Integrais - Resumo e Execícios

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ROTEIRO DE ESTUDOS
Antiderivadas
Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo I. Uma antiderivada ou primitiva de f em
I, e´ uma func¸a˜o definida em I, tal que F ′(x) = f(x), para todo x em I.
Na primeira parte do v´ıdeo abaixo, voceˆs tera˜o um conceito mais aprofundadado do
assunto e uma definic¸a˜o mais abrangente sobre antiderivadas, vejam:
http://www.youtube.com/watch?v=8XTvBwJgVkU
Na notac¸a˜o
∫
f(x) dx, a func¸a˜o f denomina-se integrando. Uma primitiva de f sera´
tambe´m denominada uma integral indefinida de f . E´ comum referir-se a
∫
f(x) dx como
a integral indefinida de f . No v´ıdeo abaixo, voceˆs encontrara˜o dicas e exemplos que os
ajudara˜o a compreender melhor a mate´ria.
http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E
Para melhor fixac¸a˜o, tente resolver os seguintes exerc´ıcios:
1. Calcule.
a)
∫
x3 dx
b)
∫
ex dx
c)
∫
(x5 +
1
x2
+ 4) dx
d)
∫
3
√
x2 dx
e)
∫
1
x
dx
f)
∫
e2x dx
2. Verifique que
a)
∫
sinαx dx =− 1
α
cosαx+ k b)
∫
cosαx dx = 1
α
sinαx+ k
3. Calcule:
a)
∫
sin 5x dx b)
∫
( 3
√
x+ cos 3x) dx
Respostas
1. Questa˜o 1
a) x
4
4
+ k
b) ex + k
c) x
6
6
− 1
2x2
+ 4x+ k
d) 3
5
3
√
x5 + k
e) lnx+ k
f) 1
2
e2x+ k
2. Questa˜o 2
1
a) Derive f(x) = − 1
α
cosαx+ k b) Derive f(x) = 1
α
sinαx+ k
3. Questa˜o 3
a) −1
5
cos 5x+ k b) 3
4
3
√
x4 + 1
3
sin 3x+ k
Integrac¸a˜o por Partes
Suponhamos f e g definidas e deriva´veis num mesmo intervalo I, temos:
[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), isto e´;
f(x)g′(x) = [f(x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)
Supondo, enta˜o, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observando que f(x)g(x) e´
uma primitiva de [f(x)g(x)]′, enta˜o f(x)g′(x) tambe´m admitira´ primitiva em I, e∫
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx (1)
que e´ a regra de integrac¸a˜o por partes.
Fazendo u = f(x) e derivando em relac¸a˜o a varia´velx, temos du = f ′(x)dx e fazendo
v = g(x) e derivando em relac¸a˜o a varia´vel x, temos dv = g′(x)dx, o que nos permite
escrever a regra (1) na seguinte forma usual:∫
u dv = uv −
∫
v du
Nos v´ıdeos abaixo, voceˆs encontrara˜o uma se´rie de exerc´ıcios resolvidos e as poss´ıveis
func¸o˜es onde esta te´cnica pode ser empregada.
http://www.youtube.com/watch?v=XAGyiafVjlg
http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=0t01aAkiizY
http://www.youtube.com/watch?v=p0IUVdUT9oS
http://www.youtube.com/watch?v=O2q45TzlsSM
Tente resolver tambe´m os seguintes exerc´ıcios:
1. calcule
a)
∫
xe2x dx
b)
∫
lnx dx
c)
∫
x sinx dx
d)
∫
sec3 x dx
e)
∫
e2x sinx dx
Respostas
a) xe
2x
2
− e2x
4
+ c
b) x ln |x| − x+ c
c) −x cosx+ sinx+ c
d) 1
2
[secx tanx+ ln | secx+ tanx|] + c
e) e
2x
5
(sinx− cosx) + c
2
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais
Usaremos integrais da forma
∫
P (x)
Q(x)
dx onde P (x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios na˜o-nulos.
Antes de usarmos estas integrais veremos, atrave´s dos v´ıdeos abaixo, como a expressa˜o
racional P (x)
Q(x)
pode ser escrita como uma somato´ria de frac¸o˜es parciais.
Vejam:
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=xzIqeNtOR1s&NR=1
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=t4WA8IC_APw&feature=endscreen
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=IxEv37ZF_qQ&NR=1
Exerc´ıcios:
1. Escreva cada uma das seguintes expresso˜es como uma somato´ria de frac¸o˜es parciais.
a) 3x+1
x2−x−6
b) x
3+3x2+7x+4
x2+2x
c) x
2−x+2
x3−2x2+x
Respostas
a) 2
x−3 +
1
x+2
b) 2
x
+ 3
x+2
c) 2
x
+ −1
x−1 +
2
(x−1)2
Nos v´ıdeos abaixo, voceˆs encontrara˜o exemplos de como resolver equac¸o˜es da forma∫
P (x)
Q(x)
dx, confiram:
http://www.youtube.com/watch?v=cv1Dm41e2ZU
http://www.youtube.com/watch?v=MCsVAVBY7Z490
http://www.youtube.com/watch?v=wbmK_T2ki2U&feature=fvwrel
Exerc´ıcios:
1. Calcule:
a)
∫
3x+ 1
x2 − x− 6 dx
b)
∫
x3 + 3x2 + 7x+ 4
x2 + 2x
dx
c)
∫
x2 − x+ 2
x3 − 2x2 + x dx
d)
∫
1
1− x2 dx
e)
∫
x+ 1
x2 + 4x− 5 dx
f)
∫
x3
(x2 + 1)2
dx
3
Respostas
a) 2 ln |x− 3|+ ln |x+ 2|+ c
b) x
2
2
+ x+ 2 ln |x|+ 3 ln |x+ 2|+ c
c) 2 ln |x| − ln |x− 1| − 2
x−1 + c
d) 1
2
ln |x+1
x−1 |+ c
e) 2
3
ln |x+ 5|+ 1
3
ln |x− 1|+ c
f) 1
(x2+1)2
+ 1
2
ln |x2 + 1|+ c
4