Matemática Financeira

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Roberto César Faria e Silva 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
Aluno: ____________________ 
SUMÁRIO 
 
1. CONCEITOS _____________________________________________________ 2 
2. JUROS SIMPLES __________________________________________________ 3 
 Taxa Efetiva e Proporcional _______________________________________ 10 
 Desconto Simples _______________________________________________ 12 
 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora __________________________ 13 
 Desconto Racional ou Por Dentro __________________________________ 16 
3. Juros Compostos ________________________________________________ 19 
 Taxa Equivalente, Nominal, Aparente e Real _________________________ 25 
 Taxa Bruta e Líquida _____________________________________________ 26 
 Série de Pagamentos 
 Pagamentos Iguais Postecipados __________________________________ 29 
 Pagamentos Iguais Antecipados ___________________________________ 32 
 Pagamento Diferido _____________________________________________ 35 
 Série de Depósitos 
 Renda Postecipada ______________________________________________ 38 
 Renda Antecipada _______________________________________________ 39 
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO _____________________________________ 42 
5. HP 12-C __________________________________________________________ 
6. EXCELL (WINDOWS) ________________________________________________ 
7. CALC (LINUX) _____________________________________________________ 
REFERÊNCIAS ______________________________________________________ 
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1. Conceitos 
Antes de adentrarmos aos estudos da matemática financeira é importante 
entender o que ela representa e seus conceitos. 
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Tempo 
O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é 
sempre ajustado em função deste. 
O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida. 
Exemplo: 1 ano 
 4 trimestres 
 12 meses 
Juros 
 
 
Os juros tem como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do 
tempo seu poder de compra. 
Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu 
consigo comprar este produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não 
pois o valor das coisas muda com o decorrer do tempo, e para o dinheiro não 
perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a forma de “reajuste” são 
os juros. 
Os juros normalmente são dados em percentuais acompanhados do período. 
Exemplo: 5 % a.m. = cinco por cento ao mês. 
 60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano. 
 
A matemática financeira estuda a variação do capital (dinheiro) no decorrer 
do tempo, mediante a uma taxa de juros. 
É uma remuneração sobre o capital. Um reajuste que acontece em função 
do tempo. 
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A matemática financeira estuda a capitalização dos juros sob duas formas, que 
são: 
 Juros Simples 
 Juros Compostos 
 
 
2. JUROS SIMPLES 
 
 
Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 
10% ao mês, durante 5 meses. 
 
 
Tabela 1: Capitalização usando juros simples 
Mês Saldo no início do 
Mês 
Juros mensais Saldo no final do 
Mês 
1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00 
2 R$ 110,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 120,00 
3 R$ 120,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 
4 R$ 130,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 140,00 
5 R$ 140,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 150,00 
 
 
Dica: 
1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de 
medida da taxa de juros. 
2) Para se fazer os cálculos devemos usar os juros em linguagem decimal e 
nunca em percentual. 
 5% = 5 = 0,05 
 100 
 
É um regime de capitalização onde os juros só incidem sobre o capital. 
 10% = 10 = 0,10 
 100 
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado 
nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior. 
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Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não 
sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5 
meses foram pagos R$ 50,00 de juros ( R$ 10,00 por mês vezes os 5 meses) e 
o saldo final (montante) foi de R$ 150,00 (R$ 100,00 do capital mais R$ 50,00 
de juros. 
Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital multiplicado pela 
taxa e multiplicado pelo numero de meses, ou seja: 
 
 
E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os 
juros. 
 
 
Como J = C.i.t 
M = C + C.i.t 
M = 1.C + C.i.t 
M = C . (1) + C . (i.t) 
 
 
 
 
 
 
 
Juros mensais – No caso de juros simples os juros são aplicados sempre 
sobre o capital. 
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros 
mensais. 
J = C.i.t 
M = C + J 
M = C . (1+ i.t) 
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Gráfico 1: Capitalização usando juros simples
 
O Gráfico 1 foi montado a partir dos dados da Tabela 1, podemos perceber um 
gráfico linear, o que significa que no regime de juros simples o capital cresce 
de forma linear ou em progressão aritmética. 
Convenção: 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros 
simples de 3% ao mês. Calcule os juros e o montante desta aplicação. 
 
 
 
 
 
C = Capital 
M = Montante 
J = Juros 
i = Taxa 
t = Tempo 
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2) Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 800,00 durante 2 anos 
a uma taxa de juros simples de 6% ao mês. 
 
 
 
 
 
3) Qual o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida 
a partir de uma aplicação de um principal de R$ 1.000,00, com uma taxa de 2% 
ao semestre (juros simples). 
 
 
 
 
 
 
4) Determinar que valor que deve ser aplicado a juros simples, a uma taxa de 
10% ao ano para produzir R$ 100.000,00 em 15 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
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5) determine qual o tempo que um capital de R$ 800,00 deve ser aplicado para 
resultar em um montante de R$ 1.520,00, a uma taxa de juros simples de 9% 
ao mês. 
 
 
 
 
 
6) Qual o tempo que devo aplicar um capital para ele triplicar de valor, com 
uma capitalização simples de 2% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
7) Uma pessoa aplicou em um banco o capital de R$ 1.200,00 por um ano e 
resgatou R$ 1.776,00, qual a taxa da aplicação (juros simples). 
 
 
 
 
 
 
 
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8) (Técnico em contabilidade CRC 2001) uma pessoa aplica R$ 4.000,00 por 
sete meses e R$ 6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se “n” é 
o numero de meses que esta pessoa deve aplicar R$ 10.000,00 à mesma taxa 
de juros anterior para que o montante obtido seja igual ao da soma das duas 
aplicações iniciais, então calcule o valor de “n”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) (Técnico em contabilidade CRC 200) em uma aplicaçãofinanceira, recebeu-
se de juros o correspondente a 1/5 do valor aplicado, num período de quatro 
meses. Sabendo-se que o regime é de capitalização simples, calcule a taxa de 
juros quadrimestral desta aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) (CREA/Assistente Administrativo/2004) Sabendo-se que 60% de um capital 
foi aplicado durante três meses, a uma taxa de 12% a.m. O restante foi 
aplicado a uma taxa de 15% a.m. durante 6 meses. Sendo o montante total 
recebido de R$ 945,60, calcule o valor do capital aplicado (juros simples). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Taxa Efetiva 
 
 
São exemplos de taxa efetiva: 
 3% ao mês, com capitalização mensal. 
 20 % ao ano, com capitalização anual. 
Normalmente costuma-se dizer apenas, 3% a.m. ou 20% a.a., ou seja, a taxa 
efetiva é a que se usa na calculadora, no momento de se fazer as contas. 
 
Taxas Proporcionais 
Pode-se dizer que duas taxas são proporcionais se a razão entre elas for igual 
a razão entre seus períodos. 
 
 
Exemplo: 24% ao semestre = 4% ao mês 
 24 = 6 → 6 = 6 
 4 1 
 
 
Exercícios 
1) Determine a taxa mensal proporcional a 20% ao ano. 
 
 
 
 
 
É a taxa onde a sua unidade de medida coincide com a unidade de medida 
do tempo (período de capitalização). 
( i1 / i2 ) = ( n1 / n2 ) 
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2) Determine a taxa anual proporcional a 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
3) Quais as taxas bimestrais e semestrais proporcionais a taxa de 5% ao 
semestre? 
 
 
 
 
 
 
4) João aplicou R$ 1.000,00 durante seis meses a uma taxa de 8% ao ano; 
qual o valor que João irá resgatar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desconto Simples 
 
 
A Figura 1 mostra como funciona o dinheiro no tempo, se eu tiverum capital de 
R$ 100,00 (hoje – Tempo 0) e aplicar por um mês (Tempo 1) receberei um 
montante de R$ 110,00, ou seja R$ 10,00 de juros. No entanto se tiver que 
pagar uma duplicata que vai vencer no “mês que vem” (Tempo 1) no valor de 
R$ 110,00 e quiser antecipar este pagamento em um mês, pagando hoje 
(Tempo 0), irei pagar o valor de R$ 100,00, ou seja, irei obter um desconto de 
R$ 10,00. 
 
Figura 1: Dinheiro no Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o estudo da matemática financeira iremos estudar o desconto simples de 
duas maneiras: 
 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 
 Desconto Racional ou por dentro 
Convenção: 
 
 
 
R$ 100,00 R$ 110,00 
0 1 
(Capital) 
Valor Presente 
(Montante) 
Valor Futuro 
Tempo 
Desconto 
Capitalização (Juros) 
Desconto, normalmente, é o que se deixa de pagar quando antecipamos 
um pagamento. 
D = Desconto 
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Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 
 
 
 
No regime de juros simples este desconto é feito aplicando diretamente o 
desconto sobre o montante e multiplicando pelo período (tempo) 
 
 
Para exemplificar imagine a seguinte situação: 
João tem um boleto para pagar com vencimento para daqui a 2 meses, o valor 
do boleto é de R$ 100,00, no boleto tem a seguinte informação: conceder 10% 
de desconto para cada mês de antecipação. Caso João queira pagar o boleto 
hoje qual seria o desconto. 
Concluímos então que: 
 M = 100 
 i = 0,01 
 t = 2 
 
 D = M.i.t 
 D = 100 x 0,01 x 2 
 D = 20 
 
O desconto que João obteve é de R$ 20,00 
Também podemos concluir que o valor que deverá ser pago (Capital = Valor 
presente) é igual ao valor do título (Montante = Valor futuro) menos o desconto. 
 
 
Ou seja: 
 C = M - D 
 C = 100 – 20 
 C = 80 
 
O valor que João irá pagar é de R$ 80,00 
 
Desconto comercial é o desconto que é dado diretamente sobre o valor do 
título (Montante = Valor futuro). 
D = M.i.t 
C = M - D 
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E se fosse perguntado qual a taxa que João teve de desconto. Podemos 
analisar da seguinte forma: 
Se pegarmos o valor pago e dividirmos pelo valor do título (Capital/Montante) 
chegaríamos a uma relação percentual. 
 C 80 0,8 
 M 100 
Se pegarmos o valor total que iriamos pagar (100% = 1) e subtrairmos o valor 
que foi pago (0,8) chegaremos ao desconto (0,2 = 20%) 
1- 0,8 = 0,2 = 20% 
Mas os 20% foi o desconto obtido em 2 meses, então se dividirmos os 20% 
(0,2) pelos 2 meses, chegaremos a taxa de desconto que é de 0,1 (10%). 
 i 1 -80 1 - 80 x 1 0,1 
 100 100 2 
 2 
Se substituirmos os números por suas letras pode chegar a seguinte fórmula 
para se calcular a taxa: 
 i 1 - 80 x 1 
 100 2 
 
 
Exercícios 
1) Uma loja descontou uma Nota Promissória no valor de R$ 10.000,00, com 
90 dias antes do seu vencimento á uma taxa de 7% ao mês. Qual o desconto e 
o valor resgatado? 
 
 
 
 
 
 
 
i = 1 – C x 1 
 M t 
 2 
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2) Um título de R$ 7.500,00 foi pago por R$ 5.000,00. Calcule o prazo de 
antecipação, sabendo que a taxa foi de 5% a.m. 
 
 
 
 
 
3) Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi resgatada por R$ 4.100,00, faltando seis 
meses para o seu vencimento. Calcule a taxa de desconto anual. 
 
 
 
 
 
4) Um título foi resgatado por R$ 500,00, 10 meses antes do vencimento, 
sabendo-se que a taxa de desconto é de 5% a.m. Qual o valor do título e do 
desconto. 
 
 
 
 
 
5) Um título de R$ 850,00 teve um desconto de R$ 60,50 para ser pago 2 
meses antes do vencimento, qual foi a taxa do desconto? 
 
 
 
 
 
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Desconto Racional ou Por Dentro 
Imagine a seguinte situação: 
Uma loja compra um produto por R$ 100,00 e vende com um lucro de 50%, ou 
seja: por R$ 150,00. O dono da loja resolve pegar este produto para ele e sabe 
que o preço de venda é de R$ 150,00 e que o lucro é de 50%, então ele pega o 
Preço de R$ 150,00 e desconta os 50% (do lucro) e paga R$ 75,00 pelo 
produto. 
 
 
 
 
 
Esta conta está certa? 
Apesar de aplicar a mesma taxa (50%) nos deparamos na seguinte situação: 
R$ 75,00(Valor pago) - R$ 100,00(Preço de compra) = - R$ 25,00, ou seja, a 
loja teve prejuízo. 
O desconto é o mesmo, mas o valor não em um está aplicando o desconto 
sobre R$ 100,00 e no outro estou aplicando sobre R$ 150,00. 
 
 
 
Então o desconto seria igual aos juros, aplicado sobre o capital. 
J = C.i.tentão 
 
Se analisarmos o problema anterior podemos constatar que o preço de custo é 
de R$ 100,00, e que o preço de venda é de R$ 150,00, ou seja, o desconto 
máximo que se pode dar para não ter prejuízo é de R$ 50,00. 
R$ 150,00 (preço de venda) –R$100,00 (Preço de compra) = R$ 50,00 
O preço de venda neste caso equivale ao montante, o custo seria o capital e o 
lucro seria o desconto. Sendo assim podemos concluir que: 
No desconto racionala taxa de desconto que é dada, é sobre o capital e não 
sobre o montante. 
R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 75,00 
- 50% + 50% 
D = C.i.t 
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Podemos também dizerque: 
D = C.i.t e C = M - D 
D = (M - D).i.t 
D = M.i.t – D.i.t 
D + D.i.t = M.i.t 
D.(1) + D.(i.t) = M.i.t 
D.(1+i.t) = M.i.t 
 
 
 
 
Exercícios 
1) O portador de um boleto no valor de R$ 1.500,00, referente a um 
empréstimo adquirido a uma taxa de 6% ao mês, resolveu pagar este boleto 60 
dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor pago. 
 
 
 
 
 
2) Um lojista recebeu uma duplicata de R$ 8.000,00 um mês antes do 
vencimento. Considerando a taxa de desconto racional de 3% a.m. qual foi o 
valor recebido? 
 
 
 
 
 
 
C = M - D 
D = M.i.t 
 (1+i.t) 
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3) Um título de R$ 4.000 recebe um desconto por dentro de R$ 1.142,86 à taxa 
de 8% a.m. Calcule o tempo de antecipação. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um título teve R$ 3.600,00 de desconto pelo pagamento antecipado de um 
semestre, sabendo que foi descontado por dentro à 15% a.m. Calcule o valor 
pago. 
 
 
 
 
 
 
5) Um título foi pago por 1/3 de seu valor, sabendo que a taxa de desconto por 
dentro é de 5% ao mês, calcule o tempo de antecipação. 
 
 
 
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3. Juros Compostos 
 
 
Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 
10% ao mês, durante 5 meses. 
 
 
Tabela 1: Capitalização usando juros compostos 
Mês Saldo no início do 
Mês 
Juros mensais Saldo no final do 
Mês 
1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00 
2 R$ 110,00 R$ 110,00 x 0,10 = R$ 11,00 R$ 121,00 
3 R$ 121,00 R$ 121,00 x 0,10 = R$ 12,10 R$ 133,10 
4 R$ 133,10 R$ 133,10 x 0,10 = R$ 13,31 R$ 146,41 
5 R$ 146,41 R$ 146,41 x 0,10 = R$ 14,64 R$ 161,05 
 
 
 
 
 
 
Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros incidem sobre o capital e 
também sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no 
final dos 5 meses foram pagos R$ 61,05 de juros contra R$ 50,00 reais dos 
juros simples, isto acontece porque no sistema de juros compostos os juros 
incidem também sobre os juros do mês anterior. 
 
 
 
É um regime de capitalização onde os juros incidem sobre o capital e sobre 
os juros gerados pelo capital. 
 10% =10 = 0,10 
 100 
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado 
nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior. 
Juros mensais – No caso de juros compostos os juros são aplicados sempre 
sobre o saldo do final do mês anterior, ou seja, o capital acrescido dos juros. 
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros 
mensais. 
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Gráfico 2: Capitalização usando juros compostos 
 
Se continuarmos a tabela 2 podemos construir oGráfico 2, podemos perceber 
um gráfico exponencial, o que significa que no regime de juros compostos o 
capital cresce de forma exponencial ou em progressão geométrica. 
Convenção: 
 
 
 
 
Fórmulas: 
Valor Futuro Taxa 
 
 
Valor Presente Tempo 
 
VP = Valor Presente 
VF = Valor Futuro 
J = Juros 
i = Taxa 
n = Tempo 
VF = VP x (1+i) n 
VP = VF. 
 (1+i) n 
n = Log (VF/VP) 
 Log (1+i) 
 
i = (VP/VF)
𝐧 - 1 
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Exercícios 
1) Determine o valor futuro de um capital de R$ 3.000,00 durante dez meses a 
uma taxa de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma quantia de R$ 800, aplicada a uma taxa de juros compostos de 2,5% 
a.m., durante 30 meses, resulta em qual montante. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 
2% ao mês, a partir de um investimento inicial de R$ 3.500,00 (Principal). 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Determine os juros resultantes de uma aplicação de R$ 1.300,00 durante 3 
meses a uma taxa de 2% ao mês. 
 
 
 
 
 
5) João aplicou R$ 2.000,00 na caderneta de poupança por um ano e meio, 
sabendo que a taxa de juros desta aplicação é de 0,5% a.m., quanto João 
ganhou de juros. 
 
 
 
 
 
6) Calcule o capital que aplicado a uma taxa de 8% ao mês, durante 15 meses, 
resulta em um montante de R$ 15.860,85. 
 
 
 
 
 
7) Uma pessoa resgatou após um ano R$ 743,17 da caderneta de poupança; 
sabendo que a taxa de juros é de 0,5% a.m. Determine o valor aplicado. 
 
 
 
 
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8) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado a uma 
taxa de juros compostos de 4% a.m. para resultar um montante de R$ 
3.202,06. 
 
 
 
 
 
 
 
9) Por quantos meses (aproximadamente) se deve aplicar um capital a uma 
taxa de juros compostos de 0,06 a.m. para que este capital triplique de valor. 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um capital de R$ 750,00 foi aplicado por seis meses e resultou em R$ 
1.257,83. Qual era a taxa da aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
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11) R$ 1.103,61 foi resgatado de quinze meses de aplicação. Sabendo-se que 
o valor inicial era R$ 400,00 calcule a taxa desta aplicação. 
 
 
 
 
 
 
12) Um capital foi aplicado durante 30 meses a uma taxa de juros simples de 
5% e rendeu um montante “X”. Qual deveria ser a taxa de juros compostos 
desta aplicação para render o mesmo montante no mesmo período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada 
taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se 
obterá o maior rendimento? 
 
 
 
 
 
 
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Taxas Equivalentes 
Pode-se dizer que duas taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo 
capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais. 
 
 
Exemplo: 24% ao semestre = 3,65% ao mês 
(1+0,24)1 = ( 1+ i2 )
6 → 1,24 = ( 1+ i2 )
6 
 √ = 1 + i2 → 1,0365 = 1+ i2 
i2 = 1,0365 - 1 → i2 = 0,0365 → i2 = 3,65% 
 
Taxa Nominal 
É a taxa em que sua unidade de medida não coincide com a unidade de tempo 
do período de capitalização. 
São exemplos de taxa nominal: 
 12% ao semestre, com capitalização mensal. 
 24% ao ano, com capitalização bimestral. 
Obs.: A taxa nominal apesar de ser bastante utilizada não representa uma taxa 
efetiva, por isto não deve ser utilizada nos cálculos financeiros com juros 
compostos. 
 
Taxa Aparente 
É a taxa que vigora nas operações financeiras, sem levar em consideração a 
inflação do período. 
 
Taxa Real 
É a taxa que leva em consideração a inflação do período. 
 
 
 
( 1 + i1 )
n = ( 1 + i2 )
n 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 26 
 
Taxa Bruta 
É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da 
aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o imposto de renda 
descontado. 
 
Taxa Líquida 
É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da 
aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o imposto de renda 
descontado. 
 
Exercícios 
1) Determine a taxa anual equivalente a 4% a.m.2) Determine a taxa mensal equivalente a 12% a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 27 
 
3) Uma pessoa recebeu em um ano dois aumentos salariais consecutivos, 
sabendo que o primeiro foi de 5% e o segundo de 6%, sabendo-se que a 
inflação no período foi de 10% determine: 
a) A taxa aparente de aumento que esta pessoa teve. 
 
 
 
 
b) A taxa real de aumento que esta pessoa teve. 
 
 
 
 
4) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante um ano e resgatou R$ 1.5000,00, 
sabendo-se que o imposto de renda é de 27% calcule: 
a) A taxa bruta. 
 
 
 
 
 
 
b) a taxa líquida. 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 28 
 
Exercícios Complementares 
1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., 
quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste 
período? 
2) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma 
taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? 
3) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do 
qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o 
percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este 
montante? 
4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma 
taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha 
o dobro deste capital? 
5) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% 
a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em 
um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa 
mensal? 
6) (CONCURSO BANCO DO BRASIL) Um capital de R$ 2.500,00 esteve 
aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. 
Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: 
7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um 
montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da 
aplicação? 
8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um 
juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? 
9) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, 
pelo prazo de 14 meses. 
10) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que 
após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752. 
11) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 
146.853, à taxa de 3% a.m.? 
12) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, 
rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação. 
 
Respostas: 
1) J= R$ 3.362,96 
2) C= R$ 20.801,91 
3) i = 2,25% a.m. 
4) n = 41,18 meses 
5) i = 2,79698 a.m. 
6) R$ 101,00 
7) 44,22 a.t. 
8) 7,18 a.m. 
9) R$ 12.100,72 
10) R$ 15.000,00 
11) 13 meses 
12) 2,5 a.m. 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 29 
 
Série de Pagamentos 
Na maioria das vezes quando fazemos um financiamento, o pagamento não 
ocorre de uma única vez no final do período; ele ocorre gradativamente (em 
parcelas) durante o período financiado. Isto também acontece quando 
tentamos juntar dinheiro para comprar algo, o dinheiro não surge de uma única 
vez, fazemos depósitos várias vezes no decorrer do período. 
 
Pagamentos Iguais Postecipados 
Chamamos de pagamentos quando fazemos qualquer financiamento ou 
empréstimo e temos que pagar as parcelas (prestações). 
O termo postecipado significa que esta parcela será paga no final do período. 
Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais 
Data da compra da moto 01 de Janeiro 
Pagamento da 1ª parcela 01 de Fevereiro 
Pagamento da 2ª parcela 01 de Março 
Pagamento da 3ª parcela 01 de Abril 
 
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Jan Fev Mar Abr 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
PMT = Prestação 
VP 
PMT 
PMT = VP . 
 1 - (1+i) -n 
 i 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 30 
 
Exercício Resolvido 
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais 
iguais á uma taxa de 2% a.m. Calcule o valor da prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 
juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações. Determine o valor de 
cada prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PMT = VP . 
 1 - (1+i) -n 
 i 
PMT = 2.000,00 . 
 1 - (1+0,02) -5 
 0,02 
PMT = 2.000,00 . 
 1 - (1,02) -5 
 0,02 
PMT = 2.000,00 . 
 1 - 0,905731 
 0,02 
PMT = 2.000,00 . 
 0,094269 
 0,02 
PMT = 2.000,00 . 
 4,71345 
PMT = 424,32 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 31 
 
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao 
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa 
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos. Calcule o 
valor da prestação mensal. 
 
 
 
 
 
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% 
ao mês para pagar de 12 vezes. Calcule o valor das prestações? 
 
 
 
 
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de 
R$ 922,99, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto. 
 
 
 
 
 
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar 
prestações mensais de R$ 298,94, durante três anos com uma taxa de 1,7% 
a.m. 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 32 
 
Pagamentos Iguais Antecipados 
O termo antecipado significa que esta parcela será paga no início do período, 
ou seja, a primeira parcela será paga no ato do financiamento. 
Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais 
Data da compra da moto 01 de Janeiro 
Pagamento da 1ª parcela 01 de Janeiro 
Pagamento da 2ª parcela 01 de Fevereiro 
Pagamento da 3ª parcela 01 de Março 
 
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Jan Fev Mar 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
VP 
PMT 
PMT = VP .(1+i) -1. 
 1 - (1+i) -n 
 i 
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Professor: Roberto César Faria e Silva Página 33 
 
Exercício Resolvido 
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais 
iguais, sendo a primeira prestação paga no ato do financiamento, a taxa 
cobrada foi de 2% a.m. Calcule o valor da prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 
juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira no ato 
da compra. Determine o valor de cada prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PMT = VP . (1+i) -1. 
 1 - (1+i) -n 
 i 
PMT = 2.000 x (1+0,02) -1. 
 1 - (1+0,02) -5 
 0,02 
PMT = 2.000,00 x (1,02) -1. 
 1 - (1,02) -5 
 0,02 
PMT = 2.000 x 0,980392. 
 1 - 0,905731 
 0,02 
PMT = 1.960,78. 
 0,094269 
 0,02 
PMT = 1.970,78 . 
 4,71345 
PMT = 416,00 
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2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao 
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa 
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo a 
primeira prestação paga no momento de assinatura do contrato. Calcule o valor 
da prestação mensal. 
 
 
 
 
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% 
ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela á vista. Calcule o 
valor das prestações? 
 
 
 
 
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de 
R$ 896,10, sendo a primeira á vista, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. 
Calcule o valor da moto. 
 
 
 
 
 
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar 
prestações mensais de R$ 293,94, durante três anos com uma taxa de 1,7% 
a.m. (pagamento antecipado). 
 
 
 
 
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Pagamento Diferido 
O termo diferido significa que a primeira parcela só será paga após um período 
(carência). 
Ex.: Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais, com a primeira 
prestação para 90 dias. 
Data da compra da moto 01 de Janeiro 
Pagamento da 1ª parcela 01 de Abril 
Pagamento da 2ª parcela 01 de Maio 
Pagamento da 3ª parcela 01 de Junho 
 
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
VP 
PMT 
PMT =VP . (1+i) k-1. 
 1 - (1+i) -n 
 i 
k 
PMT = Prestação 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 36 
 
Exercício Resolvido 
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais 
iguais, sendo a primeira prestação paga após 3 meses, a taxa cobrada foi de 
2% a.m. Calcule o valor da prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 
juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira com 
120 dias. Determine o valor de cada prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PMT =VP . (1+i) k-1. 
 1 - (1+i) -n 
 i 
PMT =2.000 x (1+0,02) 2. 
 1 - (1+0,02) -5 
 0,02 
PMT =2.000,00 x (1,02) 2. 
 1 - (1,02) -5 
 0,02 
PMT =2.000 x 1,0404. 
 1 - 0,905731 
 0,02 
PMT = 2.080,80 
 0,094269 
 0,02 
PMT = 2.080,80. 
 4,71345 
PMT =441,46 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 37 
 
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao 
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa 
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo 1 
ano de carência. Calcule o valor da prestação mensal. 
 
 
 
 
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4% 
ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela com 6 meses. 
Calcule o valor das prestações? 
 
 
 
 
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou em seis parcelas de R$ 900,00, 
sendo a primeira com 90 dias, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o 
valor da moto. 
 
 
 
 
 
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar 
prestações mensais de R$ 300,00, durante três anos com uma taxa de 1,7% 
a.m. (carência de 6 meses). 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 38 
 
Série de Depósitos 
É quando se poupa dinheiro por um período pensando em um gasto futuro. 
Renda Postecipada 
Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um 
período e no ato do último depósito faço o saque. 
Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer 
uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o 
valor total. 
Data da programação 01 de Janeiro 
1ª Economia 01 de Fevereiro 
2ª Economia 01 de Março 
3ª Economia 01 de Abril 
Retirada 01 de Abril 
 
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Jan Fev Mar Abr 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
VF 
PMT 
VF = PMT x (1 + i) n - 1 
 i 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 39 
 
Renda Antecipada 
Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um 
período sendo o primeiro depósito imediato e a retirada acontece um período 
após o ultimo depósito. 
Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer 
uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o 
valor total. 
Data da programação 01 de Janeiro 
1ª Economia 01 de Janeiro 
2ª Economia 01 de Fevereiro 
3ª Economia 01 de Março 
Retirada 01 de Abril 
 
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Jan Fev Mar Abr 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
VF 
PMT 
VF = PMT x ((1 + i) n - 1) x (1 + i) 
 i 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 40 
 
Exercícios 
1) João e Maria pretendem juntar dinheiro para comprar um apartamento, para 
isto abrem uma caderneta de poupança e fazem depósitos de R$ 1.000,00 todo 
mês, sabendo-se que a taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,7% 
a.m., e que eles fizeram 50 depósitos. 
a) Calcule o valor arrecadado considerando a renda postecipada? 
 
 
 
 
b) Calcule o valor arrecadado considerando a renda antecipada? 
 
 
 
 
 
2) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no final 
de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto beatriz 
deverá juntar? 
 
 
 
 
3) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no 
inicio de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto 
beatriz deverá juntar? 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 41 
 
4) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no final de cada 
mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.? 
 
 
 
 
 
5) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no inicio de cada 
mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
6) Pensando em comprar um violão novo Artur depositou dia 01/01 R$ 200,00; 
dia 01/02 depositou R$ 180,00 e dia 01/03 R$ 140,00, sabendo que a taxa de 
juros que o banco pagou para Artur foi de 2% a.m. Quanto ele resgatou no 
banco dia 01/05? 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 42 
 
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos 
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que 
cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento 
dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os 
juros são sempre calculados sobre o saldo devedor 
 
Sistema de Pagamento Único 
O devedor paga o montante = capital + juros compostos da dívida em um único 
pagamento ao final de n períodos. O montante pode ser calculado pela fórmula: 
 
 
 
Uso comum: letras de câmbio, títulos descontados em bancos,certificados a 
prazo fixo com renda final. 
 
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a 
uma taxa de 10% a.m. 
 
Sistema de Pagamento Único 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
0 Financiamento 50.000,00 
1 5.000,00 0,00 0,00 55.000,00 
2 5.500,00 0,00 0,00 60.500,00 
3 6.050,00 50.000,00 66.550,00 0,00 
 
 
 
 
 
VF = VP x (1+i) n 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 43 
 
Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a 
uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema de pagamento único. 
Sistema de Pagamento Único 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua 
condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os 
juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. 
Uso comum: Cartões de crédito 
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a 
uma taxa de 10% a.m. No primeiro mês ela pode pagar R$ 15.000,00, no 
segundo mês ela paga R$ 20.000,00 e o restante no terceiro mês. 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
0 Financiamento 50.000,00 
1 5.000,00 10.000,00 15.000,00 40.000,00 
2 4.000,00 16.000,00 20.000,00 24.000,00 
3 2.400,00 24.000,00 26.400,00 0,00 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 44 
 
Sistema Americano 
 O devedor paga o principal em um único pagamento no final do período e 
realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do período no final de cada 
período. 
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a 
uma taxa de 10% a.m. 
Sistema Americano 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
0 Financiamento 50.000,00 
1 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00 
2 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00 
3 5.000,00 50.000,00 55.000,00 0,00 
 
Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a 
uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema Americano. 
Sistema Americano 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O devedor paga o Principal em n pagamentos sendo que as amortizações são 
sempre constantes e iguais. 
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação 
 Matemática Financeira 
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 45 
 
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a 
uma taxa de 10% a.m. 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Mês Juros 
Amort. 
Capital 
Prestação Sd. Devedor 
0 Financiamento 50.000,00 
1 5.000,00 16.666,67 21.666,67 33.333,33 
2 3.333,33 16.666,67 20.000,00 16.666,67 
3 1.666,67 16.666,67 18.333,33 0,00 
 
 
 
5. HP 12-C 
6. EXCELL (WINDOWS) 
7. CALC (LINUX) 
REFERÊNCIAS