Notas de aula sobre limites

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Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Limites 1
Limites 
 
 principal objetivo dessa aula é apresentar o conceito de limites. 
Vamos começar com a definição informal de limites e suas 
propriedades e vamos analisar os diversos tipos de limites existentes. 
Exercícios sobre como calcular limites de uma função são apresentados. 
O
 
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: 
 
• Entender o que é o limite de uma função; 
• Reconhecer cada propriedade de limite apresentada; 
• Calcular o limite de uma função; 
• Compreender o limite de uma função graficamente. 
 
 
 
Va
m
os
 Começar Para iniciarmos nosso estudo sobre limites, vamos considerar a 
função ( )
63
2 23
−
−=
x
xxxf
( )x
 ( 1 ). 
 Observe que f existe para todo x, exceto x = 2. Investigaremos os valores da 
função quando x está próximo de 2, porém excluindo o 2. 
 
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 
( )xf 1,20333333 1,32003333 1,33200033 1,33320000 1,33332000 1,33333200
 
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 
( )xf 1,47000000 1,34670000 1,33466700 1,33346667 1,33334667 1,33333467
 
 Note que, em ambas as tabelas, à medida que x fica cada vez mais próximo de 2, 
 torna-se cada vez mais próximo de ( )xf
3
4 . 
 
 
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 Fatorando a função ( 1 ), temos: 
( ) ( )( )23
22
−
−=
x
xxxf 
 
 Se 2≠x , temos que ( ) 02 ≠−x , logo podemos cancelar esse fator comum. Daí, 
notemos que a função será dada por ( )
3
2xxf = . O gráfico de ( )xf será a parábola 
3
2xy = , com o ponto ⎟⎠
⎞⎜⎛ excluído. Note que, graficamente, quanto mais próximo de 
2 estiver x, mais próximo de 
⎝ 3
4,2
3
4 estará ( )xf . 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x x←→
 
 
 
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 Isto nos leva a seguinte idéia geral: 
 
Definição informal de limites: Se os valores de ( )xf puderem ser definidos tão 
próximos quanto quisermos de certo número L, fazendo x suficientemente próximo de 
um número a ( mas não igual a a), então escrevemos: 
 
( ) Lxf
ax
=→lim 
 
o qual deve ser lido como “o limite de ( )xf quando x tende a a é igual a L”. 
 
 Daí, então, podemos escrever, utilizando a função ( 1 ): 
 
3
4
63
2lim
23
2
=−
−
→ x
xx
x
 
 
Seja ( ) 572 −+= xxxf . O ( ) 2557limlim 2
33
=−+= →→ xxxf xx . Exemplo
 
( )Exemplo
Exemplo
O limite da função 2+= xxf
)(xf
 quando x tende a 7 é igual a 3. 
 
 
Definição formal de limites: Seja f uma função definida para todo número em algum 
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de 
 quando x tende a a será L, escrito como Lxf
ax
=
→
)(lim , se a seguinte afirmação for 
verdadeira: Dado 0>ε qualquer, existe um 0>δ , tal que se δ<−< ax0 , então 
ε<− Lxf )( . Para compreender melhor esta definição 
 
Usando a definição formal de limites, mostre que . 4)23(lim
2
=−→ xx
 
 Solução: Para mostrarmos que 4)23(lim
2
=−
→
x
x
, devemos mostrar que para cada 
0>ε , existe um 0>δ tal que ( ) ε<− 4− 23x sempre que δ<−< 20 x . Pelo fato de 
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sua escolha de δ depender de ε , você precisa estabelecer uma ligação entre os valores 
absolutos ( )
Exemplo
Exemplo
423 −−x e 2−x . 
( ) 2363423 −=−=−− xxx 
 Assim, para um dado 0>ε , você pode escolher 
3
εδ = . Essa escolha funciona, 
pois 
3
20 εδ =<−< x 
implica que 
( ) εε =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<−=−−
3
323423 xx 
 
Use a definição de limite para provar que . 4lim 2
2
=→ xx
 
 Solução: Devemos mostrar que para cada 0>ε , existe um 0>δ tal que 
ε<− 42x , sempre que δ<−< 2x0 . Para encontrar umδ apropriado, comecemos 
escrevendo 2242 +−=− xxx . Para todo x no intervalo ( )3,1 , sabemos que 
52 <+x . Assim, tomando-se δ como o mínimo entre 5ε e1, segue que, sempre que 
δ<−< 20 x , temos ( ) εε =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<+−=− 5
5
2242 xx x . 
 
Dado o limite ( ) 152lim
3
=−
→
x
x
, encontre δ tal que ( ) 01,0152 <−−x 
sempre que δ<−< 30 x . 
 
 Solução: Neste exemplo estamos trabalhando com um valor dado de ε , ou seja, 
01,0=ε . Para encontrarmos um δ apropriado, notemos que: 
( ) 3262152 −=−=−− xxx 
 Devido ao fato da desigualdade ( ) 01,0152 <−−x ser equivalente a 
01,032 <−x , podemos escolher ( ) 005,001,0
2
1 ==δ . Essa escolha funciona pois 
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005,030 <−< x 
implica que 
( ) ( ) 01,0005,0232152 =<−=−− xx 
 
Nesse exemplo, perceba que 0,005 é o maior valor de δ que irá garantir 
que ( ) 01,0152 <−−x sempre que δ<−< 30 x . Qualquer valor positivo menor que 
0,005 também serviria. 
Observação
 
 
Proposição (unicidade do limite): Se ( ) Lxf
ax
=→lim e ( ) Mxfax =→lim , então L = M. 
 
Propriedades dos Limites 
 
 Suponha que ( ) e que Lxf
ax
=
→
lim ( ) Mxg
ax
=
→
lim
( )
, então: 
 
( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf
axaxax
ML ±=1. ±=± →→→ limlimlim
( )[ ] ( )fcxfc
axax
; 
 
2. Lcx ⋅== ⋅⋅
→→
limlim , onde ℜ∈c ; 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf
axaxax
ML ⋅=3. ⋅=⋅
→→→
limlimlim
( )
→ xgax
; 
 
4. Se o 0lim ≠= M , então ( )( )
( )
( ) M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
==
→
→
→ lim
lim
lim ; 
 
5. ( )[ ] ( )[ ] nn
ax
n
ax
Lxfxf == →→ limlim , (n é um inteiro positivo qualquer) 
 
6. ( ) ( ) nn
ax
n
ax
Lxfxf == →→ limlim , se L ≥ 0 e n é um inteiro positivo ou se L < 0 e n 
é um inteiro positivo ímpar; 
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7. ( ) ( ) Lxfxf
axax
== →→ limlim ; 
 
8. cc
ax
=→ , ℜlim ∈c ; 
 
9. ax
a
. 
x
=→lim
 
Calcule . 754lim 2
2
−+→ xxxExemplo
 
( )7lim5lim4lim754lim
22
2
2
2
2
−++=−+ →→→→ xxxx xxxx
7limlim5lim4
22
2
2 →→→ −+= xxx xx
710lim4 2
2
−+= → xx
 Propriedade 1 Solução: 
 Propriedade 2 
 Propriedade 9 7lim25lim4
2
2
2 →→ −⋅+= xx x
 Propriedade 8 
( ) 3lim4 2
2
+= → xx Propriedade 5 
( ) 324 2 +⋅=
19
 Propriedade 9 
= 
 
 
3
2
2
3 1
35lim −
++
→ x
xx
x
. Calcule Exemplo
 
 Solução: Procedendo como no exemplo anterior, temos: 
 
2735lim 2
3x
=++→ xx e 81lim
2
3x
=−→ x
 
 Assim, pela propriedade 4, 
8
27
1
35lim 2
2
3x
=−
++
→ x
xx . 
 Consequentemente, usando a propriedade 6, obtemos: 
 
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2
3
8
27
1
35lim
1
35lim 33 2
2
3
3
2
2
3
==−
++=−
++
→→ x
xx
x
xx
xx
 
 
 
Calcule 
7
49lim
2
7 −
−
→ x
x
x
. Exemplo
 
 Solução: A propriedade 4 não é aplicável aqui, pois lim 07
7
=−→ xx . Entretanto, 
note que ( )( )77749 222 −+=−=− xxxx e ( )( )( ) 77
77
7
492 +=−
−+=−
− x
x
xx
x
x é válido 
para todos os valores de x, com exceção do valor x = 7; assim, temos que: 
( )( )
Exemplo
Exemplo
14777lim
7
77lim
7
49lim
77
2
7
=+=+=−
+−=−
−
→→→ xx
xx
x
x
xxx
 
 
Calcule 
x
x
x
24lim
0
−+
→ . 
 
 Solução: Note que, novamente não podemos aplicar a propriedade 4, pois o 
denominador tende a 0. Aqui, devemos aplicar o seguinte artifício matemático: 
multiplicar o numerador e o denominador por 24 ++ x , para racionalizar o 
numerador. Esse artifício é chamado multiplicação pelo conjugado. Dessa forma, temos: 
 
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 0 para ,24 1 
2424
44
24
24
24
242424 2
2
≠++=
++=++
−+=++
−+=++
++−+=−+
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
 
 Assim, 
( ) ( ) 4124124lim
1lim
24
1lim24lim
0
0
00
=+=++=++=
−+
→
→
→→
x
x
xx xxx
x 
 
Se ( )
675
252
2
2
−−
+−=
xx
xxxf , encontre ( )xf
x 2
lim→ . 
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 Solução:O número 2 não está no domínio de f, pois, se fizermos x = 2, 
obteremos a expressão indeterminada 
0
0 . Lembrando que a fatoração de uma equação 
do 2º grau é dada por cbxax ++2 ( )( )"' xxxxa −− , em que e são as raízes da 
equação, temos, fatorando o numerador e o denominador: 
'x "x
 
( ) ( )( )( )( )352
122
+−
−−=
xx
xxxf 
 
 Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 2, 
porém diferentes de 2, temos: 
 
( )( )
( )( )( ) ,13
3
35
12lim
352
122lim
675
252limlim
222
2
22
=+
−=+−
−−=−−
+−= →→→→ x
x
xx
xx
xx
xxxf
xxxx
 2≠x
 
Limites Laterais 
 
Definição informal de limites laterais: Se pudermos tornar os valores de tão 
próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de a, porém maior 
que a, então escrevemos 
( )xf
( ) Lxf
ax
=+→lim 
 
o qual é lido como “o limite de ( )xf quando x aproxima-se de a à direita é L”. Da 
mesma forma, se pudermos tornar os valores de ( )xf tão próximos quanto quisermos 
de L, fazendo x suficientemente próximo de a, porém menor que a, então escrevemos 
 
( ) Lxf
ax
=−→lim 
 
Definição formal de limites laterais à direita: Seja f uma função que está definida em 
todos os números de algum intervalo aberto ( )ca, . Então, o limite de quando x ( )xf
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( ) Lxf
ax
tende a a pela direita é L, e escrevemos 
Exemplo
Exemplo
=+→lim 0> se, para todo ε , existir um 
0>δ tal que se δ<−< ax0 então ε<− Lxf )( . 
 
Definição formal de limites laterais à esquerda: Seja f uma função que está definida 
em todos os números de algum intervalo aberto ( )ad , . Então, o limite de quando 
x tende a a pela esquerda é L, e escrevemos 
( )xf
( )xf
a
L
x
=−→lim se, para todo 0>ε , existir 
um 0>δ tal que se δ<−< xa0 então ε<− Lxf )( . 
 
 
Teorema: O ( )xf
ax→lim existe e será igual a L se, e somente se, e ( )xfax +→lim ( )xfax −→lim 
existirem e forem iguais a L. 
 
Seja h a função definida por . Ache . ( )
⎩⎨
⎧
>−
≤+=
1 se ,13
1 se ,12
xx
xx
xh ( )xh
x 1
lim→
 
 Solução: Observe que é igual a , se ( )xh 12 +x 1≤x e 13 −x , se . Devido 
a essa situação, para acharmos o 
1>x
( )xh
1x
lim→ , devemos calcular os limites laterais de ( )xh 
em . Logo, 1=x
 
( ) 21limlim 2
11
=+= −− →→ xxh xx e ( ) 213limlim 11 =−= ++ →→ xxh xx . 
 
 Daí, como os limites laterais à esquerda e à direita são iguais, temos que 
. ( ) 2lim
1
=→ xhx
 
Se ( )
x
x
xf = , ache se possível, ( )xf
x 0
lim→ . 
 
 Solução: A função f não está definida para x = 0. Logo, devemos usar limites 
laterais para acharmos . Se , ( )xf
x 0
lim→ 0>x xx = e ( ) 1=xf . Logo, lim . Se ( ) 10 =+→ xfx
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( ) 1
0
lim (( ) 1−=xf . Logo, 0<x , xx −= e = −−→ xfx . Como ) ( )xfxf xx −+ →→ ≠ 00 lim
( )xf
x 0
lim→
lim , então 
não existe . Para compreender melhor este exemplo 
Limites no Infinito 
 
Definição informal de limites no infinito: Se os valores de ( )xf subsequentemente 
ficam cada vez mais próximos de um número L, à medida que x cresce sem limitação, 
então escrevemos 
( ) Lxf
x
=+∞→lim 
 
 Analogamente, se os valores de ( )xf subsequentemente ficam cada vez mais 
próximos de um número L, à medida que x decresce sem limitação, então escrevemos 
 
( ) Lxf
x
=−∞→lim 
 
Definição formal de limites no infinito: Seja f uma função definida em um intervalo 
. O limite de quando x cresce indefinidamente, é L, escrito ( +∞,a ) ( )xf ( ) Lxf
x
=+∞→lim 
se para todo 0>ε , não importa quão pequeno, existir um número N tal que se 
 então 
0>
Nx > ε<− Lxf )( . Para compreender melhor esta definição 
 
Da mesma maneira: 
 
Seja f uma função definida em um intervalo ( )a,∞− . O limite de quando x 
decresce indefinidamente, é L, escrito 
( )xf
( ) Lxf
x
=−∞→lim se para todo 0>ε , não importa 
quão pequeno, existir um número 0<N tal que se Nx < então ε<− Lx)f ( . 
 
No cálculo de limites no infinito, é de utilidade ter em mente que para 
qualquer inteiro positivo p, 
Observação
 
01lim1lim ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+∞→+∞→ px
p
x xx
 e 01lim1lim ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−∞→−∞→ px
p
x xx
 
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 Esses fatos estão ilustrados para valores ímpares e pares de p: 
 
( ) ,1pxxf = p ímpar ( ) ,
1
px
xf = p par 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
Exemplo
3
2
1
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
 −4
 
 
 É bastante útil também, ao se trabalhar com limites no infinito de funções 
racionais, dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à 
maior potência que apareça na fração. 
 
Calcule 
32
5lim 2
2
−+∞→ x
x
x
. 
 
 Solução: Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , temos: 2x
 
222
2
2
2
2
2
32
5
32
5
32
5
xxx
x
x
x
x
x
−
=
−
=− 
 
 Quando x tende a infinito, sabemos que 2
1
x
 tende a zero, logo 2
3
x
 tende a zero. 
Dessa forma, 
2
5
02
5
32
5lim
32
5
lim
32
5lim
222
2
2
2
2
2
=−=−
=
−
=− +∞→+∞→+∞→
xxx
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
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Calcule 
1
1lim 2
3
−
+
+∞→ x
x
x
. Exemplo
 
 Solução: Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , temos: 3x
 
+∞=
−
+
=
−
+
=−
+
+∞→+∞→+∞→
3
3
33
2
33
3
2
3
11
11
lim
1
1
lim
1
1lim
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
xxx
 
 
 
 
Calcule 
1
lim 3
2
+
−
+∞→ x
xx
x
 Exemplo
 
 Solução: Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , temos: 3x
 
0
01
0
11
11
lim
1
lim
1
lim
3
2
33
3
33
2
3
2
=+=+
−
=
+
−
=+
−
+∞→+∞→+∞→
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
 
 
 
Para visualizar uma análise gráfica deste exemplo 
 
 
 
Note isso:Observação
 
Mostrar que se e ( ) 011 axaxaxp nnnn +++= −− L ( ) 011 bxbxbxq mmmm +++= −− L , 
então: 
( )
( ) mm
n
n
xx xb
xa
xq
xp
±∞→±∞→ = limlim 
 Solução: Temos que, 
 
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( )
( )
m
m
n
n
x
m
n
m
n
x
mm
m
m
nn
n
n
xm
n
x
mm
m
m
m
nn
n
n
n
xm
m
m
m
n
n
n
n
xx
xb
xa
b
a
x
x
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
x
x
x
b
x
b
x
b
bx
x
a
x
a
x
a
ax
bxbxb
axaxa
xq
xp
±∞→±∞→
−
−
−
−
±∞→±∞→
−
−
−
−
±∞→−−
−
−
±∞→±∞→
=⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
⋅=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
=+++
+++=
limlimlimlim
limlimlim
0
1
11
0
1
11
0
1
11
0
1
11
0
1
1
0
1
1
L
L
L
L
L
L
 
 
 Note que o resultado acima só vale se +∞→x ou −∞→x . 
 
 
Limites Infinitos 
 
Definição informal de limites infinitos: Se os valores de crescem 
indefinidamente quando x tende a a, pela direita ou pela esquerda, então escrevemos 
( )xf
 
( ) ou ( ) +∞=−→ xfaxlim +→ xfaxlim = +∞
 
 Analogamente, se os valores de ( )xf decrescem indefinidamente quando x 
tende a a, pela direita ou pela esquerda, então escrevemos 
 
( ) −∞=+→ xfaxlim ou ( ) +∞=−→ xfaxlim 
 
Definição formal de limites infinitos: Seja f uma função definida em todo número de 
um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Quando x tende a 
a, cresce indefinidamente e escrevemos ( )xf +∞=→ )(lim xfax se para qualquer número 
, existir um 0>N 0>δ tal que se δ< xf )(−< ax0 , então . N>
 
Da mesma forma: 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 14
Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a, exceto 
possivelmente no próprio a. Quando x tende a a, ( )xf
0
decresce indefinidamente e 
escrevemos se para qualquer número −∞=→ )(lim xfax <N , existir um 0>δ tal que se 
δ xf )(<−< ax0
 
, então . N<
No cálculo de limites infinitos, é de utilidade ter em mente que,para 
qualquer inteiro positivo p, 
Observação
 
Exemplo
Exemplo
+∞=+→ px x
1lim
0
 e ⎩⎨
⎧
∞−
∞+=−→ ímpar é se,
par é se ,1lim
0 p
p
x px
 
 
Determinar 
1
25lim
1 +
+
−→ x
x
x
 
 
 Solução: Quando x tende a 1− , 1+x tende a 0 por valores positivos. Assim, 
−∞=+
+
−→ 1
25lim
1 x
x
x
. 
 
Calcule 
6
13lim 2
2
2 −+
++
→ xx
xx
x
. 
 
 Solução: Substituindo x = 2 na função acima, observamos que 2 é raiz do 
denominador, mas não é raiz do numerador. Dessa forma, temos que usar limites 
laterais: 
 Assim, 
( )( ) +∞=+−
++=−+
++
++ →→ 32
13lim
6
13lim
2
22
2
2 xx
xx
xx
xx
xx
 e, 
Para visualizar uma análise 
gráfica deste exemplo 
( )( ) −∞=+−
++=−+
++
−− →→ 32
13lim
6
13lim
2
22
2
2 xx
xx
xx
xx
xx
 
 Logo, não existe 
6
13lim 2
2
2 −+
++
→ xx
xx
x
. 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 15
 
 
 
Teorema: Se a for um número real qualquer e se ( ) 0lim =
→
xf
ax
 e , onde c é 
uma constante não-nula, então: 
( ) cxg
ax
=
→
lim
 
i. Se c > 0 e se ( ) 0→x por valores positivos de f ( )xf , 
( )
( ) +∞=→ xf
xg
ax
lim 
 
ii. Se c > 0 e se ( ) 0→x por valores negativos de f ( )xf , 
( )
( ) −∞=→ xf
xg
ax
lim 
 
iii. Se c < 0 e se ( ) 0→x por valores positivos de f ( )xf , 
( )
( ) −∞=→ xf
xg
ax
lim 
 
iv. Se c < 0 e se ( ) 0→x por valores negativos de f ( )xf , 
( )
( ) +∞=→ xf
xg
ax
lim 
 
 
Calcule 
1
2lim
1 −−→ x
x
x
 Exemplo
 
 Solução: Temos que lim 22
1
=−→ xx e 01lim1 =−−→ xx , por valores negativos. Logo 
podemos aplicar o Teorema acima. Dessa forma, 
 
−∞=−−→ 1
2lim
1 x
x
x
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 16
Calcule 
32
2lim 2
2
3 −−
++
→ xx
xx
x
 Exemplo
 
 Solução: O limite do numerador é 14 e o limite do denominador tende a zero 
quando x tende a três. Podemos escrever a função dada como 
 
( ) ( )( )13
22
+−
++=
xx
xxxf 
 
 Apliquemos os limites laterais para acharmos 
32
2lim 2
2
3 −−
++
→ xx
xx
x
: 
 
( )( ) −∞=+−
++=−−
++
−− →→ 13
2lim
32
2lim
2
32
2
3 xx
xx
xx
xx
xx
 e, 
 
( )( ) +∞=+−
++=−−
++
++ →→ 13
2lim
32
2lim
2
32
2
3 xx
xx
xx
xx
xx
( )
 
 
 
 Como ∞+ e − não são números reais, as propriedades dos limites não são 
válidas para limites infinitos. Para esses tipos de limites, temos as seguintes 
propriedades: 
∞
 
1. Se +∞=→ faxlim x e ( ) cxgax =→lim , onde c é uma constante qualquer, então 
( ) ( ) +∞=x ; [ ]+→ gxfaxlim
 
2. Se −∞( ) =→ faxlim x e ( ) cxgax =→lim , onde c é uma constante qualquer, então 
( ) ( ) −∞=x ; [ ]+ gxf
a→xlim
 
3. Se ( ) +∞=→ fax xlim e ( ) cxgax =→lim , onde c é uma constante não-nula, então 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 17
i. Se c > 0, ( ) ( )[ ] +∞=⋅→ xgxfaxlim 
ii. Se c < 0, ( ) ( )[ ] −∞=⋅→ xgxfaxlim 
 
4. Se ( ) −∞=→ xfaxlim e ( ) cxgax =→lim , onde c é uma constante não-nula, então 
 
i. Se c > 0, ( ) ( )[ ] −∞=⋅→ xgxfaxlim 
ii. Se c < 0, ( ) ( )[ ] +∞=⋅→ xgxfaxlim 
 
 
Calcule ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−+→ 2
1
2
1lim
2 xxx
 Exemplo
 
Exemplo
 Solução: Como +∞=−+→ 2
1lim
2 xx
 e 
4
1
2
1lim
2
=++→ xx , pela propriedade 1 temos que 
+∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−+→ 2
1
2
1lim
2 xxx
. 
 
 
( )Se 
34
29 2
+
+=
x
xxf
( )xf
x +∞→lim
, calcule: 
 
 
a) b) ( )xf
x −∞→lim 
 Solução: a) Se +∞→x , então xx =2 e, 
4
3
34
29
lim
34
29
lim
34
29lim
22
2
2
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
+
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 b) Se −∞→x , então xx −=2 e, 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 18
4
3
34
29
lim
34
29
lim
34
29lim
22
2
2
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
+
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
Limite infinito no infinito: Se os valores de crescem sem 
limitação quando 
( )xf
+∞→x ou −∞→x , então escrevemos 
Observação
 
( ) +∞=+∞→ xfxlim ou ( ) +∞=−∞→ xfxlim 
 
 Se os valores de decrescem sem limitação quando ( )xf +∞→x ou −∞→x , 
então escrevemos 
 
( ) −∞=+∞→ xfxlim ou ( ) = −∞−∞→ xfxlim 
 
 
+∞=+∞→
3lim x
x
 Exemplo
 
( ) −∞=−+∞→ 3lim xx
−∞=−∞→
3lim x
x
 Exemplo
 
 Exemplo
 
( ) +∞=−−∞→ 3lim xx Exemplo
 
 Sejam três funções f, g e h tais que ( )xh esteja entre ( )xf e , ou seja, 
“imprensada” entre e . Se f e g tem um limite comum L quando x tende para 
a, então, h deve ter o mesmo limite L. Isso enuncia o seguinte teorema: 
( )xg
( )xf ( )xg
 
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 19
 
Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche: Suponhamos ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤
( )
 
para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a. 
 
( )xgLxf
axax →→ == limlim ( ) Lxhax =→lim, então Se 
 
 Se ( ) ( ) (xgxhx ≤≤ xhxf ≤≤ )f para todo x em um intervalo aberto contendo x, então o 
gráfico de h estará entre os gráficos de f e g naquele intervalo. Se f e g tem o mesmo 
limite L quando x tende para a, então, pelo gráfico, h tem o mesmo limite L. 
 para todo x em um intervalo aberto contendo x, então o 
gráfico de h estará entre os gráficos de f e g naquele intervalo. Se f e g tem o mesmo 
limite L quando x tende para a, então, pelo gráfico, h tem o mesmo limite L. 
 
 y 
x 
y = f(x) 
y =h(x) 
y =g(x) 
 
 
 
 
 
 
a 
L 
 
 
 
 
01
0
=→ xxsenxlim Mostre que Mostre que Exemplo
 
 Solução: Como 11 ≤≤− senx , para todo x, então: 
110 ≤≤
x
sen , se 0≠x 
 Logo, se 0≠x 
x
x
senx
x
xsen ≤⋅= 11 
 Assim, 
x
x
xsen ≤≤ 10 , se 0≠x 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 20
 Como e 00lim
0
=→x 0lim0 =→ xx , segue, pelo teorema do confronto que 
01lim
0
=→ xxsenx . 
 
 
Exemplo Se ( ) Mxf ≤ para todo x, onde M é uma constante, use o teorema do 
confronto pra provar que ( ) 0lim 2
0
=→ xfxx . 
 
 Solução: Como ( ) Mxf ≤ , temos que: 
( ) MxfM ≤≤− 
 Multiplicando por , temos: 2x
( ) MxxfxMx 222 ≤≤− 
 Como ( ) 0lim 2
0
=−→ Mxx e , pelo teorema do confronto, 
. 
0lim 2
0
=→ Mxx
( ) 0lim 2
0
=→ xfxx
 
 
1º Limite Fundamental 
 
Teorema: 1lim
0
=→ θ
θ
θ
sen (θ em radianos) 
 
 
 Demonstração: Verifiquemos os limites laterais. Para mostrarmos que o limite à 
direita é igual a 1, consideremos 
2
0 πθ << . 
 
 
 
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 21
y T
 
 
 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que área < área do setor OAP < área OAPΔ OATΔ 
 Como: 
 área OAPΔ = ( ) θθ sensen
2
11
2
1 =⋅⋅ 
 área do setor OAP = ( )
2
1
2
1
2
1 22 θθθ =⋅⋅=r
OAT
 
 área Δ = ( ) θθ tgtg
2
11
2
1 =⋅⋅ 
 temos, 
 θθθ tgsen
2
1
22
1 << 
 Dividindo por 
2
θsen : 
 θθ
θ
cos
11 <<
sen
 
 Assim, 
 θθ
θ cos1 >> sen 
 Uma vez que e 11lim
0
=+→θ 1coslim0 =+→ θθ , do teorema do confronto temos que 
1lim
0
=+→ θ
θ
θ
sen 
1
x 0 
1 
A (1,0) Q
θ 
senθ 
cosθ 
tgθ 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 22
 Observe que se ( ) ,θ
θθ senf = ( ) ( ) ( )θθ
θ
θ
θ
θ
θθ fsensensenf ==−
−=−
−=− . 
Logo, ( )θf é uma função par e portanto, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. 
Essa simetria implica que 
θ
θ
θ
θ
θθ
sensen
−+ →→
==
00
lim1lim 
 
 Logo, 1lim
0
=→ θ
θ
θ
sen . 
 
Mostre que 0cos1lim
0
=−→ x
x
x
 Exemplo
 
Exemplo
 Solução: Pela fórmula do ângulo-metade, 
2
cos1
2
2 xxsen −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , logo: 
2
22
2
cos1
22
x
xsen
x
xsen
x
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=− 
 Chamaremos 
2
xs = e notemos que s se aproxima de zero, quando x se aproxima 
de zero. Então: 
s
ssen
x
x 2cos1 =− 
 De modo que, 
01.0 lims lim limlimcos1lim
000
2
00
==⋅=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ ⋅==− →→→→→ s
ssensen
s
ssenssen
s
ssen
x
x
ssssx
 
 
Calcule 
x
xsen
x
5lim
0→ . 
 
 Solução: Chamemos t = 5x e notemos que t se aproxima de zero quando x se 
aproxima de zero. Como 
5
tx = , segue que: 
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515lim55lim
5
5
5
lim
5
lim5lim
00000
=⋅=⋅==== →→→→→ t
sent
t
sent
t
sent
t
sent
x
xsen
ttttx
 
 
Calcule 
xsen
xsen
x 9
7lim
0→ . Exemplo
 
 Solução: Temos que: 
 
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xsen
xsen
x
x
xxxx
9
9lim
7
7lim
9
7
9
9
7
7
lim
9
7
9
99
7
77
lim
9
7
lim
9
7lim
0
0
0000
→
→
→→→→ ==== 
 Fazendo u = 7x e v = 9x, e lembrando que se x tende a zero, u e v tendem a zero 
também, temos: 
9
7
1
1
9
7
 lim
 lim
9
7
9
7lim
0
0
0
=⋅==
→
→
→
v
vsen
u
usen
xsen
xsen
v
u
x
)x
ax→
( )xf
ax→lim
 
 
Continuidade 
De modo informal 
 Quando definimos (flim , analisamos o comportamento da função para 
valores de x próximos de a, porém diferentes de a. Em muitos exemplos, vimos que 
 pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em 
a e existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de 
( )xf
( )xf ( )af . 
 Quando ( ) diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é 
contínua em a. 
( )afxf
ax
=→lim
 
Definição: Uma função f é contínua em um número a se satisfaz as seguintes 
condições: 
i. ( )af é definida; 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 24
ii. ( )xf
ax→lim existe; 
iii. ( ) ( )af= . xf
ax→lim
 
 Segue alguns esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se uma (ou mais) das três condições da definição não forem satisfeitas, dizemos 
que f é descontínua em a. 
 Observe os gráficos acima. As descontinuidades em ( I ) e ( III ) são 
descontinuidades removíveis, pois podemos removê-las definindo adequadamente o 
valor de . A descontinuidade em ( II ) é do tipo salto, conforme a aparência do 
gráfico. Se tende para + ou 
( )af
(f )x ∞ ∞− quando x tende para a pela esquerda ou pela 
direita, conforme o gráfico ( IV ), temos uma descontinuidade infinita em a. 
 
 
a x
y Para ver a 
animação deste 
exemplo 
a
y
x
( I ) ( II ) 
a
y
x
a
y
x
( III) ( IV) 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 25
A função ( )
x
x
xExemplo f = não é contínua em a = 0, pois ( )0f não é definido e 
também não existe. ( )xf
x 0
lim→
 y
x
 
 
 
 
 
 
Descontinuidade tipo salto 
 
A função f definida por ( ) 52 += xxf é contínua em x = 0? Exemplo
 
Solução: Como , ( ) 5500 2 =+=f ( )0f está definida. 
( )( ) 55limlim 2
00
=+= →→ xxf xx
( )
. Temos que 
( )05lim
0
fxf
x
 Assim, = =→ 
 Como as condições de (i) a (iii) da definição foram satisfeitas, 
concluímos que f é contínua em 0. 
 
Exemplo Verifique se a função f definida por ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−≠+
++
=
 1 se 3
1 se 
1
132 2
x
x
x
xx
xf é 
contínua em para o número . 1−
Para ver a 
animação deste 
exemplo 
 
 Solução: Testando as três condições da definição, temos: 
 
i. ( ) 31 = −f
ii. ( ) ( )( ) 112lim
1
112lim
1
132limlim
11
2
11
−=+=+
++=+
++= −→−→−→−→ xx
xx
x
xxxf
xxxx
 
iii. Como ( ) ( )xff
x 1
lim131 −→=−≠=− , a função é descontínua em x = 1− . 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 26
Exemplo Seja a função definida por ( ) ⎪⎩
⎪⎨⎧ <++
≥+=
0 se 3
0 se 9
2 xxx
xx
xf . Verifique se a 
função é contínua em x = 0. 
Para ver a 
animação deste 
exemplo 
 
 Solução: Pela definição de função contínua, temos: 
 
i. ( ) 39900 ==+=f ; 
( ) ( ) 39 = 9limlim e 33limlim
00
2
00
=+==++= −+−− →→→→ xxfxxxf xxxx
Logo, ( ) 3lim
0
=→ xfx
ii. 
iii. ( ) (03lim
0
fxf
x
==→ ) 
 
Logo, a função é contínua em x = 0. 
 
Propriedades das funções contínuas 
 
1. Se as funções f e g são funções contínuas em um ponto a, então: 
 
i. gf + é contínua em a; 
ii. gf − é contínua em a; 
iii. gf ⋅ é contínua em a; 
iv. gf / é contínua em a, desde que ( ) 0≠ag . 
 
2. Uma função polinomial é contínua para todo número real. 
3. Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. 
4. As funções trigonométricas são contínuas em todo seu domínio. 
5. As funções exponencial e logarítmica são contínuas em todo seu domínio. 
 
Exemplo Determine os números nos quais a função é 
contínua. 
( )
⎩⎨
⎧
>
≤−=
1 se 
1 se 32
2 xx
xx
xf
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 27
 Solução: As funções 32 −x e são polinomiais e, portanto, contínuas em 
qualquer número. Assim, temos que o único número cuja continuidade é questionável é 
x = 1. Dessa forma, 
2x
i. ( ) ( ) 13121 −=−⋅=f
ii. 
( )
( ) 1limlim
132limlim
2
11
11
==
−=−=
++
−−
→→
→→
xxf
xxf
xx
xx 
Assim, como ( ) ( )xfxf
xx +− →→
≠
11
limlim , temos que não existe 
Exemplo
( )xf
x 1
lim→
( )
⎩⎨
⎧
>
≤−=
1 xse 
1 se 27
2kx
xx
xf
2
 
Portanto, a função será contínua em todos os números, exceto x = 1. 
 
Ache o valor para a constante k, se possível, que fará a função 
 contínua para todos os números reais. 
 Solução: Sabemos que as funções 7 −x
( ) 71
 e são contínuas em todo seu 
domínio. Para que a função f seja contínua para todos os números reais, basta 
verificarmos a continuidade de f para x = 1. Assim, verifiquemos as três condições da 
definição de continuidade: 
2kx
 
i. 521 =−⋅=f
kxxf
xxf
xx
xx
=
 
ii. 
k=
− ==
++
−−
→→
→→
11
11
lim)(lim
527lim)(lim
2
 
 Para que exista, temos que k seja igual a 5. 
1
)(lim
→x
xf
iii. Para que a função f seja contínua para todos os números reais, 
temos que )1()(lim
1
fxf
x
=
→
, logo k = 5. 
 
Continuidade à esquerda e à direita: Seja f a função definida em um intervalo 
fechado [ . Dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se ]ba,
 
)()(lim bfxf
bx
=−→ 
e é contínua à direita no ponto c, se 
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)()(lim afxf
ax
=+→ 
 
 Assim, definimos continuidade em um intervalo fechado: 
 
Definição: Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [ ]ba, , se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
 
i. f é contínua em ( )ba, ; 
ii. f é contínua à direita em a; 
iii. f é contínua à esquerda em b. 
 
( ) 29 xxf −= . Verifique a continuidade da função Exemplo
 Solução: Como o domínio da função f é o intervalo fechado [ ] , 
necessitamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto 
3,3−
( )3,3− e nos pontos 
extremos. Seja c um ponto qualquer do intervalo ( )3,3− . Então, pela definição de 
continuidade em um ponto, temos: 
 
i. 29 c− está definido pois )(cf = ( )3,3−∈c ; 
ii. 29 c− existe pois 29lim)(lim xxf
cxcx
=−= →→ ( )3,3−∈c ; 
iii. )(cf 9)(lim 2cxf
cx
=−=→
 Logo, a função é contínua para todo ponto do intervalo ( )3,3− . 
 
 Verifiquemos os extremos: 
039)3( e 09lim)(lim 22
33
=−==−= −− →→ fxxf xx , logo f é contínua à esquerda 
em 3. Além disso, 
 ( ) 039)3( e 09lim)(lim 22
33
=−−=−=−= ++ −→−→ fxxf xx , logo f é contínua à 
direita em . 3−
 Dessa forma, temos que f é contínua no intervalo fechado [ ]3,3− . 
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Teorema do Valor Intermediário 
 
 Observe o gráfico abaixo: 
 
y
x
f(b)
k
f(a)
a x b
]
b
]
 
 Note que a função descrita por este gráfico é contínua no intervalo fechado 
. Note também que, se traçarmos qualquer linha reta horizontal y = k, onde k está 
entre e , então essa reta cruzará a curva y
 Note que a função descrita poreste gráfico é contínua no intervalo fechado 
. Note também que, se traçarmos qualquer linha reta horizontal y = k, onde k está 
entre e , então essa reta cruzará a curva 
[ ba,[ ba,
)(af )(af )(bf )(bf )(xf )(xfy = pelo menos uma vez em 
. Essa idéia está mais precisamente formulada no seguinte teorema: [ ba, ]
 
Teorema do Valor Intermediário: Se f for contínua em um intervalo fechado [ e k 
é um número qualquer entre e , inclusive, então há no mínimo um número x 
no intervalo tal que 
]
)(af
] kxf =)( .
0)( =xf
ba,
)(bf
[ ba,
 
 Uma infinidade de problemas pode ser reduzida a encontrar raízes da equação 
. Um procedimento para aproximação de raízes está baseado na seguinte 
conseqüência do Teorema do Valor Intermediário: 
 
Conseqüência (Teorema de Bolzano): Se f for contínua em [ ]ba, e se e 
forem diferentes de zero e tiverem sinais opostos, então há no mínimo, um número c 
entre a e b tal que . 
)(af )(bf
0)( =cf
 
 
Exemplo Dada a função f definida por no intervalo , ache 
um número c no intervalo dado, tal que 
65)( 2 −+= xxxf
0)
]2,1[−
( =cf . 
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 30
 
 Solução: Como f é uma função polinomial, ela será contínua em toda parte e 
assim, será contínua no intervalo ]2,1[− . Uma vez que 10)1( −=−f e , o 
Teorema do Valor Intermediário garante que existe um número c entre − e 2, tal que 
, isto é: 
8)2( =f
1
0)( =cf
 
 
6" e 1'
2
75
0652
−==
±−=
=−+
cc
c
cc
 
 
 Rejeitamos , pois esse número não está no intervalo 6−=c ]2,1[− . Logo, como 
, e , temos que o número procurado é c = 1. [ ]2,11 −∈=c 0)1( =f
 
 
Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula 
sobre limites e sanar suas dúvidas. 
 
1. Calcule, caso existam, os limites abaixo. 
 
 a) 
32
63
2
2
1 −+
−+
→
3lim
x x
xx
x
 b) 
19
123lim 2
2
3
1 −
−+
→ x
xx
x
 c) 
xx
x
x −
−
→ 2
2
1
1lim 
 
 d) 
1
12
1 −
−−
→ x
x
x
2lim e) 
x
x
x 7
25lim
3 3 −
+∞→ f) 1015
107
5
3lim
xx
xx
x −
−
+∞→ 
 
 g) 
4 4 35
5lim
+−∞→ x
x
x
 h) 
154
3756lim 3
23
+−
+−+
−∞→ xx
xxx
x
 i) 
x
x
x
lim→ 
2
0
 
 j) 
12
22lim 21 +−
−
+→ xx
x
x
 l) 
2
2lim
2
2 −
−
+→ x
x
x
 m) 
23
5lim
3
2 −+→ xx
 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Limites 31
 n) 
4
4lim
2
2
2 −
−
−→ x
x
x
 o) 
35
13lim 2
2
−
+−
−∞→ x
xx
x
 
 
 p) , sendo )(lim
2
xf
x→ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
>−=
2 se 3
2 se 
52
1
)(
3 xx
x
xxf 
 
 q) , sendo )(lim
0
xf
x→ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=
<+
=
0 se3x -1
0 se 7
0 se 1x5
)(
x
x
x
xf
 
2. Seja a função f definida por 22≠ . Calcule 
m para que f seja contínua em zero. 
0 se 1
 e 0 se 
8
3
)( 3
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
≠−
−
=
xm
xx
xx
xx
xf
 
3. Sabendo que f dada por 
xx
xxxf −
−
2
4 ara 0=
3
)( p ≠x e 1≠x , é uma função 
contínua em zero, calcule )0(f . 
 
4. A função f definida por 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
3 se 1
3 se 
3
3
)(
x
x
x
x
xf é contínua em 3? Justifique. 
 
5. Sendo f a função definida por 
0 se 0
0 se )(
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+=
x
x
x
xxxf , verifique: 
 a) se f é contínua em 1. Justifique. 
 b) se f é contínua em 0. Justifique. 
 Respostas: 1. a) 
4
9 b) 
3
2 c) 2 d) 1− e) 
7
53 
 f) 0 g)
4 5
5− h) 
2
3 i) 0 j) ∞+ 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Limites 32
 l) ∞+ m) ∞+ n) 1− o) 
5
1 p)NE 
 q) 1 
 2. 
8
5=m 3. 4 4. a) Não 5. a) Sim b) Não 
 
 
Para saber mais sobre limites, consulte as referências listadas 
abaixo... 
 
 
Par a você começar ! 
• G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. 
• J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. 
• H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. 
 
Quer apr of undar mai s um pouco?
Gost a de desaf i os?
 
• L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 
1994 
• E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 
1, Ed. Prentice-Hall, 1997. 
• E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 
2ª edição, 1994 
 
 ? 
• H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 
2001. 
• P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 
1974. 
• G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. 
McGraw-Hill, 1987 
 
Par a os amant es da net ... 
• http://ecalculo.if.usp.br/