Lista de Exercícios I - Pré-Cálculo e Limites

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Universidade Federal de Viçosa | DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
PRIMEIRA LISTA MAT 140 - Cálculo I 
2011/ I 
FUNÇÕES E LIMITES 
 
 
1. Se xxxf 34)( −−= calcule ).13(),8(),4( fff 
2. Dada a função 
1
11)(
+
−=
xx
xf , qual é o valor de )3()2()1( fff ++ ? 
 
3. Seja { }4,3,2,1,0=A e ℜ→Af : a função definida por 2)1()( += xxf . Determine a 
imagem de f . A função f é injetiva ou sobrejetiva? Justifique. 
 
4. Uma função definida por 
12
1)(
+
−
=
x
x
xf tem imagem { }5,3,1,1,3Im −−=f . Qual é o domínio 
de f ? 
5. Uma loja de departamentos vende um CD por R$ 18,00 a unidade. Seja x a quantidade de vendida. 
a) Encontre a função receita )(xR ; 
b) Calcule )40(R ; 
c) Qual a quantia deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 450,00. 
 
 
6. A fórmula 3259 += CF dá a relação em graus Fahrenheit F e graus Celsius C. 
 Se a temperatura em graus Fahrenheit variou de 69° F a 96° F, qual a correspondente variação em 
graus Celsius? 
 
 
7. Um retângulo tem perímetro 20 metros. Expresse a área do retângulo como função do comprimento 
de um de seus lados. 
 
 
8. Uma caixa retangular aberta com volume 32 m tem uma base quadrada. Expresse a área superficial 
da caixa como uma função do comprimento de um lado. 
 
9. Deve-se construir uma caixa aberta com um pedaço retangular de cartolina cm7650× , cortando-se 
um quadrado de lado x em cada canto e dobrando-se os lados. Expresse o volume V da caixa como 
função de x . 
 
10. Se a e h são reais, com h não nulo, determine e simplifique 
h
afhaf )()( −+
 para cada função 
abaixo: 
a) 25)( −= xxf , b) 3)( 2 +−= xxxf c) 
x
xf 1)( = d) xxf =)( 
 
11. Determine o domínio natural (maior subconjunto dos números reais no qual a expressão faz 
sentido) e esboce o gráfico da função: 
 a) 12)( +−= xxf 
 b) xxf
2
1)( −= d) |1|)( −= xxf 
 c) |2|)( += xxf e) 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf f) 
1
12)(
2
−
+−
=
x
xx
xf 
 g) 



−>+−
−≤
=
1,1
1,2)(
xsex
xsex
xf h) 



>
≤
=
3,3
3,)(
xse
xsex
xf 
 
12. Considere a função |2||1|)( −+−= xxxf . 
a) Mostre que 





≥−
<<
≤+−
=
2,32
21,1
1,32
)(
xsex
xse
xsex
xf 
b) Esboce o gráfico de f . 
 
13. Determine o domínio. 
 a) 
1
1)( 2 += xxf b) 1)( 2 −= x
x
xf c) 
2
)(
+
=
x
x
xf 
 d) 2)( += xxf e) 
1
1)(
+
−
=
x
x
xf .f) )32()( xxxf −= 
 
14. Dada a função 21)( xxf −= , mostre que ||))(( xxff =� . 
 
15. Dadas as funções 2)( xxf = e xxg =)( . 
a) Mostre que 0,))(( ≥= xxxgf � . 
b) Mostre que |,|))(( xxfg =� x real. 
16. Determine f de modo que ( ) xxfg =)( para todo fDx ∈
 
 (Domínio de f) sendo g dada por 
 a) 
x
xg 1)( = b) 
1
2)(
+
+
=
x
x
xg c) 1,2)( 2 ≥−= xxxxg . 
 
17. Determine a função que satisfaça a propriedade x
xf
xf
=
+
−
3)(
3)(
. Qual o domínio desta função? 
 
18. Dadas as funções xxxg 2)( 2 −= e xxf 2)( = , calcule: 
 a) ( ))1(gf b) ( ))1(fg c) ( ))1(−gf d) ( ))1(−fg 
 
19. Se xxf log)( = , mostre que )()().( vfufvuf += . 
 
 
20. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
4
3 2 45lim
→
−−
x
xx 
b) 
7
0lim
→x
 
c) 
276
352lim 2
2
2
1 +−
−+
→ xx
xx
x
 
d) 
8
2lim 32
−
−
→ x
x
x
 
e) 
4
16lim
16
−
−
→ x
x
x
 
f) 





−
−
−
→ 1
1
1
lim
2
1 xx
x
x
 
 
g) 3 2
3
3 1
352lim
−
−+
→ x
xx
x
 
 
h) 
h
h
h
+−
→
164lim
0
 
 
i) 5lim
pi
pi
pi +
−
→ x
x
x
 
 
j) 
x
x
x
−
−
→ 3
81lim
2
9
 
k) 
h
h
h
22
0
2)2(lim
−−
→
−+
 
 
 
 
21. Mostre que a função f é contínua no ponto a dado: 
 a) 4,352)( =+−= axxxf 
 
 b) 3,
4
)( 2 =
−
= a
x
x
xf 
 
22. Dê exemplos (explicitando por esboço do gráfico) de: 
a) Uma função de modo que somente a primeira condição de continuidade não valha 
b) Uma função de modo que somente a segunda condição de continuidade não valha 
 
 
 
 
23. Dê exemplos (mostrando a expressão que a define) de funções que: 
a) Não cumpram somente a primeira condição de continuidade. 
b) Não cumpram somente a segunda condição de continuidade. 
O que se pode observar entre o domínio das funções e as condições de continuidade? Se f é 
descontínua num ponto a, então esse ponto não pertence a seu domínio? 
 
 24. Para quais valores reais de x as funções abaixo são contínuas? 
 
 a) 
9
|9|)(
+
+
=
x
x
xf 
 
 b) 23
5)(
xx
xf
−
= 
 
 c) 232)( xxxf +−= 
 
25. A função f dada por 
 




=
≠
−
−
=
31
3
3
|3|
)(
xse
xse
x
x
xf 
 é contínua em ?3=x Justifique. 
 
26. Dada a função 



=
≠−
=
1
1210)(
xsek
xsex
xf 
a) Determine 
1
)(lim
→x
xf ; 
b)Determine o valor de k para que )(xf seja contínua em 1=x . 
Observação IMPORTANTE 
No caso desse valor existir, esse tipo de descontinuidade é dita descontinuidade removível no 
ponto em questão. 
 Dê uma definição matemática para esse conceito mostrando uma condição que seja 
necessária e também suficiente para que esse fenômeno ocorra. 
 
 
27 Existe algum número real k tal que a função 




=
≠
=
0
05)( 2
xsek
xse
xxf 
seja contínua em 0=x ? 
 
28 Dada a função 
2
2
)1(
)1()26()(
−
−−
=
x
xx
xf . 
i.Determine 
1
)(lim
→x
xf ; 
ii.É possível definir )(xf em 1=x de modo que ela seja contínua neste ponto? Se for, quanto 
deve valer )1(f ? 
 
29. Calcule os seguintes limites: 
a) 
1
)1(lim 5
5
1
−
−
→ x
x
x
 
 
b) 
sent
t
t
−
→ 1
coslim
0
 
 
c) 
t
sent
t cos1
lim
0 +→
 
 
d) 
sent
t
t
cos1lim
0
−
→
 
 
e) 
x
x
sen
x
2lim
0→
 
 
f) 
senx
tgxx
x
+
→0
lim 
 
g) 2
2
0
2lim
t
tsen
t→
 
 
h) xotgcx
x 0
lim
→
 
 
i) 
xotgc
xoc
x
2seclim
0→
 
 
j) 
senx
x
sen
x
2lim
2
0→
 
 
l) 
pi−→ x
senx
x 0
lim 
m) 
v
v
v
)
2
cos(
lim
0
pi
+
→
 
 
n) αα
α
22
0
seclim oc
→
 
o) 
bx
axsen
x
)(lim
0→
 
30. O problema da reta tangente. 
 
Dada a função y = x² + 2x + 5, determine a equação da reta que é tangente a essa função no 
ponto de abscissa x = 2. 
SUGESTÃO: 
 
Alem do ponto dado, marque outro ponto qualquer x = a na função. Trace a reta que passa por 
esses dois pontos. Agora imagine a seguinte situação: 
Faça o ponto x = a caminhar sobre o eixo x em direção a x = 2. O que acontece com essa reta 
nessa situação? Qual é o coeficiente angular dessa reta?