Aula 03-parte-ii

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MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
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Progressão Aritmética ........................................................................... 2 
Cálculo da razão .................................................................................. 2 
Termo Geral ........................................................................................ 3 
Soma dos Termos ................................................................................ 5 
Exercícios ........................................................................................... 5 
Progressão Geométrica ........................................................................ 14 
Cálculo da razão ................................................................................ 14 
Termo Geral ...................................................................................... 15 
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita .......................... 15 
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita ....................... 16 
Exercícios ......................................................................................... 16 
Relação das questões comentadas ....................................................... 37 
Gabaritos ............................................................................................. 44 
 
 
 
 
 
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Progressão Aritmética 
 
Progressão aritmética é uma sequência de números, ok? Mas não é uma 
sequência qualquer. Para que uma sequência seja classificada como uma 
Progressão Aritmética ela deve obedecer um determinado padrão, uma lei de 
formação. 
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. 
Exemplo: 
(2,5,8,11,14,...) � Progressão aritmética de razão r = 3. 
Observe que os “aumentos” são constantes. Do primeiro termo para o segundo 
adicionamos 3. Do segundo termo para o terceiro também adicionamos 3. Este 
é o nosso padrão. Ir aumentando sempre o mesmo número. É por este motivo 
que a sequência acima é chamada de Progressão Aritmética. 
Este “aumento” é chamado de razão da Progressão Aritmética. É muito comum 
abreviarmos a expressão e chamar a progressão aritmética de P.A.. 
Cálculo da razão 
 
Para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a 
diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente). 
Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: 
� � 5 � 2 � 8 � 5 � 11 � 8 � ⋯ � 3 
Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão 
aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois 
termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A 
razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos 
consecutivos. Assim, 
 � � � � � 
 
2
 � � 
 � 
 � � 
 �2 
 
 
 
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Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em 
P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética 
dos outros dois. Vejamos um exemplo numérico: 
A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central 
é a média aritmética dos extremos. 
9 � 4 
 142 
Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? 
Qual o valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, 
uma P.A.? 
Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média 
aritmética dos outros dois. Dessa forma, 
�� 
 1�� � �
� 
 �� 
 3��
2 
�� 
 2� 
 1 � �
� 
 �� 
 6� 
 9
2 
2 ∙ ��� 
 2� 
 1� � 2�� 
 6� 
 9 
2�� 
 4� 
 2 � 2�� 
 6� 
 9 
4� � 6� � 9 � 2 
�2� � 7 
� � �72 
Termo Geral 
 
O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente 
denominado “Fórmula do Termo Geral”. Basicamente, essa fórmula serve para 
descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética. 
Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (2, 5, 8, 11, 14, ...). 
Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o 
próximo? 17 + 3 = 20. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é 
muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? 
 
 
 
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Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um 
método eficaz. E existe!! 
A fórmula do termo geral é a seguinte: 
�� � �� 
 �� � 1� ∙ � 
Em que �� é o primeiro termo, � é a razão da progressão e �� é o termo de 
ordem n (n-ésimo termo). 
Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: 
��.��� � �� 
 �1.000 � 1� ∙ � 
��.��� � �� 
 999 ∙ � 
��.��� � 2 
 999 ∙ 3 
��.��� � 2.999 
O “ruim” desta fórmula é que ficamos “presos” a só poder calcular os termos da 
progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma 
modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da 
progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. 
Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo (���) de uma progressão 
aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo 
termo dessa progressão? 
Se você prestar bem atenção à fórmula �� � �� 
 �� � 1� ∙ � perceberá que não 
poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se 
soubermos o valor do primeiro termo. 
Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de 
um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares 
preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os 
termos de uma P.A.: Se “estamos” no décimo termo e preciso me deslocar até 
o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (27 – 10 = 17). E para 
avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim, 
��� � ��� 
 17 ∙ � 
��� � 25 
 17 ∙ 4 � 93. 
Vamos fazer o “caminho da volta”: O vigésimo sétimo termo de uma progressão 
aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo? 
 
 
 
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Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do 
vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na 
P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.). 
��� � ��� � 17� 
��� � 93 � 17 ∙ 4 � 25 
Soma dos Termos 
 
Por fim, é importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros 
termos de uma Progressão Aritmética. 
�� �
��� 
 ��� ∙ �
2 
Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética 
(2, 5, 8, 11, ...). 
O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e 
sabemos que ��.��� � 2.999. 
Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por: 
�� �
��� 
 ��� ∙ �
2 
��.��� �
��� 
 ��.���� ∙ 1.000
2 
��.��� �
�2 
 2.999� ∙ 1.000
2 
��.��� �
�2 
 2.999� ∙ 1.000
2 � 1.500.500 
Exercícios 
 
1. (PECFAZ 2013/ESAF) A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 
7, 10, 13, 16,...) é igual a: 
a) 15.270 
b) 15.410 
c) 15.320 
d) 15.340 
e) 15.250 
 
 
 
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Resolução 
Estamos diante de uma progressão aritmética (P.A.). Na progressão aritmética, 
cada termo é a soma do anterior com uma constante denominada razão. Na 
sequência do enunciado, a razão é 3, já que cada termo é igual ao anterior 
somado ao número3. 
� � 3 
Vimos a “fórmula do termo geral”, ou seja, uma fórmula que permite calcular 
qualquer termo. 
�� � �� 
 �� � 1� ∙ � 
Vamos calcular o centésimo termo? Para isso, devemos fazer n = 100. 
���� � �� 
 �100 � 1� ∙ � 
���� � �� 
 99 ∙ � 
Já vimos que a razão é igual a 3. O primeiro termo da P.A. é 4. 
���� � 4 
 99 ∙ 3 � 301 
O centésimo termo da P.A. é 301. 
Estamos interessados na soma dos 100 primeiros termos da P.A.. 
Para tanto, devemos aplicar a fórmula dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética. 
�� � ��� 
 ��� ∙ �2 
No nosso caso, temos que n = 100. 
���� � ��� 
 ����� ∙ 1002 
Foi por isso que eu calculei o centésimo termo da P.A.. Vamos substituir os 
valores. 
���� � �4 
 301� ∙ 1002 � 15.250 
Letra E 
 
 
 
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2. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) A soma dos 200 primeiros termos da 
progressão (4, 7, 10, 13, ...) é igual a 
a) 60.200 
b) 60.300 
c) 60.100 
d) 60.500 
e) 60.400 
Resolução 
Muita criatividade, não? A mesma sequência da questão anterior! 
Para calcular a soma dos 200 primeiros termos, devemos calcular o 200o termo. 
Para tanto, utilizaremos a fórmula do termo geral. A razão da progressão 
aritmética é igual a 3. 
���� � �� 
 199� 
���� � 4 
 199 ∙ 3 � 601 
Agora vamos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão 
aritmética. 
�� � ��� 
 ��� ∙ �2 
No nosso caso, temos que n = 200. 
���� � ��� 
 ����� ∙ 2002 
���� � �4 
 601� ∙ 2002 � 60.500 
Letra D 
3. (BANESTES 2013/Consulplan) A progressão a seguir destaca o tempo, em 
minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, 
semanalmente: {240, 237, 234, 231, 228, 225, 222, 219...}. Cláudio parou de 
caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo 
mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi 
(A) 120. 
(B) 125. 
(C) 130. 
 
 
 
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(D) 135. 
(E) 140. 
Resolução 
Acho que a questão deveria ter sido bem clara e dizer que o padrão da 
sequência se mantém ao longo da semana. Mas tudo bem, vamos em frente. 
Temos uma progressão aritmética de razão (-3), já que os termos estão 
diminuindo em 3 unidades. 
Vamos calcular o 36o termo desta sequência. 
�� � �� 
 35� 
�� � 240 
 35 ∙ ��3� � 135 
Assim, na 36a semana o percurso foi feito em 135 minutos, que é o tempo 
mínimo feito por Cláudio. 
Letra D 
4. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos 
múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? 
(A) 4.504.500 
(B) 4.505.000 
(C) 4.505.500 
(D) 4.506.000 
(E) 4.506.500 
Resolução 
O menor número de 4 algarismos é 1.000 e o maior número de 4 algarismos é 
9.999. 
Estamos interessados apenas nos múltiplos de 11. Para descobrir tais números, 
vamos dividir 1.000 por 11 e dividir 9.999 por 11. 
1.000	"		11		 
		10									90 
Observe que o resto da divisão foi igual a 10. Se adicionarmos 1 ao número, o 
resto será 0. Portanto, o primeiro múltiplo de 11 maior que 1.000 é 1.001. 
Basta verificar: 
1.001	"		11		 
				0									91 
 
 
 
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Os múltiplos de 11 maiores que 1.000 são: 
�1.001, 1.012, 1.023,… � 
Basta “ir somando 11”... 
Temos, portanto, uma progressão aritmética de primeiro termo 1.001 e razão 
11. Vamos calcular o último termo desta progressão dividindo 9.999 por 11. 
 
9.999	"		11		 
		0									909 
Como 9.999 é múltiplo de 11, então ele é o último termo da progressão. 
Temos a seguinte progressão: 
�1.001, 1.012, 1.023,… ,9.999� 
Estes são todos os múltiplos de 11 com 4 dígitos. A questão pede a soma de 
todos estes múltiplos. Temos, então, que somar todos os termos desta 
progressão aritmética. Para efetuar tal soma, precisamos saber quantos termos 
possui esta progressão. Utilizaremos a fórmula do termo geral. 
�� � �� 
 �� � 1� ∙ � 
9.999 � 1.001 
 �� � 1� ∙ 11 
9.999 � 1.001 
 11� � 11 
9.999 � 990 
 11� 
11� � 9.009 
� � 819 
Há, portanto, 819 múltiplos de 11 com 4 dígitos. 
Podemos agora aplicar a fórmula da soma dos � primeiros termos de uma P.A.. 
�� �
��� 
 ��� ∙ �
2 
�� �
�1.001 
 9.999� ∙ 819
2 � 4.504.500 
Letra A 
 
 
 
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5. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no 
mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa 
ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 
6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o aniversário, em que ano 
Carmem nasceu? 
(A) 1990 
(B) 1993 
(C) 1994 
(D) 1999 
(E) 2001 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que estamos no ano de 2009. Assim, Benedita possui 13 
anos. Como Carmem completou 6 anos quando Ana nasceu, então Carmem é 6 
anos mais velha que Ana. Se a idade de Ana for igual a � e a idade de Carmem 
for igual a �, então � � � 
 6. 
 
Além disso, sabemos que ��, 13, �� é uma progressão aritmética. 
Vamos substituir � por � 
 6. 
 
A progressão ficará assim: 
 
��, 13, � 
 6� 
 
Sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média 
aritmética dos outros dois. Dessa forma, 
13 � � 
 � 
 62 
13 � 2� 
 62 
2� 
 6 � 26 
2� � 20 
� � 10 
Como � � � 
 6, então � � 16. Concluímos que Carmem possui 16 anos no ano 
de 2009. Ela nasceu em 1993 = 2009 – 16. 
Letra B 
6. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 420 ml de 
pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada 
parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio 
 
 
 
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e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma 
progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de 
tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? 
 
(A) 1,05 
(B) 1,09 
(C) 1,18 
(D) 1,50 
(E) 1,90 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que uma das partes (a mais clara) possua � ml de pigmento 
vermelho. Assim, o tom médio possuirá � 
 50 ml de pigmento e a mais escura 
possuirá � 
 100	ml de pigmento. A soma das três partes é igual a 420 ml. 
 
� 
 � 
 50 
 � 
 100 � 420 
 
3� 
 150 � 420 
 
3� � 270 
 
� � 90	%& 
 
Portanto, a parte clara possuirá 90 ml de pigmento vermelho. Como esta parte 
será misturada com 1 litro (1.000 ml) de tinta branca, então teremos 1.090 ml 
de tinta rosa clara (1,090 litro). 
 
Letra B 
 
7. (EPE 2009/CESGRANRIO) Uma sequência de números é tal que seus 4 
primeiros termos são: 
T1 = 5 
T2 = 13 
T3 = 24 
T4 = 38 
Observa-se que: 
13 = 5 + 8 
24 = 5 + 8 + 11 
38 = 5 + 8 + 11 + 14 
Conclui-se, então, que o 30o termo (T30) dessa sequência é 
(A) 1.380 
(B) 1.455 
(C) 1.500 
(D) 1.545 
(E) 2.910 
 
 
 
 
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Resolução 
 
De acordo com o padrão estabelecido, para calcular o 30º termo teremos que 
somar os 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11, 14,...) de 
razão 3. 
Vamos calcular o 30º termo desta progressão. 
��� � �� 
 29� 
��� � 5 
 29 ∙ 3 � 5 
 87 � 92 
A soma dos 30 primeiros termos desta progressão será: 
'�� � ��� 
 ���� ∙ 302 �
�5 
 92� ∙ 30
2 � 1.455 
Letra B 
8. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos 
dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado 
abaixo. 
 
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na 
tricentésima quadragésima sexta linha apareceriao número 
a) 2326 
b) 2418 
c) 2422 
d) 3452 
e) 3626 
Resolução 
Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o 
primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é 
dado por: 
 
 
 
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��( � �� 
 345 ∙ � � 3 
 345 ∙ 7 � 2.418 
Letra B 
 
9. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. 
 
Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido 
de: 
a) 720 
b) 840 
c) 780 
d) 680 
e) 880 
Resolução 
A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 
bolinhas... 
 
Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para 
calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 20, devemos 
calcular o vigésimo termo. 
 
��� � �� 
 19 ∙ � 
 
��� � 4 
 19 ∙ 4 � 80 
 
Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a 
 
��� �
��� 
 ���� ∙ 10
2 �
�4 
 80� ∙ 20
2 � 840 
 
Letra B 
 
 
 
 
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Progressão Geométrica 
 
Considere uma sequência de números reais ���, ��, ��, … , ���. 
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, 
a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real ). 
O número real ) é denominado razão da progressão geométrica. 
�� é o primeiro termo, �� é o segundo termo, e assim por diante. O termo �� de 
ordem n é chamado n-ésimo termo. 
Exemplos: 
Progressão Geométrica Primeiro termo 
(��) 
Razão (*) 
�3, 6, 12, 24, 48, 96,… � 3 2 
�96, 48, 24, 12, 6, 3, … � 96 1
2 
�2, 2, 2, 2, 2, … � 2 1 
�1, �2, 4, �8, 16,�32,… � 1 �2 
�5, 0, 0, 0, 0, … � 5 0 
 
Cálculo da razão 
 
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é 
diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior). 
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos 
consecutivos. 
No nosso primeiro exemplo, ) � 6 3+ � 12 6+ � ⋯ � 2. 
No nosso segundo exemplo, ) � 48 96+ � 24 48+ � ⋯ � 1 2+ . 
No nosso terceiro exemplo, ) � 2 2+ � 2 2+ � ⋯ � 1. 
No nosso quarto exemplo, ) � �2 1+ � 4 �2+ � ⋯ � �2. 
 
 
 
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Termo Geral 
 
Considere a progressão geométrica ���, ��, ��, … , ���. Existe uma expressão que 
permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e 
a razão. 
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o 
primeiro termo e a razão. 
�� � �� ∙ )�,� 
Em que �� é o primeiro termo, ) é a razão da progressão e �� é o termo de 
ordem n (n-ésimo termo). 
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica 
�3, 6, 12, 24,… �? 
Resolução 
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, � � 11. 
Utilizemos a fórmula do termo geral: 
��� � �� ∙ )��,� � �� ∙ )�� 
��� � 3 ∙ 2�� � 3.072 
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não 
somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer 
da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética. 
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o 
décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3. 
Resolução 
Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. 
Assim, a expressão do termo geral ficará: 
�� � ��� ∙ ) 
�� � 4 ∙ 3 � 2.916 
 
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita 
 
 
 
 
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A soma dos � termos iniciais de uma progressão geométrica é: 
�� � �� ∙
�)� � 1�
) � 1 
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. �3, 6, 12, 24,… �. 
Resolução 
A razão, como já vimos, é igual a 2. 
��� � �� ∙
�)�� � 1�
) � 1 
��� � 3 ∙
�2�� � 1�
2 � 1 �
3 ∙ �1.024 � 1�
1 � 3 ∙ 1.023 
��� � 3.069 
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita 
 
Se ���, ��, ��, … , ��, … � é uma P.G. com razão �1 . ) . 1, então: 
� � �� 
 �� 
⋯
 �� 
⋯ � ��1 � ) 
Exemplo 
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. �9, 6, 4, … �. 
Resolução 
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: 
) � 69 �
2
3 
Assim, 
� � ��1 � ) �
9
1 � 23
� 91/3 � 9 ∙
3
1 � 27 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
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10. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se �� � 2 e 
�0 � 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica 
é igual a: 
a) 26 
b) 22 
c) 30 
d) 28 
e) 20 
Resolução 
Uma sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, 
a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real ). 
O número real ) é denominado razão da progressão geométrica. 
�� é o primeiro termo, �� é o segundo termo, e assim por diante. O termo �� de 
ordem n é chamado n-ésimo termo. 
A questão acima indica que o primeiro termo é 2 e o quinto termo é 162. 
Para uma progressão geométrica, estes termos são bem pequenos. Então 
poderíamos achar a razão testando valores. 
Será que a razão é 2? Neste caso, cada termo será o dobro do anterior. 
(2, 4, 8, 16, 32). Percebemos que o quinto termo não é 162 e, portanto, a 
razão não é 2. 
Será que a razão é 3? Neste caso, cada termo será o triplo do anterior. 
(2, 6, 18, 54, 162). Observe que o quinto termo é igual a 162. Concluímos que 
de fato a razão é 3. 
A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 
2 
 6 
 18 � 26 
Letra A 
Agora vamos resolver a questão de uma maneira mais formal. E se a razão não 
fosse inteira, como deveríamos proceder? 
Vamos lá. Neste caso deveríamos saber a fórmula do termo geral de uma 
progressão geométrica. Esta é uma importantíssima fórmula que permite 
calcular qualquer termo de uma P.G.. 
 
 
 
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A fórmula é a seguinte: �� � �� ∙ )�,� 
Em que �� é o primeiro termo, ) é a razão da progressão e �� é o termo de 
ordem n (n-ésimo termo). No nosso caso, n=5. 
�0 � �� ∙ )0,� 
�0 � �� ∙ )( 
162 � 2 ∙ )( 
)( � 81 
Agora perguntamos: qual o número que elevado a 4 é igual a 81? Para 
responder, basta fatorar o número 81 e perceber que 3( � 81. Portanto, 
) � 3 
Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando. Começamos com o número 
2, que é o primeiro termo. 
(2, 6, 18, 54, 162). 
A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 
2 
 6 
 18 � 26 
11. (AFRFB 2009/ESAF) Um corredor está treinando diariamente para correr a 
maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância 
da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu 
tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. 
Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, 
ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de 
treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 
segundos, por quantas semanas ele treinou? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Resolução 
Se o tempo diminui 10%, então para calcular o próximo termo da sequência, 
devemos multiplicar o anterior por 100% - 10% = 90% = 0,9. Como vamos 
multiplicando os termos por 0,9, teremos uma progressão geométrica de razão 
0,9. 
 
 
 
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No domingo imediatamente antes doinício do treinamento, ele fez o percurso 
em 4h 30min = 4,5 horas. No primeiro domingo de treinamento (primeiro 
termo da P.G.), seu tempo será igual a �4,5 ∙ 0,9�	12��3, ou seja, �� � 4,5 ∙ 0,9. 
Para transformar este tempo para segundos, devemos multiplicar por 3600, já 
que cada hora tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos (60x60 = 
3.600). 
Desta maneira, o primeiro termo da sequência, em segundos, é igual a: 
�� � 4,5 ∙ 0,9 ∙ 3.6003 
O último termo da sequência é igual a 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos. 
Vamos transformar este tempo para segundos. 
3 horas = 3 x 3.600 s = 10.800s 
16 minutos = 16 x 60 s = 960 s 
Somando tudo, temos: 
�� � 10.800 
 960 
 49,8 � 11.809,83 
Vamos agora aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. 
�� � �� ∙ )�,� 
11.809,8 � 4,5 ∙ 0,9 ∙ 3.600 ∙ �0,9��,� 
Observe que temos o produto 0,9 x 0,9n-1. Para multiplicar potências de mesma 
base, devemos conservar a base e somar os expoentes. 
0,9 ∙ �0,9��,� � 0,9�4�,� � 0,9� 
Assim: 
11.809,8 � 4,5 ∙ 3.600 ∙ �0,9�� 
11.809,8 � 16.200 ∙ �0,9�� 
�0,9�� � 11.809,816.200 
Vamos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas. 
�0,9�� � 11.809,816.200,0 
 
 
 
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�0,9�� � 118.098162.000 
�0,9�� � 0,729 
� � 3 
Letra C 
12. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) O valor da série geométrica 
2 
 1 
 12 
1
4 
1
8 
1
16 
⋯ 
é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
Resolução 
Temos uma Progressão Geométrica com infinitos termos. Para calcular a razão, 
devemos dividir qualquer termo por aquele que o antecede. Por exemplo, 
podemos dividir o segundo termo pelo primeiro. Assim, a razão é igual a 1/2. 
Para calcular o valor desta soma, vamos aplicar a fórmula vista: 
� � ��1 � ) �
2
1 � 12
� 21
2
� 2 ∙ 21 � 4 
Letra A 
13. (AFRFB 2012/ESAF) Uma sequência de números k1, k2, k3, k4, …, kn é 
denominada Progressão Geométrica – PG – de n termos quando, a partir do 
segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a 
uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x 
a cada um dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) ter-se-á uma PG. Desse 
modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, 
respectivamente, iguais a 
a) (6-p); 2/3; 21 
b) (p+6); 3/2; 19 
c) 6; (6-p); 21 
 
 
 
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d) (6-p); 3/2; 19 
e) (p-6); p; 20 
Resolução 
Questão muito bem feita. 
Em uma progressão geométrica, a razão é constante e igual ao quociente de 
um termo por aquele que o antecede. Assim, a razão pode ser calculada a partir 
da divisão do segundo termo pelo primeiro ou do terceiro termo pelo segundo. 
��
�� �
��
�� 
��� � �� ∙ �� 
Assim, em uma P.G., o quadrado do termo central é igual ao produto dos 
extremos. 
Vejamos a progressão do enunciado. Devemos adicionar o número x a cada um 
dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) para termos uma progressão 
geométrica. Isto significa que a sequência �5 � 2 
 �, 5 
 �, 5 
 3 
 �� é uma P.G.. 
Para facilitar o trabalho algébrico, vamos utilizar dizer que 5 
 � � 6. Assim, 
nossa sequência fica: 
�6 � 2, 6, 6 
 3� 
Vimos que o quadrado do termo central é o produto dos extremos. 
6� � �6 � 2��6 
 3� 
6� � 6� 
 36 � 26 � 6 
0 � 6 � 6 
6 � 6 
Substituindo o valor de y na sequência, temos: 
�6 � 2, 6, 6 
 3� � �4,6,9� 
A razão da progressão é a divisão de um termo por aquele que o antecede. 
� � 64 �
3
2 
A soma dos termos é 4 + 6 + 9 = 19. 
Como 5 
 � � 6, temos: 
 
 
 
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5 
 � � 6 
� � 6 � 5 
Letra D 
14. (Banestes 2013/Consulplan) Numa prateleira encontram-se 4 recipientes 
dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da 
capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e 
o menor recipiente é de 5,2 litros, então a soma das capacidades desses 4 
recipientes, em litros, é 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
Resolução 
Vamos considerar que o primeiro recipiente tem capacidade de x litros. Como 
cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior, o segundo 
terá 3x litros, o terceiro 9x litros e o quarto 27x litros. 
A diferença entre o maior e o menor recipiente é de 5,2 litros, portanto: 
27� � � � 5,2 
26� � 5,2 
� � 0,2 
A soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, é 
� 
 3� 
 9� 
 27� � 40� � 40 ∙ 0,2 � 8	&78�23 
Letra B 
15. (Pref. de Campo Verde-MT 2010/CONSULPLAN) Qual é a soma dos 
termos da sequência (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja 
uma progressão geométrica crescente? 
a) 52 
b) 60 
c) 40 
d) 48 
e) 64 
Resolução 
 
 
 
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Vimos que para calcular a razão de uma progressão geométrica devemos dividir 
qualquer termo por aquele que o antecede. Como a razão é constante, então: 
3� � 10
� � 2 �
10 
 �
3� � 10 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar cruzado). 
�3� � 10��3� � 10� � �� � 2��10 
 �� 
9�� � 30� � 30� 
 100 � 10� 
 �� � 20 � 2� 
9�� � 60� 
 100 � �� 
 8� � 20 
8�� � 68� 
 120 � 0 
Para simplificar, podemos dividir os dois membros da equação por 4. 
2�� � 17� 
 30 � 0 
Temos uma equação do segundo grau, em que a =2, b = -17 e c = 30. 
Para resolvê-la, devemos utilizar a fórmula: 
� � �
 9 √
� � 4��
2� 
Substituindo os valores... 
� � ���17� 9 ;��17�
� � 4 ∙ 2 ∙ 30
2 ∙ 2 
 
� � 17 9 √494 
� � 17 9 74 
Assim, x = 6 ou x =10/4 = 5/2. 
Vamos substituir os dois valores na sequência original e ver qual delas fornece 
uma P.G. crescente. 
i) x = 6 
(x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2) = (4, 8, 16, 32) 
Já obtivemos uma P.G. crescente de razão 2, já que os termos estão dobrando. 
 
 
 
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Esta é a sequência que queríamos. A soma dos termos é 4 + 8 + 16 + 32 = 60. 
Letra B 
Vamos substituir x por 5/2 = 2,5 para ver o que acontece. 
(x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2) = (0,5 ; -2,5 ; 12,5 ; 14,5) 
Esta não é uma P.G. crescente. 
 
16. (BANESTES 2013/Consulplan) Um quadrado tem como lado o valor do 
6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo 
é 162. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então 
o perímetro desse quadrado é igual a 
a) 5828 cm. 
b) 5830 cm. 
c) 5832 cm. 
d) 5836 cm. 
e) 5840 cm. 
Resolução 
Temos uma progressão geométrica em que �� � 6 e �( � 162. 
Pela fórmula do termo geral, temos: 
�( � �� ∙ )� 
162 � 6 ∙ )� 
)� � 27 
) � 3 
Isto significa que os termos da P.G. estão triplicando. Se o quarto termo é 162, 
o quinto termo será 162 x 3 = 486 e o sexto termo será 486 x 3 = 1.458. 
Achamos o lado do quadrado: 1.458 cm. 
Queremos saber o perímetro do quadrado. O perímetro é a soma dos quatro 
lados, ou seja, 1.458 x 4 = 5.832 cm. 
Letra C 
17. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é o número que 
deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, 
nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? 
(A) – 9 
(B) – 5 
(C) – 1 
 
 
 
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(D) 1 
(E) 9 
Resolução 
A maneira mais rápida de resolver esta questão é testando as alternativas. 
(A) – 9 
 
Vamos somar �9 aos número 1,5	<	7. 
��9 
 1,�9 
 5,�9 
 7� 
��8,�4, �2� 
Esta é uma progressão geométrica de razão 1/2. A respostaé alternativa (A). 
Algebricamente, resolvemos esta questão assim. Vamos considerar que o 
número procurado seja igual a �. Assim, a sequência �1 
 �, 5 
 �, 7 
 �� é uma 
progressão geométrica. 
A razão de uma P.G. é o quociente entre dois termos consecutivos. Como a 
razão é constante, então: 
5 
 �
1 
 � �
7 
 �
5 
 � 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar em cruz). 
�5 
 �� ∙ �5 
 �� � �1 
 �� ∙ �7 
 �� 
25 
 5� 
 5� 
 �² � 7 
 � 
 7� 
 �² 
Podemos cancelar �². 
25 
 5� 
 5� � 7 
 � 
 7� 
10� 
 25 � 8� 
 7 
10� � 8� � 7 � 25 
2� � �18 
� � �9 
Letra A 
18. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e 
não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio 
 
 
 
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corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média 
geométrica entre 28 e 252? 
(A) 84 
(B) 168 
(C) 882 
(D) 1.764 
(E) 3.528 
 
Resolução 
 
Vamos considerar a progressão geométrica �28, �, 252�. Pela definição do 
enunciado, o número � é a média geométrica entre 28 e 252. Vamos calcular 
este valor da mesma maneira que fizemos na questão anterior. Para calcular a 
razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. A razão 
em uma P.G. é constante, portanto: 
�
28 �
252
� 
 
�² � 28 ∙ 252 
 
�² � 7.056 
 
Precisamos calcular a raiz quadrada de 7.056. 
 
Ora, já que 7.056 termina em 6, então o número � deve terminar em 4 ou em 6 
(já que 4² = 16 e 6² = 36). Assim, devemos testar as alternativas (A) e (D). 
 
Como 84² = 7.056, então a resposta é a alternativa A. 
 
Letra A 
 
 
19. (TRANSPETRO 2008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as 
idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joana quando Pedro 
estiver com 5 anos? 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 14 
 
Resolução 
 
As idades de Pedro, Joana e Marcelo formam uma P.G. de razão 2. Se a idade 
de Pedro for igual a �, então as idades de Joana e Marcelo serão, 
respectivamente, 2� e 4�. 
 
 
 
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Pedro: � anos 
 
Joana: 2� anos 
Marcelo: 4� anos 
 
Como Marcelo tem 12 anos, então: 
 
4� � 12 
� � 3 
As idades são: 
 
Pedro: 3 anos 
Joana: 6 anos 
Marcelo: 12 anos 
 
Poderíamos ter raciocinado assim: se para avançar em uma P.G. nós 
multiplicamos os termos pela razão, então para voltar na P.G. devemos dividir 
os termos pela razão. 
 
Assim, como Marcelo tem 12 anos, então Joana tem 12/2 = 6 anos e Pedro tem 
6/2 = 3 anos. 
 
Joana é 3 anos mais velha que Pedro. Quando Pedro tiver 5 anos, Joana terá 8 
anos. 
 
Letra B 
 
 
20. (SEMSA – Prefeitura de Manaus 2005/CESGRANRIO) Se, numa 
Progressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o 
antepenúltimo termo vale: 
(A) 12/5 
(B) 24/5 
(C) 12 
(D) 24 
(E) 50 
 
Resolução 
 
Na questão 13 falei que para avançar numa P.G. devemos multiplicar os termos 
pela razão e, para retroceder, devemos dividir os termos pela razão. O último 
termo da P.G. é 60 e a razão é 5. Assim: 
 
O penúltimo termo é 60/5 = 12. 
 
O antepenúltimo termo é 12/5. 
 
 
 
 
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Letra A 
 
21. (EPE 2009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 
1/8 – 1/16 + ... é 
 
(A) 4 
(B) 2 
(C) 11/8 
(D) 4/3 
(E) 2/3 
 
Resolução 
 
O problema pede a soma dos infinitos termos da P.G. 
>2, �1, 12 ,�
1
4 ,
1
8 ,�
1
16 ,… ? 
Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu 
antecedente. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro. 
) � �12 
O primeiro termo é igual a 2. Para calcular a soma dos infinitos termos desta 
P.G. devemos aplicar a fórmula vista anteriormente. 
Se ���, ��, ��, … , ��, … � é uma P.G. com razão �1 . ) . 1, então: 
� � �� 
 �� 
⋯
 �� 
⋯ � ��1 � ) 
� � 2
1 � @�12A
� 2
1 
 12
� 23
2
 
Para dividir frações, repetimos o numerador, invertemos o denominador e 
multiplicamos. 
� � 2 ∙ 23 �
4
3 
Letra D 
(CBM-ES 2011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas 
idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais 
novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, 
 
 
 
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em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 
anos, julgue os itens seguintes. 
 
22. A idade do sargento é superior a 32 anos. 
23. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em 
anos, estariam em progressão aritmética. 
24. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. 
 
Resolução 
 
Quando temos uma progressão geométrica de três termos e é dado o 
produto deles, é MUITO INTERESSANTE (ou seja, FAÇA ISSO!!!) que você 
chame o termo do meio de x. 
 
�						, �,							� 
Assim, o próximo termo será o número x multiplicado pela razão. 
 
�					, �, � ∙ )� 
 
O primeiro termo será o número x dividido pela razão. 
 
>�) , �, � ∙ )? 
Qual a vantagem disto? 
 
Olhe a primeira informação do texto: Sabendo que o produto dessas idades, em 
anos, é 27.000... 
 
Vamos multiplicar as três idades e igualar a 27.000. 
 �
) ∙ � ∙ �) � 27.000 
 
O “q” do denominador cancela com o outro “q”. 
 
�³ � 27.000 
 
�³ � 27 ∙ 1.000 
 
A raiz cúbica de 27 é 3 e a raiz cúbica de 1.000 é 10. 
 
� � 3 ∙ 10 
 
� � 30 
 
Bom, sabemos que o soldado é o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. 
Assim, o do meio é o sargento e ele possui 30 anos. 
 
 
 
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A soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue os itens 
seguintes 
 
A idade do sargento é 30 anos e a do tenente é � ∙ ) � 30 ∙ ) 
 
Assim, 30 
 30) � 75 
30) � 45 
 
) � 1,5 
 
Assim, a nossa progressão é dada por: 
 
>�) , �, � ∙ )? 
 
>301,5 ,					30,			30 ∙ 1,5? 
 
�20, 30, 45� 
 
O soldado tem 20 anos, o sargento tem 30 anos e o tenente tem 45 anos. 
 
Vamos analisar os itens. 
 
22. A idade do sargento é superior a 32 anos. 
 
O item está errado. O sargento tem 30 anos. 
 
23. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em anos, 
estariam em progressão aritmética. 
 
Se o tenente fosse 5 anos mais novo, a sequência seria (20, 30, 40). Ou seja, 
uma progressão aritmética de razão 10. O item está certo. 
 
24. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. 
 
A soma das idades do soldado e do sargento é 20 + 30 = 50 > 48. O item está 
errado. 
 
(PM-ES 2010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em 
anos, correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que 
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com 
soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em 
progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir. 
25. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
 
 
 
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26. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número 
fracionário não inteiro. 
27. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 
28. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. 
 
Resolução 
 
Vamos começar trabalhando com a progressão aritmética. 
 
�CD, CE, CF� → HIJKILMMãJ	CIOPQéPOSC 
 
A razão desta P.A. é 6. Assim, se o primeiro termo for x, então o segundo 
termo será x+6 e o terceiro x+12. 
 
��, � 
 6, � 
 12� 
A somadessa P.A. é 24. 
 
� 
 � 
 6 
 � 
 12 � 24 
 
3� 
 18 � 24 
 
3� � 6 
 
� � 2 
 
A P.A. é formada pelos números �2, 8, 14�. 
 
A nossa sequência original de 5 números está assim: 
 
�2, ��, 8, 14, �0� 
 
Os números a1, a2 e a5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica com 
soma igual a 26. 
 
�2, ��, �0� → T. U. V<	32%�	26 
 
Como o problema falou que os números são inteiros positivos, podemos tentar 
achar a razão no chute. Observe que como a soma dos termos é 26, a razão 
deve ser pequena. 
 
Será que a razão é 2? A progressão seria formada pelos números (2, 4, 8) e a 
soma dos termos não seria 26. 
 
Será que a razão é 3? A progressão seria formada pelos números (2, 6, 18) e a 
soma dos termos seria 26. Achamos!! 
 
Assim, �� � 6 e �0 � 18. 
 
 
 
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A nossa sequência está pronta! 
 
���, ��, ��, �(, �0� � �2, 6, 8, 14, 18� 
 
Observe que esta sequência não é P.A. e também não é P.G.. 
 
Vamos julgar os itens. 
 
25. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
 
�� 
 �� 
	�( � 6 
 8 
 14 � 28 
 
O item está certo. 
 
26. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número 
fracionário não inteiro. 
 
A razão desta progressão, como vimos, é igual a 3. O item está errado, 
porque o número é inteiro. 
 
27. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 
 
O item está certo, porque o mais novo tem 2 anos. 
 
28. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. 
 
O item está errado, porque o mais velho tem 18 anos. 
 
 
(ANAC 2009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, 
os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d 
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a 
razão a/d seja igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue 
os itens que se seguem. 
29. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. 
30. A razão da progressão aritmética é menor que 8. 
31. O número b é maior que o número c. 
Resolução 
Vamos lá... 
Os números a, b e d estão em P.G. Assim, 
 
 
 
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� �
V
 
² � �V 
Os números a, c e d estão em P.A. Assim, 
� � � � V � � 
2� � � 
 V 
A razão a/d seja igual a 16/25. 
�
V �
16
25 
Podemos reescrever está proporção assim: 
�
16 �
V
25 
Podemos prolongar esta proporção somando os numeradores e somando os 
denominadores. Como � 
 V � 2�, temos: 
�
16 �
V
25 �
� 
 V
16 
 25 
�
16 �
V
25 �
2�
41 
Assim, temos que: 
� � 16 ∙ 2�41 			→ 				 � �
32�
41 
V � 25 ∙ 2�41 			→ 				 V �
50�
41 
Como 
² � �V, temos a seguinte relação: 
² � 32�41 ∙
50�
41 
² � 1.600 ∙ �²41² 
Tirando a raiz quadrada de tudo... 
 � 40�41 
 
 
 
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A soma dos números a, b, c e d é 163. 
� 
 
 
 � 
 V � 163 
32�
41 
40�
41 
 � 
50�
41 � 163 
Para eliminar as frações, vamos multiplicar tudo por 41. 
32� 
 40� 
 41� 
 50� � 163 ∙ 41 
163 ∙ � � 163 ∙ 41 
� � 41 
Já podemos calcular as outras incógnitas. 
� � 32�41 �
32 ∙ 41
41 			→ � � 32 
 � 40�41 �
40 ∙ 41
41 					→ 
 � 40 
V � 50�41 �
50 ∙ 41
41 					→ V � 50 
Vamos reescrever o enunciado. 
Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, os números a, b e d 
estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d estejam, nessa 
ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão a/d seja 
igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue os itens que se 
seguem. 
Considerando que, nos números positivos 32, 40, 41 e 50, os números 32, 40 e 
50 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; 32, 41 e 50 estejam, 
nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a razão 
32/50 seja igual a 16/25 e a soma dos números 32, 40, 41 e 50 seja 163, 
julgue os itens que se seguem. 
Bom, temos uma P.G. 32, 40, 50. 
A razão da P.G. é 40/32 = 5/4. 
Temos uma P.A. 32, 41, 50. A razão da P.A. é 41 – 32 = 9. 
29. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. 
 
O item está certo. 
 
 
 
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30. A razão da progressão geométrica aritmética é menor que 8. 
 
O item está errado. 
 
31. O número b é maior que o número c. 
 
O item está errado. 
(MPS 2010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 
3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação �² � 2� � 8 � 0. 
Nesse caso é correto afirmar que 
32. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 
33. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. 
 
Resolução 
 
 O primeiro passo é resolver a equação. 
�² � 2� � 8 � 0 
∆� 
² � 4�� � ��2�� � 4 ∙ 1 ∙ ��8� � 36 
� � �
 9 √∆2� �
2 9 6
2 
� � 4			2X	� � �2 
A distância do número -2 ao número 4 é igual a 6. Como a razão é igual a 3, 
então deve haver um número na progressão entre eles. 
��2, ____	,4� 
Como a razão é igual a 3, o próximo número é -2 + 3 = 1. 
��2, 1	,4� 
32. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 
 
O item está errado, já que �2 ∙ 1 ∙ 4 � �8. 
 
33. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. 
 
O item está errado, já que a soma dos termos é 3. 
 
 
 
 
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Ficamos por aqui. Espero que tenham gostado da aula. 
 
Um forte abraço, bons estudos e até a próxima aula. 
 
Guilherme Neves 
 
 
 
 
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Relação das questões comentadas 
 
1. (PECFAZ 2013/ESAF) A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 
7, 10, 13, 16,...) é igual a: 
a) 15.270 
b) 15.410 
c) 15.320 
d) 15.340 
e) 15.250 
2. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) A soma dos 200 primeiros termos da 
progressão (4, 7, 10, 13, ...) é igual a 
a) 60.200 
b) 60.300 
c) 60.100 
d) 60.500 
e) 60.400 
3. (BANESTES 2013/Consulplan) A progressão a seguir destaca o tempo, em 
minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, 
semanalmente: {240, 237, 234, 231, 228, 225, 222, 219...}. Cláudio parou de 
caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo 
mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi 
(A) 120. 
(B) 125. 
(C) 130. 
(D) 135. 
(E) 140. 
4. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é a soma dos 
múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? 
(A) 4.504.500 
(B) 4.505.000 
(C) 4.505.500 
(D) 4.506.000 
(E) 4.506.500 
5. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Ana, Benedita e Carmem nasceram no 
mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa 
ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 
 
 
 
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6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o aniversário, em que ano 
Carmem nasceu? 
(A) 1990 
(B) 1993 
(C) 1994 
(D) 1999 
(E) 2001 
 
6. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um artista pretende dividir 420 ml de 
pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada 
parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio 
e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma 
progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de 
tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? 
 
(A) 1,05 
(B) 1,09(C) 1,18 
(D) 1,50 
(E) 1,90 
 
7. (EPE 2009/CESGRANRIO) Uma sequência de números é tal que seus 4 
primeiros termos são: 
T1 = 5 
T2 = 13 
T3 = 24 
T4 = 38 
Observa-se que: 
13 = 5 + 8 
24 = 5 + 8 + 11 
38 = 5 + 8 + 11 + 14 
Conclui-se, então, que o 30o termo (T30) dessa sequência é 
(A) 1.380 
(B) 1.455 
(C) 1.500 
(D) 1.545 
(E) 2.910 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos 
dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado 
abaixo. 
 
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na 
tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número 
a) 2326 
b) 2418 
c) 2422 
d) 3452 
e) 3626 
9. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. 
 
Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido 
de: 
a) 720 
b) 840 
c) 780 
d) 680 
e) 880 
10. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se �� � 2 e 
�0 � 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica 
é igual a: 
a) 26 
b) 22 
c) 30 
 
 
 
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d) 28 
e) 20 
11. (AFRFB 2009/ESAF) Um corredor está treinando diariamente para correr a 
maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância 
da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu 
tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. 
Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, 
ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de 
treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 
segundos, por quantas semanas ele treinou? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
12. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) O valor da série geométrica 
2 
 1 
 12 
1
4 
1
8 
1
16 
⋯ 
é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
13. (AFRFB 2012/ESAF) Uma sequência de números k1, k2, k3, k4, …, kn é 
denominada Progressão Geométrica – PG – de n termos quando, a partir do 
segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a 
uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x 
a cada um dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) ter-se-á uma PG. Desse 
modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, 
respectivamente, iguais a 
a) (6-p); 2/3; 21 
b) (p+6); 3/2; 19 
c) 6; (6-p); 21 
d) (6-p); 3/2; 19 
e) (p-6); p; 20 
 
 
 
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14. (Banestes 2013/Consulplan) Numa prateleira encontram-se 4 recipientes 
dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da 
capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e 
o menor recipiente é de 5,2 litros, então a soma das capacidades desses 4 
recipientes, em litros, é 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
15. (Pref. de Campo Verde-MT 2010/CONSULPLAN) Qual é a soma dos 
termos da sequência (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja 
uma progressão geométrica crescente? 
a) 52 
b) 60 
c) 40 
d) 48 
e) 64 
16. (BANESTES 2013/Consulplan) Um quadrado tem como lado o valor do 
6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo 
é 162. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então 
o perímetro desse quadrado é igual a 
a) 5828 cm. 
b) 5830 cm. 
c) 5832 cm. 
d) 5836 cm. 
e) 5840 cm. 
17. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é o número que 
deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, 
nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? 
(A) – 9 
(B) – 5 
(C) – 1 
(D) 1 
(E) 9 
18. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Quando três números reais, positivos e 
não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio 
corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média 
geométrica entre 28 e 252? 
(A) 84 
(B) 168 
 
 
 
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(C) 882 
(D) 1.764 
(E) 3.528 
 
19. (TRANSPETRO 2008/CESGRANRIO) Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as 
idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joana quando Pedro 
estiver com 5 anos? 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 14 
 
20. (SEMSA – Prefeitura de Manaus 2005/CESGRANRIO) Se, numa 
Progressão Geométrica de razão 5, o último termo é igual a 60, o 
antepenúltimo termo vale: 
(A) 12/5 
(B) 24/5 
(C) 12 
(D) 24 
(E) 50 
 
21. (EPE 2009/CESGRANRIO) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 
1/8 – 1/16 + ... é 
 
(A) 4 
(B) 2 
(C) 11/8 
(D) 4/3 
(E) 2/3 
 
(CBM-ES 2011/CESPE-UnB) Um soldado, um sargento e um tenente têm suas 
idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais 
novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, 
em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 
anos, julgue os itens seguintes. 
 
22. A idade do sargento é superior a 32 anos. 
23. Se o tenente fosse 5 anos mais novo, as idades dos três militares, em 
anos, estariam em progressão aritmética. 
24. A soma das idades do soldado e do sargento é inferior a 48 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
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(PM-ES 2010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em 
anos, correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que 
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com 
soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em 
progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir. 
25. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
26. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número 
fracionário não inteiro. 
27. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 
28. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. 
 
(ANAC 2009/CESPE-UnB) Considerando que, nos números positivos a, b, c e d, 
os números a, b e d estejam, nessa ordem, em progressão geométrica; a, c e d 
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética, e considerando, ainda, que a 
razão a/d seja igual a 16/25 e a soma dos números a, b, c e d seja 163, julgue 
os itens que se seguem. 
29. A razão da progressão geométrica é igual a 5/4. 
30. A razão da progressão aritmética é menor que 8. 
31. O número b é maior que o número c. 
(MPS 2010/CESPE-UnB) Três números estão em progressão aritmética de razão 
3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação �² � 2� � 8 � 0. 
Nesse caso é correto afirmar que 
32. o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 
33. a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. 
 
 
 
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Gabaritos 
 
01. E 
02. D 
03. D 
04. A 
05. B 
06. B 
07. B 
08. B 
09. B 
10. A 
11. C 
12. A 
13. D 
14. B 
15. B 
16. C 
17. A 
18. A 
19. B 
20. A 
21. D 
22. Errado 
23. Certo 
24. Errado 
25. Certo 
26. Errado 
27. Certo 
28. Errado 
29. Certo 
30. Errado 
31. Errado 
32. Errado 
33. Errado