Introdução à Probabilidade e Estatística

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Probabilidade e Estatística - Professor: Hiron Pereira Farias
1 Probabilidade
Introdução: Encontramos, na natureza, muitas situações que envolvem incertezas. Elas são de-
nominadas de fenômeno ou experimetno aleatórios. Abusca por avalizar as diversas probabilidades
de ocorrência é um dos objstivos no estudo desses fenômenos.
Experimentos Aleatório ( ε): São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço Amostral (Ω): Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento: È qualquer subconjunto do espaço amostral.
1.1 Álgebra dos eventos
Sejam A,B , C e Ω eventos em que Ω e o espaço amostral, isto é, (A ⊂ Ω), B ⊂ Ω), (C ⊂ Ω).
A interseção dos eventos A e B , denotada por A ∩ B, e um evento formado pelos elementos
que pertencem aos eventos A e B, isto é,
A ∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
"O evento A ∩B ocorre quando A e B ocorre."
Se A ∩B = ∅, dizemos que os eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos).
A união dos eventos A e B , denotada por A ∪ B, e um evento formado pelos elementos que
pertencem aos eventos A ou B , isto é,
A ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}.
O evento complementar de B, denotado por Bc, é um eventos que pertence ao espaço amostral
,Ω, e não pertence ao evento B, isto é,
Bc = {x : x ∈ Ω e x 6∈ B}.
"O evento Bc ocorre se o evento B não ocorreu."
Observação:
i) B ∩Bc = ∅ "evento impossível"e
ii)B ∪Bc = Ω "evento certo."
A diferença dos eventos A e B, denotado por (A − B), e um evento formado pelos elementos
de A que não pertencem a B, isto é,
A−B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.
Observação: Um notação equivalente para representar a diferença é A ∩ Bc, isto é, A − B =
A ∩Bc.
Espaço Amostral Equiprovável : Diremos que o espaço amostral é equiprovável, se todos os
eventos elementares tiverem a mesma probabilidade (chance) de serem observados.
Definição: Chamados de probabilidade do evento A (A⊂ Ω ) o número real P(A), tal que:
P (A) = n(A)
n(Ω)
.
Em que:
n(A): é o número de elemento do evento A;
n(Ω): é o número de elemento do espaço amostral .
Observação:
i) Os eventos que possuem um único elemento n(A)=1 serão chamados eventos elementares.
ii) Entre os eventos, salientamos o (chamado evento impossível) e o próprio espaço amostral
( chamado evento certo).
iii) Se n(Ω ) = n, então terá 2n subconjuntos e, portanto, 2n eventos.
Propriedades
1) A probabilidade do evento certo é igual a 1;
2) A probabilidade do evento impossível e igual a zero;
3) A probabilidade de um evento elementar A qualquer é, (lembrando que n(A) =1)
P(A) = 1
n
4) A probabilidade de um evento A qualquer (A ⊂ Ω ) é um número real P(A), tal que
0 ≤ P(A) ≤ 1;
5) Se A e B são eventos, então:
P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Em particular, se A e B são mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅ ), então
P(A U B) = P(A) + P(B);
6) Se A é um evento então P(Ac) = 1 - P(A).
1.2 Probabilidade Condicional
Seja um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A| B) indicamos
a probabilidade de evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A| B) é a probabilidade condi-
cional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A | B) tudo se passa como
se B fosse o novo espaço amostral "reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade
de A.
Em resumo, temos dois modos de calcular P(A | B):
1) Considerando que a probabilidade do evento A será calculada em relação ao espaço amostral
"reduzido" B. Temos
P(A | B) = n(A∩B)
n(B)
.
2) Empregando a fórmula:
P(A| B) = P (A∩B)
P (B)
, P(B) > 0.
Em que tanto P(A ∩ B) como P(B) são calculadas em relação ao espaço amostral original .
Obs: Da fórmula (2) acima podemos escrever:
P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B) ,
ou ainda
P(B ∩ A) = P(A)* P(B| A)
1.3 - Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Daí P(A | B) = P(A). Se
dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual
ao produto das probabilidades de realizações dos dois eventos.
P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Exemplo 1: Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos: A: Ocorrem pelos menos duas
caras. B: Ocorrem resultados iguais nos três lançamentos.
Solução
P(A)= 1
2
P(B) = 1
4
A∩ B = (k,k,k) e P(A ∩ B)= 1
8
verifica-se que:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B), e que
P(A | B) = 1
2
= P(A) e P(B | A) = 1
4
= P(B).
Logo A e B são eventos independentes.
1a¯ LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE PROBABILIDADE
Professor: Hiron Pereira Farias
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Questão 1: Um colégio tem 1.000 alunos. Destes: 200 estudam Matemática; 180 estudam
Física; 200 estudam Química; 20 estudam Matemática, Física e Química; 50 estudam Matemática
e Física ; 50 estudam Física e Química; 70 estudam somente Química. Um aluno do colégio é
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de :
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar Física ou Química?
c) Ele estudar Matemática e Química?
d) Ele não estudar Matemática nem Física nem Química?
Questão 2: um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a)sair um 6 no primeiro lançamento;
b) sair um 6 no segundo lançamento;
c) não sair 6 em nenhum lançamento;
d) sair um 6 pelo menos.
Questão 3: Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos ( disjuntos ), com P(A ) = 0,3 e
P(B)= 0,5. Calcule:
I) P(A ∩ B)=
II) P(A ∪ B)=
II)P(A| B)=
IV) P(Ac )=
V) P[(A ∪B)c ]=
Questão 4: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma
peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves;
b) ela não tenha defeitos;
c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Questão 5: Se P( A ∪ B ) = 0,8; P(A) = 0,5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de:
a) A e B serem disjuntos (mutuamente exclusivos ); b) A e B serem independentes.
Questão 6: Sejam A e B eventos com P(A)= 3
8
, P(B)=1
2
e P(A ∩ B)= 1
4
. Encontre:
(i ) P(A ∪ B)=
(ii ) P(Ac)=
(iii) P(Bc)=
(iv) P ( Ac ∪ Bc )
(v) P(Ac ∩ Bc)
(vi) P ( A ∩ Bc)
(vii) P ( B ∩ Ac).
Questão 7: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número
ímpar?
Questão 8: Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade
de se obterem: a) dois valetes; b) um valete e uma dama.
Questão 9: um casal planeja ter três filhos. Calcule a probabilidade de nascerem:
a) três mulheres;
b) dois homens e uma mulher.
Questão 10: uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a) três caras (k);
b) duas caras e uma coroa;
c) uma cara somente;
d) nenhuma cara;
e) pelo menos uma cara;
f) no máximo uma cara.
Questão 11: Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas
vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso.
Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
Questão 12: Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso e,
sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem de-
feituosas?
Questão 13: Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas
brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola
é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, Segunda e
terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Questão 14: Uma urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 brancas; outra urna II tem 3 bolas vermelhas
e uma branca e a urna III tem 4 vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é
extraída uma bola. Qual a probabilidade da bola ser vermelha?
Questão 15: Uma clínica especializada trata de moléstia; X, Y e Z. 50% dos que procuram a clínica
são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica,
são: moléstiaX: 0,8; moléstia Y: 0,9 e moléstia Z: 0,95. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual
a probabilidade de que ele sofria a moléstia Y?
Questão 16: A urna I contém: 1 bola vermelha e 2 brancas. A urna II contém: 2 bola vermelhas
e 1 branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna I, colocamos na urna II e misturamos. Em
seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna II. Qual a probabilidade de tirarmos bola branca
da urna II ?
Questão 17: Em um certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1,80 m de
altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoria-
mente e tem mais mais de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
Questão 18: Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de
peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respcetivas máquinas são 3%, 5%
e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a
peça tenha vindo da máquina B?
Questão 19: Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas
que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem
tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é
aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao
teste?
Questão 20: Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Se A e B são independentes,
prove que A e Bc ; Ac e B ; Ac e Bc também são independentes.
Questão 21: Uma urna I contém 3 bolas vermelhas e 2 brancas; A urna II contém 2 bolas verme-
lhas e 5 brancas. Uma urna é escolhida aleatoriamente, uma bola é retirada e colocada na outra
urna, então uma bola é retirada da segunda urna. Encontre a probabilidade p de ambas as bolas
retiradas serem da mesma cor.
Questão 22: Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais: A, B, C. Uma pesquisa de opinião
revela que 12.000 lêem A, 8.000 lêem B; 7.000 lêem A e B; 6.000 lêem C; 4.500 lêem A e C;
1.000 lêem B e C e 500 lêem A, B e C. Selecionamos ao acaso um habitante dessa cidade. Qual a
probabilidade de que ele leia:
i) pelo menos um jornal; ii) Somente um jornal.
Questão 23: É dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de concentração:
Biológicas Exatas Humanas
Masculino 52 40 58
Feminino 38 32 80
Um estudante é sorteado ao acaso.
i) Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo feminino e da área de humanas?
ii) Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo masculino e não seja da área de biológicas?
iii) Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a probabilidade de que ele seja
do sexo feminino?
Questão 24: Uma moeda equilibrada é lançada 15 vezes de forma independente. Qual a probabi-
lidade de obter cara no 15o¯ lançamento, se ocorreram 14 coroas nas primeiras 14 jogadas?
Questão 25: A, B e C são três eventos de um mesmo espaço amostral, tais que:
P(B)= 0,5; P(C)= 0,3; P(B | C)= 0,4 e P[A | (B∩ C)]= 0,5. Calcule : P(A ∩ B ∩ C)= 0,5.
Questão 26: Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com
ocorrência dos eventos A e B.
B Bc Total
A 0,04 0,1
Ac 0,08 0,82
Total 1
i) Complete a tabela e calcule as probabilidades especificadas abaixo;
ii) P(A ∪ B)
iii) P(A | B)
iv) A e B são eventos independentes?
Questão 27: A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com
informações sobre área de estudo e classe sócio economica.
Alta Média Baixa Total
Exatas 120 156 68
Humanas 72 85 112
Biológicas 169 145 73
Total
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
a. Ser da classe econômica mais alta;
b. Estudar na área de exatas;
c. Estudar na área de humanas, sendo de classe média;
d. Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas.