Lista 8_GABARITO

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 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: André Attilio, Bruno Komatsu, Otávio Sidone e Thiago Alexandrino 
 
LISTA 08 
Questão 01 
Uma pequena empresa de artesanato, maximizadora de lucros, requer somente o fator 
trabalho (L) para produzir. Sua função de produção é dada por: , em que Q 
representa a quantidade produzida. Os trabalhadores podem ser contratados ao salário W, 
num mercado competitivo. 
a) Para W=R$200 e preço unitário do artesanato de P=R$10, quantos trabalhadores a 
firma contratará? 
A função de produção d firma é . O produto marginal do trabalho é dado por: 
 
 
 
 . A firma contrata trabalho até que o valor do produto marginal seja 
igual ao salário: 
 
 
b) Qual será o lucro da firma na situação descrita em (a)? 
O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo total: 
 
c) Se o preço unitário do artesanato cair para P=R$5, quantos trabalhadores a firma 
demitirá? 
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Nesse caso: 
 
 
Portanto, a firma demitirá 30-20=10 trabalhadores. 
d) Suponha que, para recontratar trabalhadores demitidos ou treinar novos, a firma se 
defronte comum custo de ajustamento dado por: 
 . Caso o número de 
trabalhadores no período anterior tivesse sido , e caso W= R$ 200 e P= R$ 5, 
quantos trabalhadores a firma terá? 
A função Lucro será: 
 
 
 
 
CPO: 
 
 
CSO: 
 
Portanto, a firma demitirá 30-21,5=8,5 trabalhadores (ou 8 trabalhadores, em unidades 
inteiros). 
e) Qual o impacto da existência dos custos de ajustamento sobre o nível de emprego? 
Comparando os resultados obtidos nos itens c e d, vemos que a existência dos custos de 
ajustamento reduz o impacto da redução do preço do produto sobre o nível de emprego. 
 
Questão 02 
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Dada a função de produção , e o preço do capital (K) igual a R$ 4,00 e preço 
do trabalho (L) igual a R$ 4,00/hora, calcule as funções custo-total, médio e marginal de longo 
prazo? 
Para encontrarmos a função-custo, devemos resolver o problema de minimização de custos da 
firma. Sabemos que a função Cobb-Douglas só admitirá solução interior. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualando os , vem que . Assim: 
 
 
 
 
 
Portanto, o custo total será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E os custos marginal e médio serão: 
 
 
Questão 03 
Suponha uma firma maximizadora de lucro, produzindo 48 unidades de um bem através de 
uma função de produção com 2 fatores (K e L), caracterizada por retornos constantes de 
escala. Supondo que o preço do produto seja igual a $ 1, os preços dos fatores K e L iguais a $ 4 
e $ 2, respectivamente, e o uso de K igual a 3. 
a) Qual é a quantidade demandada do fator L? 
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Dados Y=48, P=1, r=4, w=2, k=3, e tecnologia com retornos constantes de escala, temos que 
em equilíbrio a demanda por fatores é caracterizada pelas seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sob retornos constantes de escala, e pelo Teorema de Euler, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
b) Qual é a participação do fator K no valor do produto? 
A participação do fator K no valor do produto consiste na razão K/Y. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual é o produto marginal do fator L? 
Conforme o item a, 
 
d) A relação K/L ótima depende da quantidade produzida? 
A relação K/L satisfaz à condição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se w e r forem constantes, a TMS não mudara quando a firma está otimizando e, portanto, a 
relação K/L ótima também não se altera. Assim, vemos que a relação K/L ótima não depende 
da quantidade produzida. 
 
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Questão 04 
Uma firma operando em uma indústria em concorrência perfeita possui uma curva de produto 
total dada por: , onde L é a quantidade de mão-de-obra. O preço do produto é 
igual a $12 e o salário de mercado é $240. 
a) Calcule a quantidade de trabalhadores contratados pela firma? 
A quantidade de trabalhadores que a firma contrata é definida pelo nível em que ocorre a 
igualdade entre o produto marginal do trabalho e o salário real. O problema pode ser resolvido 
maximizando-se o lucro da firma, que constitui a diferença entre a receita (p.PT) e o custo total 
(W.L). Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
CPO: 
 
 
 
 
CSO: 
Caso L=10, 
 
 
 , ou seja, a condição de segunda ordem indica que a 
função de produção é côncava em L=10 e, portanto, esta é a solução de lucro máximo. 
b) Se o salário for maior d que $512, a firma deverá fechar? 
 
 
 
 
 
 
CPO: 
 
 
 
 
CSO: 
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Caso L= , 
 
 
 
Caso L= , 
 
 
 
Portanto, a função-lucro é côncava em L=9,27, que é a quantidade que maximiza o lucro. 
Assim, a firma continuará a operar, escolhendo o número de trabalhadores de modo a 
maximizar seu lucro. 
 
Questão 05 
Considere um mercado descrito pela curva inversa de demanda , sendo que, 
para , . Suponha que haja duas firmas produtoras que possuam custos dados por: 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule a curva de oferta da firma 1? 
 
 
 
 
Como o mercado é competitivo, a curva de oferta da firma de curto prazo corresponde à curva 
de CMg acima do CVMe. 
 curva de oferta=custo de custo marginal (observe que a condição de que o custo 
marginal deve ser superior ao custo variável médio será atendida para qualquer nível de 
produção). Assim: 
 
 
 
 
 
 
b) Calcule a curva de oferta da firma 2? 
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 Assim, a curva de oferta da firma corresponde à curva de custo marginal. 
 
 
Observe que , ou seja: 
 se 
 se 
Logo, a curva de oferta da firma 2 é dada por: 
 , se 
 , se 
 
c) Calcule o equilíbrio competitivo? 
A curva de oferta do mercado é a soma horizontal das curvas de oferta individuais. 
 
 
 
, se 
 
 
 
 
 
 
 , se 
A curva de demanda é: 
 
Em equilíbrio: 
 
 
 
 
, se 
 
 
, que não é solução, já que p>1 
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 , se 
 
 
 
 
 
 
 
Que é a quantidade de equilíbrio de mercado. 
 
Questão 06 
Suponha que a função custo total dos produtores de soja de uma região foi estimada e 
apresentou a seguinte representação: 
 
 
 
 
Onde CT é o custo total, r representa a remuneração do capital, w representa a remuneração 
do trabalho e q representa o nível de produção. Suponha que a demanda de mercado de soja 
seja dada pela expressão: 
 
Onde P representa o preço de mercado. Suponha que existam 100 empresas no mercado de 
soja atuando competitivamente e que cada firma venda seu produto ao mesmo nível de 
preços, e que o valor da remuneração do trabalho seja igual a R$ 4 por jornada. Calcule o 
preço e quantidade de equilíbrio nesse mercado. 
A condição de equilíbrio impõe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação define a oferta da firma individual no curto prazo. Como o preço do trabalho é 
dado (w=4), podemos escrever reescrever a expressão como: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a curva de oferta da firma é dada por: 
Comoexistem 100 firmas no mercado, a curva de oferta do mercado é dada por: 
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Em equilíbrio: 
 
 
 
 
Que são o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado. 
 
Questão 07 
Em uma ilha há 50 armadores maximizadores de lucro, numerados de 1 a 50. Cada um deles 
pode fabricar até 5 navios por ano. A função custo do armador é dada por: 
 
onde , representa o número de navios fabricados por ano e a constante $5 
representa um custo quase-fixo, ou seja, só se incorre em tal custo se a produção for não nula. 
Se o preço de mercado de cada navio for $5, quantos armadores terão lucro positivo? Quantos 
navios serão produzidos no total? 
 
A função custo mostra que quanto maior for a ordem do armador, maior será seu custo. O 
problema de cada armador será: 
 
 
 
 
 
A derivada da função lucro com relação a será: 
 
 
 
Podemos verificar que somente os armadores tais que terão lucro marginal 
positivo. Portanto, somente os armadores de 1 a 5 produzirão quantidades positivas. Note, 
porém que dada a restrição temos: 
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Portanto, o armador 1 deve produzir uma quantidade maior do que para ter lucro 
positivo; supondo que os navios são bens discretos, o mínimo será 2. O armador 2 deve 
produzir uma quantidade maior do que , e assim por diante. Note que o armador 5 não é 
capaz de ter lucro positivo, pois não existe quantidade definida para . Portanto, somente 
4 armadores terão lucro positivo. 
Como para esses quatro armadores o lucro marginal é positivo para qualquer quantidade, eles 
produzirão a quantidade máxima que puderem; ou seja, cada uma produzirá 5 navios, com um 
total de 20 navios. 
 
Questão 08 
As vendas de ingressos para os jogos de um time de futebol dependem do número de vitórias 
do time por temporada e do preço dos ingressos. Em outras palavras, a função demanda pelos 
ingressos é dada por 
 
em que é o preço dos ingressos, é a quantidade de ingressos (em milhares) e é a 
proporção de jogos ganhos. O time pode aumentar se investir reais (em milhares) na 
contratação de novos talentos. Nesse caso, tem-se que 
 
 
 
 
Assuma que o custo fixo e o custo marginal de vender um ingresso sejam zero e responda o 
que se pede: 
(a) Qual é o preço dos ingressos que maximiza o lucro do time? Qual é o lucro máximo? 
(b) Qual é o valor do investimento em jogadores, , ótimo? 
(c) Ache a proporção ótima de vitórias. 
 
A função lucro dessa firma será dada por: 
 
 
 
 
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Então, o problema da firma será: 
 
 
 
 
 
 
As CPO são: 
i. 
 
 
 
 
 
 
ii. 
 
 
 
 
 
 
O nível máximo de lucro será então: 
 
 
 
 
 
A proporção ótima de vitórias será: 
 
 
 
 
 
Questão 09 
Uma firma fecha um contrato para produzir eletricidade para atender à demanda de uma 
cidade. O preço que ela pode cobrar pela eletricidade é fixado pelo governo e a firma precisa 
atender a toda a demanda àquele preço. A quantidade de eletricidade demandada é sempre a 
mesma em cada período de 24 horas, porém as demandas diferem do dia (das 6h00m às 
18h00m) para a noite (das 18h00min às 6h00min). Durante o dia, 4 unidades são demandadas, 
enquanto à noite somente 3 unidades são demandadas. A produção total para cada período 
de 24 horas é então sempre igual a 7 unidades. A firma produzirá eletricidade em uma 
termoelétrica conforme a função de produção 
 
 
 
onde é o tamanho da planta geradora e são toneladas de combustível utilizadas. A firma 
precisa construir uma única planta geradora e não pode mudar seu tamanho do dia para a 
noite. Se uma unidade do tamanho da planta custa por período de 24 horas e uma 
tonelada de combustível custa , qual será o tamanho ótimo da planta? 
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O problema será de minimização de custos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos resolver o problema pelo método do lagrangeano com duas restrições, ou podemos 
trabalhar as restrições e substituí-las na função objetivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então 
O problema se torna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando em relação a e igualando a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
Uma firma em um setor competitivo tem uma função custo total 
 , onde 
 , é o produto da firma, e é diferente para cada firma. 
(a) Se para todas as firmas, o que determina a quantidade produzida por cada 
firma? Elas produzirão quantidades iguais? Explique. 
A função custo marginal será dada por: 
 
Como , então trata-se de uma reta com inclinação positiva dada por , no plano de 
custos vs. produto. 
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Com não temos custos fixos, a função custo médio da empresa é nesse caso igual à de custo 
variável médio e é dada por: 
 
 
 
 
Note que essa é uma reta no plano de custos por produto cujo intercepto é e cuja inclinação 
é . Portanto, ela sempre estará abaixo da curva de custo marginal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um mercado competitivo a empresa opera de modo que a sua função custo marginal se 
iguala ao preço de mercado do bem produzido: 
 
 
 
 
 
 
 
Isso acontece para preços que fazem com que seu lucro seja não negativo. Essa condição 
requer que: 
 
A função de oferta da empresa depende do parâmetro , que varia conforme a empresa (é 
indexa em ), portanto, a oferta das empresas não é necessariamente igual. Além disso, o 
 
 
 
 
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preço mínimo a partir do qual as empresas começam a produzir quantidades positivas também 
depende de , então dependendo do preço de mercado, algumas empresas podem nãoestar 
em operação enquanto outras estão com produzindo. 
(b) O que acontece se ? 
Se , então a função de custo marginal 
 
é decrescente com a quantidade . Isso significa que as empresas sempre podem aumentar o 
lucro aumentando a produção, pois o lucro marginal será positivo. No curto prazo, as 
empresas produzirão o máximo, com a restrição da demanda de mercado. 
 
Questão 11 
Uma firma utiliza dois fatores de produção (trabalho e capital) para produzir um único 
produto. Seu produto é vendido e o capital comprado sob condições de competição perfeita, 
ao passo que a firma possui poder de monopsônio no mercado de trabalho. A função de 
produção é dada por , em que Q mede o produto anual da firma em 
unidades, L o número de empregados e K denota o número de unidades de capital. A oferta de 
trabalho defrontada pela firma é dada por , em que w representa o salário 
anual. Sabe-se também que o preço do produto é dado por p=18 e que K=25. Qual o produto 
médio do trabalhador associado à solução ótima dessa firma? 
Vamos escrever a função lucro de tal firma. 
 
Agora, vamos escrever w em função de L: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . A função 
lucro fica: 
 
 
 
 
 
 . Derivando essa 
última função em relação a L, chega-se à escolha ótima para os trabalhadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resta achar o produto, para então dividirmos pelo número de trabalhadores a fim de obter o 
produto médio do trabalho. 
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O produto será: . O produto por 
trabalhador será: 
 
 
 
Questão 12 
Uma empresa produz detergentes, poluindo o rio de uma cidade. O preço de mercado do 
barril de detergente é R$50,00. O custo marginal da produção de detergente é dado por 
 , sendo ‘q’ a quantidade produzida de detergentes em barris. A poluição 
acarreta um custo de tratamento de água para a prefeitura da cidade, dado por CMgT = q. 
a) Encontre a quantidade de barris de detergente produzida num ambiente 
desregulamentado. 
A quantidade produzida nesse ambiente será a eficiente, do ponto de vista da empresa. Logo, 
será aquela proveniente do problema de maximização: 
 , em que k é uma constante de integração. A CPO é: 
 
 
Ou seja, o resultado padrão: receita marginal, 50, igual ao custo marginal, 20+q. 
b) Qual seria o custo marginal relevante para a sociedade? Determine a quantidade 
socialmente ótima. 
O custo marginal relevante para a sociedade é aquele que leva em conta os malefícios que a 
produção de detergentes induz. Como o custo marginal de tratamento de água. Assim, será a 
soma do custo marginal privado com o custo marginal de tratamento: 
 
Para achar a quantidade socialmente ótima, basta resolver o problema da firma com o custo 
marginal social: 
 
 
c) Qual das quantidades encontradas é maior? Por quê? 
A quantidade socialmente ótima é menor que a quantidade ótima privada, pois ela leva em 
conta o custo marginal verdadeiro, que é maior que o custo marginal privado. Intuitivamente, 
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está se gastando muito para limpar a água. Produzindo menos, esse gasto com a limpeza da 
água diminuirá. 
Questão 13 
Uma indústria tem um processo produtivo, cujo custo depende inversamente da quantidade 
de dejetos não destinados corretamente. A função custo tem a seguinte forma: 
 . A demanda enfrentada pela indústria é linear e dada por . Suponha 
que a empresa escolha ‘d’ e d [0,175]. 
a) Encontre a quantidade que maximiza lucro, o preço, a quantidade de dejetos produzida e o 
lucro. 
O problema da indústria é maximizar sua função de lucro: 
 
Derivando em relação a ‘q’ e ‘d’, temos: 
 
 
 
Observa-se claramente que Assim, ao se aumentar o nível de dejetos não 
tratados, o lucro também aumenta. Logo para a empresa faz sentido aumentar d até o máximo 
possível: d = 175. 
Pela demanda, acha-se o preço: O lucro é dado por: 
 
b) Suponha que exista uma agência reguladora que imponha um imposto de ‘R$ 50’ sobre cada 
unidade de dejetos descartada corretamente. Monte o problema e encontre a quantidade, o 
preço, a quantidade de dejetos e o lucro ótimos. 
A nova função lucro da indústria deve levar em conta o imposto de valor ‘t’ sobre cada 
unidade de dejeto, tomando a seguinte forma: 
 
Derivando em relação às quantidades produzidas pela firma, ou seja ‘q’ e ‘d’, temos: 
 
 
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Agora, temos uma situação diferente da anterior. O aumento dos dejetos possui um impacto 
negativo nos lucros. Para a empresa compensa escolher não produzir dejetos, logo d*=0. 
O preço continua o mesmo, P=55. Já o lucro cairá: