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Diagrama de Fases para sistemas não-lineares:
Considerando o movimento de partículas sujeitas a um potencial arbitrário U(x) que dá
origem a forças não-lineares, nas proximidades do seu ponto de equilíbrio estável, temos:
Nestas condições, vemos que o movimento ainda é limitado e que, por convenção,
chamamos o ponto de equilíbrio estável de atrator.
No caso em que há pontos de equilíbrio instáveis, temos que o movimento é não-
limitado. Uma leitura interessante e necessária sobre a importância do espaço de fase na
interpretação da solução da equação de movimentos é o estudo do movimento não-
linear do oscilador de van der Pol. (Marion, pgs. 153-155)
Solução por perturbação:
Considerando um oscilador harmônico simples sujeito a uma força não-linear do tipo
λ𝑥2, temos a seguinte equação de movimento:
ሷ𝑥 + 𝜔0
2𝑥 = 𝜆𝑥2 (1)
Para podermos tratar como uma perturbação, temos que checar se o sistema é do tipo
suave e, além disso, ver se 𝜆 ≈ 0 e 𝜆 ≪ 𝜔0
2. Se for o caso, podemos notar que a
perturbação se comporta como 𝑓 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥). De um modo geral, a perturbação se
comporta como:
𝑓 = 𝑓( ሶ𝑥, 𝑥)
e a equação de movimento é:
ሷ𝑥 + 𝜔0
2𝑥 = 𝜆𝑓( ሶ𝑥, 𝑥)
Método de Poincaré
A solução de (1) é da forma 𝑥 𝑡, 𝜆 e é analítica em l, para l suficientemente pequeno.
Logo, podemos expandir x(t) em torno de l, ou seja:
𝑥 𝑡, 𝜆 = 𝑥0 𝑡 + 𝜆𝑥1 𝑡 + 𝜆
2𝑥2 𝑡 + ⋯
Desta forma:
ሶ𝑥 𝑡, 𝜆 = ሶ𝑥0 𝑡 + 𝜆 ሶ𝑥1 𝑡 + 𝜆
2 ሶ𝑥2 𝑡 + ⋯
ሷ𝑥 𝑡, 𝜆 = ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜆 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜆
2 ሷ𝑥2 𝑡 + ⋯
Substituindo em (1):
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜆 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜆
2 ሷ𝑥2 𝑡 + ⋯ + 𝜔0
2 𝑥0 𝑡 + 𝜆𝑥1 𝑡 + 𝜆
2𝑥2 𝑡 + ⋯ =
𝜆 𝑥0 𝑡 + 𝜆𝑥1 𝑡 + 𝜆
2𝑥2 𝑡 + ⋯
2
Do lado direito da igualdade, considerando a expansão até o termo l2:
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜆 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜆
2 ሷ𝑥2 𝑡 + ⋯ + 𝜔0
2 𝑥0 𝑡 + 𝜆𝑥1 𝑡 + 𝜆
2𝑥2 𝑡 + ⋯ =
𝜆 𝑥0
2 𝑡 + 2𝜆𝑥0 𝑡 𝑥1 𝑡 + 𝜆
2𝑥1
2(𝑡)
Arrumando os termos em ordem de potencia de l:
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜔0
2𝑥0 𝑡 + 𝜆 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 + 𝜆
2 ሷ𝑥2 𝑡 + 𝜔0
2𝑥2 𝑡 + ⋯ =
𝜆𝑥0
2 𝑡 + 2𝜆2𝑥0 𝑡 𝑥1 𝑡 + ⋯
Igualando as potencias de l:
l0: ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜔0
2𝑥0 𝑡 = 0
l1: ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 = 𝑥0
2 𝑡
l2: ሷ𝑥2 𝑡 + 𝜔0
2𝑥2 𝑡 = 2𝑥0 𝑡 𝑥1 𝑡
A primeira equação se refere ao oscilador não-perturbado, e as outras duas, se referem
às perturbação. Considerando que, em t = 0, 𝑥 0 = 𝐴 e ሶ𝑥 0 = 0, temos:
𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑 → 𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡
Substituindo na segunda equação:
ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 = 𝐴
2𝑐𝑜𝑠2 𝜔0𝑡 =
𝐴2
2
1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡
Para resolver a segunda equação, fazendo:
𝑥1 𝑡 = 𝐵 + 𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡
Então:
ሶ𝑥1 𝑡 = −2𝜔0𝐶𝑠𝑒𝑛 2𝜔0𝑡
ሷ𝑥1 𝑡 = −4𝜔0
2𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡
que, substituindo na segunda equação:
−4𝜔0
2𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡 + 𝜔0
2𝐵 + 𝜔0
2𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡 =
𝐴2
2
+
𝐴2
2
𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡
ou seja,
𝜔0
2𝐵 =
𝐴2
2
→ 𝐵 =
𝐴2
2𝜔0
2
e
−4𝜔0
2𝐶 + 𝜔0
2𝐶 =
𝐴2
2
→ 𝐶 = −
𝐴2
6𝜔0
2
desta forma:
𝑥1 𝑡 =
𝐴2
2𝜔0
2 [1 −
1
3
𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡 ]
Então, a correção da solução até primeira ordem é:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜆
𝐴2
2𝜔0
2 [1 −
1
3
𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡 ] + ⋯
Desafio: Resolver a terceira equação!!
Casos em que há termos seculares:
Considerando, agora, um oscilador harmônico simples sujeito a uma força não-linear do
tipo ε𝑥3, temos a seguinte equação de movimento:
ሷ𝑥 + 𝜔0
2𝑥 = 𝜀𝑥3 (2)
Como no caso anterior, temos que checar se o sistema é do tipo suave e, além disso, ver
se ε ≈ 0 e ε ≪ 𝜔0
2. Se for o caso, podemos expandir x(t) até primeira ordem em e, ou
seja:
𝑥 𝑡, 𝜀 = 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡 + ⋯
Desta forma:
ሶ𝑥 𝑡, 𝜀 = ሶ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሶ𝑥1 𝑡 + ⋯
ሷ𝑥 𝑡, 𝜀 = ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + ⋯
Que substituindo em (2), fica:
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡 = 𝜀 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡
3
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜔0
2𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 = 𝜀𝑥0
3 𝑡 + ℴ(𝜀2)
A primeira equação é:
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜔0
2𝑥0 𝑡 = 0
que, se em t = 0, 𝑥 0 = 𝐴 e ሶ𝑥 0 = 0, temos:
𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡
A segunda equação é:
ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 = 𝑥0
3 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡
3
que, reescrevendo
ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔0
2𝑥1 𝑡 = 𝑥0
3 𝑡 =
𝐴3
4
3 cos 𝜔0𝑡 + cos(3𝜔0𝑡) .
Para resolver a equação acima, como no caso anterior, poderíamos tentar a solução para
essa equação na forma:
𝑥1 𝑡 = 𝐵 + 𝐶𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝐷cos(3𝜔0𝑡)
Mas, a solução correta envolve a solução tentativa:
𝑥1 𝑡 = 𝐵 + 𝐶𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝐷cos(3𝜔0𝑡) (3)
Desafio: Mostre que (3) é solução da segunda equação!!
Podemos notar que, no segundo termo de (3), há um termo que depende linearmente
com o tempo. Desta forma, quando t aumenta, esse segundo termo diverge. Por essa
razão, esse termo é conhecido como termo secular.
Questão: A frequência do movimento perturbado é igual a do movimento não-
perturbado?
𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑 → 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0 + 𝛿 𝑡 + 𝜑 ≈
𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 − 𝑡𝛿𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 −
𝑡2𝛿2
2
𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + ⋯
termo secular
Corrigindo a frequência(Método de Bogoliubov-Krylov):
Voltando à equação do oscilador harmônico simples sujeito a uma força não-linear do
tipo ε𝑥3, dada por (2):
ሷ𝑥 + 𝜔0
2𝑥 = 𝜀𝑥3
agora iremos expandir x(t) até primeira ordem em e, ou seja:
𝑥 𝑡, 𝜀 = 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡 + ⋯
de forma que:
ሶ𝑥 𝑡, 𝜀 = ሶ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሶ𝑥1 𝑡 + ⋯
ሷ𝑥 𝑡, 𝜀 = ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + ⋯
e, também, iremos expandir a frequência do movimento:
𝜔0
2 = 𝜔2 − 𝜀𝛿1 − 𝜀
2𝛿2 −⋯
Que substituindo em (2), fica:
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔
2 − 𝜀𝛿1 − 𝜀
2𝛿2 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡 = 𝜀 𝑥0 𝑡 + 𝜀𝑥1 𝑡
3
ሷ𝑥0 𝑡 + 𝜔
2𝑥0 𝑡 + 𝜀 ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔
2𝑥1 𝑡 − 𝛿1𝑥0 𝑡 = 𝜀𝑥0
3 𝑡 + ℴ(𝜀2)
O termo não-perturbado é:
𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
pois, em t = 0, 𝑥 0 = 𝐴 e ሶ𝑥 0 = 0. A segunda equação é:
ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔
2𝑥1 𝑡 = 𝑥0
3 𝑡 + 𝛿1𝑥0 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
3 + 𝛿1𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
que, reescrevendo
ሷ𝑥1 𝑡 + 𝜔
2𝑥1 𝑡 =
𝐴3
4
3 cos 𝜔𝑡 + cos(3𝜔𝑡) + 𝛿1𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 =
3𝐴3
4
+ 𝛿1𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 +
𝐴3
4
cos(3𝜔𝑡)
Para resolver a equação acima, para evitar a presença de termos seculares, precisamos
eliminar o primeiro termo do lado direito dessa equação, logo:
3𝐴3
4
+ 𝛿1𝐴 = 0 → 𝛿1 = −
3𝐴2
4
Assim, a solução passa a ser:
𝑥1 𝑡 = 𝐵cos(3𝜔𝑡)
∴ −9𝜔2𝐵 cos 3𝜔𝑡 + 𝜔2𝐵 cos 3𝜔𝑡 =
𝐴3
4
cos(3𝜔𝑡)
𝐵 = −
𝐴3
32𝜔2
Ou seja,
𝑥1 𝑡 = −
𝐴3
32𝜔2
cos(3𝜔𝑡)
E a solução completa até primeira ordem é:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 −
𝜀𝐴3
32𝜔2
cos 3𝜔𝑡 com 𝜔2 = 𝜔0
2 + 𝜀
3𝐴2
4