Vetores em Física: Conceitos e Operações

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UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E APLICADA 
 
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CAPÍTULO 3 
 
3.1 Vetores 
 
Como vimos no capítulo 1, grandezas como massa, tempo e comprimento, 
são chamadas de escalares. Essas grandezas ficam completamente caracterizadas 
quando nos é informado somente o módulo (quantidade) e a unidade de medida. As 
operações envolvendo escalares obedecem às leis da aritmética e da álgebra elemen-
tar. 
 Grandezas como deslocamento, velocidade, aceleração e força por exemplo, 
são chamadas de grandezas vetoriais. Essas grandezas, diferentemente dos escala-
res, necessitam de informações adicionas para que fiquem totalmente compreendi-
das. As grandezas vetoriais possuem módulo, direção e sentido e obedecem às regras 
especiais da álgebra vetorial. Logo este capítulo será dedicado ao estudo dos vetores. 
Como você já deve ter estudado em geometria analítica, um vetor (figura 7) é 
um seguimento de reta orientado que possui módulo direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• O modulo do vetor está associado ao comprimento do seguimento de reta. 
• A direção e o sentido ficam completamente caracterizado pelo ângulo 𝜃 
formado entre o vetor e o eixo positivo da abcissa. 
 
 
Grandezas vetoriais são representadas por um símbolo com uma seta apon-
tando para direita, ou por estarem escrito em negrito. Exemplo: 
Figura 7: Representação de vetor 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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• Velocidade V⃗⃗ ⃗ = 𝐕 
• Aceleração a⃗⃗ = 𝐚 
• Força F ⃗⃗ = 𝐅 
 
 
3.2 Somando vetores geometricamente 
 
Dois vetores 𝑎 e �⃗� podem ser somados geometricamente desenhando-os 
em uma mesma escala e dispondo-os em sequência, com o destino de um coinci-
dindo com a origem do próximo. 
 
 
O vetor que vai da origem do 
primeiro até o destino do último é a 
soma vetorial dos vetores (𝑠 ). 
 
𝑠 = 𝑎 + �⃗� 
 
 
 
Para efetuar a subtração 
basta inverter o sentido de um dos 
vetores e seguir o mesmo procedi-
mento. 
A soma vetorial é comuta-
tiva e obedece a lei associativa. 
𝑎 + �⃗� = �⃗� + 𝑎 
 
 
 
 
 
Figura 8: Soma vetorial 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
Figura 9: Propriedade comutativa 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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Exemplo 1 
 
Segundo Halliday & Resnick1, em uma aula de orienteering o seu objetivo é 
se deslocar o máximo possível (distancia em linha reta) do acampamento base fa-
zendo três movimentos em linha reta. Você pode usar os seguintes deslocamentos 
em qualquer ordem: 
 
a) 𝑎 2,0 km na direção leste; 
b) �⃗� 2,0 km a 30º para o Nordeste a partir de leste; 
c) 𝑐 1,0 km na direção oeste. 
 
Qual a maior distância que você pode estar do acampamento base no final do terceiro 
deslocamento? 
 
Resolução: 
 
Usando uma régua e um transferidor e adotando uma escala conveniente (1 
centímetro correspondendo a 1 quilometro), basta desenhar os vetores, seguindo a 
orientação descrita no problema. Você pode testar várias combinações, mas lembre-
se, sempre ligue o destino de um a origem do outro. Nesse caso a melhor orientação 
está mostrada na figura 11. 
 
 
 
1 Halliday & Resnick, Fundamentos de Física. Vol. 1, 8ª ed. Rio de Janeiro, RJ – 2008 LTC. 
Figura 10: 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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Nesta configuração você encontrará a distância d = 4,8 cm que corresponde 
a 4,8 Km. 
 
 
3.3 Componentes vetoriais 
 
A soma geométrica de vetores, é uma técnica que nos permite executar soma 
vetoriais utilizando instrumentos de medida. Outra forma de obtermos a soma vetorial 
seria por intermédio da álgebra. A álgebra vetorial é mais eficiente e apresenta menos 
erros durante o processo de execução da soma. Para realizar a soma vetorial usando 
álgebra, é necessário conhecer suas componentes vetoriais. As componentes vetori-
ais de um vetor, são projeções do vetor sobre os eixos cartesianos. 
Para determinar as componentes de um vetor, basta plotar esse vetor com 
sua origem coincidindo com a origem do plano cartesiano mantendo sua inclinação. 
Usando trigonometria podemos determinar as componentes vetoriais. A figura12 mos-
tra a configuração de vetor e suas componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Representação gráfica do exemplo 1 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
Figura 12: Componentes de um vetor 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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Na figura 12, o vetor a possui componentes ax e ay. O vetor a é um vetor bi-
dimensional que faz um ângulo Ɵ (teta) com o eixo das abscissas. Assim temos: 
 
𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
O módulo do vetor a pode ser determinado como: 
 
|𝑎 | = √(𝑎 𝑥)2 + (𝑎 𝑦)² 
 
O ângulo Ɵ(teta) pode ser determinado como: 
 
θ = tan−1
𝑎 𝑦
𝑎 𝑥
 
 
Logo o vetor a pode ser escrito como: 
 
𝑎 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 
 
 
Exemplo 2 
 
Segundo Halliday & Resnick2, um pequeno avião parte de um aeroporto em 
um dia de céu encoberto sendo depois avisado a uma distância de 215 km, na dire-
ção nordeste a 22º a partir da direção norte (figura 13). 
 
 
 
 
 
 
 
2 Halliday & Resnick, Fundamentos de Física. Vol. 1, 8ª ed. Rio de Janeiro, RJ – 2008 LTC. 
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A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando é avistado? 
 
Resolução: 
 
A distancia leste corresponde a componente x do deslocamento e a distancia 
norte corresponde a componente y do deslocamento. 
O ângulo formado entre o vetor deslocamento e o eixo das abscissas pode 
ser calculado fazendo: 900 − 220 = 680 
 
Assim a distância leste é: 
 
𝑑 𝑥 = 𝑑.⃗⃗ ⃗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑑 𝑥 = 215𝑘𝑚 . 𝑐𝑜𝑠68
0 
𝑑 𝑥 = 81𝑘𝑚 
 
Figura 13: Representação gráfica do exemplo 2 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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A distância norte é: 
 
𝑑 𝑦 = 𝑑 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑑 𝑦 = 215𝑘𝑚. 𝑠𝑒𝑛68
0 
𝑑 𝑦 = 199𝑘𝑚 
 
 
3.4 Vetores unitários 
 
Um vetor unitário, possui módulo igual a um e aponta na direção e sentidode 
um vetor. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamados 
de 𝑖̂, 𝑗̂𝑒 �̂�, onde o acento circunflexo é usado no lugar da seta sobre a letra empregada 
em outros vetores. 
Vetores unitários, são úteis para expressar outros vetores, como por exemplo: 
𝑎 = 𝑎𝑖̂ + 𝑎𝑗̂ + 𝑎�̂� 
 
3.4.1 Soma de componentes vetoriais 
 
A soma de componentes vetoriais é a forma mais usual de realizar soma ve-
torial. Na soma de componentes, é necessário somar componentes que apontam na 
mesma direção e sentido. 
 
Exemplo 3 
 
Dados os vetores: 
𝑎 = (4,2𝑚)𝑖̂ − (1,5𝑚𝑗̂) 
�⃗� = (−1,6𝑚)𝑖̂ + (2,9𝑚)𝑗 ̂
𝑐 = (−3,7𝑚)𝑗 ̂
Determine a soma vetorial 𝑟 = 𝑎 + �⃗� + 𝑐 
𝑟 = (4,2𝑚)𝑖̂ − (1,5𝑚𝑗̂) + (−1,6𝑚)𝑖̂ + (2,9𝑚)𝑗̂ + (−3,7𝑚)𝑗̂ 
𝑟 = (2,6𝑚)𝑖̂ − (2,3𝑚𝑗̂) 
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3.5 Multiplicação de vetores 
 
Existem três modos de realizar multiplicação envolvendo vetores. 
 
 
3.5.1 Multiplicação de vetor por um escalar 
 
Se multiplicarmos um vetor a por um escalar s, obteremos um novo vetor. Seu 
módulo é o produto do modulo do vetor a pelo valor absoluto de s. Sua direção e 
sentido são os mesmos a do vetor a se s for positivo. 
 
 
3.5.2 Produto escalar 
 
O produto escalar dos vetores a e b escrito como 𝑎 ∙ 𝑏 é definida como: 
 𝑎 . �⃗� = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 
Onde, 𝑎 ∙ 𝑏 é a multiplicação dos módulos dos vetores a e b e Ɵ (teta) é o 
ângulo formado entre os vetores a e b. 
No produto escalar o resultado da operação é um escalar (um número) 
 
Exemplo 4: 
Dados os vetores 𝑎 = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ e �⃗� = −2𝑖̂ + 3�̂�, determine o ângulo entre os dois 
vetores. 
 
Resolução: 
 
Primeiro vamos fazer o produto escalar entre a e b. 
𝑎 ∙ 𝑏 = (3𝑖̂ − 4𝑗̂) ∙ (−2𝑖̂ + 3�̂�) 
 
Para realizar o produto escalar basta multiplicar as componentes iguais e somar 
os produtos. 
𝑎 ∙ 𝑏 = (3𝑖̂ − 4𝑗̂) ∙ (−2𝑖̂ + 3�̂�) = −6 + 0 + 0 = −6 
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Em seguida calculamos o módulo dos vetores a e b. 
 
|𝑎 | = √(𝑎 𝑥)² + (𝑎 𝑦)² 
𝑎 = √(3𝑖̂)² + (−4𝑗̂)² 
= √9 + 16 = √25 
= 5 
𝑏 = √(−2𝑖̂)² + (3�̂�)² 
= √4 + 9 
= √13 
 
Calculando o ângulo entre a e b. 
 
𝑎 ∙ �⃗� = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 
−6 = 5√13cos 𝜃 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
−6
5√13
 
 
Usando uma calculadora científica. 
 
𝜃 = cos−1
−6
5√13
= 1090 
 
 
3.5.3 Produto vetorial 
 
O produto vetorial de a e b escrito como 𝑎 𝑥 𝑏⃗⃗ , produz um vetor c cujo modulo é dado 
por: 
 
𝑐 = 𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
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Onde, ab é a multiplicação dos módulos dos vetores a e b e Ɵ (teta) é o ângulo 
formado entre os vetores a e b. 
No produto vetorial o resultado é um vetor perpendicular ao plano formado pe-
los vetores a e b. A direção e sentido do vetor 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝑏⃗⃗ são dados pela regra da mão 
direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
 
Dados os vetores 𝑎 = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ e �⃗� = −2𝑖̂ + 3�̂�, determine o produto vetorial 𝑐 =
𝑎 𝑥�⃗� 
 
Resolução: 
 
Para determinar o produto vetorial é necessário calcular o determinante da ma-
triz entre os vetores a e b e as componentes unitárias. 
 
𝑐 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
3 −4 0
−2 0 3
| = −12𝑖̂ − 9𝑗̂ − 8�̂� 
 
 
 
Figura 14: Regra da mão direita 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
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3.6 Exercícios 
 
1) (PUC-RJ) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectivamente, 
1 cm e 2 cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do centro do 
relógio e aponta na direção dos números na extremidade do relógio, determine o vetor 
resultante da soma dos dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e minuto 
quando o relógio marca 6 horas. 
a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio. 
b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio. 
c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. 
d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. 
e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. 
 
2) (UFAL-AL) A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exi-
gia que se caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção 
perpendicular à primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros, 
a) 680 
b) 600 
c) 540 
d) 520 
e) 500 
 
3) (UDESC) Um "calouro" do Curso de Física recebeu como tarefa medir o desloca-
mento de uma formiga que se movimenta em uma parede plana e vertical. A formiga 
realiza três deslocamentos sucessivos: 
1) um deslocamento de 20 cm na direção vertical, parede abaixo; 
2) um deslocamento de 30 cm na direção horizontal, para a direita; 
3) um deslocamento de 60 cm na direção vertical, parede acima. 
No final dos três deslocamentos, podemos afirmar que o deslocamento resultante da 
formiga tem módulo igual a: 
a) 110 cm 
b) 50 cm 
c) 160 cm 
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d) 10 cm 
 
4) Uma força de módulo igual a 10 N é aplicada sobre um corpo em um ângulo de 30º, 
como mostrado na figura a seguir. As componentes x e y dessa força são iguais a: 
 
a) √2 N e 2 N, respectivamente. 
b) √3 N e 5 N, respectivamente. 
c) 5√3 N e 5 N, respectivamente. 
d) 10√3 N e 5 N, respectivamente. 
e) √3 N e 10 N, respectivamente. 
 
5) Um cabo puxa uma caixa com uma força de 30 N. Perpendicularmente a essa força, 
outro cabo exerce sobre a caixa uma força igual a 40 N. Determine a intensidade da 
força resultante sobre o bloco. 
a) 50 N 
b) 10√2 N 
c) 70 N 
d) 10 N 
e) 20 N 
 
6) Um corpo movendo-se na direção horizontal sofre a ação de uma força de módulo 
igual a 20 N, alinhada a 45º com essa direção. As componentes x e y dessa força são 
iguais a: 
a) 10√2 N e 10√2 N, respectivamente. 
b) 10√2 N e 10 N, respectivamente. 
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-fisica/exercicios-sobre-decomposicao-vetorial.htm
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c) 2√10 N e √2 N, respectivamente. 
d) √2 N e 2 N, respectivamente. 
 
7) Na figura, estão representados dos vetores, AD e AE, de módulos 12 e 15, respec-
tivamente. No seguimento de reta AD está assinalado um ponto B e no seguimento 
de reta AE está assinalado um ponto c. O triangulo ABC e retângulo e seus lados tem 
3,4 e 5 unidades de comprimento. 
 
Nestas condições podemos afirmar que o produto escalar (AD.AE) é: 
a) 108 
b) 128 
c) 134 
d) 1448) Dados os vetores �⃗� = 4𝑖̂ + 2𝑗̂ e 𝑣 = −3𝑖̂ + 5𝑗̂ ,o produto escalar(�⃗� ∙ 𝑣 ) é: 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
9) Dados os vetores �⃗� =
1
2
�̂� +
1
3
�̂� e 𝑣 =
1
2
�̂� +
2
3
�̂� ,o ângulo formado pelos veto-
res �⃗� + 𝑣 e 2�⃗� − 𝑣 é: 
a) 30º 
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b) 45º 
c) 60º 
d) 120º. 
 
10) Dados os vetores �⃗� = 1𝑖̂ + 2𝑗̂ + 0�̂� e 𝑣 = 3𝑖̂ + 0𝑗̂ + 4�̂�,o módulo do produto vetorial 
(�⃗� 𝑥𝑣 ) é igual a: 
a) 10 
b) 14 
c) 11 
d) √18 
e) √116 
 
11) Dados os vetores �⃗� = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 4�̂� e 𝑣 = 3𝑖̂ + 𝑗̂ + 2�̂�, o produto vetorial (�⃗� 𝑥𝑣 ) é: 
a) �⃗� 𝑥𝑣 = 5𝑖̂ + 4𝑗̂ + 6�̂� 
b) �⃗� 𝑥𝑣 = 17 
c) �⃗� 𝑥𝑣 = 2𝑖̂ + 8𝑗̂ − 7�̂� 
d) �⃗� 𝑥𝑣 = 2𝑖̂ + 8𝑗̂ + 7�̂� 
 
 
3.7 Gabarito 
 
1. A 
2. D 
3. B 
4. C 
5. A 
6. A 
7. D 
8. A 
9. B 
10. E 
11. C