Oficina - EM - Probabilidade

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Oficina CNI/EM – Presencial 
Material do MONITOR 
 
Setor de Educação de Jovens e Adultos 
Oficina – Probabilidade 
 
O objetivo da oficina é investigar o conceito de probabilidade por meio de atividades práticas. Ela 
está estruturada em duas partes. A primeira busca refletir sobre a natureza do conceito de 
probabilidade, a partir da discussão sobre acontecimentos certos (eventos determinísticos) e incertos 
(eventos aleatórios). A segunda parte, a principal, traz duas atividades práticas: uma série de 
lançamentos de dados para a compreensão da probabilidade como uma freqüência relativa e um 
jogo envolvendo probabilidade. 
 
1ª parte – Discussão sobre certeza, incerteza, previsibilidade 
 
O ponto de partida para a compreensão do conceito de probabilidade é a identificação de uma 
característica especial dos acontecimentos: a certeza, ou incerteza, de ocorrência. 
Propor aos alunos que eles citem alguns acontecimentos que podem ser previstos com certeza e 
outros que não podem. Eis algumas possibilidades, dentre tantas outras: 
Acontecimentos certos: 
- se soltarmos uma bola de gude de certa altura, ela certamente cairá. 
- se tentarmos distribuir 5 moedas entre 6 pessoas, certamente alguém ficará sem uma moeda. 
- se tirarmos a pilha da máquina fotográfica, ela certamente deixará de funcionar. 
- se lançarmos um dado comum, o número sorteado certamente estará entre 1 e 6. 
Acontecimentos incertos: (comentar com os alunos sobre o uso da palavra “aleatório” como 
sinônimo de incerto, imprevisível): 
- se soltarmos uma pena bem pequena de certa altura, não é absolutamente certo que ela cairá, pois 
ela é muito suscetível ao vento. Se na hora em que soltarmos a pena estiver soprando uma leve 
brisa, a pena poderá subir, levada pela brisa. 
- se um casal tiver relações sexuais no período fértil da mulher, não é possível prever com certeza se 
ela vai engravidar ou não. 
- se uma pessoa sair de casa às 7h00, não é possível determinar com certeza se ele chegará ao 
trabalho antes das 7h30. O ônibus pode demorar para passar, o pneu pode furar, uma rua pode estar 
interditada, o trânsito pode estar congestionado etc. São os famosos “imprevistos” – nome, aliás, 
muito apropriado para essas situações. 
- se lançarmos um dado comum, não é possível prever com certeza se sairá 6. 
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Após a análise dos exemplos, falar para os alunos que são os acontecimentos incertos que 
interessam à teoria da probabilidade. Embora essa teoria não nos permita adquirir certeza sobre um 
acontecimento incerto, ela nos permite saber a chance de um acontecimento incerto se concretizar 
ou não, e isso pode ser muito útil. Citar dois exemplos: 
- jogar na loteria pode parecer tentador, mas você arriscaria todas as suas economias em um jogo? A 
teoria da probabilidade não tem o poder de dizer se você vai ganhar ou não. Porém, ela tem o poder 
de dizer que é difícil que você ganhe (mais adiante veremos o que significa “difícil”). 
- acerto de um pênalti no futebol: quando um jogador vai bater um pênalti, não é possível saber se 
ele vai convertê-lo em gol ou não. Entretanto, baseado em estatísticas (dados anteriores), é possível 
estimar a chance do gol acontecer ou não. Se você fosse o técnico da seleção brasileira, quem você 
escolheria para bater o pênalti na final da copa? O centroavante-craque ou o zagueiro limitado? 
Mesmo não podendo prever o resultado, sabemos que o centroavante tem mais chances de fazer o 
gol. 
Mostrar aos alunos o sistema abaixo. Perguntar se eles fazem alguma associação entre essa situação 
e a ideia de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conduzir a discussão para o aspecto incerto do resultado do lançamento de uma bolinha. Não é 
possível prever com certeza onde a bolinha cairá, mas podemos perceber que a chance de cair nos 
compartimentos centrais é maior do que nos laterais. Se fôssemos apostar em um, seria razoável 
escolher o do meio. 
A teoria da probabilidade torna o conceito de chance mais preciso e nos dá ferramentas para 
quantificá-la, auxiliando-nos a tomar decisões frente a situações incertas. 
Para concluir esta parte introdutória, comentar com os alunos que a teoria da probabilidade surgiu 
do estudo dos jogos de azar. O marco desse surgimento foi uma famosa troca de correspondências 
entre os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal em meados do século 17, sobre as 
chances de ganhar determinado jogo de dados (para mais detalhes, ver 
http://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me104/prob1.pdf). 
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2ª parte – Atividades 
 
Atividade 1 – Probabilidade como freqüência relativa 
 
O objetivo dessa atividade é introduzir o conceito de “probabilidade de ocorrência de um evento1” 
como a razão (fração) entre o número de vezes que este evento ocorre e o número de vezes em que 
foi dada a chance de ele acontecer. Essa razão, porém, é calculada em uma situação especial: aquela 
em que esse número de vezes em que foi dada a chance é “muito grande”. 
Certamente, o que está escrito no parágrafo acima é impreciso. Entretanto, a atividade prática 
ajudará a tornar mais concreta a ideia de probabilidade como uma fração, ou razão. 
Organizar os alunos em grupos e pedir que cada grupo realize 100 lançamentos de dados (no 
lançamento de um dado, o resultado é um evento aleatório, ou seja, imprevisível), registrando a 
freqüência dos números sorteados (1, 2, 3, 4, 5 e 6) a cada intervalo de 10 lançamentos, da seguinte 
maneira2: 
 
- 10 primeiros lançamentos: 4, 2, 4, 6, 1, 2, 1, 4, 2 e 4 (os alunos, evidentemente, deverão preencher 
a tabela com seus próprios resultados). 
Número Nº de vezes que saiu 
(freqüência) 
Fração das vezes que saiu 
(freqüência relativa) 
1 2 
2 3 
3 0 
4 4 
5 0 
6 1 
 
 
1
 O termo “evento” significa simplesmente um acontecimento. 
2
 Os dados apresentados abaixo são reais - eu mesmo fiz os 100 lançamentos! 
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Após os 10 primeiros lançamentos, realizar mais 10 e incorporar os resultados aos anteriores. 
- 20 primeiros lançamentos: 4, 2, 4, 6, 1, 2, 1, 4, 2, 4 / 3, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5. 
Número Nº de vezes que saiu 
(freqüência) 
Fração das vezes que saiu 
(freqüência relativa) 
1 2 
2 4 
3 3 
4 7 
5 3 
6 1 
 
O procedimento deve ser continuado até que sejam feitos os 100 lançamentos. Ao final da atividade, 
portanto, todos os grupos deverão ter 10 tabelas (uma para 10 lançamentos, outra para 20, outra 
para 30, até 100). A última (décima) está indicada abaixo: 
- 100 lançamentos: ... 
Número Nº de vezes que saiu 
(freqüência) 
Fração das vezes que saiu 
(freqüência relativa) 
1 17 
2 16 
3 15 
4 19 
5 16 
6 17 
Tabela 2 
Tabela 10 
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Quando os grupos estiverem com suas 10 tabelas, pedir que montem um gráfico como o 
apresentado abaixo, relacionando a frequência relativa (terceira coluna das tabelas acima) em 
função do número de lançamentos (1 gráfico por grupo). O aspecto deverá ser parecido com o do 
gráfico abaixo. 
 
Esse gráfico é bastante rico. O ponto central de sua análise é a observação de uma tendência das 
freqüências relativas se aproximarem de um determinado valor conforme o número de lançamentos 
aumenta. Essa aproximação é chamada de convergência. Com poucos lançamentos (10, porexemplo), as frequências relativas de cada número do dado têm valores bastante “dispersos”: variam 
de 0 (para os números 3 e 5) até 0,4 (para o número 4). Já para 100 lançamentos, percebe-se 
claramente que os valores estão mais agrupados: a variação ocorre em uma faixa mais estreita: de 
0,15 a 0,19. 
Após essa análise, propor aos alunos a questão fundamental: 
Se continuássemos fazendo muitos lançamentos, o que 
aconteceria com as freqüências relativas de cada número? 
Deixar que eles pensem um pouco. A resposta a essa questão é a seguinte: conforme o número de 
lançamentos aumenta, a tendência é que as freqüências relativas de todos os números aproximem-
se do valor (0,1666...). Por que ? Porque não há nenhum motivo para que um número tenha mais 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Número 1
Número 2
Número 3
Número 4
Número 5
Número 6
Número de lançamentos
Fr
eq
uê
nc
ia
 re
la
tiv
a
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chance de sair do que outro (se o dado for honesto). Então, se fizermos muitos lançamentos, cada 
número tenderá a sair o mesmo número de vezes que o outro, ou seja, todos tenderão a ter a 
mesma freqüência relativa. Como são seis números possíveis, cada um deles tenderá a sair das 
vezes. Esse valor é justamente o que chamamos de probabilidade de sair cada um dos números. 
Argumentar com os alunos que a palavra “tendência” foi usada diversas vezes acima, e pode soar um 
tanto imprecisa. Mas a análise do gráfico da página anterior elucida seu significado. É possível definir 
a probabilidade de maneira mais rigorosa e precisa, mas esse rigor não é de tanto interesse no nosso 
nível de ensino. 
Reforçar a interpretação do conceito de probabilidade propondo aos alunos a análise da seguinte 
frase: 
Um casal que tem relações sexuais no momento adequado do mês pode ter uma chance de até 25% 
de ficar “grávido” a cada mês. Fonte: http://www.explicaki.com/gravidez/chances-de-engravidar/ 
A interpretação é a seguinte: se um número muito grande de casais tentar engravidar, a tendência é 
que, após 1 mês, cerca de 25% deles consigam. 
Para finalizar essa atividade, pedir aos grupos que escrevam na lousa seus resultados para os 100 
lançamentos e determinem, ao final, a fração relativa de cada número nesse conjunto maior de 
resultados, montando uma tabela como a ilustrada abaixo. Por exemplo, suponhamos que haja 10 
grupos na sala (G1, G2, ...), e que eles tenham obtido os seguintes resultados3: 
Número G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 Frequência em 
1000 lançamentos 
Frequência relativa em 
1000 lançamentos 
1 12 25 13 16 17 13 18 15 16 21 166 0,166 
2 14 11 17 27 17 16 17 19 20 15 173 0,173 
3 18 17 16 17 19 20 18 15 20 14 174 0,174 
4 15 15 15 13 18 24 16 21 16 20 173 0,173 
5 20 17 27 10 18 16 20 18 19 17 182 0,182 
6 21 15 12 17 11 11 11 12 9 13 132 0,132 
 
Observamos que com um conjunto maior de lançamentos (1000), os valores estão ainda mais 
agrupados e próximos do valor esperado ( , ou 0,1666...). Observamos que a variação das 
frequências ocorre entre 0,166 e 0,182, com exceção do resultado do número 6, que afastou-se 
bastante do valor esperado (0,1666...). Caso isso aconteça na turma, discutir com os alunos que, 
embora a tendência seja que, com o aumento de lançamentos, as freqüências relativas se 
aproximem cada vez mais do valor 0,1666..., não é absolutamente garantido que isso aconteça com 
todos os números. O valor 0,132 em 1000 lançamentos, obtido com o número 6, é algo raro de 
acontecer (probabilidade baixa), mas pode acontecer. É como lançar um dado 5 vezes e nas 5 vezes 
sair o número 1: é difícil, mas pode acontecer! 
 
 
3
 Estes números foram obtidos por meio de sorteios aleatórios no programa MS-Excel. 
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Atividade 2 – Jogo 
 
Esta atividade foi extraída do livro Matemática – Ensino Médio – vol. 24. Trata-se de um jogo 
bastante simples para ser jogado em duplas. As regras são as seguintes: 
 
- Os participantes decidem quem será o jogador A e quem será o B. 
- Os jogadores deverão realizar 10 rodadas. 
- A cada rodada, os dois jogadores lançam, ao mesmo tempo, cada um o seu dado. 
- o jogador a marca 1 ponto se o valor da diferença entre os números que saírem nos dois dados for 
0, 1 ou 2. O Jogador B marca 1 ponto se o valor da diferença for 3, 4 ou 5. 
- Após 10 rodadas, vence o jogador com maior número de pontos. Em caso de empate (5 a 5), tem-se 
uma rodada extra de desempate. 
Por exemplo, se em um lançamento (dos dois dados) tivermos o resultado 4 e 6, a diferença é 2 e o 
jogador A ganha um ponto. Se o resultado for 5 e 1, a diferença é 4 e o jogador B ganha um ponto. 
Após os jogos, anotar na lousa os vencedores de cada dupla (A ou B). 
A questão fundamental a ser explorada é: as regras do jogo são justas, no sentido de dar a ambos os 
jogadores probabilidades iguais de ganhar? Caso não sejam, o que poderíamos fazer para torná-las 
justas? 
Novamente, deixar que os alunos pensem um pouco sobre a questão. A resposta é que as regras não 
são justas. Por que não? Se considerarmos todos os resultados possíveis em um lançamento, 
teremos: 
Resultado Diferença Resultado Diferença Resultado Diferença 
1-1 0 3-1 2 5-1 4 
1-2 1 3-2 1 5-2 3 
1-3 2 3-3 0 5-3 2 
1-4 3 3-4 1 5-4 1 
1-5 4 3-5 2 5-5 0 
1-6 5 3-6 3 5-6 1 
2-1 1 4-1 3 6-1 5 
2-2 0 4-2 2 6-2 4 
2-3 1 4-3 1 6-3 3 
2-4 2 4-4 0 6-4 2 
2-5 3 4-5 1 6-5 1 
2-6 4 4-6 2 6-6 0 
 
4
 Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz, Editora Saraiva, 2010. 
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Vemos que dos 36 resultados possíveis, 
6 levam à diferença 0 (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6) 
10 levam à diferença 1 (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1) 
8 levam à diferença 2 (1-3, 2-4, 3-5, 4-6, 6-4, 5-3, 4-2, 3-1) 
6 levam à diferença 3 (1-4, 2-5, 3-6, 6-3, 5-2, 4-1) 
4 levam à diferença 4 (1-5, 2-6, 6-2, 5-1) 
2 levam à diferença 5 (1-6, 6-1) 
 
Ou seja, dos 36 resultados possíveis em um lançamento, 24 favorecem A e 12 favorecem B. Como 
todos os resultados têm a mesma probabilidade de acontecer, a probabilidade de A ganhar em um 
lançamento é de , e a de B ganhar é de . Portanto, as chances de A são maiores (o 
dobro). Isso deverá se refletir nos resultados da classe - provavelmente haverá mais ganhadores A do 
que B (pode ser que haja mais ganhadores B, mas isso é pouco provável – ver discussão no final da 1ª 
atividade). 
Uma regra justa daria probabilidades iguais para ambos os jogadores em um lançamento. Como são 
36 resultados possíveis, todos com a mesma probabilidade, A deveria ganhar 1 ponto com 18 deles e 
B deveria ganhar 1 ponto com os outros 18. Analisando a tabela do início dessa página, uma 
possibilidade é que A ganhe 1 ponto caso a diferença entre os dados seja 0, 2 ou 4 e B ganhe um 
ponto caso a diferença seja 1, 3 ou 5: 
6 levam à diferença 0 - Ponto para A 
10 levam à diferença 1 - Ponto para B 
8 levam à diferença 2 - Ponto para A 
6 levam à diferença 3 - Ponto para B 
4 levam à diferença 4 - Ponto para A 
2 levam à diferença 5 - Ponto para B 
 
Ponto para A (24 resultados) 
Ponto para A 
(18 possibilidades) 
Ponto para B 
(18 possibilidades) 
Ponto para B (12 resultados)