Lista 07_GABARITO

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: André Attilio, Bruno Komatsu, Otávio Sidone e Thiago Alexandrino 
 
LISTA 07 - GABARITO 
Questão 01 
Em relação à teoria da produção, julgue as afirmativas a seguir: 
a) a função de produção apresenta rendimentos decrescentes de escala. 
b) a elasticidades de substituição da função de produção 
 
 
 
 é 
variável 
c) as isoquantas da função de produção são linhas retas. 
d) rendimentos decrescentes para um único fator de produção e rendimentos constantes não 
são inconsistentes. 
a) Falso. Esta função é do tipo Cobb-Douglas e apresenta rendimentos constantes de escala: 
 
b) Falso. Esta função de produção corresponde à função CES, que possui elasticidade de 
substituição constante. 
c) Falso. Esta função é do tipo Cobb-Douglas e admite isoquantas convexas, semelhantemente 
às curvas de indiferença da função de utilidade Cobb-Douglas. 
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d) Verdadeiro. A função de produção do tipo Cobb-Douglas é exemplo desse comportamento, 
possui rendimentos marginais decrescentes (associados à variação de um único fator), mas 
rendimentos constantes de escala: 
 rendimentos marginais decrescentes (em relação ao capital): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 rendimentos constantes de escala: 
 
Questão 02 
Em relação à teoria da produção, julgue as afirmativas a seguir: 
a) Seja a função de produção , em que e são os 
insumos. Pode-se afirmar que, no ponto , a isoquanta possui uma quebra 
(vértice). 
b) Considere uma função de produção com apenas dois insumos e que esses sejam substitutos 
perfeitos. Esta função é compatível tanto com retornos constantes, crescentes ou 
decrescentes de escala. 
c) Uma firma opera com duas plantas cujos custos são 
 e 
 
 , respectivamente, onde e são as quantidades produzidas. Se , a 
produção da segunda planta será igual a 3. 
d) a função de produção apresenta rendimentos constantes de escala. 
 
a) Falso. A função de produção dada indica que a tecnologia utilizada pela firma é do tipo 
Leontief, e que o segundo insumo de produção pode ser produzido através de uma 
combinação dos dois insumos. Assim, as isoquantas da função de produção do tipo Leontief 
possuem formato de L, indicando que qualquer combinação dos insumos que não esteja na 
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proporção definida pela tecnologia não implica em aumento de produto. O vértice da 
isoquanta representa a proporção de utilização dos insumos. No caso da tecnologia em 
questão, a proporção ótima será definida de tal forma que: . Ou seja, haverá 
uma quebra na isoquanta no ponto em que . Portanto, no ponto , a 
isoquanta não possui quebra. 
b) Verdadeiro. A função de produção 
 é exemplo de insumos 
substitutos perfeitos e retornos de escala dependentes do valor assumido pelo parâmetro a. 
c) Verdadeiro. A firma utilizará as duas plantas de maneira que o custo total de produção seja 
mínimo. Assim, ela escolherá e para: 
 
O plano de produção ótimo requer que o custo marginal de produção seja igual nas duas 
plantas. Assim, tal condição de equilíbrio implica: 
 
Como: , concluímos que e . 
d) Verdadeiro. Esta função é do tipo substitutos perfeitos e apresenta retornos constates de 
escala: 
 
 
Questão 03 
Em relação à teoria dos custos, julgue as afirmativas a seguir: 
a) Seja o custo total de uma firma, em que y é o produto. Caso , o 
custo variável médio será 204. 
b) Seja 
 
 
 a curva de oferta da firma i. Se foram produzidas 3 unidades, o custo 
variável total será 9. 
c) Sejam 
 
 a função de produção de uma firma e e os preços de 
 e , respectivamente. Supondo que , a minimização de custos requer que . 
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d) Seja , para , a função de custo de curto prazo de uma firma. Para 
 , o custo quase-fixo será de 4. 
e) Uma firma opera duas plantas. Para minimizar custos, esta firma deve aumentar a produção 
na planta onde o custo médio for menor e reduzir a produção em que o custo médio for maior. 
 
a) Falso. A função custo total desta firma pode ser dividida em duas funções: a função custo 
fixo: e a função custo variável: : , de modo que . 
Dada a função custo variável, o custo variável médio pode ser obtido dividindo-se CV pelo nível 
de produção. Dado que a quantidade produzida é , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Verdadeiro. Supondo que a curva de oferta descrita represente uma firma em concorrência 
perfeita, sabemos que, em equilíbrio, a curva de oferta da firma é determinada pela curva de 
custo marginal acima do CVMe. Assim: 
 
 
 
 
Como CMg=p, e p=2q, temos: CMg=2q 
Assim: 
 
c) Verdadeiro. Nesta função, e são insumos substitutos perfeitos. Portanto, a 
minimização de custos prevê que o insumo mais barato seja utilizado. Se , ou seja, se 
o preço do insumo é maior do que o preço do insumo , então deve ser utilizado e a 
quantidade de utilizada deve ser nula. 
d) Verdadeiro. A função-custo exprime o custo variável (3y) e o custo fixo (10) 
para um nível positivo de produção. Se, para um nível de produção igual a zero, o custo fixo é 
igual a 6, então o custo quase-fixo é igual a 4 (10-6), pois este só é um custo fixo para um nível 
de produção diferente de zero. 
e) Falso. O custo total de uma firma é a soma dos custos fixos e custos variáveis. O custo (total) 
médio é a soma destes dois custos dividido pelo nível de produção. No caso em questão, a 
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firma opera com duas plantas com custos médios diferentes, porém não há informações sobre 
os custos fixos e variáveis. Se os custos fixos forem os principais responsáveis pelo alto custo, 
será melhor para a empresa aumentar a produção na planta com maiores custos, pois esta 
planta de produção apresenta retornos crescentes de escala. Contudo, se o alto custo for 
devido a um alto custo variável, então um aumento na produção implicará em aumento nos 
custos médios, e será melhor para a firma reduzir a produção nesta planta, pois ela apresenta 
retornos decrescentes de escala, e aumentar a produção na planta em que o custo médio é 
menor. 
 
Questão 04 
Funções de produção com retornos constantes de escala são também chamadas de 
homogêneas de grau 1. No geral, uma função de produção é dita homogênea de grau 
se: 
 
onde e são respectivamente os inputs de capital e trabalho, . 
(a) Mostre que se a função de produção é homogênea de grau , as suas funções de 
produtividade marginal são homogêneas de grau . 
Queremos mostrar que 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
. 
Começando com a produtividade marginal do capital, vamos derivar a equação acima que 
define a função homogênea com relação a : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando a mesma equação com relação a , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que as produtividades marginais de qualquer 
função de produção com retornos de escala constantes dependem somente da razão 
 . 
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Os resultados acima valem para , então,em particular valem para . Como é 
homogênea de grau 1, então temos: 
 
Tomando temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da produtividade marginal em relação ao capital, então temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a produtividade marginal do capital 
 
 
 é uma função de . Isso ocorre porque 
 não depende de . No caso da produtividade marginal do trabalho, pode-se utilizar um 
argumento similar, tomando . A produtividade marginal dependerá de , que é 
equivalente a afirmar que ela dependerá de . 
 
(c) Use o resultado do item (b) para mostrar que a (taxa marginal de substituição 
técnica) de uma função de produção com retornos constantes de escala depende 
somente da razão . 
 
A é dada por: 
 
 
 
 
 
 
onde é um nível constante do produto . Pelo teorema da função implícita, temos o 
seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como as produtividades marginais só dependem da razão , então, a só irá 
depender da mesma razão. 
 
(d) No caso geral, mostre que a de qualquer função homogênea é independente da 
escala de operação – todas as isoquantas são expansões radiais da isoquanta unitária. 
Então a função é homotética. 
Seja uma função homogênea de grau . A fórmula da não se modifica: 
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Nesse caso, o que muda são as fórmulas de 
 
 
 e 
 
 
. Como é homogênea de grau , 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da produtividade marginal do trabalho, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela fórmula acima, percebemos que a é uma função de . 
 
(e) Mostre que os resultados dos itens (d) se aplicam a qualquer transformação 
monotônica de uma função homogênea. Ou seja, mostre que qualquer transformação 
desse tipo de uma função homogênea é homotética. 
Seja uma função tal que , definida para . A da função de produção 
 é dada por: 
 
 
 
 
Pela regra da cadeia, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o resultado do item anterior vale para uma função de produção que é uma 
transformação monotônica de . 
 
 
Questão 05 
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Considere a seguinte função de produção: 
 
onde para . 
(a) Se essa função apresenta retornos constantes de escala, que restrições devemos 
impor nos parâmetros ? 
Para a função de produção ter retornos constantes de escala é preciso que tenhamos: 
 
para . Do lado esquerdo da equação temos: 
 
Igualando os dois lados: 
 
 
 
Para que essa equação seja verdadeira , é necessário que . 
 
(b) Mostre que no caso de retornos constantes de escala essa função apresenta 
produtividade marginal decrescente e as funções de produtividade marginal são 
homogêneas de grau 0. 
Como vimos no item (a), no caso de retornos constante de escala, a função de produção é 
dada por: 
 
As produtividades marginais são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que a função de produtividade marginal do capital possui o termo no 
denominador de um dos termos; assim, quando a quantidade de aumentar, a produtividade 
marginal irá diminuir. De modo mais formal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
A derivada segunda é não positiva, pois . Analogamente, a produtividade marginal do 
trabalho possui o termo no denominador, de modo que quando aumenta, a produtividade 
marginal do trabalho diminui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Calcule a elasticidade de substituição nesse caso. Embora não seja uma constante, 
para que valores dos teremos , ou ? 
A elasticidade de substituição tem a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
A é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular 
 
 
, lembre-se do seguinte resultado de cálculo.Seja . Lembre-se de 
que . Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Então temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, temos: 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que se se aproxima de zero e , então vai para , pois o numerador e o 
denominador são positivos e esse último vai para zero. Não há como ir para zero, pois para 
zerar o numerador teríamos que ter , e indo para zero ao mesmo tempo, mas nesse 
caso, o denominador iria para zero à mesma taxa. 
 
Questão 06 
Suponha que a função de custo total de uma firma seja dada por: 
 
(a) Use o Lema de Shephard para calcular a função de demanda com produto constante 
para cada insumo, e . 
Como é o preço do capital e é o preço do trabalho, então pelo Lema de Shephard, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Use os resultados do item (a) para calcular a função de produção para . 
Em primeiro lugar, a função custo total é proporcional ao nível de produção , de modo 
que a função de produção apresenta retornos constantes de escala. 
Com os resultados do item (a), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A elasticidade de substituição pode ser calculada como: 
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Portanto, como a função possui retornos constantes de escala, podemos concluir que a função 
de produção é uma função CES com o parâmetro dado por: 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
(c) Cheque esse resultado, verificando que a função de custo total com 
gera a função de custo total do enunciado: 
 
 
Substituindo os valores na fórmula temos: 
 
 
 
 
 
 
Questão 07 
Uma empresa possui uma função de produção dada por , onde é a quantidade de 
capital e a quantidade de trabalho. No curto prazo a quantidade de capital é fixa em 
 . 
(a) Calcule a função custo marginal de curto prazo. 
Com o capital fixo , então a função de produção fica: 
 
 
 
 
A função custo de curto prazo será: 
 
 
 
 
Então a função custo marginal de curto prazo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Calcule a função custo médio de curto prazo. 
A função custo médio de curto prazo será: 
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(c) Calcule a elasticidade de substituição entre e no longo prazo. 
A elasticidade de substituição será dada por: 
 
 
 
 
 
 
No longo prazo, a é dada por:Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 08 
O mapa de isoquantas de produção é usado para representar, no caso de dois insumos, a 
superfície de produção num diagrama bidimensional. Verifique a veracidade das afirmativas 
abaixo e justifique: 
a) a inclinação positiva de algumas isoquantas é explicável pelas produtividades marginais 
positivas dos dois insumos. 
b) a isoquanta mostra a quantidade máxima de produtos, dados os níveis dos insumos. 
c) a noção de isoquanta implica a perfeita substitutabilidade entre os insumos. 
d) a isoquanta mostra a quantidade mínima de um insumo, dados o nível de produção e o nível 
do outro insumo. 
a) Falso. A inclinação de uma isoquanta é dada pela Taxa Marginal de Substituição Técnica 
entre os insumos. Seja a função de produção representada por: 
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Caso e , então: 
Caso e , então: 
Mas se e , então: 
b) Verdadeiro. Uma isoquanta é o conjunto de todas as combinações possíveis dos insumos 1 e 
2 que são exatamente suficientes para produzir determinada quantidade de produto. 
c) Falso. Uma isoquanta representa várias combinações de insumos utilizadas para produzir 
um nível específico de produto. Mas isso não significa perfeita substitutabilidade entre os 
insumos. Um exemplo é a função de produção Leontief, em que os insumos são 
complementares: . 
d) Falso. Uma isoquanta é o conjunto de todas as combinações possíveis dos insumos 1 e 2 que 
são exatamente suficientes para produzir determinada quantidade de produto. 
 
Questão 09 
Sobre a teoria da produção, verifique a veracidade das afirmativas abaixo e justifique: 
a) uma isoquanta representa combinações alternativas de produtos para um dado nível de 
insumo. 
b) ao longo de uma isoquanta, tem-se um número muito grande de técnicas de produção. 
c) combinações de insumos ao longo de trechos positivamente inclinados de uma isoquanta 
são eficientes do ponto de vista econômico, mas não do ponto de vista técnico. 
d) a Taxa Marginal de Substituição Técnica pode ser definida como o negativo da derivada de 
uma isoquanta. 
e) a Taxa Marginal de Substituição Técnica pode ser definida como o acréscimo na quantidade 
de um insumo por unidade de acréscimo do outro insumo. 
a) Falso. Uma isoquanta é o conjunto de todas as combinações alternativas possíveis de 
insumos que são exatamente suficientes para produzir determinada quantidade de produto. 
b) Verdadeiro. 
c) Falso. A inclinação da isoquanta mede a Taxa Marginal de Substituição Técnica, ou seja, a 
capacidade da empresa de efetuar a substituição entre os insumos. Assim, a inclinação positiva 
indica que é necessário aumentar a quantidade de um insumo se aumentarmos a quantidade 
do outro, para produzir o mesmo nível de produto. Isso significa que o produto marginal de um 
dos insumos é negativo. Porém, a eficiência técnica não admite a possibilidade de produtos 
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marginais negativos. Embora possa ocorrer produto marginal decrescente, isso não significa 
que ele seja negativo. A substituição entre os insumos vai produzir sempre quantidades 
positivas de produto, mesmo que essas quantidades sejam decrescentes. O trecho em que a 
isoquanta possui inclinação positiva também não é eficiente do ponto de vista econômico, 
visto que há desperdício de recursos. Poderíamos produzir o mesmo volume de produto 
utilizando menos de um dos insumos e utilizar os recursos poupados na produção de outros 
bens ou para a satisfação direta de necessidades. 
d) Verdadeiro. Seja a função de produção representada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que é precisamente a inclinação da isoquanta. 
e) Falso. A Taxa Marginal de Substituição Técnica é definida como o acréscimo na quantidade 
de insumo necessário para que se reduza a quantidade do outro insumo em uma unidade e se 
produza o mesmo nível de produto. 
 
Questão 10 
Com relação às curvas de custo, verifique a veracidade das afirmativas abaixo e justifique: 
a) a curva de custo marginal sempre fica por baixo da curva de custo médio. 
b) a área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveis. 
c) o custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo somente no 
ponto onde o custo médio de curto prazo é mínimo. 
d) o custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto onde o custo médio é mínimo. 
a) Falso. A curva de custo marginal está abaixo da curva de custo médio, , quando 
o custo médio é decrescente (e a curva de custo marginal está acima da curva de custo médio 
quando o custo médio é crescente). A igualdade entre as curvas dá-se quando o custo médio é 
mínimo. 
b) Verdadeiro. A curva de custo marginal mede o custo de produzir uma unidade adicional de 
um bem. Se somarmos o custo de produzir cada unidade do bem, obteremos o custo total de 
produção (com exceção dos custos fixos). Então: 
 
 
 
 
 
 
 
A área sob a curva de custo marginal é dada por: 
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c) Verdadeiro. O custo marginal de longo prazo em qualquer nível de produção deve ser igual 
ao custo marginal de curto prazo, associado com o nível ótimo do tamanho da fábrica para 
produzir determinada quantidade. No curto prazo existem fatores fixos, enquanto que no 
longo prazo podemos alterar todos os fatores. Nesse caso, o custo marginal de longo prazo 
possui duas partes: como os custos marginais mudam ao se manter fixo o tamanho da fábrica 
(correspondente ao custo marginal de curto prazo), e como os custos marginais mudam 
quando o tamanho da fábrica se ajusta. Entretanto, o tamanho da fábrica é escolhido de 
maneira ótima, de modo que essa segunda parte seja igual a zero. Portanto, os custos 
marginais de curto e longo prazo são iguais no nível ótimo de longo prazo. Porém, nesse nível 
o custo médio é mínimo e, portanto, igual ao custo marginal. 
d) Verdadeiro. Considere C(Y) o Custo Total, onde Y é a quantidade produzida, o Custo Médio 
 
 
 
, e o Custo Marginal . Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A condição necessária para o custo médio ser mínimo é que 
 
 
 
Ou seja, . 
A condição de segunda ordem é que 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
 
 
Como no ponto de custo médio mínimo 
 
 
 , a condição de segunda ordem para que o 
CMe seja mínimo é , ou seja, que o custo marginal seja crescente (função de custo 
convexa). 
Questão 11 
Considere uma firma cuja função-custo pode ser representada pela expressão: , em 
que w e v são os preços dos dois fatores de produção utilizados, e y é o produto. 
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a) As proporções nas quais a firma empregará os fatores dependerão da quantidade 
produzida? 
b) As proporções entre as despesas com cada fator dependerão da quantidade produzida? 
c) A tecnologia implícita na função-custo exibe qual tipo de retornos de escala? 
d) No equilíbrio de longo prazo, onde muitas empresas poderiam operar com essa função-
custo, estaria associado à existência de uma única firma? 
a) O CMe pode ser calculado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, como o CMe é constante, há retornos constantes de escala. Assim, as proporções nas 
quais a firma empregará os fatores não dependerão da quantidade produzida. 
b) Não. Se representarmos a demanda por fatores por (i=1, 2), as despesas com os fatores 1 
e 2 serão dadas por e . Assim, a proporção entre as despesas com cada fator 
será: 
 
 
 
Sob retornos constantes, 
 
 
 é constante. Então, dados w e v, a proporção 
 
 
 também será 
constante, não dependendo da quantidade produzida. 
c) A tecnologia implícita na função-custo exibe retornos constantesde escala. Para produzir y 
unidades de produto, basta usarmos y vezes mais de cada insumo que era utilizado para 
produzir uma unidade de produto. No caso de retornos constantes de escala, a função-custo é 
linear no produto. 
d) Sob de retornos constantes de escala, as firmas operam com lucro zero. Há presença de 
muitas firmas, as quais operam num mercado competitivo (a existência de uma única firma 
está associada, por exemplo, à estrutura de monopólio natural, na qual os custos médios são 
decrescentes – tecnologia com retornos crescentes de escala).