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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
Curso de Verão Estatística
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitor: Dejanir Henriques
1o Semestre de 2010
Lista de Exercícios 1 - Data de Entrega 19/01/2010
1) Suponha que X tenha média m e variância σ2.
a ) Prove a desigualdade de Cantelli
P [X −m ≥ α] ≤ σ
2
σ2 + α2
, α ≥ 0
b) Mostre que
P [|X −m| ≥ α] ≤ 2σ
2
σ2 + α2
, α ≥ 0
Quando essa desigualdade é melhor do que a desigualdade de Chebyshev?
2) SejaX = {X1,X2, ...,Xn} um vetor de variáveis aleatórias independentes.
Mostre que
MSXi(t) =
nY
i=1
MXi(t)
3) Obtenha as funções geradoras de momentos das seguintes distribuições:
a) Bernouli(p)
X = 0 c/ prob (1− p)
X = 1 c/ prob p
b) Binomial(n,p): n realizações de ensaios de Bernoulli com probabilidade
de sucesso p
P (X = k) =
µ
n
p
¶
pk(1− p)n−k
c) Geométrica: Repetições independentes de ensaio de Bernoulli até o primeiro
sucesso. Y = no de ensaios
P (Y = k) = (1− p)k−1p
1
d) Poisson
P (X = k) = (e−λλk)/k!
e) Uniforme
fx =
1
b− aI[a,b](x)
f) Exponencial
f(x) = θe−θxI(0,∞)(x)
g) Gama(r,θ)
f(x) =
θr
Γ(r)x
r−1e−θxI(0,∞)(x)
sendo
Γ(r) =
Z ∞
0
yr−1eydy,Γ(k + 1) = kΓ(k), k > 0
se k natural,
Γ(k + 1) = k!
4) Mostre que a soma de n variáveis aleatórias independentes com dis-
tribuição exponencial(θ) possui distribuição Gama(n, θ)
5) Seja Xi ∼ Bin(ni, p). Mostre que
P
Xi ∼ Bin(
P
ni, p)
6) Suponha f(x) = [π(1 + x2)]−1. Obtenha f(y), sendo Y = X2
7) Seja
fx,y(x, y) = 1/π, x
2 + y2 ≤ 1
= 0, c.c
Obtenha fy(y0) como função explícita de y0
2
Dica: fx,y(x, y) equivale a um círculo de centro na origem e raio 1.
8) Sejam X1,X2 v.a iid ∼ N(0, 1). Sejam Y1 = X1 +X2 e Y2 = X1/X2.
Mostre que fy2(y2) segue uma distribuição Cauchy(0,1).
Obs: Se Y ∼ Cauchy(0,1), fy(y) = 1π(1+y22)
9) Suponha 2 variáveis aleatórias independentes, U e V , com m e n graus
de liberdade, respectivamente. Mostre que
X =
U/m
V/n
∼ F (m,n)
Sendo que se X tem distribuição qui-quadrado com k graus de libertade,
temos que
fx(x) =
¡
1
2
¢ k
2 x
k
2−1e−
x
2
Γ
¡
k
2
¢ , x ≥ 0
Dica: Defina uma variável auxiliar Y = V para o cálculo do Jacobiano.
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