Testes de Hipóteses em Bioestatística

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA- Bioestatística A – Teste t����
Teste z e Teste t de Student para uma amostra.
Teste t para duas amostras dependentes (pareadas ou emparelhadas).
Teste t para duas amostras independentes.
Erros possíveis associados a teste de hipóteses
	Conclusão do teste 
	Situação real
	
	H0 verdadeira
	H0 falsa
	Não rejeitar H0
	Decisão correta
	Erro tipo II (( )
	Rejeitar H0
	Erro do tipo I (()
	Decisão correta
Há dois tipos de erros nos testes de hipóteses: TIPO I e TIPO II.
Erro TIPO I ocorre quando se rejeita uma hipótese nula, sendo verdadeira. A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira é chamada nível de significância e é representada por (. O valor de ( é pré-determinado; são comuns as escolhas de 0,05 e 0,01.
Erro TIPO II ocorre quando a hipótese nula é aceita, sendo falsa. A probabilidade de aceitar a hipótese nula quando falsa é representada por (.
 A questão é: até que distância da média alegada da população a média da amostra precisa estar para que a hipótese nula não seja rejeitada?
 O nível de significância do teste (() especifica o valor crítico (tabelado) que divide a zona de rejeição da não rejeição. Se a diferença entre a média amostral e média populacional de Ho for de até o valor crítico a decisão deve ser de não rejeição.
 A decisão do teste deve ser de rejeição de H0 e não rejeição de Ho, para não se incorrer no erro Tipo II.
NOÇÕES BÁSICAS:
O objetivo dos testes de hipóteses é verificar se são verdadeiras as afirmações sobre os parâmetros de uma população.
Devemos decidir entre duas hipóteses, uma sendo específica a respeito do valor do parâmetro e a segunda fornecendo uma alternativa mais geral.
A primeira é chamada hipótese nula (H0), com a finalidade de ser rejeitada. A segunda é chamada hipótese alternativa (H1). 
Se pretendermos mostrar que um método novo de ensino resulta em aproveitamento superior ao método de ensino em uso, formula-se a hipótese nula de que o método novo resulta em aproveitamento igual ao atual. Enquanto que a hipótese alternativa é formulada no sentido de ser mais eficaz. É semelhante ao que se faz em um processo criminal, no qual se presume que o réu seja inocente até que se prove que ele é realmente culpado. A suposição de inocência é uma hipótese nula.
O teste de hipótese tem a finalidade de comparar a medida amostral com o parâmetro alegado da população. Caso a diferença seja pequena, em termos relativos, NÃO REJEITA-SE a hipótese nula, alegando-se que é devida ao acaso. Caso contrário à hipótese nula deve ser rejeitada, afirmando-se que existe uma diferença real entre o resultado amostral e a alegação populacional.
Etapas de um teste de hipóteses:
Passo 1: definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese alternativa H1;
Passo 2: definir o nível de significância (.
Passo 3: escolher uma estatística de teste adequada.
Passo 4: fixar a região critica do teste (o valor critico é determinado em função do nível de significância estabelecido e encontra-se tabelado).
Passo 5: retirar uma amostra e calcular o valor observado da estatística do teste.
Passo 6: se o valor da estatística pertencer à região critica, rejeitar H0; caso contrário não H0.
A maioria dos softwares estatísticos, entre eles o SPSS, SAS, MINITAB, STATDISK, BIO ESTAT, etc, calcula o “p-value” que corresponde à probabilidade associada ao valor observado da amostra. O p-value indica o menor nível de significância observado que levaria a rejeição da hipótese nula. Assim, rejeita-se H0 se p ( (.
Desta forma, o procedimento para a construção do teste de hipótese no enfoque computacional seria:
Passo 1: definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese alternativa H1;
Passo 2: definir o nível de significância (.
Passo 3: escolher uma estatística de teste adequada.
Passo 4: retirar uma amostra e calcular o valor observado da estatística do teste.
Passo 5: determinar o “p-value” que corresponde à probabilidade associada ao valor observado da amostra calculado no passo 4.
Passo 6: se o valor de “p-value” for menor do que o nível de significância ( estabelecido no passo 2 rejeitar H0; caso contrário não H0.
Testes paramétricos
Os testes paramétricos são aplicados em situações em que se conhece a distriuição que melhor representa os dados analisados. Estes testes exigem suposições especificas sobre a(s) população (ões) da(s) quais as amostras foram extraídas. Em muitos casos, supõe-se que as amostras sejam retiradas de populações normais. Estes métodos são então chamados paramétricos, pois exigem que a maioria dos seja especificada.
Os testes paramétricos podem ser utilizados somente para variáveis métricas, isto é, quantitativas mensuráveis em escalas intervalares ou de razão.
Testes não paramétricos
Os testes não-paramétricos possuem menor número de suposições sobre os dados, como, por exemplo, a não exigência de normalidade. Assim, podem ser aplicados a uma ampla diversidade de situações.
Os testes não-paramétricos podem ser utilizados para variáveis de natureza nominal ou ordinal. 
Os métodos não–paramétricos tendem a perder informação, frequentemente, os dados são reduzidos a uma escala qualitativa (ordinal, postos, “ranks”).
Os testes paramétricos apresentam maior poder estatístico (têm maior probabilidade de rejeição da hipótese nula quando é realmente falsa).
Teste de hipótese para a média populacional (
Exemplo 1: Propaganda enganosa?
A propaganda da Companhia e Cigarros Tabacox afirma que o teor de nicotina dos cigarros da marca Delicius, que ela fabrica é no máximo 0,7 mg. Um organismo fiscalizador analisa 16 cigarros dessa marca, atendo um valor médio para a amostras analisada de 0,708 mg de nicotina. O organismo decide anunciar à justiça, que o autua por propaganda enganosa e o condena a pagar uma elevada multa.
A companhia decide recorrer. O seu advogado contrata um estatístico para saber se tem alguma chance de ganhar o recurso. O estatístico solicita os dados relativos às análises feitas pelo organismo fiscalizador e calcula as estatísticas adequadas. Sorrindo, diz para o advogado da Companhia: ”Não tem problema não, podemos apresentar o recurso”. Dias depois, o recurso é deferido e a sentença inicial é deferida.
A traquilidade do estatístico e sua confiança no julgamento positivo do recurso residem no conhecimento da teoria estatística, que, por meio de um teste estatístico lhe permite verificar que uma média amostral de 0,708 mg pode muito bem ser proveniente de uma população com média 0,7 mg. 
[A metodologia dos testes de hipóteses é utilizada em diversas áreas do conhecimento, como por exemplo, pesquisas de opinião sejam eleitorais ou de marketing, eficácia de um fármaco ou tratamento.]
Construir o teste de hipóteses para o exemplo do teor médio de nicotina em cigarros da Companhia Tabacox, supondo que o desvio padrão populacional do teor de nicotina seja conhecido e igual a 0,04 mg.
População: todos os cigarros da marca Delicious produzidos pela Companhia de Cigarros Tabacox.
Variável: teor de nicotina, representado por X, uma variável quantitativa continua, mensurável numa escala de razão suposta com distribuição normal.
Parâmetro: teor médio de nicotina dos cigarros da marca Delicius, ( (em mg)
Hipótese nula: o teor médio de nicotina cigarros da marca Delicius é no máximo igual a 0,7 mg. Simbolicamente, H0: ( ( 0,7.
Hipótese alternativa: o teor médio de nicotina cigarros da marca Delicius é maior que 0,7 mg. Simbolicamente, H1: ( > 0,7.
Suponha que os valores de teor de nicotina dos 16 cigarros integrantes da amostra coleta pelo organismo de fiscalizador são:
	0.718
	0.703
	0.692
	0.792
	0.657
	0.679
	0.706
	0.719
	0.673
	0.682
	0.665
	0.684
	0.770
	0.761
	0.699
	0.728
Cálculos dos dados amostrais:
Etapas do teste de hipóteses:
1_ Hipóteses H0: ( ( 0,7 e H1: ( > 0,7
Fixaremos o nível de significância em ( = 0,05.
A estatística do teste é definidacomo: z = 
, isto é, a diferença entre a média amostral e a média suposta por hipótese da população dividida pelo erro padrão. Asssim, z = [0,708 – 0,7 ] / [0,04/4] = 0,8.
A região critica do teste será dada pelo intervalo [1,64; (), ou seja, a área da curva normal para os valores de z maiores ou igual a 1,64. Temos na curva normal que a P(z ( 1,64) = 0,9495 ( 0,95 ou P( z ( 1,65) = 0,9505 ( 0,95. Observe que na tabela T de Student com graus de liberdade no infinito (última linha) e 5% uni lateral teremos como valor crítico z = 1,6449.
Decisão: A estatística do teste, z = 0,8, não pertence à região critica do teste, pois 0,8 < 1,64, portanto, não rejeita-se a hipótese nula, logo não podemos afirmar que o teor médio de niocotina seja superior a 0,7 mg.
Conclusão: Não há indícios (evidências) suficientes para afirmarmos que a Tabacox estaria fazendo uma propaganda enganosa. As diferenças ocorreram ao acaso.
Solução computacional via StatdisK
No enfoque computacional, então percebemos que “P-value” = 0,2119 > 0,05, portanto, não rejeitamos a hipótese nula. 
Exemplo 2: Refazer o anterior supondo desconhecido o desvio padrão populacional. 
As decisões ainda seriam as mesmas.
Ver resultados apresentados por meio do teste t de Student.
Exemplo 3: De acordo comum estudo sobre dietas, uma alta ingestão de sódio pode estar relacionada a úlceras, câncer de estomago e enxaquecas. A necessidade humana de sal é de apenas 220 miligramas por dia, o que é ultrapassado na maioria das porções simples dos cereais prontos para servir. Se uma amostra aleatória de 20 porções similar de certo cereal tem média de conteúdo de sódio de 244 miligramas e desvio padrão de 24,5 miligramas, isso sugere, no nível de significância 0,05, que a média de sódio contido em uma porção de tal cereal é maior que 220 miligramas? Assuma uma distribuição para os conteúdos de sódio.
Hipóteses:
H0: ( ( 220 e H1: ( > 220
Decisão
Rejeita-se a hipótese nula, pois, < 0,05.
Conclusão: As evidências amostrais nos permitem afirmar que o teor médio de sódio por porção de tal cereal excede a 220 miligramas. 
As diferenças encontradas foram significativas do ponto de vista estatístico, não ocorreram ao acaso. 
Exemplo 4: Em uma pesquisa feita por Richard H. Weindruch, da Escola de Medicina da Universidade da Califórnia afirmou-se que os ratos com média de vida de 32 meses viveriam por mais ou menos 40 meses se 40% das calorias de suas refeições fossem substituídas por vitaminas e proteínas. Há alguma razão para acreditarmos que ( < 40 se 64 ratos colocados, sob essa dieta têm uma média de vida de 38 meses com desvio padrão de 5,8 meses. Use um valor P em sua conclusão.
Hipóteses:
H0: ( ( 40 e H1: ( < 40
Decisão
Rejeita-se a hipótese nula, pois, < 0,05.
Conclusão: As evidências amostrais nos permitem afirmar que o tempo médio de vida dos ratos é inferior a 40 meses. As diferenças encontradas foram significativas do ponto de vista estatístico, não ocorreram ao acaso. 
Duas amostras relacionadas – teste t pareado 
É um procedimento onde os dois conjuntos são investigados, o segundo constituindo dos mesmos elementos dos mesmos, formando-se pares de unidades onde cada indivíduo contribui com dois escores, ou seja, funciona como seu próprio controle. São, pois, amostras relacionadas, pareadas ou dependentes, tomadas para testar-se a média das diferenças antes e depois da condição objeto da pesquisa. O desenho pareado permite aos pesquisadores detectar alterações com maior facilidade pelo controle de variações externas entre as observações. Muitas medidas biológicas apresentam ampla variação entre os indivíduos, e o uso do desenho pareado é, portanto, especialmente adequado no campo da saúde. 
Existem algumas condições especiais em que a resposta de um mesmo sujeito ou animal poderia ser obtido, sob diferentes tratamentos, simultaneamente ou não, a saber:
- entre indivíduos geneticamente idênticos (gêmeos univitelinos);
- entre alíquotas de sangue;
- entre partes de um mesmo indivíduo.
A utilização do teste t de Student para amostras pareadas exige que suponhamos que as diferenças seguem distribuição normal, o que é essencialmente importante com amostras pequenas (n < 30). Com freqüência pesquisadores na área da saúde utilizam teste estatístico não-paramétrico que não exige uma distribuição normal.
Exemplo 5: Nove pessoas foram utilizadas em um experimento para determinar se uma atmosfera que envolve exposição a monóxido de carbono tem impacto na capacidade respiratória. Os dados foram coletados por pessoal qualificado no Departamento de Saúde e Educação Física da Universidade da Virginia. Os dados foram analisados no Centro de Consultoria Estatística de Hokie Land. Os indivíduos foram expostos a câmaras respiratórias, uma delas com altas concentrações de CO. Diversas medidas respiratórias foram feitas para cada indivíduo em cada câmera. Eles foram expostos às câmaras em ordem aleatória. Os dados forneceram a freqüência respiratória em número de respiração por minuto. Faça um teste de hipóteses unilateral de que a média da freqüência respiratória é a mesma para os dois ambientes. Use ( = 0,05. Assuma que a freqüência respiratória é aproximadamente normal.
	Indivíduo
	Com CO
	Sem CO
	Diferença
	1
	30
	30
	0
	2
	45
	40
	5
	3
	26
	25
	1
	4
	25
	23
	2
	5
	34
	30
	4
	6
	51
	49
	2
	7
	46
	41
	5
	8
	32
	35
	-3
	9
	30
	28
	2
Define-se a variável diferença: d = Freqüência respiratória com CO – freqüência respiratória sem CO
Hipóteses:
Teste bilateral – verificar se houve diferença
H0: ( d = 0 
H1: ( d ( 0
Decisão
Rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,0464 < 0,05.
Conclusão: As evidências amostrais nos permitem afirmar que o ambiente com a presença de CO (alta concentração de monóxido e carbono) difere do ambiente sem a presença do CO, no que se refere ao número médio de respiração por minuto. As diferenças encontradas foram significativas do ponto de vista estatístico, não ocorreram ao acaso. 
Teste unilateral – verificar se o ambiente com a presença de CO aumenta o número de respiração por minuto
H0: ( d ( 0 H1: ( d > 0
Decisão
Rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,0232 < 0,05.
Conclusão: As evidências amostrais nos permitem afirmar que o ambiente com a presença de CO (alta concentração de monóxido e carbono) aumenta o número médio de respiração por minuto quando comparado com o ambiente sem a presença do CO. As diferenças encontradas foram significativas do ponto de vista estatístico, não ocorreram ao acaso. 
Exemplo 6: Um pesquisador está desenvolvendo um repelente de insetos e deseja testar de sua fórmula recentemente desenvolvida dá maior proteção contra picadas de insetos que a proporcionada por um produto líder do mercado. Em um experimento com 14 sujeitos voluntários é aplicado em um dos braços de cada sujeito a forma velha do repelente e no outro braço a fórmula nova. O pesquisador fez sorteio para decidir em qual dos braços seria aplicado cada repelente, para evitar, por exemplo, que certo repelente fosse aplicado somente no braço direito. O número de picadas em cada braço foi anotado. Ao nível de ( = 0,02 deverá o pesquisador concluir que a nova fórmula, de fato, é mais efetiva que o produto líder do mercado? Justifique a modalidade do experimento realizado (em par ou independente). 
 “Output do SPSS”
Observação: Sig. (2-tailed) = “p” bilateral, logo o valor de “p” para um teste unilateral será a metade deste valor, ou seja, 0,0165 (p: unilateral).
O experimento descrito é do tipo pareado, pois foi o mesmo sujeito que recebeu os dois tipos de repelentes. Assim, o dado coletado refere-se ao par de informações para cada sujeito da pesquisa ( nº de picadas de inseto usando o repelente antigo ; nº de picadas de inseto usando o repelente novo).
Define-se a variável diferença como sendo; d = nº de picadas de inseto usando o repelente antigo - nº de picadas de inseto usando o repelente novo.
Hipóteses:
H0: ( d ( 0; H1: ( d > 0 Se com o uso do repelenteantigo o nº de picadas de insetos é maior é um indicativo que ele oferece menor poder de proteção, logo o novo deve ser mais eficaz.
Decisão: Rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,0165 < 0,02.
Conclusão: As evidências amostrais nos permitem afirmar que o novo repelente diminui o número médio de picadas de insetos, quando o comparado com o repelente antigo.
 As diferenças encontradas foram significativas do ponto de vista estatístico, não ocorreram ao acaso. 
Exemplo 7: Um estudo foi conduzido no Centro Eqüino da Faculdade Regional de Medicina de Maryland-Virgínia, para determinar se o desempenho de um tipo de cirurgia em cavalos jovens tinha algum efeito em certos tipos de células sangüíneas dos animais. Amostras de fluido foram retiradas de cada um dos seis potros antes e após a cirurgia. As amostras foram analisadas para o número de leucogramas de células brancas no sangue, antes e após a operação. Teste se houve mudanças significativas nos leucogramas após a cirurgia. 
Define-se d = antes – depois 
Hipóteses:
Teste bilateral – verificar se houve diferença
H0: ( d = 0 
H1: ( d ( 0
Decisão
Não rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,0875 > 0,05.
Conclusão: As evidências amostrais não nos permitem dizer que houve mudanças diferença significativas nos leucogramas após a cirurgia.
 As diferenças encontradas NÃO foram significativas do ponto de vista estatístico, ocorreram ao acaso. 
 ERRATA!
Teste para duas amostras independentes 
Um dos testes mais freqüentes em Estatística consiste na avaliação da diferença entre duas amostras independentes, ou seja, naqueles casos em que os dados de duas amostras não são relacionados com os escores das outra. Na condução do experimento dessa ordem, procura-se verificar se a diferença observada é de tal magnitude que permita concluir que as amostras foram retiradas de populações distintas.
Teste t de Student 
As seguintes pressuposições devem ser observadas neste teste:
Amostras randômicas de cada população investigada; 
As variáveis das populações de onde as amostras foram retiradas devem apresentar distribuição aproximadamente normal.
Exemplo 8: Freqüentemente, adicionam-se nitritos a produtos que contém carne, a fim de preservá-los. Em um estudo de efeito dessas substâncias sobre bactérias, empregou-se uma técnica de identificação radiológica para medir a taxa de produção de aminoácidos em diversas culturas bacterianas, e algumas dessas culturas estavam em meios contendo nitritos. Teste a hipótese da pesquisa, segundo a qual os nitritos diminuíram a produção de aminoácidos, relatando os seus resultados (G1 – tratamento/nitrito e G2 – controle). Use ( = 0,05.
Hipóteses:
H0: ( 1 ( ( 2
H1: ( 1 < ( 2
Decisão
Não rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,2256 > 0,05.
Conclusão: Não há evidências amostrais que nos permitem afirmar dizer a adição de nitritos diminua a produção de aminoácidos. 
As diferenças encontradas NÃO foram significativas do ponto de vista estatístico, ocorreram ao acaso. 
ERRATA!
Exemplo 9: Em um estudo conduzido no Instituto Politécnico e Universidade Estadual da Virgínia, os níveis de ácido ascórbico no plasma de mulheres grávidas foram comparados entre as fumantes e as mulheres não fumantes. Trinta e duas mulheres, nos três últimos meses de gravidez, livres da maioria das doenças e com idades entre 15 e 32 anos, foram selecionadas para o estudo. Antes da coleta de 20 ml de sangue, as mulheres evitaram café da manha, abriram mão das vitaminas e evitaram alimentos com alta concentração de ácido ascórbico. Nas amostras de sangue, foram determinados os valores de ácido ascórbico no sangue de cada uma, em miligramas por 100 mililitros: 
	Valores de ácido ascórbico no plasma 
	
	Não-fumantes
	Fumantes
	0.97
	0.48
	0.72
	0.71
	1.00
	0.98
	0.81
	0.68
	0.62
	1.18
	1.32
	1.36
	0.99
	0.78
	0.90
	1.64
	0.74
	
	0.88
	
	0.94
	
	1.16
	
	0.86
	
	0.85
	
	0.58
	
	0.57
	
	0.64
	
	0.98
	
	1.09
	
	0.92
	
	0.78
	
	1.24
	
	1.18
	
Há evidências suficientes para concluirmos que há diferença entre os níveis de ácido ascórbico no plasma das fumantes e não-fumantes? Assuma que os dois conjuntos de dados vêm de populações normais com variâncias desiguais. Use um valor p.
Hipóteses:
H0: ( 1 = ( 2
H1: ( 1 ( ( 2
Decisão: Não rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,6202 > 0,05.
Conclusão: Não há evidências amostrais que nos permitem afirmar dizer que o nível médio de ácido ascórbico apresente diferença entre o plasma de fumantes e não fumantes.
As diferenças encontradas NÃO foram significativas do ponto de vista estatístico, ocorreram ao acaso. 
ERRATA!
Exemplo 10: O ganho médio de peso corporal(g) de uma amostra de 8 animais aos quais foi dado uma dose de 1 mg/pílula de um esteróide leve foi de 32,8 com desvio padrão amostral de 2,6 e de uma amostra de um grupo controle formado por 10 animais foi de 40,5 com desvio padrão de 2,5. Os dados sugerem que o ganho de peso médio real na situação de controle excede o do tratamento com esteroide? Use ( = 0,01.
H0: (1 = (2
H1: (1 ( (2 
-6,3803 está na região crítica (encontra-se à esquerda de -2,920778), portanto RH0 a diferença foi significativa ao nível de 1%. Houve rejeição de H0 e a estatística teste é um número negativo então é possível afirmar: 
H0: (1 = (2
H1: (1 < (2 
Os dados sugerem que o ganho de peso médio real na situação de controle excede o do tratamento com esteróide (2 = grupo controle).
Exemplo 11: Um investigador pretende verificar se certo grupo de jovens difere significativamente em relação ao nível de execução numa atividade manual e em outra que exige um raciocínio abstrato. 
	Sujeitos
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	Teste manual
	70
	65
	49
	50
	65
	82
	71
	45
	Teste abstrato
	50
	70
	40
	58
	68
	62
	80
	30
Que conclui quanto à veracidade da hipótese? 
Hipóteses:
H0: ( d = 0; H1: ( d ( 0
Decisão: Não rejeita-se a hipótese nula, pois, 0,3087 > 0,05.
Conclusão: As diferenças encontradas não foram significativas do ponto de vista estatístico, ocorreram ao acaso. 
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