Lista 5

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EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitores: Bruno Gasperini e Ricardo Sabbadini
Lista 5
Data de entrega: 23/06
1) Suponha que y é uma variável binária e d1; d2; :::; dM são variáveis
dummy para categorias mutuamente exclusivas e que formam uma partição
da população, isto é, cada observação da amostra assume apenas um valor para
uma dessas M dummies.
a) Mostre que os valores previstos da regressão (MPL –modelo de prob-
abilidade linear) de y em d1; d2; ..., dM sempre estão no intervalo unitário.
Ademais, mostre quais são os coe…cientes das dummies e os valores previstos
para cada observação. Repare que a regressão não possui constante.
b) O que acontece se y é regredido contra M combinações lineares inde-
pendentes de d1; d2, ..., dM , por exemplo 1,d2; :::; dM?
2) Sejam z1 um vetor de variáveis, z2 uma variável contínua e d uma variável
binária.
a) No modelo
P (y = 1=z1; z2; d) = �(z1�1 + 
1z2 + 
2z
2
2)
encontre o efeito parcial de z2 sobre P (y = 1=z1; z2; d):Como você estimaria
esse efeito?
b) No modelo
P (y = 1=z1; z2; d) = �(z1�1 + 
1z2 + 
2d+ 
3z2d)
encontre o efeito parcial de z2 sobre P (y = 1=z1; z2; d): Como você estimaria
o efeito de d sobre essa probabilidade? Como você estimaria esses dois efeitos?
c) Descreva como você obteria erros padrões para os efeitos parciais dos itens
anteriores?
3) Considere o seguinte modelo probit:
P (y = 1=z; q) = �(z1�1 + 
1z2q)
em que q é independente de z e distribuida como uma normal (0,1), z é
observável, mas q, não.
(a) Encontre o efeito parcial de z2 sobre P (y = 1=z; q):
(b) Mostre que:
P (y = 1=z) = �(
z1�1
(1 + 
21z
2
2)
1=2
)
(c) De…na � � 
21: Descreva sinteticamente como você testaria H0 : � = 0:
1
4) Suponha que y segue um modelo linear de probabilidade. Escreva sua
função de log-verossimilhança e explique porque pode ser difícil obter o esti-
mador de máxima verossimilhança.
5) Suponha que você tem um grupo de controle, A, e um de tratamento,
B, observados por dois períodos.Entre os dois períodos a política de interesse é
implementada para o grupo B.
(a) Se sua variável dependente é binária e não existem outras variáveis ex-
plicativas além de um indicador de tratamento pela política de interesse, qual a
maneira mais simples de se obter o efeito da política?
(b) Se há outras variáveis explicativas, escreva um modelo probit (note que
não é necessário um modelo probit para dados em painel, esqueça a existência de
um possível "efeito-…xo" para cada indivíduo) que lhe permita estimar o efeito
da política sobre a variável dependente binária.
6) Seja t�i a duração de um evento (uma variável contínua). Considere o
seguinte modelo:
t�i = exp(xi� + ui)
ui~N(0; �
2)
ti = minft�i ; cg; c > 0
a) Encontre P (ti = c=xi); a probabilidade da observação ser censurada. O
que acontece quando c!1?
b) Qual a densidade de ln(ti), dado xi, quando ti < c? Agora escreva a
densidade completa de ti dado xi:
c) Escreva a função de log-verossimilhança para uma observação i qualquer.
d) Particione � em �1 e �2. Como você testaria �2 = 0?
e) Obtenha a função de máxima veressimilhança se a censura varia para cada
indivíduo, isto é, ti = minft�i ; cig; ci > 0; em que ci é observado para todo i.
Suponha que ui é independete de ci e xi.
7) Ache o sinal da derivada de V ar (ZjZ > C) com relação à C para os
seguintes modelos:
(a) Z � N (0; 1)
(b) Z � K1Z��; K1 > 0; Z > K2 > 0; � > 2
(c) Z � �e�Z�; � > 0; Z � 0
(d) Z � U (0; 1)
8) Considere o modelo Tobit:
y�i = x
0
i� + "i; "ijX � N
�
0; �2
�
I�i = x
0
i� + "i
2
Ii =
�
1 if I�i � 0
0 caso contrário
Nós observamos somente Ii; xi e
yi = Iiy
�
i + (1� Ii) 0
Mostre que
@E [yijxi]
@xi
= ��
�
x0i�
�
�
9) Considere o seguinte modelo de dados de painel:
yit = �yi;t�1 + �xit + fi + uit; i = 1; :::; I; t = 1; :::; T (1)
a) Justi…que a forma funcional (1) minimizando a soma do custo de ajus-
tamento (quadrático, por hipótese) e do custo de se estar fora do equilíbrio
(também quadrático, por hipótese). O valor de equilíbrio de longo prazo é dado
por y�it; que segue a seguinte equação:
y�it = xit
 + f
�
i + uit
Pondere os custos igualmente.
b) Considere a identi…cação do modelo sob as condições abaixo. Quais
parâmetros ou combinações de parâmetros são identi…cados em cada caso? Ao
longo de toda a análise, suponha que (xit; fi; uit) são i.i.d com relação a i,
E (uit) = 0; E (fi) = 0: I !1; T …xo. Caso o modelo seja identi…cado, escreva
as condições de ortogonalidade para um I arbitrário e o T designado.
(i) T = 1 E� (uitjxi1) = 0
(ii) T = 2 E� (uitjxi1; xi2) = 0 8t
(iii) T = 3 E� (uitjxi1; xi2; xi3) = 0 8t
(iv) T = 1 yit = yi;t�1 = �yi; xit = �xi (estado estacionário)
E� (uitjxi1; :::; xiT ) = 0
(v) T = 2 E� (ui2jyi1; xi1) = 0
(vi) T = 3 E� (uitjyi;t�1; xit; xit�1) = 0 t = 2; 3
(vii) T = 4 E� (uitjyi;t�1) = 0 8t
E* denota projeção linear. Portanto, E� (uitjxi1) = 0 implica, por exemplo,
que E (uitxi1) = 0:
10) STATA - Use os dados fringe.dta. Apresente output e comandos de
Stata.
a) Estime um modelo linear por OLS relacionando hrbens (benefícios, seguro
saúde, por exemplo, por hora no atual emprego) a exper, age, educ, tenure, mar-
ried, male, white, nrtheast, nrthcen, south, e union. Comente algum resultado
que tenha chamado a sua atenção.
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b) Agora estime um modelo Tobit relacionando as mesmas variáveis. Por
que as estimativas são parecidas com as de OLS?
c) Acrescente exper2 e tenure2 ao Tobit como variáveis explicativas. Essas
variáveis deveriam estar no modelo?
d) Existem diferenças signi…cativas em benefícios por hora entre indústrias
(variáveis ind 1 a 9), controlando pelos fatores acima?
11) STATA - Use os dados em MROZ.dta.
(a) Explique porque pode haver um problema de seleção amostral ao re-
gredirmos o log do salário de um indivíduo (mulheres casadas nesse exemplo)
contra educ, exper e exper2. Estime essa regressão por OLS.
(b) Da amostra, quantas mulheres trabalham? Faça o procedimento "Heckit"
de dois estágios "na mão", sem usar os comandos de Stata. Use como variáveis
excluídas da equação estrutural, mas presentes na equação de seleção nwifeinc
age kidslt6 kidsge6. Você rejeita a hipótese de que não existe viés de seleção?
Por quê? Explique o teste que você fez.
(c) Faça esse procedimento de dois passos utilizando comandos do Stata. O
que difere do item anterior, por quê?
(d) Faça o Heckit, mas agora utilizando estimação por máxima verossimil-
hança (nesse caso é necessário que o erro das duas equações do modelo sejam
conjuntamente normalmente distribuídos). Nesse caso, você rejeita a hipótese
de que não existe viés de seleção?
12) STATA - Use loan.dta (disponível no erudito). Suponha que você queira
veri…car se há discriminação no mercado de créditos hipotecários estimando um
modelo que avalie o impacto da cor de um indivíduo sobre a aprovação de
crédito bancário. Use como variável dependente approve (variável binária que
assume valor igual a 1 se o indivíduo tem crédito aprovado e 0 caso contrário).
Como variáveis explicativas use white (dummy que assume valor igual a 1 se
o pretendente é branco e 0 caso contrário), hrat, obrat, loanprc, unem, male,
married, dep, sch, cosign, chist, pubrec, mortlat1, mortlat2 e vr.
a) Utilize o MPL para obter o efeito da cor sobre a aprovação de crédito (adi-
cione os controles à estimação). Qual a diferença na probabilidade de aprovação
entre brancos e não-brancos? Quais os problemas associados a esse tipo de
modelo?
b) Agora, utilize o modelo probit e reporte o coe…ciente de white. Existe
evidência signi…cante de discriminação contra não-brancos? Calcule a diferença
nas probabilidades de aprovação de brancos e não brancos (considerando o cál-
culo desse efeito marginal nos valores médios das demais variáveis explicativas).
c) Utilize o modelo logit e reporte o coe…ciente de white. Calcule a diferença
nas probabilidades de aprovação de brancos e não brancos (considerando o cál-
culo desse efeito marginal nos valores médios das demais variáveis explicativas).
Faça as transformações necessáriaspara que os coe…cientes de white estimados
pelos modelos probit e logit sejam comparáveis.
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13) STATA - Use a base de dados Painel_Estatico_Lista5.dta (disponível
no erudito). Use somente as observações em que SCRAP não é um “missing
value”. Vamos estimar o efeito de um subsídio (Grant) sobre a taxa de “rejeição”
(scrap rates) do produto da …rma (produtos defeituosos). Os dados formam um
painel com T=3 e N=54. Apresente o output e os comandos do Stata em sua
resposta (usem o help do Stata para obter os comandos).
a) Considere um modelo em que o log(scrap) é a variável dependente
que é explicada por grant (uma variável binária se a …rma recebeu subsídios
para treinamento de funcionários) e dummies para os anos de 1988 e 1989.
Estime o modelo por Pool de OLS e por RE. Compare os resultados. Qual
o efeito do subsídio sobre a taxa de rejeição? Ele é signi…cante? Esse é o
sinal esperado? Agora acrescente a primeira defasagem de Grant como variável
explicativa (observe com quantos períodos você …ca nesse caso e tome cuidado
com as dummies). Isso altera os resultados da estimativa por RE? Comente-os.
b) Estime o modelo com a defasagem de scrap por FE e primeiras difer-
enças (nesse caso, diferencia as variáveis e faça OLS). Compare e comente os
resultados.
c) Estime o modelo por RE e FE, na versão com defasagens, e faça um
teste de Hausman (utilize o comando do Stata). Qual o resultado do teste?
Refaça o teste usando “sigmamore”(veja essa opção e explique).
14) STATA - Consulte as Penn World Tables versão 6.2. Escolha todos
os países e os anos entre 1991 e 2000. Selecione as seguintes variáveis: Real
Gross Domestic Product per Capita (cgdp), Government Share of CGDP (cg),
Investment Share of CGDP (ci) e Openness in Constant Prices (openc).
Aviso: Não consegui utilizar os comandos necessários para a resolução desse
exercício na sala de computadores do térreo do FEA-2.
(a) Considere um modelo de painel dinâmico (logo, existe um “efeito
…xo” para cada país que pode estar correlacionado com as variáveis explica-
tivas) em que cgdp é explicado por sua primeira defasagem, cg, ci e openc.
Faça o estimador de dois passos de Arellano-Bond, considerando cg, ci e openc
como variáveis exógenas (e não predeterminadas). Quantos instrumentos há
nesse caso? Explique quais são esses instrumentos detalhadamente. Escreva
as equações diferenciadas (o painel tem 10 períodos) para todos os períodos e
quais são os instrumentos de cada equação (Dica: note que o Stata diferencia
os instrumentos em GMM e Standard).
(b) Faça um teste de signi…cância conjunta de cg, ci e openc. Ademais,
os testes de Sargan e AR(2) indicam a validade dos instrumentos.
(c) Refaça o item (a) considerando cg, ci e openc como variáveis prede-
terminadas (ver página 280 de Arellano-Bond).
(d) Faça um teste de signi…cância conjunta de cg, ci e openc. Ademais, os
testes de Sargan e AR(2) indicam a validade dos instrumentos para a estimativa
do item (c).
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