Calculo I - Lista de Exercícios Nº 09 - COM GABARIT

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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 09 - 1
o
¯ semestre/2016
1. Determine os valores máximo e mı́nimo (caso existam) da função f no intervalo dado.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1, em [−2, 1] (b) f(x) = x4 − 2x3, em [−3/2, 3]
(c) f(x) = x2ex, em [−1, 1] (d) f(x) = cos x+ sen x, em [0, 2π]
(e) f(x) =
√
| x | , em [−1, 2] (f) f(x) =
1
x3 − 2x2
, em ]0, 2[
2. Dizemos que uma função f é par, se f(−x) = f(x), ∀x ∈ D(f). Dizemos que f é uma função ı́mpar,
se f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D(f). Seja, então, f : ] − r, r[→ R uma função derivável. Prove que
(a) se f for uma função ı́mpar, então f ′ será par.
(b) se f for uma função par, então f ′ será ı́mpar.
3. Usando a Regra de L’Hospital, calcule os limites.
(a) lim
x→1 x
3 − 2x2 − x+ 2
x3 − 7x+ 6
(b) lim
x→1 x
100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(c) lim
x→0 ln(sen 2x)ln(sen 3x) (d) limx→0
tg 3x− sen x
sen3 x
(e) lim
x→0 x cos x− sen xx3 (f) limx→0+ sen(x)ln(x)
(g) lim
x→+∞ ln x3√x (h) limx→+∞
ln x
e3x
(i) lim
x→0+ x ln x (j) limx→0 xx
(k) lim
x→+∞ xne−x (n inteiro positivo) (l) limx→−∞ xne−x (n inteiro positivo)
(m) lim
x→+∞
[
x
x2 + 1
]x
(n) lim
x→0(cos x)1/x
(o) lim
x→+∞(1+ x)
1
ln(x) (p) lim
x→1 x
1
(x−1)
4. Mostre que a equação 1+ 2x+ x3 + xu = 0 tem exatamente uma raiz real.
5. Mostre que a equação 2x− 1− sen x = 0 tem exatamente uma raiz real.
6. Às 2 horas da tarde o veloćımetro de um carro mostrava 50km/h, e às 2h 10 mostrava 80km/h.
Mostre que em algum instante entre 2h e 2h 10 a aceleração é exatamente 180km/h2.
7. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em
algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade. (Dica: Considere f(t) = g(t)−h(t),
onde g e h são funções posições dos dois corredores.)
8. Um ponto a é chamado ponto fixo de uma função f se f(a) = a. Prove que, se f ′(x) 6= 1 para
todo número real x, então f tem no máximo um ponto fixo.
9. O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial
Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0s
até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s, é dado por
v(t) = 0, 001302t3 − 0, 09029t2 + 23, 61t− 3, 083
(em pés/s). Usando esse modelo, estime os valores máximo e mı́nimo absolutos da aceleração do
ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar.
10. Seja f uma função que admite derivada até a segunda ordem em um intervalo aberto I e seja p um
ponto de I. Suponha que f ′′ é cont́ınua em p. Prove que se p é um ponto de inflexão de f, então
f ′′(p) = 0. Mostre com um exemplo que a rećıproca não é verdadeira.
11. Determine o número real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mı́nima.
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12. Encontre dois números positivos x e y cuja soma S seja dada e cujo produto P seja o maior posśıvel.
13. Encontre o ponto sobre a parábola y2 = 2x mais próximo de (1, 4).
14. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semićırculo de raio R.
15. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de volume dado, de forma que sua área seja a
menor posśıvel.
16. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio R, que tenha volume
máximo.
17. Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de modo que sua
área total tenha um valor pré-fixado A e seu volume seja o maior posśıvel.
18. Um galpão deve ser constrúıdo tendo uma área retangular de 12.100m2. A prefeitura exige que
exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as dimensões
do lote que tenha a área mı́nima na qual possa ser constrúıdo este galpão.
19. Uma fábrica pode vender x milhares de unidades mensais de um determinado artigo por
V = 120x − x2 reais. Sendo C =
x3
3
+ x2 + 3x+ 10 o custo de produção, determine o número
ótimo de artigos a vender para maximizar o lucro L = V − C.
20. Um jardim retangular de 50m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim
já está protegido por uma parede de celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento?
21. Deseja-se construir uma caixa, de forma ciĺındrica, de 1m3 de volume. Nas laterais e no fundo será
utilizado material que custa R$ 10, 00 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20, 00 o metro
quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
22. Suponha que devido às condições de relevo de um terreno onde se deseja construir um galpão
retangular, o custo de cada metro linear de duas paredes paralelas seja R$ 50, 00, enquanto cada
metro linear das outras paredes pode ser constrúıdo por apenas R$ 27, 00. Se o galpão a ser
constrúıdo deve ter 600m de área, calcule as dimensões que minimizam o custo da construção das
paredes.
23. Para cada uma das funções f, abaixo definidas, determine o domı́nio e a imagem de f, regiões de
crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mı́nimo local, pontos de inflexão,
asśıntotas e os limites para x→ +∞ e x→ −∞ quando for o caso. Faça um esboço do gráfico.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f(x) = x+
1
x
(c) f(x) = 3x5 − 5x3 (d) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(e) f(x) = −x4 + 4x3 − 4x2 + 2 (f) f(x) = xe−x
(g) f(x) =
ex
x
(h) f(x) = e
1
x
(i) f(x) = e2x − ex (j) f(x) = x− ex
(k) f(x) = xex (l) f(x) = e−x
2
(m) f(x) = xlnx (n) f(x) =
lnx
x
(o) f(x) =
x2
1+ x2
(p) f(x) =
x2
x2 − 1
(q) f(x) =
x2 − 4
x2 + 4
(r) f(x) =
x2 + 4
x2 − 4
(s) f(x) =
x3
x2 + 1
(t) f(x) = ln(cos x)
(u) f(x) = ln(4− x2) (v) f(x) =
√
x2 − 4
(w) f(x) = x+ sen x, 0 ≤ x ≤ 2π (x) f(x) = x− sen x, 0 ≤ x ≤ 2π
(y) f(x) =
√
| x | (z) f(x) =
3
√
x3 − 2x2
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Gabarito da Lista no¯ 9 - 1
o
¯ semestre/2016
1.
(a)Máx.: f(1) = 0 e Mı́n.: f(−2) = −27 (b)Máx.: f(3) = 27 e Mı́n.: f
(
3
2
)
= −
27
16
(c)Máx.: f(1) = e e Mı́n.: f(0) = 0 (d)Máx.: f
(
π
4
)
=
√
2 e Mı́n.: f
(
5π
4
)
= −
√
2
(e)Máx.: f(2) =
√
2 e Mı́n.: f(0) = 0 (f)Máx.: f
(
4
3
)
= −
27
32
, não existe ponto mı́nimo.
2. (a) Como f(−x) = −f(x), derivando ambos os lados, −f ′(−x) = −f ′(x)⇒ f ′(−x) = f ′(x), portanto
a derivada de uma função ı́mpar é uma função par.
(b) A função par obedece f(−x) = f(x), derivando obtemos, −f ′(−x) = f ′(x) ⇒ f ′(−x) = −f ′(x),
portanto a derivada de uma função par é uma função ı́mpar.
3.
(a)
1
2
(b)
99
10
(c) 1 (d)+∞
(e) −
1
3
(f) 0 (g) 0 (h) 0
(i) 0 (j) 1 (k) 0 (l)

se n par, o limite é igual a +∞
se n ı́mpar, o limite é igual a −∞
(m) 0 (n) 1 (o) e (p) e
4. Como f(0) = 1 e f(−1) = −6, pode-se afirmar pelo Teorema de Bolzano que f(a) = 0 para algum
a ∈]−1, 0[ . Supondo a existência de uma segunda raiz b teŕıamos f(a) = f(b) = 0, se esta igualdade
for verdadeira pelo Teorema de Rolle existe c tal que f ′(c) = 0. Como f ′(c) = 20c4+ 3c2+ 2 nunca
será zero, pode-se concluir que a função possui apenas uma raiz.
5. Pelo Teorema de Bolzano há f(a) = 0 para algum a ∈
]
0,
π
2
[
. Supondo a existência de uma segunda
raiz, da mesma forma que o exerćıcio anterior, pelo Teorema de Rolle existiria c tal que f ′(c) = 0.
Porém f ′(c) = 2− cos x nunca será zero, assim há apenas uma raiz.
6. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um tempo t entre 14h e 14:10h no qual a aceleração é igual a
f ′(t) =
80− 50
1
6
= 180Km/h2.
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7. Como g e h são iguais em t = 0 e t = x,sendo x o tempo final, temos que f(0) = f(x) = 0. Assim,
pelo Teorema do Valor Médio, existe um tempo t entre o ińıcio e o fim da corrida no qual a diferença
da velocidade dos dois corredores é f ′(t) =
f(x) − f(0)
x− 0
= 0, o que implica que a velocidade de ambos
é igual.
8. Suponhamos que há dois pontos fixos f(a) = a e f(b) = b, pelo Teorema doValor Médio f ′(x) =
f(b) − f(a)
b− a
=
b− a
b− a
= 1, o que prova que não existe uma função com dois pontos fixos e f ′(x) 6= 1.
9. Máx.:f(126) e Mı́n.:f(23, 11)
10. Se considerarmos f ′′(p) 6= 0, por Teorema da conservação do sinal, pode-se afirmar que há uma
vizinhança próxima do ponto p no qual f ′′(x) tem mesmo sinal de f ′′(p), logo p não será ponto de
inflexão. Assim, prova-se que para p ser ponto de inflexão f ′′(p) = 0.
11. 3
√
2
12. x = y =
S
2
13. P = (2, 2)
14. A = r2u2
15. h = 2r
16. r =
√
2
3
R, h =
2R√
3
17. l =
√
3A
3
, h =
√
3A
6
18. (80, 33+ 24) x (150, 62+ 45)m
19. x = 9
20. 5 x 10m
21. r =
1
3
√
3π
m e h =
3
3
√
3π
m
22. 18 x 33, 4m
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23.
(b)D(f) = R− {0} Im(f) = (−∞,−2] ∪ [2,∞) (d) D(f) = R Im(f) = [2,∞)
max : f(−1) min : f(1) ass : y = x min : f(0) inf : f
(
1
3
)
e f(1)
−1 1
−2
2
2
(f)D(f) = R Im(f) =
(
−∞, 1
e
]
(h) D(f) = R− {0} Im(f) = (0, 1) ∪ (1,∞)
max = f(1) inf = f(2) inf : f
(
−
1
2
)
0
1
0
(j)D(f) = R Im(f) = (−∞,−1] (l)D(f) = R Im(f) = (0, 1]
max : f(0) max : f(0) inf : f
(
−
√
2
2
)
e f
(√
2
2
)
−1
1
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(n) D(f) = (0,∞) Im(f) = (−∞, 1
e
]
(p)D(f) = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞)
max : f(e) inf : f(e
3
2 ) Im(f) = (−∞, 0) ∪ (1,∞) max : f(0)
1
1−1
1
(t)D(f) =
{
x ∈ R | −π
2
≤ x− 2kπ ≤ π
2
}
, k ∈ Z (v)D(f) = (−∞,−2] ∪ [2,∞) Im(f) = [0,∞)
Im(f) = (−∞, 0] max : f(2kπ), k ∈ Z min : f(2) e f(−2)
−π π
−
π
2
π
2
0
−2 2
(x)D(f) = [0, 2π] Im(f) = [0, 2π] (y)D(f) = R Im(f) = [0,∞)
max : f(2π) e min : f(0) min : f(0)
π 2π0
0
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