual
àà modamoda.. AssimAssim::

MoMdX 
Fr
MoMdX 
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA ASIMÉTRICA POSITIVAFREQUÊNCIA ASIMÉTRICA POSITIVA
 NesteNeste caso,caso, aa médiamédia aritméticaaritmética apresentaráapresentará umum valorvalor maiormaior
dodo queque aa mediana,mediana, ee esta,esta, porpor suasua vez,vez, apresentaráapresentará umum
valorvalor maiormaior dodo queque aa modamoda.. AssimAssim::

MoMdX 
Fr
MoMdX 
•23
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA ASIMÉTRICA NEGATIVAFREQUÊNCIA ASIMÉTRICA NEGATIVA
 NesteNeste casocaso aa médiamédia aritméticaaritmética seráserá menormenor dodo queque aa
mediana,mediana, ee esta,esta, porpor suasua vez,vez, éé menormenor dodo queque aa modamoda..
AssimAssim::

MoMdX 
Fr
MoMdX 